專題3函數(shù)的單調(diào)性和最值

r-函數(shù)的單調(diào)性

一西數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

知識清單-

一西教的最大（?。┲?/p>

I復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

月定義判斷或證明函數(shù)單調(diào)性

月性質(zhì)法判斷函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)的單調(diào)性求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間

運用單調(diào)性求參數(shù)

題型精講運用單調(diào)性求最值或值域

含參數(shù)的二次函數(shù)最值問題

利用單調(diào)性解決不等式恒成立問題

分類討論法與函數(shù)的單調(diào)性

數(shù)形結(jié)合法與函數(shù)的單調(diào)性

「練基礎(chǔ)

強化訓(xùn)練練提升

匚練創(chuàng)新

1.能求函數(shù)的單調(diào)性，用定義證明函數(shù)的單調(diào)性；

教學(xué)目標(biāo)2.掌握函數(shù)單調(diào)性的證明，會求常用函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

3.會利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最大與最小值.并能通過函數(shù)的單調(diào)性求待定參數(shù)的

值。

重點

（1）利用圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性、尋找函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

教學(xué)重難點（2）掌握函數(shù)的單調(diào)性的定義，用定義證明函數(shù)的單調(diào)性及簡單應(yīng)用；

難點：

（1）數(shù)形結(jié)合求單調(diào)性問題；

（2）數(shù)形結(jié)合處理參數(shù)問題。

知識清單

知識點01函數(shù)的單調(diào)性（基礎(chǔ)）

1.增函數(shù)

一般地，設(shè)函數(shù)/（外的定義域為/,區(qū)間。三/,如果Vx,,x26。，當(dāng)內(nèi)＜當(dāng)時，都有

那么就稱函數(shù)/（此在區(qū)間。上單調(diào)遞增.（如圖：圖象從左到右是上升的）

特別地，當(dāng)函數(shù)/'（X）在它的定義域上單調(diào)遞增時，稱它是（increasingfunction）.

2.減函數(shù)

一般地，設(shè)函數(shù)/（x）的定義域為/,區(qū)間。q/,如果Vx/zW。，當(dāng)時，都有

那么就稱函數(shù)/（刈在區(qū)間。上是單調(diào)遞減.（如圖：圖象從左到右是下降的）

特別地，當(dāng)函數(shù)/（用在它的定義域上單調(diào)遞增時，稱它是（decreasingfunction）.

3.函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

如果函數(shù)），=f（x）在區(qū)間。上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說函數(shù)y=fM在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）

單調(diào)性，區(qū)間。叫做y=/（x）的

4.常見函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)單調(diào)性

當(dāng)〃＞0時，/5）在R上單調(diào)遞增

一次函數(shù)/（?=丘+力（女工0）

當(dāng)女＜0時，/3）在R上單調(diào)遞減

當(dāng)女＞0時，/（X）在（-00,0）和（。,+00）上單調(diào)遞

反比例函數(shù)“r）=K（左。0）

當(dāng)女＜0時，/（外在（一8,0）和（0,+oo）上單調(diào)遞

增

當(dāng)。＞0時，/*）在（-8,一=）上單調(diào)遞減；

2a

二次函數(shù)/（工）=以2+b+。（awO）在（-2,+8）上單調(diào)遞增

對稱軸為工二----

2a當(dāng)。＜0時，/。）在（-8,一二）上單調(diào)遞增；

2a

在（-二,+00）上單調(diào)遞減

2a

【即學(xué)即練】

1.（2024.貴?溪市實驗中學(xué)高二期末）函數(shù)/（x）=/+2x—6的單調(diào)遞增區(qū)間是

2.（2025?和平區(qū)?天津市第二南開中學(xué)高一期中）函數(shù)），=—V+4x+3,xw[0,3]的單調(diào)遞增區(qū)間是

知識點02函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明（重點）

1.定義法：

一般用于證明函數(shù)的單調(diào)性，設(shè)函數(shù)/（x）,證明的單調(diào)區(qū)旬為。

①：任取斗，X2ED,MX]＜x2；

②：計算/（$）-/（々）；

③：對/（%）-/（馬）進(jìn)行有利于符號判斷的變形（如通分，因式分解，配方，有理化

等）；如有必要需討論參數(shù)；

?：通過變形，判斷/（3）-/*2）＞0或（/（%）一/（工2）＜0），如有必要需討論參數(shù):

⑤:指出函數(shù)），=/（工）在給定區(qū)間。上的單調(diào)性

2.圖象法

一般通過已知條件作出函數(shù)的圖象（或者草圖），利用圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性.

3.性質(zhì)法

（1）函數(shù)在給定區(qū)間。上的單調(diào)性與y=-/（萬在給定區(qū)間。上的單調(diào)性相反;

（2）函數(shù)），=f（x）在給定區(qū)間。上的單調(diào)性與＞=/（幻+c的單調(diào)性相同：

（3）y=/（x）和y=g（x）的公共定義區(qū)間。，有如下結(jié)論；

y=fMy=g(x)y=f(x)+g(x)y=f(x)-g(x)

增/增/增/不確定

增/減、不確定增/

減、減、減、不確定

減、增/不確定減、

【即學(xué)即練】

X+}

1.（2025?湖北武漢高一上聯(lián)考）已知函數(shù)一，證明函數(shù)在（-2,+8）上單調(diào)遞增.

x+2

2.證明:函數(shù)f（x）=JT『在［-1,0］上遞增.

知識點03函數(shù)的最大（?。┲担ㄖ仉y）

1.最大值：對于函數(shù)丁=/（幻，其定義域為/,如果存在實數(shù)M滿足：

①yXG1、都有；

②二%e/,使得/&o）=M

那么稱M是函數(shù)y=fM的最大值：

2.最小值：對于函數(shù)》=/*）,其定義域為/,如果存在實數(shù)〃2滿足：

①VXE/,都有__________________

②肛）e/,使得/（%）=m

那么稱團(tuán)是函數(shù)y=/（x）的最小值；

【即學(xué)即練】

1.124-25高一上?山西忻州?開學(xué)考試）二次函數(shù)y=2/—3x+5在—24x42上的最大值為—，對應(yīng)的x的

值為一.

知識點（）4復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性（拓展）

一般地，對于復(fù)合函數(shù)）=/（8（用），單調(diào)性如下表示，簡記為“定義域優(yōu)先，同增異減”，即內(nèi)層函數(shù)

與外層函數(shù)單調(diào)性相同時，復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù)單調(diào)性不同時，復(fù)合函數(shù)為減函數(shù):

y=/(g(x))：令：，=g*)和y=/?)

，=g(x)y=/(/)y=f(sM)

增增—

增減—

減增—

減減

【即學(xué)即練】

Q\/Q82

1.（2025?全國?高三專題練習(xí)）當(dāng)xw（X-u-,+co時，則函數(shù)），=國的值域為（）

-°）I15，7

A.(一8,0)B.一,4-00

4

1

C.(8,0)74,18D.

題型01用定義法判斷或證明函數(shù)單調(diào)性

【典例】設(shè)函數(shù)/（X）=X+L4￡（1,+8）.判斷函數(shù)/（X）的宜?調(diào)性，并用定義證明;

方法技巧

用定義法證明或判斷單調(diào)性

I.函數(shù)單調(diào)性的證明目前只能用定義法，即利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行證明，其步驟是固定的，即：取值、

作差變形、定號、判斷.其關(guān)鍵是“作差變形”.

2.對于有些函數(shù)的單調(diào)性證明，也可利用作商比較的策略，其步驟為：取值、作商變形、定號、判斷，

其中定號是將商式與1比較.

3.對于含有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性問題，利用定義判斷時，若參數(shù)取任意值時，無法確定作差（商）變形

后的式子符號（或與1的關(guān)系），則說明函數(shù)的單調(diào)性與變量的取值有關(guān)，這時要注意對變量進(jìn)行分類討論.

【變式1-1］（2024秋.高一課時練習(xí)）求證：函數(shù)〃力=匚7在區(qū)間°七功上是增函數(shù).

【變式1-2］（2024.全國?高一專題練習(xí)）求證：函數(shù),f（x）=W（a>l）在區(qū)間（T+8）上是減函數(shù)?

題型02用性質(zhì)法判斷函數(shù)的單調(diào)性

［典例】（2024臺州市黃巖中學(xué)高一月考）函數(shù)小）=1——

x-1

A.在（-1,+8）上單調(diào)遞增

B.在（1,+8）上單調(diào)遞增

C.在（-1,+8）上單調(diào)遞減

D.在（1,+8）上單調(diào)遞減

方法技巧

性質(zhì)法判斷單調(diào)性

I借助圖表或者函數(shù)性質(zhì)可以直觀地顯現(xiàn)兩個變量的關(guān)系，便于我們分析和猜想，從而發(fā)現(xiàn)單調(diào)性.

!

【變式2-1]（2024?全國高一課時練習(xí)）下列函數(shù)中，在區(qū)間（1,+8）上單調(diào)遞增的是（）

2

A.y=-3x-\B.y=—

X

C.y=y-4x+5D.產(chǎn)|向11+2

【變式2-2]（2023?太原市?山西實驗中學(xué)高一月考）函數(shù)/（x）=k-2|x的單調(diào)減區(qū)間是（）

A.[U]B.C.[0,2]D.[2,-HX))

題型03求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間

【典例】（2024?海南海口統(tǒng)考模擬預(yù)測）函數(shù)/（4）---4|川+3的單調(diào)遞減區(qū)間是（）

B.(f,-2)和(0,2)

C.(-2,2)D.(一2,0)和(2,+CD)

方法技巧

復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法

!

:分解復(fù)合函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合或者討論得出單調(diào)性.

【變式3-1]（2023?全國,高三專題練習(xí)）函數(shù)/（工）=卜-小的單調(diào)遞減區(qū)間是（）

A.[1,21B.C.（0,21D.12,+oo）

題型04運用單調(diào)性求參數(shù)

【典例】（2025?江西宜春市高安中學(xué)高一期末（理））已知函數(shù)人力={2'，在（0,4-3）上單調(diào)遞

\x~—4/+3,x21

減，則實數(shù)〃的取值范圍是（）

A.[3,4]B.[3,5]C.（3,4]D.（3,5]

方法技巧

運用單調(diào)性求參數(shù)

已知函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍的一般方法：（1）將參數(shù)看成已知數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再

與已知的單調(diào)區(qū)間比較，求出參數(shù)的取值范圍；（2）運用函數(shù)單調(diào)性的定義建立關(guān)于參數(shù)的不等式（組），解不

等式（組）求出參數(shù)的取值范圍，即將函數(shù)值之間的不等關(guān)系與自變量之間的不等關(guān)系進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化.

【變式4-1］（2025?四川省遂寧市第二中學(xué)校高一月考（文））已知函數(shù)f（x）=J2—ar在［0,2］上單調(diào)遞減，

則a的取值范圍是（）

A.（0,1］B.（0,1）C.（0,2］D-

【變式4-2］（2025?云南大理白族自治州?賓川四中高一開學(xué)考試）若=奴x＞］是定義在

（3,”）上的減函數(shù)，則。的取值范圍是（）

【答案】A

【變式4-3］（2023?全國?高一專題練習(xí)）“。=3”是“函數(shù)〃"=-卜-4在區(qū)間［3,*o）上為減函數(shù)”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

題型05運用單調(diào)性解不等式

【典例。（2023?全國高一課時練習(xí)）已知產(chǎn)仆）是定義在區(qū)間（22）上單調(diào)遞減的函數(shù)，若小小1）次1-

2m）,則〃1的取值范圍是.

【典例2】（2024.全國高一課時練習(xí)）已知兒t）是定義在（-8,0］上的單調(diào)遞增函數(shù)，且/（-2）=3,則滿足

/（2x-3）v3的4的取值范圍是.

方法技巧

利用函數(shù)單調(diào)性解不等式

通過構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助該函數(shù)的單調(diào)性將方程或不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的自變量取值的大小問題.

［變式5-1］豆023?全國?高三專題練習(xí)）若函布三而在R王百麗藏―17（2〃=二/4陵雙機

的取值范圍是（）

A.（—00,—1）B.（—1,4-oo）C.（1,4-oo）D.（—8,1）

【變式5-2］（2023.山東棗莊.統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)＞=/（同是定義在［T4］上的減函數(shù)，且

/（a+l）＞/（2a）,則。的取值范圍是.

【變式5-3］（2024?云南保山高一統(tǒng)考期末）已知定義在（0,+8）上的函數(shù)/（",滿足嗚卜/（⑼-小）,且

當(dāng)%＞1時J（x）＞0.

⑴討論函數(shù)“X）的單調(diào)性,并說明理由；

⑵若"2）=1,解不等式〃x+3）—〃3x）＞3.

題型06運用單調(diào)性求最值或值域

【典例1】（2024?廣東汕頭市高一期末）設(shè)函數(shù)/*）="a2一加一］,若對于/（x）＞一加恒成

立，則實數(shù)〃2的取值范圍是（）

A.卜8,；B.（1,-KO）C.（-00,1）D.（；，+8

【典例2】（2023?廣東廣州市高一期末）已知函數(shù)/（工）=2/+?一1（4￡&），若Dx?l,2）,

/（x）＜0,則。的取值范圍是.

方法技巧

I運用單調(diào)性求求最值或值域

i根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合單調(diào)性，運用數(shù)形結(jié)合或者分類討論.得出最值或值域。

I*

一【變式6-1］（多選）（2025秋?云南怒江?高一校考期末）已知函數(shù)y=/（x）的定義域為［T5］,其圖象如圖

所示，則下列說法中正確的是（)

A.”力的單調(diào)遞減區(qū)間為（0,2）

B./（x）的最大值為3

C./（x）的最小值為-1

D.〃力的單調(diào)遞增區(qū)間為（T0）U（Z5）

【變式6-2］（2025秋.高一單元測試）已知函數(shù)是R上的偶函數(shù)

\+x~

（1）求實數(shù)m的值，判斷函數(shù)/（上）在［0,+8）上的單調(diào)性;

（2）求函數(shù)/*）在【-3,2］上的最大值和最小值.

題型07含參數(shù)的二次函數(shù)最值問題

【典例1】（2024.陜西西安高一?？茧A段練習(xí)）己知函數(shù)/。）=/+以+3,求函數(shù)在區(qū)間［-11］上的最小

值g（g

【典例2】(2024?全國高三專題練習(xí))已知二次函數(shù))，=/("滿足/(O)=3,K/(X4-1)-/(A)=2X-1.

⑴求/("的解析式；

⑵求函數(shù)在區(qū)間[-2刁，，>一2上的最大值g(/).

方法技巧

含參數(shù)的二次函數(shù)最值問題

[根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論.結(jié)合圖形，得出最值或值域。

I______________________________________________________________________________________________________________

【變式7-1](2024秋?寧夏銀川?高一?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)/*)=/+2心+3(?>0)的最小值為-

1.

(1)求實數(shù)。的值；

(2)當(dāng)xe[FJ+l],fwR時,求函數(shù)/*)的最小值.

【變式7-2](2022秋?廣東深圳.高一深圳市高級中學(xué)校考期中)已知函數(shù)/(x)=/+ai+b.

(1)若函數(shù)在(1,內(nèi))上是增函數(shù)，求實數(shù)。的取值范圍；

(2)若b=l,求XG[0,3]時/(X)的最小值g(a).

題型08利用單調(diào)性解決不等式恒成立問題

【典例】(2024?高一課時練習(xí))已知函數(shù)y=f-(a+2)x+4(aeR).

⑴若對任意的ISXS4,y+a+120怛成立，求實數(shù)。的取值范圍；

⑵若對任意的一y>(2-2a)x+2a恒成立，求x的取值范圍.

方法技巧

利用單調(diào)性解決不等式恒成立問題

I分析函數(shù)的特點，根據(jù)不等式的性質(zhì)，分離參數(shù)或者分離函數(shù)或者結(jié)合圖形，可解決參數(shù)問題。

!

【變式8-1](2024?廣東肇慶?高一廣東肇慶中學(xué)校考期中)已知=a,aeR.

⑴若不等式—3x+I-2〃對一切實數(shù)X恒成立，求實數(shù)。的取值范圍；

(2)若〃<0,解不等式

4

【變式8-2](2024.江蘇高一專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=x+—,

X

⑴判斷函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,+8)上的單調(diào)性，并利用定義證明；

⑵若對任意的孫g，4時，|〃％)-/(8)歸〃?+；恒成立，求實數(shù)〃?的取值范圍.

題型9分類討論法與函數(shù)的單調(diào)性

【典例】（2024.全國.高三對口高考）設(shè)/（x）=/-4x-4的定義域為1-2J-1],對于任意實數(shù)則

/（%）的最小值.

方法技巧

分類討論法與函數(shù)的單調(diào)性

J

!分析函數(shù)的特點，分成多段，分析每段特點，結(jié)合圖形及函數(shù)的單調(diào)性，討論出結(jié)果。

【變式9-1]（2025?高一課時練習(xí)）定義一種運算min{a,b}=??=min(4+2x-x2,|x-/1}

。為常數(shù)），且xe[-3,3],則使函數(shù)八x）最大值為4的，值是

題型10數(shù)形結(jié)合法與函數(shù)的單調(diào)性

，2彳

【典例】（2024.全國高三對口高考）已知函數(shù)/"）=「"："'『，若存在知"，使得

/（%）=/（期）成立，則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.a<—2或〃>2B.a>2C.-2<a<2D.a<2

方法技巧

數(shù)形結(jié)合法與函數(shù)的單調(diào)性

畫出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象研究函數(shù)的單調(diào)性，從而得出結(jié)果。

【變式10-1】（2023.全國?高一專題練習(xí)）已知函數(shù)?。?[（:]”+了?在R上單調(diào)遞增，則實數(shù)〃的

x--2x+4,x>l

取值范圍是（）

A.（-1,1]B.（-1,2）C.[L2）D.（I,”）

強化訓(xùn)練

練基礎(chǔ)

1.函數(shù))，=/(對的圖象如圖所示，其單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.H，4]

B.[-4,-3]U[l,4]

C.[-3,1]

D.[-3,4]

2.(2025?廣東廣州高一上聯(lián)考)函數(shù))，二/-61+1。在區(qū)間(2,4)上()

A.單調(diào)遞增B.單調(diào)遞減

C.先減后增D.先增后減

3.(2024高二上.江蘇?學(xué)業(yè)考試)函數(shù)/(力=(工+1)2-1/71,3]的值域為()

A.RB.[3,y)C.[3,15]D.[-1,15]

4.設(shè)函數(shù)f(x)在(-oc,+8)上是減函數(shù),a,b€R,且a+bg),則下列選項正確的是()

A.f(a)+f(b)<f(a)+f(b)B.f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b)

C.f(a)+f(b)>f(a)+f(b)D.f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b)

5.(2024?深圳市高級中學(xué))已知函數(shù)/(X)是定義在[2,y)的單調(diào)遞增函數(shù)，若

/(2/-5。+4)</(/+々+4),則實數(shù)。的取值范圍是().

A.[8,：]U(2,+8)B.[2,6)

C.((),；u[2,6)D.(0,6)

6.(24-25高一下?廣西貴港?期中)已知函數(shù)八r)=3f-h+2在上具有單調(diào)性，則上的取值范圍為

)

A.(-00,-12]Ul6,y)B.S-6]UU2,+oo)

C.-]36,+oo)D.(-OO,-6]U[3,-KC)

7.（2024.浙江省淳安縣汾口中學(xué)高一開學(xué)考試）函數(shù)/*）=aF+4（〃+3滿足條件：對任意的

都有”〉（）,則實數(shù)。的取值范圍是（）

XPX2G［2,+QO）,J1

辦一工2

A.?>0B.4>0

C.。2-,且。。0

D.a>

22

8.（多選）已知函數(shù)/（"=［］j；1：：：：。，則（

)

—A+ZA+kXNU

A./(-I)=3B.若〃。)=-2,則〃=3

C.函數(shù)/（x）在（0」）上單調(diào)遞減D.函數(shù)/（%）在［-1,2］的值域為［1,3］

9.（多選）（24-25高一下?山西大同,期末）已知函數(shù)?。?工-三（"（）），下列說法正確的是（）

A.當(dāng)a=-4時，函數(shù)/'（X）的值域為（f-4］34.X°）

B.當(dāng)a=4時，函數(shù)/（“有最小值沒有最大值

C.當(dāng)avO時，函數(shù)在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞增

D.當(dāng)時，出數(shù)“X）的值域為R

10.（2025高三,全國?專題練習(xí)）若函數(shù)=V一3+4在［o.y）上不單調(diào)，則實數(shù)〃的取值范圍

為.

II.（2024?灤南縣校級月考）函數(shù)y=1的單調(diào)遞增區(qū)間是—.

JX2+4X-5

-（ii\2Ax2—<0

12.（2025高一上?河北保定?專題練習(xí)）當(dāng)Y（用時，不等式8恒成立，則上的取值范圍

是.

13.（2025?江蘇南通高一上期末）已知函數(shù)/'（%）=%+=，

（1）證明/（X）在［1，+8）上是增函數(shù)：

（2）求/（x）在［1,4］上的最大值及最小值.

14.已知函數(shù)/（力=、-4國.

>

x

-5

（1）將/（X）寫成分段函數(shù)的形式，并作出函數(shù)的圖象;

（2）寫出其單調(diào)區(qū)間（不用證明）.

練提升

（2。25?河南南陽?模擬預(yù)測）已知?。?I是增函數(shù),則實數(shù),〃的取值范圍是<

A.[1,2]B.[2,5]C.[2*)D.[5,+oc)

16.（2025?安徽?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（"=,的值域為R,則實數(shù)。的取值范圍是

17.（233高一上?北京?期末）已知函數(shù)〃上舊屈幻="叱。），若“畤2],切畤2],使

得f（再）=g（占），則實數(shù)。的取值范圍為（）

A.(0,4]C.[2,6]D.[4,-KO)

18.（多選）（24-25高一下?湖南長沙?階段練習(xí)）已知函數(shù)），=/（x）滿足VkpwR,都有

/（x+/G'））"（"x））+