9-6事件的相互獨(dú)立性與條件概率1.了解兩個(gè)事件相互獨(dú)立的含義.2.理解隨機(jī)事件的獨(dú)立性和條件概率的關(guān)系，會(huì)利用全概率公式計(jì)算概率．TOC\o"1-4"\h\u9-6事件的相互獨(dú)立性與條件概率 1一、主干知識 1考點(diǎn)1：相互獨(dú)立事件 12．條件概率 23．全概率公式 2【常用結(jié)論總結(jié)】 3二、分類題型 3題型一條件概率 3題型二相互獨(dú)立事件的概率 4題型三全概率公式的應(yīng)用 5三、分層訓(xùn)練：課堂知識鞏固 6一、主干知識考點(diǎn)1：相互獨(dú)立事件概念：對任意兩個(gè)事件A與B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立，簡稱為獨(dú)立．性質(zhì)：如果事件，互相獨(dú)立，那么與，與，與也都相互獨(dú)立．兩個(gè)事件的相互獨(dú)立性的推廣：兩個(gè)事件的相互獨(dú)立性可以推廣到個(gè)事件的相互獨(dú)立性，即若事件，，…，相互獨(dú)立，則這個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率．2．條件概率(1)概念：一般地，設(shè)A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，且P(A)>0，我們稱P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率，簡稱條件概率．(2)兩個(gè)公式①利用古典概型：P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)；②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A)．3．全概率公式一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，則對任意的事件B?Ω，有．（1）；（2）定理：若樣本空間中的事件，，…，滿足：①任意兩個(gè)事件均互斥，即，，；②；③，．則對中的任意事件，都有，且．貝葉斯公式（1）一般地，當(dāng)且時(shí)，有（2）定理：若樣本空間中的事件滿足：①任意兩個(gè)事件均互斥，即，，；②；③，．則對中的任意概率非零的事件，都有，且【常用結(jié)論總結(jié)】1．兩事件互斥是指兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，兩事件相互獨(dú)立是指一個(gè)事件發(fā)生與否對另一事件發(fā)生的概率沒有影響，兩事件相互獨(dú)立不一定互斥．2．P(B|A)是在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率，P(A|B)是在事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率．3．計(jì)算條件概率P(B|A)時(shí)，不能隨便用事件B的概率P(B)代替P(AB)．二、分類題型題型一條件概率某地的中學(xué)生中有的同學(xué)愛好滑冰，的同學(xué)愛好滑雪，的同學(xué)愛好滑冰或愛好滑雪.在該地的中學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查一位同學(xué)，若該同學(xué)愛好滑雪，則該同學(xué)也愛好滑冰的概率為（

）A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4【答案】A【分析】先算出同時(shí)愛好兩項(xiàng)的概率,利用條件概率的知識求解.【解答】同時(shí)愛好兩項(xiàng)的概率為，記“該同學(xué)愛好滑雪”為事件,記“該同學(xué)愛好滑冰”為事件，則，所以.故選:.用五個(gè)數(shù)字排成一個(gè)無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，設(shè)事件{數(shù)字在的左邊}，事件{與相鄰}，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分別計(jì)算出，由條件概率公式可求得結(jié)果.【解答】，，.故選：D.52張撲克牌，沒有大小王，無放回地抽取兩次，則兩次都抽到A的概率為；已知第一次抽到的是A，則第二次抽取A的概率為【答案】【分析】由題意結(jié)合概率的乘法公式可得兩次都抽到A的概率，再由條件概率的公式即可求得在第一次抽到A的條件下，第二次抽到A的概率.【解答】由題意，設(shè)第一次抽到A的事件為B,第二次抽到A的事件為C,則.故答案為：；.在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

(1)估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；(2)估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間的概率；(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為，該地區(qū)年齡位于區(qū)間的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，求此人患這種疾病的概率．（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）.【答案】(1)歲；(2)；(3)．【分析】（1）根據(jù)平均值等于各矩形的面積乘以對應(yīng)區(qū)間的中點(diǎn)值的和即可求出；（2）設(shè){一人患這種疾病的年齡在區(qū)間}，根據(jù)對立事件的概率公式即可解出；（3）根據(jù)條件概率公式即可求出．【解答】（1）平均年齡

（歲）．（2）設(shè){一人患這種疾病的年齡在區(qū)間}，所以．（3）設(shè)“任選一人年齡位于區(qū)間[40,50)”，“從該地區(qū)中任選一人患這種疾病”，則由已知得：,則由條件概率公式可得從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，此人患這種疾病的概率為．有編號分別為1，2，3，4的4個(gè)紅球和4個(gè)黑球，從中取出2個(gè)，在取出球的編號互不相同的條件下，2號紅球被取到的概率為．【答案】/0.25【分析】用組合數(shù)公式找出總數(shù)和編號相同的取法，由對立事件可求編號不同的取法，再根據(jù)條件概率公式計(jì)算可得．【解答】記“取出的編號互不相同”為事件A，“2號紅球被取到”為事件B，因?yàn)閺木幪柗謩e為1，2，3，4的4個(gè)紅球和4個(gè)黑球，隨機(jī)取出個(gè)的取法有種，取出個(gè)球編號相同的取法有4種，所以球的編號互不相同的取法有種，又因?yàn)椤叭〕龅那虻木幪柣ゲ幌嗤?號紅球被取到”的取法有種，所以在取出球的編號互不相同的條件下，2號紅球被取到的概率為.故答案為：.假定生男孩和生女孩是等可能的，現(xiàn)考慮有個(gè)小孩的家庭，隨機(jī)選擇一個(gè)家庭，則當(dāng)已知該家庭個(gè)小孩中有女孩的條件下，個(gè)小孩中至少有個(gè)男孩的概率為.【答案】【分析】記事件該家庭個(gè)小孩中有女孩，事件該家庭中個(gè)小孩中至少有個(gè)男孩，計(jì)算出、的值，利用條件概率公式可求得的值.【解答】記事件該家庭個(gè)小孩中有女孩，事件該家庭中個(gè)小孩中至少有個(gè)男孩，則，，由條件概率公式可得.故答案為：.為鞏固脫貧攻堅(jiān)成果，推進(jìn)共同富裕，我國西部某縣政府派出含甲、乙、丙在內(nèi)的6名農(nóng)業(yè)專家，并分配到3個(gè)村莊進(jìn)行農(nóng)業(yè)技術(shù)指導(dǎo)，要求每個(gè)村莊至少分配到1名專家，每名專家只能去1個(gè)村莊，則在甲、乙兩名專家不能分配在同一村莊的前提下，甲、丙兩名專家恰好分配在同一村莊的概率為．【答案】【分析】根據(jù)條件概率公式求解即可.【解答】將6名專家分配到3個(gè)村莊的不同分法有（種），其中甲、乙兩名專家不分配在同一村莊的分法有（種），甲、乙兩名專家不分配在同一村莊且甲、丙兩名專家分配在同一村莊的分法有（種）．設(shè)事件A表示“甲、乙兩名專家不分配在同一村莊”，事件B表示“甲、丙兩名專家恰好分配在同一村莊”，則，，故所求的概率為．故答案為：.求條件概率的常用方法(1)定義法：P(B|A)＝eq\f(PAB,PA).(2)樣本點(diǎn)法：P(B|A)＝eq\f(nAB,nA).(3)縮樣法：去掉第一次抽到的情況，只研究剩下的情況，用古典概型求解．某醫(yī)療儀器上有、兩個(gè)易耗元件，每次使用后，需要更換元件的概率為，需要更換元件的概率為，則在第一次使用后就要更換元件的條件下，、兩個(gè)元件都要更換的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】記事件第一次使用后就要更換元件，事件、兩個(gè)元件都要更換，計(jì)算出、的值，利用條件概率公式可求得的值.【解答】記事件第一次使用后就要更換元件，事件、兩個(gè)元件都要更換，則，，由條件概率公式可得.故選：C.一個(gè)不透明的袋中裝有4個(gè)紅球，4個(gè)黑球，2個(gè)白球，這些球除顏色外，其他完全相同，現(xiàn)從袋中一次性隨機(jī)抽取3個(gè)球，事件A：“這3個(gè)球的顏色各不相同”，事件B：“這3個(gè)球中至少有1個(gè)黑球”，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】運(yùn)用分類加法與分步乘法分別求得、，再結(jié)合條件概率的公式計(jì)算即可.【解答】由題意知，，，所以.故選：D.從一個(gè)裝有個(gè)白球，個(gè)紅球和個(gè)藍(lán)球的袋中隨機(jī)抓取個(gè)球，記事件為“抓取的球中至少有兩個(gè)球同色”，事件為“抓取的球中有紅色但不全是紅色”，則；在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的概率．【答案】/【分析】根據(jù)題意，由古典概率公式求出，分析事件的取法數(shù)目，由此可得和，由條件概率公式計(jì)算可得，即可得答案．【解答】根據(jù)題意，從一個(gè)裝有個(gè)白球，個(gè)紅球和個(gè)藍(lán)球的袋中隨機(jī)抓取個(gè)球，有種取法，事件為“抓取的球中有紅色但不全是紅色”，則事件的取法有種，則，事件的取法有種，則，，故．故答案為：，．一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱為病例組），同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱為對照組），得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4060對照組1090(1)能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？(2)從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”．與的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對患該疾病風(fēng)險(xiǎn)程度的一項(xiàng)度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為R．（ⅰ）證明：；（ⅱ）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出的估計(jì)值，并利用（ⅰ）的結(jié)果給出R的估計(jì)值．附，0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】(1)答案見解析(2)（i）證明見解析；(ii)；【分析】(1)由所給數(shù)據(jù)結(jié)合公式求出的值，將其與臨界值比較大小，由此確定是否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異；(2)(i)根據(jù)定義結(jié)合條件概率公式即可完成證明；(ii)根據(jù)（i）結(jié)合已知數(shù)據(jù)求.【解答】（1）由已知，又，，所以有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異.（2）(i)因?yàn)?，所以；所以?ii)由已知，，又，，所以某學(xué)習(xí)小組共有11名成員，其中有6名女生，為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，隨機(jī)從這11名成員中抽選2名任小組組長，協(xié)助老師了解情況，表示“抽到的2名成員都是女生”，表示“抽到的2名成員性別相同”，則.【答案】/0.6【分析】求出，，再利用條件概率求解即可．【解答】由題意可知，，．故答案為：．從1，2，3，4，5，6，7中任取兩個(gè)不同的數(shù)，事件為“取到的兩個(gè)數(shù)的和為偶數(shù)”，事件為“取到的兩個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”，則．【答案】【分析】根據(jù)條件概率公式，結(jié)合組合數(shù)公式，即可求解.【解答】因?yàn)槭录?，所以，而，所?故答案為：芯片制造廠有甲、乙兩條生產(chǎn)線均生產(chǎn)5nm規(guī)格的芯片，現(xiàn)有20塊該規(guī)格的芯片，其中甲、乙生產(chǎn)的芯片分別為12塊，8塊，且乙生產(chǎn)該芯片的次品率為，現(xiàn)從這20塊芯片中任取一塊芯片，若取得芯片的次品率為0.08，則甲廠生產(chǎn)該芯片的次品率為【答案】/【分析】首先設(shè)，分別表示取得的這塊芯片是由甲廠、乙廠生產(chǎn)的，B表示取得的芯片為次品，甲廠生產(chǎn)該芯片的次品率為p，得到則，，，，再利用全概率公式求解即可.【解答】設(shè)，分別表示取得的這塊芯片是由甲廠、乙廠生產(chǎn)的，B表示取得的芯片為次品，甲廠生產(chǎn)該芯片的次品率為p，則，，，，則由全概率公式得：，解得，故答案為：.現(xiàn)有甲?乙?丙?丁四個(gè)人到九嶷山?陽明山?云冰山?舜皇山4處景點(diǎn)旅游，每人只去一處景點(diǎn)，設(shè)事件為“4個(gè)人去的景點(diǎn)各不相同”，事件為“只有甲去了九嶷山”，則.【答案】【分析】根據(jù)題意，求出4人去4個(gè)不同的景點(diǎn)的總事件數(shù)，事件的總數(shù)和事件的總數(shù)，可求出，然后利用條件概率公式可求得結(jié)果.【解答】由題意可知，4人去4個(gè)不同的景點(diǎn)，總事件數(shù)為，事件的總數(shù)為，則，事件和事件同時(shí)發(fā)生，即“甲去了九嶷山，另外3人去了另外3個(gè)不同的景點(diǎn)”則事件的總數(shù)為，所以，所以，故答案為：在某地A、B、C三個(gè)縣區(qū)爆發(fā)了流感，這三個(gè)地區(qū)分別3%，2%，4%的人患了流感.若A、B、C三個(gè)縣區(qū)的人數(shù)比分別為4：3：3，先從這三個(gè)地區(qū)中任意選取一個(gè)人，這個(gè)人患流感的概率是.【答案】0.03【分析】患流感的人可能來自三個(gè)地方，利用條件概率公式求解.【解答】設(shè)事件D為此人患流感，，，分別代表此人來自A、B、C三個(gè)地區(qū)，根據(jù)題意可知：，，，，，，.故答案為：題型二相互獨(dú)立事件的概率某知識問答競賽需要三人組隊(duì)參加，比賽分為初賽、復(fù)賽、決賽三個(gè)階段，每個(gè)階段比賽中，如果一支隊(duì)伍中至少有一人通過，則這支隊(duì)伍通過此階段.已知甲、乙、丙三人組隊(duì)參加，若甲通過每個(gè)階段比賽的概率均為，乙通過每個(gè)階段比賽的概率均為，丙通過每個(gè)階段比賽的概率均為，且三人每次通過與否互不影響，則這支隊(duì)伍進(jìn)入決賽的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可得這支隊(duì)伍通過每個(gè)階段比賽的概率為，利用相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算可得出結(jié)果.【解答】“至少有一人通過”的對立事件為“三人全部未通過”，則這支隊(duì)伍通過每個(gè)階段比賽的概率為，所以他們連續(xù)通過初賽和復(fù)賽的概率為，即進(jìn)入決賽的概率為.故選：B給如圖所示的1~9號方格進(jìn)行涂色，規(guī)則是：任選一個(gè)格子開始涂色，之后每次隨機(jī)選一個(gè)未涂色且與上次所涂方格不相鄰（即沒有公共邊）的格子進(jìn)行涂色，當(dāng)5號格子被涂色后停止涂色，記此時(shí)已被涂色的格子數(shù)為X，則.

【答案】/0.08【分析】明確對應(yīng)的事件的含義即“第3次涂5號格子”，再考慮第一次選取的是角上的格子還是邊中間的格子，分別求出兩種情況下的概率，即可求得答案.【解答】由題意知“”等價(jià)于“第3次涂5號格子”，若第一次涂的是四個(gè)角上的格子，以1號格子為例，第二次可以涂，要想第三次涂5號，第二次必須選涂號中的一個(gè)，第三次需從5個(gè)格子里選取5號格子，這種情況的概率為；若第一次涂的是四邊中間的格子，以2號格子為例，第二次可以涂，要想第三次涂5號，第二次必須涂號中的一個(gè)，第三次需從5個(gè)格子里選取5號格子，這種情況的概率為；故，故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：需分類考慮，即考慮第一次選取的是角上的格子還是邊中間的格子，分別求出兩種情況下的概率，即可求解.甲、乙兩人單獨(dú)解一道題，若甲、乙能解對該題的概率分別是m，n，此題被解對的概率【答案】【分析】法一：由事件的和事件的概率公式及相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式計(jì)算可得.法二：根據(jù)相互獨(dú)立事件及對立事件的概率公式計(jì)算可得.【解答】設(shè)“甲解對此題”，“乙解對此題”，事件相互獨(dú)立，“此題被解對”即為事件，法一：.法二：“兩人均未解對此題”，故.故答案為：.事件A、B是相互獨(dú)立事件，若，，，則實(shí)數(shù)n的值等于．【答案】【分析】根據(jù)概率的性質(zhì)及獨(dú)立事件的乘法公式求解.【解答】∵事件A、B是相互獨(dú)立事件，∴，∴，∴.故答案為：.某人提出一個(gè)問題，甲先答，答對的概率為0.4.若甲答錯(cuò)，則由乙答，乙答對的概率為0.5.求該問題由乙答對的概率.【答案】【分析】依題意，若問題由乙答對，則分兩步：一是甲答錯(cuò)，二是乙答對，代入相互獨(dú)立事件的概率乘法公式可得答案.【解答】由題可知，若問題由乙答對的情況分兩步實(shí)現(xiàn)：首先甲答錯(cuò)，對應(yīng)的概率為，然后乙答對，對應(yīng)的概率為，所以該問題由乙答對的概率為.求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的方法(1)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率等于他們各自發(fā)生的概率之積．(2)當(dāng)正面計(jì)算較復(fù)雜或難以入手時(shí)，可從其對立事件入手計(jì)算．已知木盒中有圍棋棋子15枚（形狀大小完全相同，其中黑色10枚，白色5枚），小明有放回地從盒中取兩次，每次取出1枚棋子，則這兩枚棋子恰好不同色的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件與互斥事件的概率公式計(jì)算可得.【解答】從盒中隨機(jī)取出1枚棋子，“是黑棋子”記為事件，“是白棋子”記為事件，則，，兩枚棋子恰好不同色包含：第一次取出黑棋子，第二次取出白棋子；第一次取出白棋子，第二次取出黑棋子，這兩個(gè)事件是互斥事件．第一次取出黑棋子，第二次取出白棋子相互獨(dú)立，概率為；第一次取出白棋子，第二次取出黑棋子也相互獨(dú)立，概率為．所以這兩枚棋子恰好不同色的概率是．故選：A．在我國長江中下游地區(qū)，每年的6月中下旬到7月中旬為梅雨季節(jié)，這段時(shí)間陰雨天氣較多．這個(gè)地區(qū)的一個(gè)市級監(jiān)測資料表明，該市一天為陰雨天氣的概率是0.8，連續(xù)兩天為陰雨天氣的概率是0.72，已知某天為陰雨天氣，則隨后一天也為陰雨天氣的概率是．【答案】0.9/【分析】設(shè)某天為陰雨天氣，則隨后一天也為陰雨天氣的概率是，再根據(jù)概率的乘法公式求解即可.【解答】設(shè)某天為陰雨天氣，則隨后一天也為陰雨天氣的概率是，則由題意，解得.故答案為：甲、乙兩人獨(dú)立破譯一份密碼，已知各人能破譯的概率分別為，，兩人都成功破譯的概率.【答案】【分析】利用獨(dú)立事件的概率乘法公式即可得解.【解答】因?yàn)榧?、乙兩人?dú)立破譯一份密碼，且能破譯的概率分別為，，所以兩人都成功破譯的概率為.故答案為：.已知甲、乙、丙3人參加駕照考試時(shí)，通過的概率分別為，而且這3人之間的考試互不影響．求：(1)甲、乙、丙都通過的概率；(2)甲、乙通過且丙未通過的概率．【答案】(1)0.504(2)0.216【分析】（1）利用獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算即可；（2）利用獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算即可.【解答】（1）（1）用分別表示甲、乙、丙駕照考試通過．則可知相互獨(dú)立，而且．甲、乙、丙都通過可用表示，因此所求概率為:．（2）甲、乙通過且丙未通過可用表示，因此所求概率為．甲?乙兩人分別對A，B兩個(gè)目標(biāo)各射擊一次，若目標(biāo)被擊中兩次則被擊毀，每次射擊互不影響.已知甲擊中A，B的概率均為，乙擊中A，B的概率分別為，.(1)求A被擊毀的概率；(2)求恰有1個(gè)目標(biāo)被擊毀的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）求出甲乙兩人均要擊中目標(biāo)的概率，即為A被擊毀的概率；（2）求出A被擊毀，B不被擊毀的概率，再求出B被擊毀，A不被擊毀的概率，再相加即可.【解答】（1）A被擊毀則甲乙兩人均要擊中目標(biāo)，故概率為（2）B被擊毀的概率為則A被擊毀，B不被擊毀的概率為，B被擊毀，A不被擊毀的概率為，故恰有1個(gè)目標(biāo)被擊毀的概率為2023年7月11日第64屆國際數(shù)學(xué)奧林匹克競賽結(jié)果公布，中國隊(duì)6名參賽選手全員金牌，再奪第一．某班級為了選拔數(shù)學(xué)競賽選手，舉行初次選拔考試，共有排好順序的兩道解答題．規(guī)定全部答對者，通過選拔考試．設(shè)甲答對第一道和第二道題的概率分別為，，乙答對第一道和第二道題的概率分別為，，甲，乙相互獨(dú)立解題，答對與否互不影響．(1)求甲，乙都通過考試的概率;(2)記事件“甲、乙共答對兩道題”，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)事件“甲答對了道題”，事件“乙答對了道題”，，，，求出，，，，，，再由相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算可得；（2）依題意可得，根據(jù)相互獨(dú)立事件及互斥事件的概率公式計(jì)算可得.【解答】（1）設(shè)事件“甲答對了道題”，事件“乙答對了道題”，，，，由題意，，，，，，由題意得，甲，乙都通過考試的概率．（2）由題意得，，所以．某地乒乓球協(xié)會(huì)在年55歲65歲的乒乓球運(yùn)動(dòng)愛好者中，進(jìn)行一次“快樂兵兵”比賽，3人一組先進(jìn)行預(yù)賽，選出1名參賽人員進(jìn)入正式比賽.已知甲、乙、丙在同一組，抽簽確定第一輪比賽次序?yàn)椋杭讓σ?、甲對丙、乙對丙，先累?jì)獲勝2場的選手，進(jìn)入正式比賽.若前三場比賽甲、乙、丙各勝負(fù)一場，則根據(jù)抽簽確定由甲、乙加賽一場、勝者參加正式比賽.已知甲勝乙、甲勝丙、乙勝丙的概率分別為，各場比賽互不影響且無平局.(1)求甲進(jìn)入正式比賽的概率；(2)若比賽進(jìn)行了四場結(jié)束，記甲獲勝的場數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）分類討論由乘法公式計(jì)算即可；（2）根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列及期望公式計(jì)算即可.【解答】（1）由題意，可分為兩種情況，即分甲連勝兩場和前三場甲、乙、丙各勝負(fù)一場，第4場甲勝乙：①甲連勝兩場的概率為；②前三場甲、乙、丙各勝負(fù)一場，第4場甲勝乙的概率為，則甲進(jìn)入正式比賽的概率為.（2）由題意得若要比四場，則前3場甲、乙、丙必然各勝一場，此時(shí)第四場甲對乙，故的可能取值為1，2，第四場甲輸，則，第四場甲贏，則，故的分布列為12則.一個(gè)家庭有兩個(gè)孩子.(1)已知年齡大的是女孩，求年齡小的也是女孩的概率；(2)已知其中一個(gè)是女孩，求另一個(gè)也是女孩的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立事件結(jié)合古典概型求概率即可；（2）應(yīng)用條件概率公式計(jì)算即可.【解答】（1）一個(gè)家庭有兩個(gè)孩子,年齡大的是女孩與年齡小的是女孩是獨(dú)立事件，所以年齡小的是女孩的概率是；（2）一個(gè)家庭有兩個(gè)孩子其中一個(gè)是女孩為事件B,一個(gè)家庭有兩個(gè)孩子另一個(gè)也是女孩為事件A,，.一個(gè)罐子中有大小與質(zhì)地相同的黑?白?紅三個(gè)球，不放回地摸球.求：(1)在第一次沒有摸到黑球的條件下，第二次也沒有摸到黑球的概率；(2)兩次都沒有摸到黑球的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）用A、B分別表示第一次、第二次沒有摸到黑球的事件，根據(jù)條件概率計(jì)算即可；（2）用A、B分別表示第一次、第二次沒有摸到黑球的事件，計(jì)算A?B同時(shí)發(fā)生的概率即可.【解答】（1）用A、B分別表示第一次、第二次沒有摸到黑球的事件，A發(fā)生之后，罐子中還有兩個(gè)球，且其中一個(gè)是黑球，所以.（2）用A、B分別表示第一次、第二次沒有摸到黑球的事件，已知，，由概率的乘法公式，有.投壺是從先秦延續(xù)至清末的漢民族傳統(tǒng)禮儀和宴飲游戲，假設(shè)甲、乙、丙、丁是四位投壺游戲參與者，且甲、乙、丙每次投壺時(shí)，投中與不投中的機(jī)會(huì)是均等的，丁每次投壺時(shí)，投中的概率為．甲、乙、丙、丁每人每次投壺是否投中相互獨(dú)立，互不影響．(1)若甲、乙、丙、丁每人各投壺1次，求只有一人投中的概率；(2)甲、丁進(jìn)行投壺比賽，若甲、丁每人各投壺2次，投中次數(shù)多者獲勝，求丁獲勝的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立事件乘法公式計(jì)算即可；（2）分情況根據(jù)獨(dú)立重復(fù)事件公式計(jì)算即可.【解答】（1）將甲、乙、丙、丁各自在一次投壺中投中分別記為事件，則．設(shè)只有一人投中為事件，則．（2）若甲投中0次，則丁至少投中1次；若甲投中1次，則丁投中2次．設(shè)丁獲勝為事件，則．題型三全概率公式的應(yīng)用“狼來了”的故事大家小時(shí)候應(yīng)該都聽說過：小孩第一次喊“狼來了”，大家信了，但去了之后發(fā)現(xiàn)沒有狼；第二次喊“狼來了”，大家又信了，但去了之后又發(fā)現(xiàn)沒有狼；第三次狼真的來了，但是這個(gè)小孩再喊狼來了就沒人信了．從數(shù)學(xué)的角度解釋這一變化，假設(shè)小孩是誠實(shí)的，則他出于某種特殊的原因說謊的概率為；小孩是不誠實(shí)的，則他說謊的概率是．最初人們不知道這個(gè)小孩誠實(shí)與否，所以在大家心目中每個(gè)小孩是誠實(shí)的概率是．已知第一次他說謊了，那么他是誠實(shí)的小孩的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)出事件，利用全概率公式和貝葉斯公式進(jìn)行求解.【解答】設(shè)事件表示“小孩誠實(shí)”，事件表示“小孩說謊”，則，，，，則，，故，故.故選：D一袋中裝有10個(gè)盲盒，已知其中3個(gè)是玩具盲盒，7個(gè)是文具盲盒，甲、乙兩個(gè)小孩從中先后任取一個(gè)盲盒，則乙取到的是玩具盲盒的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)全概率公式結(jié)合已知條件求解即可【解答】記事件分別表示甲、乙取到的是玩具盲盒，則由題意得，所以；故選：C根據(jù)以往的臨床記錄，某種診斷癌癥的試驗(yàn)有如下的效果：若以表示事件“試驗(yàn)反應(yīng)為陽性”，以表示事件“被診斷者患有癌癥”，則有，現(xiàn)在對自然人群進(jìn)行普查，設(shè)被試驗(yàn)的人患有癌癥的概率為，即，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)條件概率的性質(zhì)及變式可求得，由已知可求得，根據(jù)貝葉斯公式可求得答案．【解答】解：因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，所以由全概率公式可得，因?yàn)?，所以．所以．故選：A某批麥種中，一等麥種占90%，二等麥種占10%，一、二等麥種種植后所結(jié)麥穗含有50粒以上麥粒的概率分別為0.6，0.2，則這批麥種種植后所結(jié)麥穗含有50粒以上麥粒的概率為．【答案】0.56/【分析】根據(jù)已知設(shè)出事件，由已知得出事件的概率以及條件概率，然后根據(jù)全概率公式，即可得出答案.【解答】分別記取到一等麥種和二等麥種分別為事件，所結(jié)麥穗含有50粒以上麥粒為事件.由已知可得，，，，，由全概率公式可得，.故答案為：0.56.現(xiàn)有兩個(gè)罐子，1號罐子中裝有3個(gè)紅球?2個(gè)黑球，2號罐子中裝有4個(gè)紅球?2個(gè)黑球.現(xiàn)先從1號罐子中隨機(jī)取出一個(gè)球放入2號罐子，再從2號罐子中取一個(gè)球，則從2號罐子中取出的球是紅球的概率為.【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用全概率公式求解作答.【解答】記1號罐子中取出紅球的事件為，取出黑球的事件為，從2號罐子中取出紅球的事件為，顯然互斥，，所以.故答案為：.流行性感冒，簡稱流感，是流感病毒引起的一種急性呼吸道疾?。阎齻€(gè)地區(qū)分別有的人患了流感，且這三個(gè)地區(qū)的人口數(shù)之比是，現(xiàn)從這三個(gè)地區(qū)中任意選取1人，若選取的這人患了流感，則這人來自B地區(qū)的概率是．【答案】/【分析】根據(jù)古典概型的概率公式，求得選取的人為三個(gè)地區(qū)的概率，由題意，明確三個(gè)地區(qū)患流感的條件概率，利用全概率公式求得患流感的概率，根據(jù)條件概率的定義，可得答案.【解答】記事件表示“這人患了流感”，事件分別表示“這人來自地區(qū)”，由題意可知，，，，，，則，故.故答案為：.某次社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)中，甲、乙兩個(gè)班的同學(xué)共同在一個(gè)社區(qū)進(jìn)行新冠疫情防控宣傳．參加活動(dòng)的甲、乙兩班的人數(shù)之比為5∶3，其中甲班中女生占，乙班中女生占．求該社區(qū)居民遇到一位進(jìn)行新冠疫情防控宣傳的同學(xué)恰好是女生的概率．【答案】【分析】用事件分別表示“居民所遇到的一位同學(xué)是甲班的與乙班的”，事件B表示“居民所遇到的一位同學(xué)是女生”，根據(jù)題意利用全概率公式運(yùn)算求解.【解答】用事件分別表示“居民所遇到的一位同學(xué)是甲班的與乙班的”，事件B表示“居民所遇到的一位同學(xué)是女生”，則，且互斥，，由題意可知，且，由全概率公式可知.利用全概率公式的思路(1)按照確定的標(biāo)準(zhǔn)，將一個(gè)復(fù)雜事件分解為若干個(gè)互斥事件Ai(i＝1,2，…，n)；(2)求P(Ai)和所求事件B在各個(gè)互斥事件Ai發(fā)生條件下的概率P(Ai)P(B|Ai)；(3)代入全概率公式計(jì)算．甲、乙兩個(gè)袋子中各裝有5個(gè)大小相同的小球，其中甲袋中有2個(gè)紅球，2個(gè)白球和1個(gè)黑球，乙袋中有3個(gè)紅球，1個(gè)白球和1個(gè)黑球，先從甲袋中隨機(jī)取出一球放入乙袋，再從乙袋中隨機(jī)取出一球.若用事件和分別表示從甲袋中取出的球是紅球，白球和黑球，用事件表示從乙袋中取出的球是紅球，則=（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由全概率公式可得.【解答】易知，，所以.故選：A根據(jù)某機(jī)構(gòu)對失蹤飛機(jī)的調(diào)查得知：失蹤的飛機(jī)中有70%的后來被找到，在被找到的飛機(jī)中，有60%安裝有緊急定位傳送器，而未被找到的失蹤飛機(jī)中，有90%未安裝緊急定位傳送器，緊急定位傳送器是在飛機(jī)失事墜毀時(shí)發(fā)送信號，讓搜救人員可以定位的裝置.現(xiàn)有一架安裝有緊急定位傳送器的飛機(jī)失蹤，則它被找到的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別表示出三個(gè)事件：失蹤的飛機(jī)后來被找到、失蹤的飛機(jī)后來未被找到、裝有緊急定位傳送器的概率，再用條件貝葉斯公式計(jì)算即可得出結(jié)論.【解答】設(shè)“失蹤的飛機(jī)后來被找到”，“失蹤的飛機(jī)后來未被找到”，“安裝有緊急定位傳送器”，則，，安裝有緊急定位傳送器的飛機(jī)失蹤，它被找到的概率為.故選：C.有一批同一型號的產(chǎn)品，其中甲工廠生產(chǎn)的占，乙工廠生產(chǎn)的占.已知甲、乙兩工廠生產(chǎn)的該型號產(chǎn)品的次品率分別為，，則從這批產(chǎn)品中任取一件是次品的概率是.【答案】0.024【分析】利用全概率公式直接求解．【解答】設(shè)，分別表示甲、乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品，表示取到次品，則，，，，從中任取一件產(chǎn)品取到次品的概率為：，故答案為：0.024．設(shè)某芯片制造廠有甲、乙、丙三條生產(chǎn)線，生產(chǎn)規(guī)格的芯片，現(xiàn)有20塊該規(guī)格的芯片，其中甲、乙、丙生產(chǎn)的芯片分別為6塊、6塊、8塊，且甲、乙、丙生產(chǎn)該芯片的次品率依次為.現(xiàn)從這20塊芯片中任取1塊芯片，若取到的芯片是次品，則該芯片是甲廠生產(chǎn)的概率為.【答案】【分析】利用條件概率計(jì)算公式即可求得若取到的芯片是次品則該芯片是甲廠生產(chǎn)的概率.【解答】記芯片分別由甲、乙、丙三條生產(chǎn)線生產(chǎn)為事件，記取到的芯片是次品為事件，則，，，故，則若取到的芯片是次品，則該芯片是甲廠生產(chǎn)的概率為.故答案為：英國數(shù)學(xué)家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，根據(jù)貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論，隨機(jī)事件A，B有如下關(guān)系：．某地有A，B兩個(gè)游泳館，甲同學(xué)決定周末兩天都去游泳館游泳，周六選擇A，B游泳館的概率均為0.5．如果甲同學(xué)周六去A館，那么周日還去A館的概率為0.4；如果周六去B館，那么周日去A館的概率為0.8．如果甲同學(xué)周日去A館游泳，則他周六去A館游泳的概率為．【答案】【分析】設(shè)事件為“甲同學(xué)周日去A館”，事件為“甲同學(xué)周六去A館”，即求，根據(jù)貝葉斯概率公式求解即可.【解答】設(shè)事件為“甲同學(xué)周日去A館”，事件為“甲同學(xué)周六去A館”，即求，根據(jù)題意得，，，則.故答案為：.現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)盒子，甲盒中有3個(gè)紅球和1個(gè)白球，乙盒中有2個(gè)紅球和2個(gè)白球，所有的球除顏色外都相同.某人隨機(jī)選擇一個(gè)盒子，并從中隨機(jī)摸出2個(gè)球觀察顏色后放回，此過程為一次試驗(yàn).重復(fù)以上試驗(yàn)，直到某次試驗(yàn)中摸出2個(gè)紅球時(shí)，停止試驗(yàn).(1)求一次試驗(yàn)中摸出2個(gè)紅球的概率；(2)在3次試驗(yàn)后恰好停止試驗(yàn)的條件下，求累計(jì)摸到2個(gè)紅球的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)全概率公式求得正確答案.（2）根據(jù)條件概型、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)等知識求得累計(jì)摸到2個(gè)紅球的概率.【解答】（1）一次試驗(yàn)摸出2個(gè)紅球的概率為.（2）記在3次試驗(yàn)后恰好停止試驗(yàn)為事件，累計(jì)摸到2個(gè)紅球?yàn)槭录?，∴，，，?在三個(gè)地區(qū)爆發(fā)了流感，這三個(gè)地區(qū)分別有的人患了流感，假設(shè)這三個(gè)地區(qū)的人口數(shù)的比為3：5：2，現(xiàn)從這三個(gè)地區(qū)中任意選取一個(gè)人(1)求這個(gè)人患流感的概率；(2)如果此人患流感，求此人選自A地區(qū)的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用全條件概率公式進(jìn)行求解即可；（2）利用條件概率公式進(jìn)行求解即可.【解答】（1）此人來自三個(gè)地區(qū)分別為事件，事件為這個(gè)人患流感，所以，因此；（2）.設(shè)甲袋中有3個(gè)白球和4個(gè)紅球，乙袋中有1個(gè)白球和2個(gè)紅球.某人先從甲袋中依次取2個(gè)球，再從乙袋中取1個(gè)球.若在甲袋中取得紅球，則放入乙袋；若取得白球，則兩袋均不放入.(1)求從甲袋中第二次取得白球的概率；(2)求從乙袋取得紅球的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)古典概型公式求解即可.（2）分別討論從甲袋中取出白球的情況，再利用古典概型公式求解即可.【解答】（1）令事件：從甲袋中第二次取得白球，則.（2）令事件：從乙袋取得紅球，當(dāng)從甲袋中取出的兩個(gè)球均為白球時(shí)，.當(dāng)從甲袋中取出的兩個(gè)球一白一紅時(shí)，.當(dāng)從甲袋中取出的兩個(gè)球均為紅球時(shí)，.綜上：.盒子中有大小與質(zhì)地相同的5個(gè)紅球和4個(gè)白球，從中隨機(jī)取1個(gè)球，觀察其顏色后放回，并同時(shí)放入與其相同顏色的球3個(gè)，再從盒子中取1個(gè)球.求第二次取出的球是白色的概率.【答案】【分析】利用條件概率公式和全概率公式代入計(jì)算即可求出結(jié)果.【解答】記事件為“第一次抽到白球”，事件為“第二次抽到白球”；則，所以；由題意可得；，；即.所以第二次取出的球是白色的概率為假設(shè)某產(chǎn)品的一個(gè)部件來自三個(gè)供應(yīng)商，供貨占比分別是，而它們的良品率分別是0.96?0.90?0.93.問：該部件的總體良品率是多少？【答案】【分析】根據(jù)全概率公式進(jìn)行計(jì)算即可.【解答】解總體良品率顯然不是三個(gè)良品率的簡單平均，而是與部件供應(yīng)商的供貨占比有關(guān).因此，根據(jù)全概率公式，總體良品率為某人從甲地到乙地，乘火車、輪船、飛機(jī)的概率分別為0.2，0.4，0.4，乘火車遲到的概率為0.5，乘輪船遲到的概率為0.2，乘飛機(jī)不會(huì)遲到．(1)問這個(gè)人遲到的概率是多少?(2)如果這個(gè)人遲到了，問他乘輪船遲到的概率是多少?【答案】(1)0.18(2)【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合全概率公式運(yùn)算求解；（2）根據(jù)題意結(jié)合條件概率公式運(yùn)算求解.【解答】（1）設(shè)D表示“這個(gè)人遲到”，A表示“他乘火車”，B表示“他乘輪船”，C表示“他乘飛機(jī)”，則．由全概率公式，得，由題意可得：，，，，，所以這個(gè)人遲到的概率．（2）由題意可知：，所以可得如果這個(gè)人遲到了，他乘輪船遲到的概率是．設(shè)甲、乙、丙三個(gè)地區(qū)爆發(fā)了某種流行病，三個(gè)地區(qū)感染此病的比例分別為，，，現(xiàn)從這三個(gè)地區(qū)任選一個(gè)地區(qū)抽取一個(gè)人．(1)求此人感染此病的概率；（結(jié)果保留分?jǐn)?shù)）(2)若此人感染此病，求此人來自乙地區(qū)的概率．（結(jié)果保留分?jǐn)?shù)）【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用全概率公式求解作答.（2）由（1）的結(jié)論，利用貝葉斯公式求解作答.【解答】（1）設(shè)事件表示“此人來自第i個(gè)地區(qū)，”；事件B表示“感染此病”，于是，，，，，，所以此人感染此病的概率為.（2）由（1）知，此人來自乙地區(qū)的概率．作為一種益智游戲，中國象棋具有悠久的歷史，中國象棋的背后，體現(xiàn)的是博大精深的中華文化.為了推廣中國象棋，某地舉辦了一次地區(qū)性的中國象棋比賽，李夏作為選手參加.除李夏以外的其他參賽選手中，是一類棋手，是二類棋手，其余的是三類棋手.李夏與一、三、三類棋手比賽獲勝的概率分別是0.2、0.4和0.5.(1)從參賽選手中隨機(jī)選取一位棋手與李夏比賽，求李夏獲勝的概率；(2)如果李夏獲勝，求與李夏比賽的棋手為一類棋手的概率.【答案】(1)0.35(2).【分析】（1）由全概率公式即可求解，（2）由貝葉斯公式即可求解.【解答】（1）設(shè)“李夏與第類棋手相遇”，根據(jù)題意，，，記“李夏獲勝”，則有，，.由全概率公式，李夏在比賽中獲勝的概率為，所以李夏獲勝的概率為0.35.（2）李夏獲勝時(shí)，則與李夏比賽的棋手為一類棋手的概率為.即李夏獲勝，對手為一類棋手的概率為.某電子設(shè)備廠所用的元件是由三家元件制造廠提供的，根據(jù)以往的記錄得到以下數(shù)據(jù)：元件制造廠次品率提供元件的份額10.010.120.020.730.030.2設(shè)這三家工廠的產(chǎn)品在倉庫中是均勻混合的且不區(qū)別標(biāo)志(1)在倉庫中隨機(jī)抽取1個(gè)元件，求它是次品的概率；(2)在倉庫中隨機(jī)抽取1個(gè)元件，若已知抽取的是次品，求該次品出自元件制造廠3的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)全概率公式公式計(jì)算可得結(jié)果；（2）利用貝葉斯公式公式求解即可.【解答】（1）設(shè)表示“取到的是一只次品”，表示“所取到的產(chǎn)品是由第家工廠提供的”，則，，是樣本空間的一個(gè)劃分，且，，，，，.由全概率公式得，所以在倉庫中隨機(jī)抽取1個(gè)元件，它是次品的概率為.（2）由貝葉斯公式可知該次品出自元件制造廠3的概率為：.玻璃杯整箱出售，共3箱，每箱20只.假設(shè)各箱含有0，1，2只殘次品的概率對應(yīng)為0.8，0.1和0.1.一顧客欲購買一箱玻璃杯，在購買時(shí)，售貨員隨意取一箱，而顧客隨機(jī)查看4只玻璃杯，若無殘次品，則買下該箱玻璃杯；否則不買.設(shè)事件表示“顧客買下所查看的一箱玻璃杯”，事件表示“箱中恰好有只殘次品”求：(1)顧客買下所查看的一箱玻璃杯的概率；(2)在顧客買下的一箱中，沒有殘次品的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)全概率公式即可求解，（2）由貝葉斯公式即可求解.【解答】（1）由題設(shè)可知，，，，且，，，所以.即顧客買下所查看的一箱玻璃杯的概率為.（2）因?yàn)?，所以在顧客買下的一箱中，沒有殘次品的概率是.芯片是二十一世紀(jì)最核心的科技產(chǎn)品，我們一直被美國卡脖子，隨著中國科技的不斷發(fā)展，我們在芯片技術(shù)上取得了重大突破．有些型號的芯片已經(jīng)批量生產(chǎn)．某芯片代工公司有3臺機(jī)器生產(chǎn)同一型號的芯片，第1，2臺生產(chǎn)的次品率均為1%，第3臺生產(chǎn)的次品率為2%，生產(chǎn)出來的芯片混放在一起．已知第1，2，3臺機(jī)器生產(chǎn)的芯片數(shù)分別占總數(shù)的30%，40%，30%．(1)求任取一個(gè)芯片是正品的概率；(2)如果取到的芯片是次品，分別求出是第1臺機(jī)器，第2臺機(jī)器，第3臺機(jī)器生產(chǎn)的概率．【答案】(1)0.987(2)概率分別為，，【分析】（1）根據(jù)全概率公式計(jì)算求解即可；（2）應(yīng)用貝葉斯公式計(jì)算可得結(jié)果.【解答】（1）記事件A：機(jī)器生產(chǎn)的芯片為次品，記事件：第i臺機(jī)器生產(chǎn)的芯片，則，，，，，．．即任取一個(gè)芯片是正品的概率0.987．（2）；；．故如果取到的芯片是次品，是第1臺機(jī)器，第2臺機(jī)器，第3臺機(jī)器生產(chǎn)的概率分別為，，．假設(shè)某市場供應(yīng)的一種零件中，甲廠產(chǎn)品與乙廠產(chǎn)品的比是，若甲廠產(chǎn)品的合格率是，乙廠產(chǎn)品的合格率是，則在該市場中隨機(jī)購買一個(gè)零件，是次品的概率為；如果買到的零件是次品，那么它是乙廠產(chǎn)品的概率為（結(jié)果精確到）．【答案】/【分析】設(shè)事件為購買的零件是甲廠產(chǎn)品，事件為購買的零件是乙廠產(chǎn)品，事件為購買的零件是次品，利用全概率公式可求得的值，利用貝葉斯公式可求得的值.【解答】設(shè)事件為購買的零件是甲廠產(chǎn)品，事件為購買的零件是乙廠產(chǎn)品，事件為購買的零件是次品，則，，，，所以．因?yàn)?，所以．故答案為：；．三、分層?xùn)練：課堂知識鞏固1．（2023?河南模擬）設(shè)，是兩個(gè)隨機(jī)事件，且發(fā)生必定發(fā)生，（A），（B），給出下列各式，其中正確的是A．（A） B． C．（B） D．（B）【分析】由題設(shè)知，即，，結(jié)合條件概率公式判斷各項(xiàng)正誤．【解答】解：由，是兩個(gè)隨機(jī)事件，且發(fā)生必定發(fā)生，知：，即，，所以（B），（A），，、、錯(cuò)，對；故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了條件概率的概率公式，屬于基礎(chǔ)題．2．（2023?衡水二模）某校有演講社團(tuán)、籃球社團(tuán)、乒乓球社團(tuán)、羽毛球社團(tuán)、獨(dú)唱社團(tuán)共五個(gè)社團(tuán)，甲、乙、丙、丁、戊五名同學(xué)分別從五個(gè)社團(tuán)中選擇一個(gè)報(bào)名，記事件為“五名同學(xué)所選項(xiàng)目各不相同”，事件為“只有甲同學(xué)選籃球”，則A． B． C． D．【分析】分別求出事件、事件的可能的種數(shù)，代入條件概率公式即可求解．【解答】解：事件：甲同學(xué)選籃球且五名同學(xué)所選項(xiàng)目各不相同，所以其他4名同學(xué)排列在其他4個(gè)項(xiàng)目，且互不相同為，事件：甲同學(xué)選籃球，所以其他4名同學(xué)排列在其他4個(gè)項(xiàng)目，可以安排在相同項(xiàng)目為，故．故選：．【點(diǎn)評】本題主要主要考查條件概率公式，屬于基礎(chǔ)題．3．（2023?成都模擬）一個(gè)不透明的袋中裝有4個(gè)紅球，4個(gè)黑球，2個(gè)白球，這些球除顏色外，其他完全相同，現(xiàn)從袋中一次性隨機(jī)抽取3個(gè)球，事件：“這3個(gè)球的顏色各不相同”，事件：“這3個(gè)球中至少有1個(gè)黑球”，則A． B． C． D．【分析】根據(jù)條件概率的含義，找出兩個(gè)事件對應(yīng)的基本事件數(shù)，利用概率公式直接求解．【解答】解：由題意，“這3個(gè)球的顏色各不相同”的基本事件數(shù)為：，“這3個(gè)球中至少有1個(gè)黑球”的基本事件數(shù)為：，所以．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查對條件概率的理解和應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．4．（2023?順慶區(qū)校級模擬）盒子里有1個(gè)紅球與個(gè)白球，隨機(jī)取球，每次取1個(gè)球，取后放回，共取2次．若至少有一次取到紅球的條件下，兩次取到的都是紅球的概率為，則A．3 B．4 C．6 D．8【分析】分別計(jì)算出至少有一次取到紅球與兩次都取到紅球的概率，用條件概率計(jì)算公式計(jì)算．【解答】解：設(shè)事件為至少有一次取到紅球，事件為兩次都取到紅球，由每次取后放回知，兩次都取到白球的概率為，故，，故．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查條件概率公式，屬于基礎(chǔ)題．5．（2023?武侯區(qū)校級模擬）已知為正方形，其內(nèi)切圓與各邊分別切于，，，，連接，，，．現(xiàn)向正方形內(nèi)隨機(jī)拋擲一枚豆子，記事件：豆子落在圓內(nèi)，事件：豆子落在四邊形外，則A． B． C． D．【分析】由題意，計(jì)算正方形與圓的面積比，利用對立事件的概率求出的值．【解答】解：由題意，設(shè)正方形的邊長為，則圓的半徑為，面積為；正方形的邊長為，面積為；所求的概率為．故選：．【點(diǎn)評】本題考查條件概率與幾何概率的計(jì)算問題，是基礎(chǔ)題．6．（2023?宛城區(qū)校級三模）甲乙兩位游客慕名來到贛州旅游，準(zhǔn)備分別從大余丫山、崇義齊云山、全南天龍山、龍南九連山和安遠(yuǎn)三百山5個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選擇其中一個(gè)，記事件：甲和乙選擇的景點(diǎn)不同，事件：甲和乙恰好一人選擇崇義齊云山，則條件概率A． B． C． D．【分析】先利用古典概率公式求出（A）和的概率，再利用條件概率公式即可求出結(jié)果．【解答】解：由題知，，，所以．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查條件概率的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．7．（2023?浠水縣校級模擬）如果不是等差數(shù)列，但若，使得，那么稱為“局部等差”數(shù)列．已知數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為4，記事件：集合，，，，2，3，4，，事件為“局部等差”數(shù)列，則條件概率A． B． C． D．【分析】分別求出事件與事件的基本事件的個(gè)數(shù)，用計(jì)算結(jié)果．【解答】解：由題意知，事件共有個(gè)基本事件，事件：“局部等差”數(shù)列共有24個(gè)基本事件：①其中含1，2，3的局部等差數(shù)列分別為1，2，3，5和5，12，3和4，1，2，3共3個(gè)，含3，2，1的局部等差數(shù)列同理也有3個(gè)，共6個(gè)；②含3，4，5的和含5，4，3的與上述①相同，也有6個(gè)；③含2，3，4的有5，2，3，4和2，3，4，1共2個(gè)，含4，3，2的同理也有2個(gè)；④含1，3，5的有1，3，5，2和2，1，3，5和4，1，3，5和1，3，5，4共4個(gè)，含5，3，1的同理也有4個(gè)．．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了條件概率的求法，綜合運(yùn)用了等差數(shù)列與集合的知識，理解題意是解決此類題的關(guān)鍵，屬中檔題．8．（2023?周至縣三模）羽毛球單打?qū)嵭小叭謨蓜佟敝疲o平局）．甲乙兩人爭奪比賽的冠軍．甲在每局比賽中獲勝的概率均為，且每局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則在甲獲得冠軍的條件下，比賽進(jìn)行了三局的概率為A． B． C． D．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合二項(xiàng)分布的概率公式，以及條件概率公式，即可求解．【解答】解：記事件為甲獲得冠軍，事件為比賽進(jìn)行三局，故，（A），故．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查條件概率公式，屬于基礎(chǔ)題．9．（2023?貴州模擬）某地病毒暴發(fā)，全省支援，需要從我市某醫(yī)院某科室的4名男醫(yī)生（含一名主任醫(yī)師）、5名女醫(yī)生（含一名主任醫(yī)師）中分別選派3名男醫(yī)生和2名女醫(yī)生，則在有一名主任醫(yī)師被選派的條件下，兩名主任醫(yī)師都被選派的概率為A． B． C． D．【分析】設(shè)事件表示“選派3名男醫(yī)生和2名女醫(yī)生，有一名主任醫(yī)生被選派”，表示“選派3名男醫(yī)生和2名女醫(yī)生，兩名主任醫(yī)師都被選派”，利用古典概型分別求出（A），，再利用條件概率能求出在有一名主任醫(yī)師被選派的條件下，兩名主任醫(yī)師都被選派的概率．【解答】解：需要從我市某醫(yī)院某科室的4名男醫(yī)生（含一名主任醫(yī)師）、5名女醫(yī)生（含一名主任醫(yī)師）中分別選派3名男醫(yī)生和2名女醫(yī)生，設(shè)事件表示“選派3名男醫(yī)生和2名女醫(yī)生，有一名主任醫(yī)生被選派”，表示“選派3名男醫(yī)生和2名女醫(yī)生，兩名主任醫(yī)師都被選派”，（A），，則在有一名主任醫(yī)師被選派的條件下，兩名主任醫(yī)師都被選派的概率為：．故選：．【點(diǎn)評】本題考查概率的求法，考查古典概型、條件概率等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是基礎(chǔ)題．10．（2023?定遠(yuǎn)縣校級模擬）為弘揚(yáng)社會(huì)主義核心價(jià)值觀，傳承中華優(yōu)秀文化，某縣舉行“誦讀經(jīng)典，相約《論語》”的誦讀活動(dòng)．某校初步推選出甲乙2名教師和6名學(xué)生共8名朗誦愛好者，并從中隨機(jī)選取5名組成學(xué)校代表隊(duì)參加匯報(bào)演出，則代表隊(duì)中既有教師又有學(xué)生的條件下，教師甲被選中的概率為A． B． C． D．【分析】記“代表隊(duì)中既有教師又有學(xué)生”為事件，“教師甲被選中”為事件，根據(jù)組合數(shù)分別求得（A），，再根據(jù)條件概率公式即可求解．【解答】解：根據(jù)題意，記“代表隊(duì)中既有教師又有學(xué)生”為事件，“教師甲被選中”為事件，則，，所以．故選：．【點(diǎn)評】本題考查條件概率的計(jì)算，注意條件概率的計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題．11．（2023?上海模擬）現(xiàn)從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中選取兩人加入“數(shù)學(xué)興趣小組”，用表示事件“抽到兩名同學(xué)性別相同”，表示事件“抽到兩名女同學(xué)”，則在已知事件發(fā)生的情況下事件發(fā)生的概率即A． B． C． D．【分析】分別求出（A），，根據(jù)條件概率的計(jì)算公式即可求得答案．【解答】解：由題意可得表示事件“抽到兩名同學(xué)性別相同”，則，表示事件“抽到兩名女同學(xué)”，則，故，故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了古典概型的概率公式，考查了條件概率公式，屬于基礎(chǔ)題．12．（2023?瓊海校級模擬）東莞市同沙生態(tài)公園水繞山環(huán)，峰巒疊嶂，是一個(gè)天生麗質(zhì)，融山水生態(tài)與人文景觀為一體的新型公園．現(xiàn)有甲乙兩位游客慕名來到同沙生態(tài)公園旅游，分別準(zhǔn)備從映翠湖、十里河塘、計(jì)生雕塑園和鷺鳥天堂4個(gè)旅游景點(diǎn)中隨機(jī)選擇其中一個(gè)景點(diǎn)游玩．記事件：甲和乙至少一人選擇映翠湖，事件：甲和乙選擇的景點(diǎn)不同，則條件概率A． B． C． D．【分析】分別求出事件，事件對應(yīng)的基本事件的個(gè)數(shù)，再結(jié)合條件概率公式，即可求解．【解答】解：甲和乙至少一人選擇映翠湖對應(yīng)的基本事件有個(gè)，甲和乙選擇的景點(diǎn)不同對應(yīng)的基本事件有個(gè)，．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查條件概率公式，需要學(xué)生熟練掌握公式，屬于基礎(chǔ)題．13．（2023?武鳴區(qū)校級二模）【理科】甲乙丙丁四名學(xué)生報(bào)名參加四項(xiàng)體育比賽，每人只報(bào)一項(xiàng)，記事件“四名同學(xué)所報(bào)比賽各不相同”，事件”甲同學(xué)單獨(dú)報(bào)一項(xiàng)比賽”，則A． B． C． D．【分析】事件的基本事件有種，事件的基本事件有，即可計(jì)算．【解答】解：事件的基本事件有種，事件的基本事件有，則．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了條件概率的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．14．（2023?瓊山區(qū)校級三模）春天是鼻炎和感冒的高發(fā)期，某人在春季里患鼻炎的概率是，患感冒的概率是，鼻炎和感冒均未患的概率是，則此人在患鼻炎的條件下患感冒的概率為A． B． C． D．【分析】根據(jù)概率加法公式求出同時(shí)患感冒和患鼻炎的概率，再由條件概率公式計(jì)算即可得解．【解答】解：設(shè)某人在春季里鼻炎發(fā)作為事件，某人在春季里感冒發(fā)作為事件，則，則，由概率加法公式知（A）（B），可得則此人在鼻炎發(fā)作的條件下感冒的概率為：．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查條件概率公式，屬于基礎(chǔ)題．15．（2023?浙江模擬）設(shè)集合，且（A），（B），則下列說法正確的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意，由條件概率的計(jì)算公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果．【解答】解：因?yàn)?，所以（A），所以，．因?yàn)椋裕蔬x：．【點(diǎn)評】本題主要考查條件概率的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．16．（2023?河南三模）2022年卡塔爾世界杯上，32支球隊(duì)分成8個(gè)小組，每個(gè)小組的前兩名才能出線，晉級到?jīng)Q賽．某參賽隊(duì)在開賽前預(yù)測：本隊(duì)獲得小組第一的概率為0.6，獲得小組第二的概率為0.3；若獲得小組第一，則決賽獲勝的概率為0.9，若獲得小組第二，則決賽獲勝的概率為0.3．那么在已知該隊(duì)小組出線的條件下，其決賽獲勝的概率為A．0.54 B．0.63 C．0.7 D．0.9【分析】根據(jù)條件概率公式求解即可．【解答】解：設(shè)該隊(duì)小組出線為事件，該隊(duì)決賽獲勝為事件，則（A），，所以．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查條件概率公式，屬于基礎(chǔ)題．17．（2023?連云港模擬）在某地區(qū)進(jìn)行流行病調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100名某種疾病患者的年齡，發(fā)現(xiàn)該100名患者中有20名的年齡位于區(qū)間，內(nèi)．已知該地區(qū)這種疾病的患病率為，年齡位于區(qū)間，內(nèi)人口占該地區(qū)總?cè)丝诘模F(xiàn)從該地區(qū)任選一人，若此人年齡位于區(qū)間，內(nèi)，則此人患該疾病的概率為A．0.001 B．0.003 C．0.005 D．0.007【分析】利用條件概率的概率公式計(jì)算即可．【解答】解：設(shè)從該地區(qū)任選一人，若此人年齡位于區(qū)間，內(nèi)為事件，此人患該疾病為事件，則．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了條件概率的概率公式，屬于基礎(chǔ)題．18．（2023?南寧二模）現(xiàn)從3個(gè)男生2個(gè)女生共5人中任意選出3人參加某校高三年級的百日誓師大會(huì)，若選出的3人中，在有1人是女生的條件下，另2人是男生的概率為A． B． C． D．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合條件概率公式，即可求解．【解答】解：選出的3人中，在有1人是女生的條件下，另2人是男生的概率為．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查條件概率公式，屬于基礎(chǔ)題．19．（2023?小店區(qū)校級模擬）考察下列兩個(gè)問題：①已知隨機(jī)變量，且，，記；②甲、乙、丙三人隨機(jī)到某3個(gè)景點(diǎn)去旅游，每人只去一個(gè)景點(diǎn)，設(shè)表示“甲、乙、丙所去的景點(diǎn)互不相同”，表示“有一個(gè)景點(diǎn)僅甲一人去旅游”，記，則A． B． C． D．【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的期望公式和方差公式求出，從而可求得，再根據(jù)條件概率公式求得，即可求出答案．【解答】解：由，解得，，，，．故選：．【點(diǎn)評】本題考查概率的運(yùn)算，考查條件概率等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．20．（2023?合肥模擬）核酸檢測是目前確認(rèn)新型冠狀病毒感染最可靠的依據(jù)．經(jīng)大量病例調(diào)查發(fā)現(xiàn)，試劑盒的質(zhì)量、抽取標(biāo)本的部位和取得的標(biāo)本數(shù)量，對檢測結(jié)果的準(zhǔn)確性有一定影響．已知國外某地新冠病毒感染率為，在感染新冠病毒的條件下，標(biāo)本檢出陽性的概率為．若該地全員參加核酸檢測，則該地某市民感染新冠病毒且標(biāo)本檢出陽性的概率為A． B． C． D．【分析】根據(jù)條件概率的乘法公式即可求解．【解答】解：記感染新冠病毒為事件，感染新冠病毒的條件下，標(biāo)本為陽性為事件，則（A），，故某市民感染新冠病毒且標(biāo)本檢出陽性的概率為（A）．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了條件概率公式，屬于基礎(chǔ)題．21．（2023?浙江模擬）臨近高考，同學(xué)們寫祝?？ㄆS美好愿望．某寢室的5位同學(xué)每人寫一張祝?？ㄆ旁谝黄?/p>