河南省部分學(xué)校2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)摸底考數(shù)學(xué)試

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.設(shè)全集為R,集合A=3UI<1｝,8=則（）.

x-2

A.AcBB.8uAC.D.

2.復(fù)數(shù)z=4-的共挽復(fù)數(shù)為（

A.1+iB.1-i

3.已知向量;，］滿足寺=|〉2小，其中了是單位向量，則:在］方向上的投影是（）

4.已知函數(shù)f（x）=a-+l（〃〉0,且〃工1）的圖象恒過定點（〃?,〃），則（）

WU

A.logOTn>log,,mB.2<3

C.21og2m<31og3n

5.在V48C中，角八，B,。的對邊分別為〃，b,",bcosC+csin8=a,b=A,貝ijVAbC

的外接圓的半徑為（）

A.4>/2B.272C.4D.2

6.某次大學(xué)生知識大賽，某校代表隊3人參賽，答4道題，每人至少答1道題，每題僅1

人作答，則不同的題目分犯方案種數(shù)為（）

A.24B.30C.36D.42

7.設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S”，若4+q=%+%,則品=（）

A.28B.34C.40D.44

角為120。的直線與雙曲線C在第一象限交于點P,若，尸。尸為正三角形，則雙曲線。的離

心率為（）

5_

A.逐+1B.gC.V3+1D.

4

二、多選題

9.已知曲線G：)，=sinx,G：〉=sin卜x+：萬，為了得到曲線G，可以將曲線CI()

A.向左平移g個單位，再把得到的曲線各點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變

B.向左平移半個單位，再把得到的曲線各點的橫坐標(biāo)縮短為原來的千倍，縱坐標(biāo)不變

C.各點的橫坐標(biāo)縮短為原來的方倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移,個單位

D.各點的橫坐標(biāo)縮短為原來的g倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移?個單位

10.設(shè)等差數(shù)列｛qj的前〃項和為公差為d,己知出=12,512>0,4<0,則下列結(jié)

論止確的有()

A.<0B.%<0

C.d可以取負(fù)整數(shù)D.對任意有S“KS6

11.下列結(jié)論正確的是()

A.若隨機變量x服從兩點分布，P(X=1)=|,則磯X)=g

B.若隨機變量丫的方差。")=3,則力(2丫+1)=6

C.若隨機變量：服從二項分布則pg=3)=含

D.若隨機變量〃服從正態(tài)分布N(l,4)，P(/Z<2)=0.82,則0(0<〃<2)=0.64

三、填空題

12.已知y=/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，7(-2)=0,且當(dāng)x>0時/⑺一小‘(")<(),則

x

不等式(1-1)2〃彳-1)>0的解集是.

14

3已知正數(shù)”，〃滿足〃+"丁廠m則?的最大值是

試卷第2頁，共6頁

Ilnj|,x>0

14.已知函數(shù)/(x)=42A々I，若函數(shù)g(x)=ar(aeR)使得方程/(x)=g(x)恰有

A+4X+J],XSU

3個不同根，則實數(shù)。的取值范圍為.

四、解答題

15.已知數(shù)列｛〃“｝的前n項和S“，滿足3S”=l+2q,

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)求數(shù)列｛(2〃-1)4｝的前〃項和S“

16.如圖1,平面五邊形ABCDE中，AB//CD,/加力=90。，4?=2,CD=\,AAZ定是

邊長為2的正三角形.現(xiàn)將AAQE沿A。折起，得到四棱錐E-A3CQ(如圖2),且/無：_2相.

(1)求證：平面ADE_L平面ABC。；

(2)在棱4E上是否存在點尸，使得。尸〃平面BC￡?若存在，求名的值；若不存在，請

說明理由.

17.某網(wǎng)站的調(diào)查顯示，健身操類、跑步類、拉伸運動類等健身項目在大眾健康項目中是比較

火熱的，但是大多數(shù)人的健身科學(xué)類知識相對缺于,尤其是在健身指導(dǎo)方面.從某健身房隨

機抽取20（）名會員，對其平均每天健身時間進(jìn)行調(diào)查，如下表，健身之前他們的體重情況如

柱狀圖（1）所示，該健身房的教練為他們制訂了健身計劃，四個月后他們的體重情況如柱

狀圖（2）所示.

平均每天健身時間（分鐘）[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)

人數(shù)203644504010

（1）若這200名會員的平均體重減少不低于5kg,就認(rèn)為該計劃有效，根據(jù)上述柱狀圖，

試問：該計劃是否有效？i每組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）

（2）請根據(jù)圖中數(shù)據(jù)填寫下面的2x2列聯(lián)表，試問：是否有99%的把握認(rèn)為平均每天健身

時間與會員健身前的體重有關(guān)？

試卷第4頁，共6頁

平均每天健身時間低于60平均每天健身時間不低于60合

分鐘分鐘計

健身前體重低于

100kg

健身前體重不低于

80

100kg

合計200

（3）以這2（X）名會員平均每天健身時間的頻率，代替該健身房1名會員平均每天健身時間

發(fā)生的概率，若在該健身房隨機調(diào)查12名會員，則其中平均每天的健身時間不低于70分鐘

的人數(shù)最有可能（即概率最大）是多少？

n(ad-bc)2

參考公式：K?=其中〃=a+/?+c+d.

(a+〃)(c+d)(a+c)(A+d)'

參考數(shù)據(jù):

P(K2次）0.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.7063.8415.0246.6357.87910.828

18.已知拋物線K的頂點在原點，焦點〃在x軸上，點加（〃?,2）在拋物線二上，HIMF|=2.

(I)求拋物線E的方程；

(2)已知圓。:/+)，2=，交拋物線后與A,8兩點，過劣弧A8上一點力作圓0的切線/交

拋物線E與P,T兩點、,求IP用+17用的取值范圍.

19.已知二次函數(shù)/(X)=X2+?+〃7+1,關(guān)于X的不等式/(x)v(2〃I)x+l-〃/的解集為

(〃S+1),其中，〃為非零常數(shù)，設(shè)g(x)=母.

X—1

⑴求。的值；

(2)A,/n(AeRmxO)如何取值時,函數(shù)*(x)=g(x)-&In(x-l)存在極值點，升求出極值點.

(3)若〃?=1,且x>0,求證：[g(x+l)]"-g(x"+1)22"-2(〃€N*).

試卷第6頁，共6頁

《河南省部分學(xué)校2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)摸底考數(shù)學(xué)試卷》參考答案

題號12345678910

答案DBCBBCDCBDBD

題號11

答案AD

1.D

【解析】先求出集合區(qū)4.然后由第合的運算對選項進(jìn)行逐一判斷.

【詳解】集合A={#x[<l}=(T,l),B=h-^->oU(2,+oo)

IX-1

所以A1不正確，即選項4,8不正確.

Q八=（一8,-1]7[1,皿），則8q4A,所以選項C不正確.

44=（—,2],則所以選項。正確.

故選：D

2.B

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運算法則化簡復(fù)數(shù)，然后根據(jù)共趣復(fù)數(shù)概念寫出共扼復(fù)數(shù).

■【詳*A解zi】.2=干]—i=t]—i=—11-i)i=?.,

故N=l-i

故選：B

3.C

【分析】由條件|；+萬=。_2萬平方求出:力，利用向量在向量上的投影公式計算即可.

【詳解】Q|W+，|=|，2/；|，

，（河4

:.a~+2ab+bz=az-4ab+4b2，

Q]是單位向量,

2

->T

.w在辦方向上的投影為絲=!

|。|2

故選：C

答案第1頁，共14頁

【點睛】本題主要考查門句量數(shù)量積的運算性質(zhì)，向量在向量上的投影公式，屬于中檔題.

4.B

【解析】根據(jù)指數(shù)型函數(shù)恒過定點的性質(zhì)判斷〃，，〃的值，進(jìn)而確定各選項對錯.

【詳解】因為a°=l,所以>3+1=2,即帆=3,〃=2,

則Iog32<log23,A錯誤；

23<32,B正確；

210g23=log29>log38=310g32,C錯誤；

32>22,D錯誤.

故選：B.

【點睛】對于指數(shù)事的大小的比較，我們通常都是運用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，但很多時候，因

幕的底數(shù)或指數(shù)不相同，不能直接利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較.這就必須掌握一些特殊方

法.在進(jìn)行指數(shù)幕的大小比較時，若底數(shù)不同，則首先考慮將其轉(zhuǎn)化成同底數(shù)，然后再根據(jù)

指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判析.對于不同底而同指數(shù)的指數(shù)塞的大小的比較，利用圖象法求解,

既快捷，又準(zhǔn)確.

當(dāng)?shù)讛?shù)與指數(shù)都不相同時，選取適當(dāng)?shù)摹懊浇椤睌?shù)(通常以“0”或力”為媒介)，分別與要比較

的數(shù)比較，從而可間接地比較出要比較的數(shù)的大小.

當(dāng)?shù)讛?shù)與指數(shù)都不同，中間量又不好找時，可采用作商比較法，即對兩值作商，根據(jù)其值與

1的大小關(guān)系，從而確定所比值的大小.當(dāng)然一般情況下，這兩個值最好都是正數(shù).作差比

較法是比較兩個數(shù)值大小的最常用的方法，即對兩值作差，看其值是正還是負(fù)，從而確定

所比值的大小.分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)方法，運用分類討論法時，首先要確定分類的標(biāo)

準(zhǔn)，涉及到指數(shù)函數(shù)問題時，通常將底數(shù)與1的大小關(guān)系作為分類標(biāo)準(zhǔn).

5.B

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系式、兩角和的正弦公式、正弦定

理進(jìn)行求解即可.

(詳解】sinJBcosC+sinCsinB=sinA,可得sin8cosC+sinCsinB=sin(;r-B-C),

sin^cosC+sinCsinB=sin(^+C)=>sin^cosC+sinCsin^=sinAcosC+cosAsinC

/.sinCsinB=cos4sinC

.sinCwO

答案第2頁，共14頁

/.sinB=cosB

tan8=1

8為V4BC內(nèi)角

,BJ

4

?:2R=-^—=4=4、%

sinBsin45°

/.R=2y/2

故選：B

6.C

【分析】選取2道題捆綁作為一道題，變成3題后進(jìn)行全排列分配給3人即可得.

【詳解】由題意分配方案種數(shù)為C：&=36.

故詵：C.

【點睛】方法點睛：本題主要考查排列組合的應(yīng)用，屬于中檔題.常見排列數(shù)的求法為：

（1）相鄰問題采取“捆綁法”;

（2）不相鄰問題采取“插空法”;

（3）有限制元素采取“優(yōu)先法''；

（4）特殊元素順序確定問題，先讓所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列數(shù).

7.D

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)/+《=/+%并結(jié)合已知可求出。6,再利用等差數(shù)列性質(zhì)可

得S“=3產(chǎn)2=1山6,即可求出結(jié)果.

【詳解】因為4+4=%+%，

所以由4+4=4+%，可得

所以4=4,

所以S“=11(4；4J=114=44,

故選：D

8.C

【分析】由題目條件，結(jié)合等邊三角形的特點，可確定出點?的坐標(biāo)為2易證尸尸尸

答案第3頁，共14頁

為直角三角形，可得|P用=岳，利用雙曲線的定義求出2”，然后求解離心率即可.

【詳解】如圖所示，設(shè)雙曲線的左焦點為匕，若；POF為正三角形,且尸(c,0),

則易得「仁坐).又|PO=；忻川，則出口八所以仍用=瓜,

根據(jù)雙曲線的定義可知:2"閥|-附=(g)c,

【點睛】本題考查雙曲線的離心率求解，難度一般.解答時，注意數(shù)形結(jié)合，注意圖形中幾

何條件的運用，列出關(guān)于的關(guān)系式，然后求解.

9.BD

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換的規(guī)則，逐項判定，即可求解.

【詳解】對于A中，將函數(shù)y=sinx的圖象向左平移9個單位，可得)，=sin(x+9)，再把得

JJ

到的曲線各點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，可得)，=sin(gx+/,所以A不正確；

對于B中，將函數(shù)y=sinx的圖象向左平移2：個單位，可得),=力]('+券)，再把得到的

曲線各點的橫坐標(biāo)縮短為原來的g倍，縱坐標(biāo)不變y=sin(2x+與)，所以B正確；

對于C中，將函數(shù)y=sinx的圖象上各點橫坐標(biāo)縮短為原來的3倍，可得y=sin2x,再把

得到的曲線向左平移算人單位，可得,，=sin[2(x+?)]=sin(2x+?),所以C不正確；

對于D中，將函數(shù)y=sinx的圖象上各點橫坐標(biāo)縮短為原來的g倍，可得)，=sin2x,再把

答案第4頁，共14頁

得到的曲線向左平移g個單位，可得)，=sin[2(x+g)]=sin(2.t+4),所以D正確：

故選：BD.

10.BD

【解析】利用等差數(shù)列的通項公式求和公式及其性質(zhì)即可判斷出結(jié)論.

【詳解】因為、2=1%1+等Ld>0,53=134+身//<()

所以2q+1Id>0,4+6d<0,

即％+a7>0嗎<0，

所以%>0,

由%=12得%=12-2",

24

聯(lián)立2'+1Id>0嗎+6”<0可解得-y<J<-3,

故等差數(shù)列｛q｝是單調(diào)遞戒的，且4>0，生<()，

所以對任意〃eN*,有S.KS]

綜上可知BD正確，

故選：BD

【點睛】關(guān)鍵點點睛：山52>。，&3<0解得心>0,e<。是求解小題的關(guān)鍵所在，由此

結(jié)合條件求出4的范圍，判斷數(shù)列的單調(diào)性，求出S.KSs，屬于中檔題.

11.AD

【分析】根據(jù)兩點分布的期望公式，方差公式，二項分布概率公式，正態(tài)分布的對稱性，判

斷選項.

【詳解】由條件可知,P(X=O)=I-P(X=1)=1.E(X)=Oxi+lxl=i,故A正的：

D(2y+l)=4D(y)=12,故B錯誤;

若隨機變量7服從二項分布《4,)則尸("3)=C：x占=3故C錯誤；

)\3y381

根據(jù)對稱性可知，正態(tài)分布曲線關(guān)于對稱，所以。(0<"2)=1-2(1-P(〃<2))=0.64,

故D正確.

答案第5頁，共14頁

故選：AD

12.(-U)U(3,-KX>)

【解析】設(shè)g(x)=AU，則g(x)為偶函數(shù)，由則g(x)在(o，+功是

-VX

上單調(diào)遞增,g(x)在(v，0)是上單調(diào)遞減,設(shè)x-l=f,即求解〃。>0,分f>0和f<0兩

種情況解不等式屋/)>0和g(/)<0.

【詳解】設(shè)g(x)=犯，由戶(力=礦(力；/(力

XX

當(dāng)x>()時)⑺一門“<0,即短(力>0,所以g(x)在(0，+8)是上單調(diào)遞增.

x~

y=/(x)為奇函數(shù)，則g(x)=△。為偶函數(shù)，g(x)在(-8。)是上單調(diào)遞減

X

(X-I)2/(X-I)>O.BP/(J-I)>Om

設(shè)=當(dāng)/〉()時，/(r)>0,即8(/)=平>0

由〃-2)=0,y=/(x)為奇函數(shù)，則/⑵=0,所以gQ)=0

由g(x)在(0，E>)是上單調(diào)遞增，)?(/)>0,所以/>2,即x-l>2,所以x>3

當(dāng)f<0時，/(r)>0,即乂/)=?<。

由/(-2)=0,則g(-2)=0,根據(jù)g(x)在(YO,0)是上單調(diào)遞減

所以當(dāng)g(f)〈0時,則一2</<0,即—2vx—1<0,所以Tvxvl

綜上所述：不等式(1-1)2/(X-1)>0的解集是：(-U)(3,”)

故答案為：(T1)11(3,內(nèi))

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查構(gòu)造函數(shù)討論單調(diào)性解不等式，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)

g(x)=21D,由g，a)=4"(x)["x)結(jié)合條件和奇偶性得出其單調(diào)性,屬于中檔題.

XX

13.9

14

【分析】設(shè)a+〃=x,則—+工=10-工，同時根據(jù)。泊均為正數(shù)確定x的取值范圍，利用基

ab

本不等式可求得x(l0-x)29,解不等式可求得結(jié)果.

14

【詳解】設(shè)a+0=x，則一+:=10-工，

答案第6頁，共14頁

?5均為正數(shù)，解得：0<x<10;

則4(10-“=(。+6)[5+3)=5+3+m25+2^|^=9(當(dāng)且僅當(dāng)'=?,即b=2a時取

等號)，

又a+b+_L+?=10,，當(dāng)a=3,6=6時，*(10-力取得最小值9；

ab

/.x(10-x)>9,即丁-10工+940，解得：14x49,滿足OvxvlO,

.?.4+/?的最大值為9.

故答案為：9

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查基本不等式的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是能夠利用換元法配湊出符合

基本不等式的形式，從而構(gòu)造出關(guān)于〃十〃的不等式.

14.{。|0工。<1或a=243-4}

【分析】把方程有三個根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象有三個交點問題，運用數(shù)形結(jié)合思想、分類

討論思想進(jìn)行求解即可.

【詳解】由已知得/(x)的圖象如圖(1).

(1)當(dāng)a>0時，要使得方程f("=g(力恰有3個不同根,

InX

則需存在1,使得lnx>ar,即。<-

x

又T?等,當(dāng)…時,一。，此時函數(shù)單調(diào)遞增,

Inv

當(dāng)x>e時，)；>(),此時函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)x>l時，y=—>0

x

)，=處的圖象如圖(2),

故0<〃<L

答案第7頁，共14頁

(2)當(dāng)。＜0時，由圖⑴知產(chǎn)"需與函數(shù)/(%)=—+4X+3|=T2_4X-3相切.

設(shè)切點為(工,%),則y-f(%)=/'5)(*-為),

即丁一(一片一4Xo-3)=(―2＜o(jì)—4)(x—/)過點(。,。),

故x：+4%+3=2x：+4Xo，解得x：=3.

因為毛＜。，故事=-6.所以〃=/'(X。)=26-4.

(3)當(dāng)。=0時，顯然符合題意.

綜上，實數(shù)。的取值范圍為或。=2后-4｝.

故答案為：｛〃|0工"，或〃=26-4｝

【點睛】方法點睛：關(guān)于方程根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點問題，利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求

解.

15.(1)4=(-2尸；(2)5?=-1-^x(-2)n.

【分析】(1)由〃=1可求得4,利用a”=S「S"〃之2)求得｛4｝的遞推關(guān)系，得數(shù)列為等

比數(shù)列，從而易得通項公式；

(2)用錯位相減法求和.

【詳解】(1)當(dāng)〃=1時，q=L當(dāng)〃?N2時，3s〃=1十2%3S“_]=1+2?！癬12

⑴-⑵得，4=-2%，.?.{〃”}是以1為首項-2為公比的等比數(shù)列，q=(-2尸.

(2)=1x1+3x(-2)+...+(2n-1)x(-2)/,_,

-2Sn=lx(-2)+3x(-2尸+(2〃-1)x(-2)”

兩式相減得：

3s“=1+2X[(-2)+(-2打+.,+(—2尸]一(2〃-1)x(-2)〃

(-2)「1-(-2)"?[16/1—1.n

=l+2x----------------------(2/2-I)x(-2)d=---------------x(-2),

1-(-2)33

I6/2-1

S”=--------------x(-2)\

99

16.(1)證明見解析；2)存在點/，冬=(.

EA2

答案第8頁，共14頁

【分析】（I）推出4?_L4），ABA.DE，而得出人43_平面/1?！?再由面面垂直的判定定理

即可證明.

（2）假設(shè)存在點尸為4E的中點，設(shè)BE的中點為G,連接CG,FG，可推出四邊形CDR7

是平行四邊形，從而得出Df7/CG,即可求得O&/平面8CE.由此能求出在棱4E上存在點

EFI

F,使得。尸〃平面BCE,止匕時豆=5

【詳解】（1）證明：由己如得A8_L/W?,ABJ.DE,因為AZ）CDE=Z）,

所以A3_L平面AO￡.

又ABu平面A4c。，所以平面AOK_L平面A4CO.

FF1

（2）在棱4石上存在點尸，使得。尸〃平面BCE,此時不^■二不

理由如下：

假設(shè)存在點尸為AE的中點，

設(shè)的的中點為G,連接CG,FG,

則FG//A8,FG=-AB.

2

因為A8//CO,且CD」A3,

2

所以產(chǎn)G//8,且FG=CD,

所以四邊形CDFG是平行四邊形，

所以。尸〃CG.

因為CGu平面8CE,且。/2平面3CE,

所以。F〃平面8C￡.

【點睛】本題主要考查面面垂直的判定定理和線面平行。勺判定定理.

17.（1）該計劃有效；（2）列聯(lián)表答案見解析，有99%的把握認(rèn)為平均每天健身時間與會

員健身前的體重有關(guān)；（3）人數(shù)最有可能是3人.

【分析】（1）根據(jù)柱狀圖，采用中間值x對應(yīng)頻率求和的方法計算平均體重，然后作差比較

答案第9頁，共14頁

判斷是否有效；（2）由題意填表，代入公式計算即可；（3）從柱狀圖中計算會員平均每天的

健身時間不低于70分鐘的概率為:，設(shè)抽取的12人中平均每天的健身時間不低于70分鐘

的人數(shù)為X,則X802,：｝表示當(dāng)X二兒時概率的值，利用概率最大計算出攵的值即為

最有可能的人數(shù).

【詳解】（1）柱狀圖＜1）中的體重平均值為95x0.3+105x0.5+115x0.2=104（kg）.

柱狀圖(2)中的體重平均值為85x0.1+95x0.4+105x0.5=99(kg).

因為104-99=5,所以該計劃有效.

（2）2x2列聯(lián)表如下:

平均每天健身時間低平均每天健身時間不

合計

于60分鐘低于60分鐘

健身前體重低于100kg402060

健身前體重不低于100kg6080140

合計100100200

K2的觀測值為攵=200(40x80-20x60)-

*9.524>6.635.

100x100x60x140

所以有99%的把握認(rèn)為平均每天健身時間與會員健身前的體重有關(guān).

（3）由題意可知，該健身房每名會員平均每天的健身時間不低于TO分鐘的概率為爵

設(shè)抽取的12人中平均每天的健身時間不低于70分鐘的人數(shù)為X,則X

p(X=k)=k=0,1,2,...?12.

,J>(X=A)NP(X=%+1),

[P(X=A:)>P(X=^-1),

答案第10頁，共14頁

913

化簡得：4女43，又ZwN,所以左=3,

即12名會員中平均每天的健身時間不低于70分鐘的人數(shù)最有可能是3人.

【點睛】方法點睛：(1)柱狀圖中均值的計算：每組組距中間值x對應(yīng)頻率，然后求和；

(2)概率最大的求法：設(shè)乂=攵時，概率取得最大值，則jp；x=?>p；x=Z_lj,代入概

率公式可計算出概率最大時女的值.

18.(1)r=4x；(2)2+2石釧尸目+|T丹28.

【分析】(1)根據(jù)拋物線上點的點的坐標(biāo)建立方程組求解即可；

(2)當(dāng)直線/斜率不存在時直接計算|P「|+|"1,當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線/的方程為

)，=米+/〃，由直線與圓相切可得及,〃?關(guān)系，聯(lián)立直線與拋物線方程，根據(jù)韋達(dá)定理及拋物線

定義可得仍刊“"1,換元后求范圍即可.

【詳解】(1)設(shè)拋物線E的方程為V=2px,將M(〃12)坐標(biāo)代入方程得4=2p/〃，①

X|MF|=/n+-^=2,②

由①，②解得〃=2,所以拋物線￡的方程為丁=4幾

(2)由題意可得A、5兩點坐標(biāo)分別為(L2),(1,-)2

當(dāng)直線/斜率不存在時，歸目+|"1=26+2,

當(dāng)直線/斜率存在時，設(shè)直線/的方程為>="+，〃，PChX),T(x2ty2)t

由直線與圓。相切，得”二即nr=5(1+2'),且〃？<0,

所以加=一次1+&2),

￡>在劣弧A8上，所以岡..《，由圖象的對稱性不妨研究女…；，

聯(lián)立?'=4X，化簡得公V+(2k〃_4口+加2=0,

y=kx+m

有韋達(dá)定理得4—2竺km，

<?

由拋物線的定義可得|PP|+\TF\=xi+x2+p=七學(xué)+2=4+2fVlTF+2

kk

答案第11頁，共14頁

W+呼?！扁?2,

設(shè)r=3,1<t,,小,2-1,

\PF\+\TF\=4r+2>/5t-2,

對稱軸為"-無，)，=4/2+26-2在1</,,右上單調(diào)遞增，

4

所以2+26<0日+|77%28,

綜上，2+2網(wǎng)PF|+|7F|28.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用拋物線定義及韋達(dá)定理得到

|尸石+|"上玉+/+〃=土孕+2=土^@3運+2,對該式合理變形，利用換元法，

kk

結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出值域，是解決本題的關(guān)鍵，也是難點，屬于難題.

19.(1)。=-2

(2)答案見解析

(3)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)不等式的解集可知”與根+1是方程V+S+l-2Mx+>+6=。的兩根,

利用韋達(dá)定理可構(gòu)造方程求得〃的值；

(2)對°(x)求導(dǎo)后，將問題轉(zhuǎn)化為研究爐-化+2戶+左-6+1=0的根的分布;分別在〃?>0

和m<0的情況下，得至UA>(),求得方程的根之后，根據(jù)根所處的范圍可得到。(x)單調(diào)性，

由此可得極值點，并得到滿足題意的左，機的范圍；

(3)利用二項式定理展開所證不等式左側(cè)，整理得到r=c5"-2+c%i+...+c：Tx2-“，采

用倒序相加法，結(jié)合基本不等式可求得2T22”口-4，由此可整理得到結(jié)論.

【詳解】(1)由/(x)〈⑵”-l)x+l-加得：x2+ax+m+\<(2m-\)x+\-nr,

即x2+(a+1—2ni)x+nr+in<0,

f(x)<(2m-\)x+\-nr的解集為(m,rn+1),

???/〃與"7+1是方程x2+(a+l-2〃?)x+〃f+/"=0的兩根，'2，解得：

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(2)由(1)得：g()卜廠—2x+〃?+l=(i)+

x—1

m

二.9(X)=X-1+-A：111(A-1),

/'kx2-(A:+2)x+^-/n+l

則0(x)定義域為(1，內(nèi))，。W=1-；-7T——7=---------7―吊--------

(1)(I)

方程V-(A+2)x+Z-，〃+l=0的判別式A=(%+2『-4,一〃?+1)二r+4〃？：