第=page22頁，共=sectionpages22頁第=page6767頁，共=sectionpages6868頁新九年級（上）數(shù)學期中考試試題及答案一、填空題（每小題3分，共30分）．1．下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．下列方程中，關于x的一元一次方程是（）A．x2+2x＝x2﹣1 B．+﹣2＝0 C．ax2+bx+c＝0 D．（x+1）2＝2（x+1）3．平面直角坐標系中，與點（2，﹣3）關于原點中心對稱的點是（）A．（﹣3，2） B．（3，﹣2） C．（﹣2，3） D．（2，3）4．對于二次函數(shù)y＝（x﹣1）2+2的圖象，下列說法正確的是（）A．開口向下 B．頂點坐標是（1，2） C．對稱軸是x＝﹣1 D．與x軸有兩個交點5．拋物線y＝x2向左平移3個單位，再向下平移2個單位后，所得的拋物線表式是（）A．y＝（x﹣3）2﹣2 B．y＝（x﹣3）2+2 C．y＝（x+3）2﹣2 D．y＝（x+3）2+26．關于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的兩個實數(shù)根分別為2和﹣3，則（）A．b＝1，c＝﹣6 B．b＝﹣1，c＝﹣6 C．b＝5，c＝﹣6 D．b＝﹣1，c＝67．從5點15分到5點20分，分針旋轉的度數(shù)為（）A．20° B．26° C．30° D．36°8．若二次函數(shù)y＝x2﹣6x+c的圖象過A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3），則y1、y2、y3的大小關系是（）A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y1＞y29．在同一平面直角坐標系中，函數(shù)y＝ax+b與y＝ax2﹣bx的圖象可能是（）A． B． C． D．10．如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象的一部分，對稱軸為直線x＝，且經過點（2，0），下列說法：①abc＜0；②a+b＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣2，y1），（﹣3，y2）是拋物線上的兩點，則y1＜y2，其中說法正確的是（）A．①②④ B．③④ C．①③④ D．①②二、填空題（每小題4分，共24分）11．把方程3x2＝5x+2化為一元二次方程的一般形式是．12．（a+2）x2﹣2x+3＝0是關于x的一元二次方程，則a所滿足的條件是．13．拋物線y＝2x2﹣bx+3的對稱軸是直線x＝1，則b的值為．14．已知實數(shù)x，y滿足x2﹣6x++9＝0，則（x+y）2017的值是．15．如圖是一張長9cm、寬5cm的矩形紙板，將紙板四個角各剪去一個同樣的正方形，可制成底面積是12cm2的一個無蓋長方體紙盒，設剪去的正方形邊長為xcm，則可列出關于x的方程為．16．如圖，把直角三角形ABC的斜邊AB放在定直線l上，按順時針方向在l上轉動兩次，使它轉到△A″B″C″的位置．設BC＝2，AC＝2，則頂點A運動到點A″的位置時，點A經過的路線與直線l所圍成的面積是．三、解答題（一）（本大題共3小題，每小題6分，共18分）17．（6分）解方程：3（x﹣2）2＝2（2﹣x）．18．（6分）如圖，平面直角坐標系中，每個小正方形邊長都是1．（1）按要求作圖：△ABC關于原點中心對稱的△A1B1C1．（2）△A1B1C1中各個頂點的坐標．19．（6分）已知二次函數(shù)y＝x2+mx+n的圖象經過點P（﹣3，1），對稱軸是直線x＝﹣1．（1）求m，n的值；（2）x取什么值時，y隨x的增大而減??？四、解答題（二）（本大題共3小題，每小題7分，共21分）20．（7分）美化城市，改善人們的居住環(huán)境已成為城市建設的一項重要內容．我市近幾年來，通過拆遷舊房，植草，栽樹，修公園等措施，使城區(qū)綠地面積不斷增加（如圖所示）．（1）根據(jù)圖中所提供的信息回答下列問題：2015年底的綠地面積為公頃，比2014年底增加了公頃；在2013年，2014年，2015年這三年中，綠地面積增加最多的是年；（2）為滿足城市發(fā)展的需要，計劃到2017年底使城區(qū)綠地面積達到72.6公頃，試求今明兩年綠地面積的年平均增長率．21．（7分）已知二次函數(shù)y＝﹣2x2+bx+c的圖象經過點A（0，4）和B（1，﹣2）．（1）求此拋物線的解析式；（2）求此拋物線的對稱軸和頂點坐標；（3）設拋物線的頂點為C，試求△CAO的面積．22．（7分）已知：關于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0（1）求證：無論k取任何實數(shù)值，方程總有實數(shù)根；（2）若等腰三角形ABC的一邊長a＝1，另兩邊長b，c恰好是這個方程的兩個根，求△ABC的周長．五、解答題（三）（本大題共3小題，每小題9分，共27分）23．（9分）為了落實國務院的指示精神，某地方政府出臺了一系列“三農”優(yōu)惠政策，使農民收入大幅度增加．某農戶生產經銷一種農產品，已知這種產品的成本價為每千克20元，市場調查發(fā)現(xiàn)，該產品每天的銷售量y（千克）與銷售價x（元/千克）有如下關系：y＝﹣2x+80．設這種產品每天的銷售利潤為w元．（1）求w與x之間的函數(shù)關系式．（2）該產品銷售價定為每千克多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？（3）如果物價部門規(guī)定這種產品的銷售價不高于每千克28元，該農戶想要每天獲得150元的銷售利潤，銷售價應定為每千克多少元？24．（9分）如圖，△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC繞點A按逆時針方向旋轉得到的，連接BE、CF相交于點D．（1）求證：BE＝CF；（2）當四邊形ABDF為菱形時，求CD的長．25．（9分）如圖，矩形OABC在平面直角坐標系xOy中，點A在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，OA＝4，OC＝3，若拋物線的頂點在BC邊上，且拋物線經過O，A兩點，直線AC交拋物線于點D．（1）求拋物線的解析式；（2）求點D的坐標；（3）若點M在拋物線上，點N在x軸上，是否存在以A，D，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

參考答案一、填空題1．下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．解：A、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故A錯誤；B、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故B錯誤；C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故C錯誤；D、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故D正確．故選：D．【點評】本題考查了中心對稱及軸對稱的知識，解題時掌握好中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后兩部分重合．2．下列方程中，關于x的一元一次方程是（）A．x2+2x＝x2﹣1 B．+﹣2＝0 C．ax2+bx+c＝0 D．（x+1）2＝2（x+1）【分析】根據(jù)一元一次方程的定義，一元二次方程的定義對各選項分析判斷即可得解．解：A、化簡可得2x＝﹣1，是一元一次方程，故本選項正確；B、未知數(shù)在分母上，不是整式方程，故本選項錯誤；C、沒有對常數(shù)a、b不等于0的限制，所以不是一元一次方程，也不是一元二次方程，故本選項錯誤；D、整理得x2+2x+1＝2x+2，是一元二次方程，故本選項錯誤．故選：A．【點評】本題利用了一元二次方程的概念，一元一次方程的概念，只有一個未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．3．平面直角坐標系中，與點（2，﹣3）關于原點中心對稱的點是（）A．（﹣3，2） B．（3，﹣2） C．（﹣2，3） D．（2，3）【分析】平面直角坐標系中任意一點P（x，y），關于原點的對稱點是（﹣x，﹣y）．解：點（2，﹣3）關于原點中心對稱的點的坐標是（﹣2，3）．故選：C．【點評】本題考查了平面直角坐標系中任意一點P（x，y），關于原點的對稱點是（﹣x，﹣y），比較簡單．4．對于二次函數(shù)y＝（x﹣1）2+2的圖象，下列說法正確的是（）A．開口向下 B．頂點坐標是（1，2） C．對稱軸是x＝﹣1 D．與x軸有兩個交點【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質對各開口方向、頂點坐標、對稱軸以及與x軸交點的坐標進行判斷即可．解：A、y＝（x﹣1）2+2，∵a＝1＞0，∴圖象的開口向上，此選項錯誤；B、y＝（x﹣1）2+2頂點坐標是（1，2），此選項正確；C、對稱軸是直線x＝1，此選項錯誤；D、（x﹣1）2+2＝0，（x﹣1）2＝﹣2，此方程無解，與x軸沒有交點，故本選項錯誤．【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質，掌握利用頂點式求拋物線的開口方向、頂點坐標、對稱軸與x軸交點的判定方法是解決問題的關鍵．5．拋物線y＝x2向左平移3個單位，再向下平移2個單位后，所得的拋物線表式是（）A．y＝（x﹣3）2﹣2 B．y＝（x﹣3）2+2 C．y＝（x+3）2﹣2 D．y＝（x+3）2+2【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的平移規(guī)律：左加右減，上加下減，可得答案．解：y＝x2向左平移3個單位，再向下平移2個單位后，所得的拋物線表式是y＝（x+3）2﹣2，故選：C．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．6．關于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的兩個實數(shù)根分別為2和﹣3，則（）A．b＝1，c＝﹣6 B．b＝﹣1，c＝﹣6 C．b＝5，c＝﹣6 D．b＝﹣1，c＝6【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關系得到2+（﹣3）＝﹣b，2×（﹣3）＝c，然后可分別計算出b、c的值．解：根據(jù)題意得2+（﹣3）＝﹣b，2×（﹣3）＝c，解得b＝1，c＝﹣6．故選：A．【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與系數(shù)的關系：若方程的兩根為x1，x2，則x1+x2＝﹣，x1?x2＝．7．從5點15分到5點20分，分針旋轉的度數(shù)為（）A．20° B．26° C．30° D．36°【分析】先求的分針旋轉的速度為＝6（度/分鐘），繼而可得答案．解：∵分針旋轉的速度為＝6（度/分鐘），∴從5點15分到5點20分，分針旋轉的度數(shù)為6×5＝30（度），故選：C．【點評】本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等，即對應線段相等，對應角相等，對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角．8．若二次函數(shù)y＝x2﹣6x+c的圖象過A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3），則y1、y2、y3的大小關系是（）A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y1＞y2【分析】根據(jù)函數(shù)解析式的特點，其對稱軸為x＝3，圖象開口向上；利用對稱軸左側y隨x的增大而減小，可判斷y1＞y2，根據(jù)C（3，y3）在對稱軸上可判斷y3＜y2；于是y1＞y2＞y3．解：由二次函數(shù)y＝x2﹣6x+c可知對稱軸為x＝﹣＝﹣＝3，∴C（3，y3）在對稱軸上，∵A（﹣1，y1），B（2，y2）在對稱軸的左側，y隨x的增大而減小，∴y1＞y2＞y3．故選：A．【點評】此題主要考查二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，關鍵是根據(jù)函數(shù)關系式，找出對稱軸．9．在同一平面直角坐標系中，函數(shù)y＝ax+b與y＝ax2﹣bx的圖象可能是（）A． B． C． D．【分析】首先根據(jù)圖形中給出的一次函數(shù)圖象確定a、b的符號，進而運用二次函數(shù)的性質判斷圖形中給出的二次函數(shù)的圖象是否符合題意，根據(jù)選項逐一討論解析，即可解決問題．解：A、對于直線y＝ax+b來說，由圖象可以判斷，a＞0，b＞0；而對于拋物線y＝ax2﹣bx來說，對稱軸x＝＞0，應在y軸的右側，故不合題意，圖形錯誤；B、對于直線y＝ax+b來說，由圖象可以判斷，a＜0，b＞0；而對于拋物線y＝ax2﹣bx來說，對稱軸x＝＜0，應在y軸的左側，故不合題意，圖形錯誤；C、對于直線y＝ax+b來說，由圖象可以判斷，a＞0，b＞0；而對于拋物線y＝ax2﹣bx來說，圖象開口向上，對稱軸x＝＞0，應在y軸的右側，故符合題意；D、對于直線y＝ax+b來說，由圖象可以判斷，a＞0，b＞0；而對于拋物線y＝ax2﹣bx來說，圖象開口向下，a＜0，故不合題意，圖形錯誤；故選：C．【點評】此主要考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象的性質及其應用問題；解題的方法是首先根據(jù)其中一次函數(shù)圖象確定a、b的符號，進而判斷另一個函數(shù)的圖象是否符合題意；解題的關鍵是靈活運用一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象的性質來分析、判斷、解答．10．如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象的一部分，對稱軸為直線x＝，且經過點（2，0），下列說法：①abc＜0；②a+b＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣2，y1），（﹣3，y2）是拋物線上的兩點，則y1＜y2，其中說法正確的是（）A．①②④ B．③④ C．①③④ D．①②【分析】①根據(jù)拋物線開口方向、對稱軸位置、拋物線與y軸交點位置求得a、b、c的符號；②根據(jù)對稱軸求出b＝﹣a；③把x＝2代入函數(shù)關系式，結合圖象判斷函數(shù)值與0的大小關系；④根據(jù)﹣3＜﹣2＜，結合拋物線的性質即可判斷y1和y2的大?。猓孩佟叨魏瘮?shù)的圖象開口向下，∴a＜0，∵二次函數(shù)的圖象交y軸的正半軸于一點，∴c＞0，∵對稱軸是直線x＝，∴﹣＝，∴b＝﹣a＞0，∴abc＜0．故①正確；②∵由①中知b＝﹣a，∴a+b＝0，故②正確；③把x＝2代入y＝ax2+bx+c得：y＝4a+2b+c，∵拋物線經過點（2，0），∴當x＝2時，y＝0，即4a+2b+c＝0．故③錯誤；④∵拋物線開口向下，對稱軸為x＝，∴在對稱軸的左邊y隨x的增大而增大，∵﹣3＜﹣2＜，∴y1＞y2．故④錯誤；綜上所述，正確的結論是①②．故選：D．【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象和系數(shù)的關系的應用，注意：當a＞0時，二次函數(shù)的圖象開口向上，當a＜0時，二次函數(shù)的圖象開口向下．二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）11．把方程3x2＝5x+2化為一元二次方程的一般形式是3x2﹣5x﹣2＝0．【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常數(shù)且a≠0），據(jù)此即可求解．解：一元二次方程3x2＝5x+2的一般形式是3x2﹣5x﹣2＝0．故答案為：3x2﹣5x﹣2＝0．【點評】在移項的過程中容易出現(xiàn)的錯誤是忘記變號．12．（a+2）x2﹣2x+3＝0是關于x的一元二次方程，則a所滿足的條件是a≠﹣2．【分析】根據(jù)一元二次方程的定義得出a+2≠0，求出即可．解：∵（a+2）x2﹣2x+3＝0是關于x的一元二次方程，∴a+2≠0，∴a≠﹣2．故答案為：a≠﹣2．【點評】本題考查了一元二次方程的定義，注意：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（abc都是常數(shù)，且a≠0）．13．拋物線y＝2x2﹣bx+3的對稱軸是直線x＝1，則b的值為4．【分析】已知拋物線的對稱軸，利用對稱軸公式可求b的值．解：∵y＝2x2﹣bx+3，對稱軸是直線x＝1，∴＝1，即﹣＝1，解得b＝4．【點評】主要考查了求拋物線的頂點坐標的方法：公式法：y＝ax2+bx+c的頂點坐標為（，），對稱軸是x＝．14．已知實數(shù)x，y滿足x2﹣6x++9＝0，則（x+y）2017的值是﹣1．【分析】直接利用非負數(shù)的性質以及二次根式的性質求出x，y的值進而得出答案．解：∵x2﹣6x++9＝0，∴（x﹣3）2+＝0，解得：x＝3，y＝﹣4，故（x+y）2017＝（3﹣4）2017＝﹣1．故答案為：﹣1．【點評】此題主要考查了非負數(shù)的性質，正確得出x的值是解題關鍵．15．如圖是一張長9cm、寬5cm的矩形紙板，將紙板四個角各剪去一個同樣的正方形，可制成底面積是12cm2的一個無蓋長方體紙盒，設剪去的正方形邊長為xcm，則可列出關于x的方程為（9﹣2x）?（5﹣2x）＝12．【分析】由于剪去的正方形邊長為xcm，那么長方體紙盒的底面的長為（9﹣2x），寬為（5﹣2x），然后根據(jù)底面積是12cm2即可列出方程．解：設剪去的正方形邊長為xcm，依題意得（9﹣2x）?（5﹣2x）＝12，故填空答案：（9﹣2x）?（5﹣2x）＝12．【點評】此題首先要注意讀懂題意，正確理解題意，然后才能利用題目的數(shù)量關系列出方程．16．如圖，把直角三角形ABC的斜邊AB放在定直線l上，按順時針方向在l上轉動兩次，使它轉到△A″B″C″的位置．設BC＝2，AC＝2，則頂點A運動到點A″的位置時，點A經過的路線與直線l所圍成的面積是π+2．【分析】在△ABC中，BC＝2，AC＝2，根據(jù)勾股定理得到AB的長為4．求出∠CAB、∠CBA，頂點A運動到點A″的位置時，點A經過的路線與直線l所圍成的面積是兩個扇形的面積+△A′BC″的面積．根據(jù)扇形的面積公式可以進行計算．解：∵在Rt△ACB中，BC＝2，AC＝2，∴由勾股定理得：AB＝4，∴AB＝2BC，∴∠CAB＝30°，∠CBA＝60°，∴∠ABA′＝120°，∠A″C″A′＝90°，S＝++×2×2＝π+2，故答案為：π+2．【點評】本題考查了扇形的面積計算，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質的應用，本題的關鍵是弄清頂點A運動到點A″的位置時，點A經過的路線與直線l所圍成的圖形的形狀．三、解答題（一）（本大題共3小題，每小題6分，共18分）17．（6分）解方程：3（x﹣2）2＝2（2﹣x）．【分析】移項，利用因式分解法求得方程的解即可．解：3（x﹣2）2＝2（2﹣x）3（x﹣2）2﹣2（2﹣x）＝0（x﹣2）[3（x﹣2）+2]＝0x﹣2＝0，3x﹣4＝0解得：x1＝2，x2＝．【點評】此題考查用因式分解法解一元二次方程，掌握提取公因式法是解決問題的關鍵．18．（6分）如圖，平面直角坐標系中，每個小正方形邊長都是1．（1）按要求作圖：△ABC關于原點中心對稱的△A1B1C1．（2）△A1B1C1中各個頂點的坐標．【分析】（1）根據(jù)關于原點對稱的點的坐標特征寫出A1、B1、C1點的坐標，然后描點即可；（2）由（1）可得）△A1B1C1中各個頂點的坐標．解：（1）如圖，（2）A1（1，﹣3），B1（6，﹣1），C1（3，﹣1）．【點評】本題考查了作圖﹣旋轉變換：根據(jù)旋轉的性質可知，對應角都相等都等于旋轉角，對應線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應點，順次連接得出旋轉后的圖形．也考查了等腰三角形的性質．19．（6分）已知二次函數(shù)y＝x2+mx+n的圖象經過點P（﹣3，1），對稱軸是直線x＝﹣1．（1）求m，n的值；（2）x取什么值時，y隨x的增大而減??？【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)過點P和二次函數(shù)的對稱軸為x＝﹣1，可得出關于m、n的二元一次方程組，解方程組即可得出m、n的值；（2）由二次函數(shù)的a的值大于0，結合函數(shù)的單調性，即可得出結論．解：（1）∵二次函數(shù)y＝x2+mx+n的圖象經過點P（﹣3，1），對稱軸是直線x＝﹣1，∴有，解得．∴二次函數(shù)的解析式為y＝x2+2x﹣2．（2）∵a＝1＞0，∴拋物線的開口向上，當x≤﹣1時，函數(shù)遞減；當x＞﹣1時，函數(shù)遞增．故當x≤﹣1時，y隨x的增大而減?。军c評】本題考查了二次函數(shù)的性質，解題的關鍵是：（1）由點的坐標以及對稱軸的解析式得出二元一次方程組；（2）由a＝1＞0及對稱軸為x＝﹣1，結合二次函數(shù)的性質即可得知當x≤﹣1時，函數(shù)遞減．四、解答題（二）（本大題共3小題，每小題7分，共21分）20．（7分）美化城市，改善人們的居住環(huán)境已成為城市建設的一項重要內容．我市近幾年來，通過拆遷舊房，植草，栽樹，修公園等措施，使城區(qū)綠地面積不斷增加（如圖所示）．（1）根據(jù)圖中所提供的信息回答下列問題：2015年底的綠地面積為60公頃，比2014年底增加了4公頃；在2013年，2014年，2015年這三年中，綠地面積增加最多的是2014年；（2）為滿足城市發(fā)展的需要，計劃到2017年底使城區(qū)綠地面積達到72.6公頃，試求今明兩年綠地面積的年平均增長率．【分析】（1）根據(jù)統(tǒng)計圖能看出2003年的綠化面積和2002年的綠化面積．（2）設04，05兩年綠地面積的年平均增長率為x，根據(jù)計劃到2005年底使城區(qū)綠地面積達到72.6公頃，可列方程求解．解：（1）2015年的綠化面積為60公頃，2014年綠化的面積為56公頃．60﹣56＝4，比2014年底增加了4公頃，這三年中增長最多的是2014年．故答案是：60；4；2014；（2）設2016，2017兩年綠地面積的年平均增長率為x，60（1+x）2＝72.6．x＝10%或x＝﹣210%（舍去）．答：2016，2017兩年綠地面積的年平均增長率10%．【點評】本題考查折線統(tǒng)計圖及一元二次方程的應用的知識，從上面可看出每年對應的公頃數(shù)，以及2015年和2017年的公頃數(shù)，求出增長率．21．（7分）已知二次函數(shù)y＝﹣2x2+bx+c的圖象經過點A（0，4）和B（1，﹣2）．（1）求此拋物線的解析式；（2）求此拋物線的對稱軸和頂點坐標；（3）設拋物線的頂點為C，試求△CAO的面積．【分析】（1）利用待定系數(shù)法把A（0，4）和B（1，﹣2）代入y＝﹣2x2+bx+c中，可以解得b，c的值，從而求得函數(shù)關系式即可；（2）利用配方法求出圖象的對稱軸和頂點坐標；（3）由（2）可得頂點C的坐標，再根據(jù)三角形的面積公式即可求出△CAO的面積．解：（1）把A（0，4）和B（1，﹣2）代入y＝﹣2x2+bx+c，得：，解得：，所以此拋物線的解析式為y＝﹣2x2﹣4x+4；（2）∵y＝﹣2x2﹣4x+4＝﹣2（x2+2x）+4＝﹣2[（x+1）2﹣1]+4＝﹣2（x+1）2+6，∴此拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1，頂點坐標為（﹣1，6）；（3）由（2）知：頂點C（﹣1，6），∵點A（0，4），∴OA＝4，∴S△CAO＝OA?|xc|＝×4×1＝2，即△CAO的面積為2．【點評】本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)解析式的三種形式，二次函數(shù)的性質以及三角形的面積，難度適中．正確求出函數(shù)的解析式是解題的關鍵．22．（7分）已知：關于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0（1）求證：無論k取任何實數(shù)值，方程總有實數(shù)根；（2）若等腰三角形ABC的一邊長a＝1，另兩邊長b，c恰好是這個方程的兩個根，求△ABC的周長．【分析】（1）先計算出△＝（k+2）2﹣4?2k＝（k﹣2）2，然后根據(jù)非負數(shù)的性質和根的判別式的意義判斷方程根的情況；（2）分類討論：當b＝c時，△＝0，則k＝2，再把k代入方程，求出方程的解，然后計算三角形周長；當b＝a＝1或c＝a＝1時，把x＝1代入方程解出k＝1，再解此時的一元二次方程，然后根據(jù)三角形三邊的關系進行判斷．（1）證明：△＝（k+2）2﹣4?2k＝（k﹣2）2，∵（k﹣2）2≥0，即△≥0，∴無論取任何實數(shù)值，方程總有實數(shù)根；（2）解：當b＝c時，△＝（k﹣2）2＝0，則k＝2，方程化為x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2，∴△ABC的周長＝2+2+1＝5；當b＝a＝1或c＝a＝1時，把x＝1代入方程得1﹣（k+2）+2k＝0，解得k＝1，方程化為x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，不符合三角形三邊的關系，此情況舍去，∴△ABC的周長為5．【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判別式△＝b2﹣4ac：①當△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；②當△＝0，方程有兩個相等的實數(shù)根；③當△＜0，方程沒有實數(shù)根．也考查了三角形三邊的關系．五、解答題（三）（本大題共3小題，每小題9分，共27分）23．（9分）為了落實國務院的指示精神，某地方政府出臺了一系列“三農”優(yōu)惠政策，使農民收入大幅度增加．某農戶生產經銷一種農產品，已知這種產品的成本價為每千克20元，市場調查發(fā)現(xiàn)，該產品每天的銷售量y（千克）與銷售價x（元/千克）有如下關系：y＝﹣2x+80．設這種產品每天的銷售利潤為w元．（1）求w與x之間的函數(shù)關系式．（2）該產品銷售價定為每千克多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？（3）如果物價部門規(guī)定這種產品的銷售價不高于每千克28元，該農戶想要每天獲得150元的銷售利潤，銷售價應定為每千克多少元？【分析】（1）根據(jù)銷售額＝銷售量×銷售單價，列出函數(shù)關系式；（2）用配方法將（1）的函數(shù)關系式變形，利用二次函數(shù)的性質求最大值；（3）把y＝150代入（2）的函數(shù)關系式中，解一元二次方程求x，根據(jù)x的取值范圍求x的值．解：（1）由題意得出：w＝（x﹣20）?y＝（x﹣20）（﹣2x+80）＝﹣2x2+120x﹣1600，故w與x的函數(shù)關系式為：w＝﹣2x2+120x﹣1600；（2）w＝﹣2x2+120x﹣1600＝﹣2（x﹣30）2+200，∵﹣2＜0，∴當x＝30時，w有最大值．w最大值為200．答：該產品銷售價定為每千克30元時，每天銷售利潤最大，最大銷售利潤200元．（3）當w＝150時，可得方程﹣2（x﹣30）2+200＝150．解得x1＝25，x2＝35．∵35＞28，∴x2＝35不符合題意，應舍去．答：該農戶想要每天獲得150元的銷售利潤，銷售價應定為每千克25元．【點評】本題考查了二次函數(shù)的運用．關鍵是根據(jù)題意列出函數(shù)關系式，運用二次函數(shù)的性質解決問題．24．（9分）如圖，△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC繞點A按逆時針方向旋轉得到的，連接BE、CF相交于點D．（1）求證：BE＝CF；（2）當四邊形ABDF為菱形時，求CD的長．【分析】（1）根據(jù)旋轉的性質得AE＝AF＝AB＝AC＝2，∠EAF＝∠BAC＝45°，然后根據(jù)“SAS”證明△ABE≌△ACF，于是根據(jù)全等三角形的性質即可得到結論；（2）根據(jù)菱形的性質得DF＝AF＝2，DF∥AB，再利用平行線的性質得∠1＝∠BAC＝45°，則可判斷△ACF為等腰直角三角形，所以CF＝AF＝2，然后計算CF﹣DF即可．（1）證明：∵△AEF是由△ABC繞點A按逆時針方向旋轉得到的，∴AE＝AF＝AB＝AC＝2，∠EAF＝∠BAC＝45°，∴∠BAC+∠3＝∠EAF+∠3，即∠BAE＝∠CAF，在△ABE和△ACF中，∴△ABE≌△ACF，∴BE＝CF；（2）解：∵四邊形ABDF為菱形，∴DF＝AF＝2，DF∥AB，∴∠1＝∠BAC＝45°，∴△ACF為等腰直角三角形，∴CF＝AF＝2，∴CD＝CF﹣DF＝2﹣2．【點評】本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．也考查了菱形的性質．25．（9分）如圖，矩形OABC在平面直角坐標系xOy中，點A在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，OA＝4，OC＝3，若拋物線的頂點在BC邊上，且拋物線經過O，A兩點，直線AC交拋物線于點D．（1）求拋物線的解析式；（2）求點D的坐標；（3）若點M在拋物線上，點N在x軸上，是否存在以A，D，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）由OA的長度確定出A的坐標，再利用對稱性得到頂點坐標，設出拋物線的頂點形式y(tǒng)＝a（x﹣2）2+3，將A的坐標代入求出a的值，即可確定出拋物線解析式；（2）設直線AC解析式為y＝kx+b，將A與C坐標代入求出k與b的值，確定出直線AC解析式，與拋物線解析式聯(lián)立即可求出D的坐標；（3）存在，分兩種情況考慮：如圖所示，當四邊形ADMN為平行四邊形時，DM∥AN，DM＝AN，由對稱性得到M（3，），即DM＝2，故AN＝2，根據(jù)OA+AN求出ON的長，即可確定出N的坐標；當四邊形ADM′N′為平行四邊形，可得三角形ADQ全等于三角形N′M′P，M′P＝DQ＝，N′P＝AQ＝3，將y＝﹣代入得：﹣＝﹣x2+3x，求出x的值，確定出OP的長，由OP+PN′求出ON′的長即可確定出N′坐標．解：（1）設拋物線頂點為E，根據(jù)題意OA＝4，OC＝3，得：E（2，3），設拋物線解析式為y＝a（x﹣2）2+3，將A（4，0）坐標代入得：0＝4a+3，即a＝﹣，則拋物線解析式為y＝﹣（x﹣2）2+3＝﹣x2+3x；（2）設直線AC解析式為y＝kx+b（k≠0），將A（4，0）與C（0，3）代入得：，解得：，故直線AC解析式為y＝﹣x+3，與拋物線解析式聯(lián)立得：，解得：或，則點D坐標為（1，）；（3）存在，分兩種情況考慮：①當點M在x軸上方時，如答圖1所示：四邊形ADMN為平行四邊形，DM∥AN，DM＝AN，由對稱性得到M（3，），即DM＝2，故AN＝2，∴N1（2，0），N2（6，0）；②當點M在x軸下方時，如答圖2所示：過點D作DQ⊥x軸于點Q，過點M作MP⊥x軸于點P，可得△ADQ≌△NMP，∴MP＝DQ＝，NP＝AQ＝3，將yM＝﹣代入拋物線解析式得：﹣＝﹣x2+3x，解得：xM＝2﹣或xM＝2+，∴xN＝xM﹣3＝﹣﹣1或﹣1，∴N3（﹣﹣1，0），N4（﹣1，0）．綜上所述，滿足條件的點N有四個：N1（2，0），N2（6，0），N3（﹣﹣1，0），N4（﹣1，0）．【點評】此題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法確定拋物線解析式，一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點，平行四邊形的性質，以及坐標與圖形性質，是一道多知識點的探究型試題．

新九年級（上）期中考試數(shù)學試題及答案一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分）1．拋物線y＝﹣2x2+1的對稱軸是（）A．直線 B．直線 C．y軸 D．直線x＝22．將拋物線y＝2x2向左平移3個單位，所得拋物線的解析式是（）A．y＝2（x+3）2 B．y＝2（x﹣3）2 C．y＝2x2+3 D．y＝2x2﹣33．若a＝5cm，b＝10mm，則的值是（）A． B． C．2 D．54．函數(shù)y＝﹣的圖象位于（）A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限5．手工制作課上，小紅利用一些花布的邊角料，剪裁后裝飾手工畫，下面四個圖案是她剪裁出的空心不等邊三角形、等邊三角形、正方形、矩形花邊，其中，每個圖案花邊的寬度都相等，那么，每個圖案中花邊的內外邊緣所圍成的幾何圖形不一定相似的是（）A． B． C． D．6．下列關于二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣1的說法中，正確的是（）A．拋物線的開口向下 B．拋物線的點點坐標是（1，﹣1） C．當x＞1時，y隨x的增大而減小 D．當x＝1時，函數(shù)y的最小值是﹣27．如圖所示，點P是?ABCD的對角線AC上的一點，過點P分別作PE∥BC，PF∥CD，交AB，AD于點E，F(xiàn)，則下列式子中不成立的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝8．反比例函數(shù)y＝（k≠0）與二次函數(shù)y＝x2+kx﹣k的大致圖象是（）A． B． C． D．9．如圖，將矩形紙片ABCD折疊，使點A與點C重合，折痕為EF，若AB＝4，BC＝2，那么線段EF的長為（）A．2 B． C． D．10．如圖所示，菱形ABCD的邊長為5cm，高為4cm，直線l⊥邊AB，并從點A出發(fā)以1cm/s的速度向右運動，若直線l在菱形ABCD內部截得的線段MN的長為y（cm），則下列最能反映y（cm）與運動時間x（s）之間的函數(shù)關系的圖象是（）A． B． C． D．二、填空題（本大題共4大題，每小題5分，滿分20分）11．如圖，在△ABC中點D、E分別在邊AB、AC上，請?zhí)砑右粋€條件：，使△ABC∽△AED．12．若拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸分別交于A，B兩點，則AB的長為．13．如圖，正方形OAPB，矩形ADFE的頂點O，A，D，B在坐標軸上，點E是AP的中點，點P，F(xiàn)在函數(shù)y＝（x＞0）圖象上，則點F的坐標是．14．如圖，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝9，將△ABE沿BE翻折得到△A'BE，點A'落在矩形ABCD的內部，且∠AA'G＝90°，若以點A'、G、C為頂點的三角形是直角三角形，則AE＝．三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）15．已知，求的值．16．已知二次函數(shù)y＝x2+2x﹣3．（1）用配方法求該二次函數(shù)圖象的頂點坐標；（2）指出y隨x的變化情況．四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）17．如圖，矩形OABC的頂點A、C分別在x軸和y軸上，點B的坐標為（2，3）．雙曲線y＝（x＞0）的圖象經過BC的中點D，且與AB交于點E，連接DE．（1）求k的值及點E的坐標；（2）若點F是OC邊上一點，且△FBC∽△DEB，求直線FB的解析式．18．如圖是一個3×8的網格圖，每個小正方形的邊長均為1，三個頂點都在小正方形的頂點上的三角形叫做格點三角形，圖中格點△ABC的三邊長分別為，2、，請在網格圖中畫出三個與△ABC相似但不全等的格點三角形，并求與△ABC相似的格點三角形的最大面積．五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）19．已知拋物線y＝（x﹣m）2﹣（x﹣m），其中m是常數(shù)．（1）求證：不論m為何值，該拋物線與x軸一定有兩個公共點；（2）若該拋物線的對稱軸為直線x＝．①求該拋物線的函數(shù)解析式；②把該拋物線沿y軸向上平移多少個單位長度后，得到的拋物線與x軸只有一個公共點．20．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是邊AB上的高．求證：（1）求證：AC2＝AD?AB；（2）利用相似形的知識證明AB2＝AC2+BC2．六、（本題滿分12分）21．根據(jù)對寧波市相關的市場物價調研，某批發(fā)市場內甲種水果的銷售利潤y1（千元）與進貨量x（噸）近似滿足函數(shù)關系y1＝0.25x，乙種水果的銷售利潤y2（千元）與進貨量x（噸）之間的函數(shù)y2＝ax2+bx+c的圖象如圖所示．（1）求出y2與x之間的函數(shù)關系式；（2）如果該市場準備進甲、乙兩種水果共8噸，設乙水果的進貨量為t噸，寫出這兩種水果所獲得的銷售利潤之和W（千元）與t（噸）之間的函數(shù)關系式，并求出這兩種水果各進多少噸時獲得的銷售利潤之和最大，最大利潤是多少？七、（本題滿分12分）22．定義：頂點、開口大小相同，開口方向相反的兩個二次函數(shù)互為“反簇二次函數(shù)”．（1）已知二次函數(shù)y＝﹣（x﹣2）2+3，則它的“反簇二次函數(shù)”是；（2）已知關于x的二次函數(shù)y1＝2x2﹣2mx+m+1和y2＝ax2+bx+c，其中y1的圖象經過點（1，1）．若y1+y2與y1互為“反簇二次函數(shù)”．求函數(shù)y2的表達式，并直接寫出當0≤x≤3時，y2的最小值．八、（本題滿分14分）23．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經過點（﹣1，4），且與直線y＝﹣x+1相交于A、B兩點（如圖），A點在y軸上，過點B作BC⊥x軸，垂足為點C（﹣3，0）．（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）點N是二次函數(shù)圖象上一點（點N在AB上方），過N作NP⊥x軸，垂足為點P，交AB于點M，求MN的最大值；（3）在（2）的條件下，點N在何位置時，BM與NC相互垂直平分？并求出所有滿足條件的N點的坐標．

參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．拋物線y＝﹣2x2+1的對稱軸是（）A．直線 B．直線 C．y軸 D．直線x＝2【分析】已知拋物線解析式為頂點式，可直接寫出頂點坐標及對稱軸．【解答】解：∵拋物線y＝﹣2x2+1的頂點坐標為（0，1），∴對稱軸是直線x＝0（y軸），故選：C．2．將拋物線y＝2x2向左平移3個單位，所得拋物線的解析式是（）A．y＝2（x+3）2 B．y＝2（x﹣3）2 C．y＝2x2+3 D．y＝2x2﹣3【分析】按照“左加右減”的規(guī)律即可求得．【解答】解：將拋物線y＝2x2向左平移3個單位，得y＝2（x+3）2；故所得拋物線的解析式為y＝2（x+3）2．故選：A．3．若a＝5cm，b＝10mm，則的值是（）A． B． C．2 D．5【分析】根據(jù)比例線段計算即可．【解答】解：因為a＝5cm，b＝10mm，所以的值＝，故選：D．4．函數(shù)y＝﹣的圖象位于（）A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的圖象和性質，k＝﹣2＜0，函數(shù)位于二、四象限．【解答】解：y＝﹣中k＝﹣2＜0，根據(jù)反比例函數(shù)的性質，圖象位于第二、四象限．故選：D．5．手工制作課上，小紅利用一些花布的邊角料，剪裁后裝飾手工畫，下面四個圖案是她剪裁出的空心不等邊三角形、等邊三角形、正方形、矩形花邊，其中，每個圖案花邊的寬度都相等，那么，每個圖案中花邊的內外邊緣所圍成的幾何圖形不一定相似的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)相似圖形的定義，結合圖形，對選項一一分析，排除不符合要求答案．【解答】解：A：形狀相同，符合相似形的定義，對應角相等，所以三角形相似，故A選項不符合要求；B：形狀相同，符合相似形的定義，故B選項不符合要求；C：形狀相同，符合相似形的定義，故C選項不符合要求；D：兩個矩形，雖然四個角對應相等，但對應邊不成比例，故D選項符合要求；故選：D．6．下列關于二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣1的說法中，正確的是（）A．拋物線的開口向下 B．拋物線的點點坐標是（1，﹣1） C．當x＞1時，y隨x的增大而減小 D．當x＝1時，函數(shù)y的最小值是﹣2【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象性質即可判斷．【解答】解：由二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2可知a＝﹣2＜0，∴二次函數(shù)開口向下，頂點為（1，﹣2），對稱軸為：直線x＝1，當x＝1時，函數(shù)y的最小值是﹣2，當x＞1時，y隨x的增大而增大，故選：D．7．如圖所示，點P是?ABCD的對角線AC上的一點，過點P分別作PE∥BC，PF∥CD，交AB，AD于點E，F(xiàn)，則下列式子中不成立的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質，以及平行線分線段成比例定理即可得到結論．【解答】解：∵PF∥CD，PE∥BC，∴△APF∽△ACD，△AEP∽△ABC，∴＝，＝，∴；＝，故A、D正確；∵PE∥BC，PF∥CD，∴四邊形AEPF是平行四邊形，∴PF＝AE，∵＝，∴；故B正確；同理，故C錯誤；故選：C．8．反比例函數(shù)y＝（k≠0）與二次函數(shù)y＝x2+kx﹣k的大致圖象是（）A． B． C． D．【分析】首先根據(jù)反比例函數(shù)所在象限確定k的符號，再根據(jù)k的符號確定拋物線的開口方向和對稱軸，即可選出答案．【解答】解：A、反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象經過第一、三象限，則k＞0，此時函數(shù)y＝x2+kx﹣k的對稱軸為y＝﹣＜0，對稱軸在y軸的左側，與所示圖象不符，故本選項錯誤；B、反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象經過第一、三象限，則k＞0，此時函數(shù)y＝x2+kx﹣k的對稱軸為y＝﹣＜0，對稱軸在y軸的左側，﹣k＜0，與y軸交于負半軸，與所示圖象相符，故本選項正確；C、反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象經過第二、四象限，則k＜0，此時函數(shù)y＝x2+kx﹣k的對稱軸為y＝﹣＞0，對稱軸在y軸的右側，與所示圖象不符，故本選項錯誤；D、反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象經過第二、四象限，則k＜0，此時，﹣k＞0，函數(shù)y＝x2+kx﹣k的與y軸交于正半軸，與所示圖象不符，故本選項錯誤；故選：B．9．如圖，將矩形紙片ABCD折疊，使點A與點C重合，折痕為EF，若AB＝4，BC＝2，那么線段EF的長為（）A．2 B． C． D．【分析】首先利用勾股定理計算出AC的長，進而得到CO的長，然后證明△DAC∽△OFC，根據(jù)相似三角形的性質可得，然后代入具體數(shù)值可得FO的長，進而得到答案．【解答】解：∵將矩形紙片ABCD折疊，使點C與點A重合，∴AC⊥EF，AO＝CO，在矩形ABCD，∠D＝90°，∴△ACD是Rt△，由勾股定理得AC＝＝2，∴CO＝，∵∠EOC＝∠D＝90°，∠ECO＝∠DCA，∴△DAC∽△OFC，∴，∴，∴EO＝，∴EF＝2×＝．故選：B．10．如圖所示，菱形ABCD的邊長為5cm，高為4cm，直線l⊥邊AB，并從點A出發(fā)以1cm/s的速度向右運動，若直線l在菱形ABCD內部截得的線段MN的長為y（cm），則下列最能反映y（cm）與運動時間x（s）之間的函數(shù)關系的圖象是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意可以分別得到各段y與x的函數(shù)解析式，從而可以解答本題．【解答】解：點M從點A到點D的過程中，y＝＝x，（x≤3），故選項A、B、C錯誤，當點M從D點使點N到點B的過程中，y＝4，（3＜x≤5），點M到C的過程中，y＝4﹣＝﹣x+，（x＞5），故選項D正確，故選：D．二．填空題（共4小題）11．如圖，在△ABC中點D、E分別在邊AB、AC上，請?zhí)砑右粋€條件：∠AED＝∠B（答案不唯一），使△ABC∽△AED．【分析】根據(jù)∠AED＝∠B和∠A＝∠A可以求證△AED∽△ABC，故添加條件∠AED＝∠B即可以求證△AED∽△ABC．【解答】解：∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A，∴△AED∽△ABC，故添加條件∠AED＝∠B即可以使得△AED∽△ABC，故答案為：∠AED＝∠B（答案不唯一）．12．若拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸分別交于A，B兩點，則AB的長為4．【分析】先求出二次函數(shù)與x軸的2個交點坐標，然后再求出2點之間的距離．【解答】解：二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3與x軸交點A、B的橫坐標為一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的兩個根，求得x1＝﹣1，x2＝3，則AB＝|x2﹣x1|＝4．13．如圖，正方形OAPB，矩形ADFE的頂點O，A，D，B在坐標軸上，點E是AP的中點，點P，F(xiàn)在函數(shù)y＝（x＞0）圖象上，則點F的坐標是（2，）．【分析】根據(jù)題意可以求得點A的坐標，從而可以求得點F的坐標，本題得以解決．【解答】解：設點P的坐標為（a，），∵a＝，得a＝1或a＝﹣1（舍去），∴點P的坐標為（1，1），∵點E是AP的中點，四邊形ADFE是矩形，∴AE＝DF，AE＝，∴DF＝，當y＝時，，得x＝2，∴點F的坐標為（2，）．14．如圖，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝9，將△ABE沿BE翻折得到△A'BE，點A'落在矩形ABCD的內部，且∠AA'G＝90°，若以點A'、G、C為頂點的三角形是直角三角形，則AE＝1或．【分析】分兩種情況，根據(jù)相似三角形的判定和性質以及翻折的性質解答即可．【解答】解：①如圖1所示，∠GA'C＝90°，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAE＝∠D＝90°，CD＝AB＝3，∵∠AA'G＝90°，∴點A、A'、C在同一直線上，∠BAE＝∠ADC＝90°，∠ABE＝∠DAC，∴△ABE∽△DAC，∴＝，即＝，解得：x＝1；②如圖2所示，∠A'GC＝90°，∴∠DGC＝∠GAA'＝∠ABE，∴△ABE∽△DGC，∴＝，設AE＝EA'＝EG＝x，∴＝，解得：x＝，或x＝3（舍去），∴AE＝；綜上所述，x＝1或；故答案為：1或．三．解答題（共2小題）15．已知，求的值．【分析】設＝k，得到a＝3k．b＝4k，c＝6k，代入即可得到結論．【解答】解：設＝k，則a＝3k．b＝4k，c＝6k，∴＝＝．16．已知二次函數(shù)y＝x2+2x﹣3．（1）用配方法求該二次函數(shù)圖象的頂點坐標；（2）指出y隨x的變化情況．【分析】（1）根據(jù)配方法的要求把一般式轉化為頂點式，根據(jù)頂點式的坐標特點，寫出頂點坐標；（2）當a＞0時，拋物線開口向上，根據(jù)二次函數(shù)的性質求解即可．【解答】解：（1）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴頂點坐標（﹣1，﹣4）；（2）∵函數(shù)圖象開口向上，其對稱軸是直線x＝﹣1，∴當x＞﹣1時，y隨x的增大而增大，當x＜﹣1時，y隨x的增大而減?。模獯痤}（共7小題）17．如圖，矩形OABC的頂點A、C分別在x軸和y軸上，點B的坐標為（2，3）．雙曲線y＝（x＞0）的圖象經過BC的中點D，且與AB交于點E，連接DE．（1）求k的值及點E的坐標；（2）若點F是OC邊上一點，且△FBC∽△DEB，求直線FB的解析式．【分析】（1）首先根據(jù)點B的坐標和點D為BC的中點表示出點D的坐標，代入反比例函數(shù)的解析式求得k值，然后將點E的橫坐標代入求得E點的縱坐標即可；（2）根據(jù)△FBC∽△DEB，利用相似三角形對應邊的比相等確定點F的坐標后即可求得直線FB的解析式．【解答】解：（1）∵BC∥x軸，點B的坐標為（2，3），∴BC＝2，∵點D為BC的中點，∴CD＝1，∴點D的坐標為（1，3），代入雙曲線y＝（x＞0）得k＝1×3＝3；∵BA∥y軸，∴點E的橫坐標與點B的橫坐標相等，為2，∵點E在雙曲線上，∴y＝∴點E的坐標為（2，）；（2）∵點E的坐標為（2，），B的坐標為（2，3），點D的坐標為（1，3），∴BD＝1，BE＝，BC＝2∵△FBC∽△DEB，∴即：∴FC＝∴點F的坐標為（0，）設直線FB的解析式y(tǒng)＝kx+b（k≠0）則解得：k＝，b＝∴直線FB的解析式y(tǒng)＝18．如圖是一個3×8的網格圖，每個小正方形的邊長均為1，三個頂點都在小正方形的頂點上的三角形叫做格點三角形，圖中格點△ABC的三邊長分別為，2、，請在網格圖中畫出三個與△ABC相似但不全等的格點三角形，并求與△ABC相似的格點三角形的最大面積．【分析】依據(jù)格點△ABC的三邊長分別為，2、，將該三角形的各邊擴大一定倍數(shù)，即可畫出與△ABC相似但不全等的格點三角形，進而得出與△ABC相似的格點三角形的最大面積．【解答】解：如圖所示：如圖所示，格點三角形的面積最大，S＝2×8﹣×2×3﹣×1×5﹣×1×8＝6.519．已知拋物線y＝（x﹣m）2﹣（x﹣m），其中m是常數(shù)．（1）求證：不論m為何值，該拋物線與x軸一定有兩個公共點；（2）若該拋物線的對稱軸為直線x＝．①求該拋物線的函數(shù)解析式；②把該拋物線沿y軸向上平移多少個單位長度后，得到的拋物線與x軸只有一個公共點．【分析】（1）先把拋物線解析式化為一般式，再計算△的值，得到△＝1＞0，于是根據(jù)△＝b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)即可判斷不論m為何值，該拋物線與x軸一定有兩個公共點；（2）①根據(jù)對稱軸方程得到＝﹣＝，然后解出m的值即可得到拋物線解析式；②根據(jù)拋物線的平移規(guī)律，設拋物線沿y軸向上平移k個單位長度后，得到的拋物線與x軸只有一個公共點，則平移后拋物線解析式為y＝x2﹣5x+6+k，再利用拋物線與x軸的只有一個交點得到△＝52﹣4（6+k）＝0，然后解關于k的方程即可．【解答】（1）證明：y＝（x﹣m）2﹣（x﹣m）＝x2﹣（2m+1）x+m2+m，∵△＝（2m+1）2﹣4（m2+m）＝1＞0，∴不論m為何值，該拋物線與x軸一定有兩個公共點；（2）解：①∵x＝﹣＝，∴m＝2，∴拋物線解析式為y＝x2﹣5x+6；②設拋物線沿y軸向上平移k個單位長度后，得到的拋物線與x軸只有一個公共點，則平移后拋物線解析式為y＝x2﹣5x+6+k，∵拋物線y＝x2﹣5x+6+k與x軸只有一個公共點，∴△＝52﹣4（6+k）＝0，∴k＝，即把該拋物線沿y軸向上平移個單位長度后，得到的拋物線與x軸只有一個公共點．20．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是邊AB上的高．求證：（1）求證：AC2＝AD?AB；（2）利用相似形的知識證明AB2＝AC2+BC2．【分析】（1）證明△ACB∽△ADC，根據(jù)相似三角形的性質證明結論；（2）證明△ACB∽△CDB，得到BC2＝BD?AB，與（1）中兩式相加，得到答案．【解答】證明（1）∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ADC＝90°，∴△ACB∽△ADC，∴＝，∴AC2＝AD?AB；（2）∵∠B＝∠B，∠ACB＝∠ADC＝90°，∴△ACB∽△CDB，∴＝，∴BC2＝BD?AB，∴AC2+BC2＝AD?AB+BD?AB＝AB×（AD+BD）＝AB2．21．根據(jù)對寧波市相關的市場物價調研，某批發(fā)市場內甲種水果的銷售利潤y1（千元）與進貨量x（噸）近似滿足函數(shù)關系y1＝0.25x，乙種水果的銷售利潤y2（千元）與進貨量x（噸）之間的函數(shù)y2＝ax2+bx+c的圖象如圖所示．（1）求出y2與x之間的函數(shù)關系式；（2）如果該市場準備進甲、乙兩種水果共8噸，設乙水果的進貨量為t噸，寫出這兩種水果所獲得的銷售利潤之和W（千元）與t（噸）之間的函數(shù)關系式，并求出這兩種水果各進多少噸時獲得的銷售利潤之和最大，最大利潤是多少？【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可解決問題；（2）銷售利潤之和W＝甲種水果的利潤+乙種水果的利潤，利用配方法求得二次函數(shù)的最值即可．【解答】解：（1）∵函數(shù)y2＝ax2+bx+c的圖象經過（0，0），（1，2），（4，5），∴，解得，∴y2＝﹣x2+x．（2）w＝（8﹣t）﹣t2+t＝﹣（t﹣4）2+6，∴t＝4時，w的值最大，最大值為6，∴兩種水果各進4噸時獲得的銷售利潤之和最大，最大利潤是6千元．22．定義：頂點、開口大小相同，開口方向相反的兩個二次函數(shù)互為“反簇二次函數(shù)”．（1）已知二次函數(shù)y＝﹣（x﹣2）2+3，則它的“反簇二次函數(shù)”是y＝（x﹣2）2+3；（2）已知關于x的二次函數(shù)y1＝2x2﹣2mx+m+1和y2＝ax2+bx+c，其中y1的圖象經過點（1，1）．若y1+y2與y1互為“反簇二次函數(shù)”．求函數(shù)y2的表達式，并直接寫出當0≤x≤3時，y2的最小值．【分析】（1）根據(jù)“反簇二次函數(shù)”定義寫出所求即可；（2）把A坐標代入y1，求出m的值，進而表示出y1+y2，根據(jù)y1+y2與y1互為“反簇二次函數(shù)”，求出a，b，c的值，確定出y2，寫出滿足題意的范圍即可．【解答】解：（1）y＝（x﹣2）2+3；故答案為：y＝（x﹣2）2+3；（2）∵y1的圖象經過點A（1，1），∴2﹣2m+m+2＝2，解得：m＝2，∴y1＝2x2﹣4x+3＝2（x﹣1）2+1，∴y1+y2＝2x2﹣4x+3+ax2+bx+c＝（a+2）x2+（b﹣4）x+c+3，∵y1+y2與y1為“反簇二次函數(shù)”，∴y1+y2＝﹣2（x﹣1）2+1＝﹣2x2+4x﹣1，∴，解得：，∴函數(shù)y2的表達式為：y2＝﹣4x2+8x﹣4，當0≤x≤3時，y2的最小值為﹣16．23．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經過點（﹣1，4），且與直線y＝﹣x+1相交于A、B兩點（如圖），A點在y軸上，過點B作BC⊥x軸，垂足為點C（﹣3，0）．（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）點N是二次函數(shù)圖象上一點（點N在AB上方），過N作NP⊥x軸，垂足為點P，交AB于點M，求MN的最大值；（3）在（2）的條件下，點N在何位置時，BM與NC相互垂直平分？并求出所有滿足條件的N點的坐標．【分析】方法一：（1）首先求得A、B的坐標，然后利用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的解析式；（2）設M的橫坐標是x，則根據(jù)M和N所在函數(shù)的解析式，即可利用x表示出M、N的坐標，利用x表示出MN的長，利用二次函數(shù)的性質求解；（3）BM與NC互相垂直平分，即四邊形BCMN是菱形，則BC＝MC，據(jù)此即可列方程，求得x的值，從而得到N的坐標．方法二：（1）略．（2）求出點M，N的參數(shù)坐標，并得到MN的長度表達式，從而求出MN的最大值．（3）因為BM與NC相互垂直平分，所以四邊形BCMN為菱形，因為MN∥BC，所以只需MN＝BC可得出四邊形BCMN為平行四邊形，再利用NC⊥BM進行求解．【解答】方法一：解：（1）由直線y＝﹣x+1可知A（0，1），B（﹣3，），又點（﹣1，4）經過二次函數(shù)，根據(jù)題意得：，解得：，則二次函數(shù)的解析式是：y＝﹣﹣x+1；（2）設N（x，﹣x2﹣x+1），則M（x，﹣x+1），P（x，0）．∴MN＝PN﹣PM＝﹣x2﹣x+1﹣（﹣x+1）＝﹣x2﹣x＝﹣（x+）2+，則當x＝﹣時，MN的最大值為；（3）連接MC、BN、BM與NC互相垂直平分，即四邊形BCMN是菱形，則MN＝BC，且BC＝MC，即﹣x2﹣x＝，且（﹣x+1）2+（x+3）2＝，解x2+3x+2＝0，得：x＝﹣1或x＝﹣2（舍去）．故當N（﹣1，4）時，BM和NC互相垂直平分．方法二：（1）略．（2）設N（t，﹣），∴M（t，﹣t+1），∴MN＝NY﹣MY＝﹣+t﹣1，∴MN＝﹣，當t＝﹣時，MN有最大值，MN＝．（3）若BM與NC相互垂直平分，則四邊形BCMN為菱形．∴NC⊥BM且MN＝BC＝，即﹣＝，∴t1＝﹣1，t2＝﹣2，①t1＝﹣1，N（﹣1，4），C（﹣3，0），∴KNC＝＝2，∵KAB＝﹣，∴KNC×KAB＝﹣1，∴NC⊥BM．②t2＝﹣2，N（﹣2，），C（﹣3，0），∴KNC＝＝，KAB＝﹣，∴KNC×KAB≠﹣1，此時NC與BM不垂直．∴滿足題意的N點坐標只有一個，N（﹣1，4）．

新人教版九年級（上）期中模擬數(shù)學試卷及答案一、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分，每小題只有一個正確選項）1．（3分）如圖，不是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（3分）若y＝（m﹣2）x+3x﹣2是二次函數(shù)，則m等于（）A．﹣2 B．2 C．±2 D3．（3分）方程x2﹣2x﹣4＝0和方程x2﹣4x+2＝0中所有的實數(shù)根之和是（）A．2 B．4 C．6 D．4．（3分）若將拋物線y＝x2向右平移2個單位，再向上平移3個單位，則所得拋物線的表達式為（）A．y＝（x+2）2+3 B．y＝（x﹣2）2+3 C．y＝（x+2）2﹣3 D．y＝（x﹣2）2﹣5．（3分）如圖，已知在⊙O中，點A，B，C均在圓上，∠AOB＝80°，則∠ACB等于（）A．130° B．140° C．145° D．150°6．（3分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，圖象過點（﹣1，0），對稱軸為直線x＝2，系列結論：（1）4a+b＝0；（2）4a+c＞2b；（3）5a+3c＞0；（4）方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0的兩根是x1＝0，xA．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）7．（3分）若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一個根，則6m2﹣9m+2015的值為8．（3分）已知A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）兩點都在二次函數(shù)y＝（x+1）2+m的圖象上，則y1，y2，y3的大小關系為．9．（3分）將兩塊直角三角尺的直角頂點重合為如圖的位置，若∠AOD＝110°，則∠COB＝度．10．（3分）將量角器按如圖所示的方式放置在三角形紙板上，使點C在半圓上．點A、B的讀數(shù)分別為86°、30°，則∠ACB的大小為．11．（3分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分別與⊙O相切于E，F(xiàn)，G三點，過點D作⊙O的切線交BC于點M，切點為N，則DM的長為．12．（3分）如圖，點O是等邊△ABC內一點，∠AOB＝110°．將△BOC繞點C按順時針方向旋轉60°得△ADC，連接OD．當α為度時，△AOD是等腰三角形？三、（本大題共5小題，每小題12分，共30分）13．（12分）用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋海?）（x﹣3）2＝2x﹣6；（2）2x2+5x﹣3＝014．（8分）隨著港珠澳大橋的順利開通，預計大陸赴港澳旅游的人數(shù)將會從2018年的100萬人增至2020年的144萬人，求2018年至2020年這兩年的赴港旅游人數(shù)的年平均增長率．15．（10分）如圖，有一座拋物線型拱橋，橋下面水位AB寬20米時，此時水面距橋面4米，當水面寬度為10米時就達到警戒線CD，若洪水到來時水位以每小時0.216．（6分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，請僅用無刻度的直尺，分別按下列要求畫圖．（1）如圖（1），在拋物線y＝ax2+bx+c找一點D，使點D與點C關于拋物線對稱軸對稱．（2）如圖（2），點D為拋物線上的另一點，且CD∥AB，請畫出拋物線的對稱軸．17．（13分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB邊上一點（點D與A，B不重合），連結CD，將線段CD繞點C按逆時針方向旋轉90°得到線段CE，連結DE交BC于點F，連接BE．（1）求證：△ACD≌△BCE；（2）當AD＝BF時，求∠BEF的度數(shù)．四．（本大題共3小題，每小題10分，共24分）18．（10分）已知一元二次方程x2﹣4x+k＝0有兩個不相等的實數(shù)根（1）求k的取值范圍；（2）如果k是符合條件的最大整數(shù)，且一元二次方程x2﹣4x+k＝0與x2+mx﹣1＝0有一個相同的根，求此時m的值．19．（8分）如圖，有長為24m的籬笆，現(xiàn)一面利用墻（墻的最大可用長度a為10m）圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃，設花圃的寬AB為xm，面積為Sm（1）求S與x的函數(shù)關系式及x值的取值范圍；（2）要圍成面積為45m2的花圃，20．（10分）如圖，已知直線PA交⊙O于A、B兩點，AE是⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，且AC平分∠PAE，過C作CD⊥PA，垂足為D．（1）求證：CD為⊙O的切線；（2）若DC+DA＝6，⊙O的直徑為10，求AB的長度．五．（本大題共2小題，每小題9分，共18分）21．（9分）如果關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有兩個實數(shù)根，且其中一個根為另一個根的2倍，那么稱這樣的方程為“倍根方程”．例如，一元二次方程x2﹣6x+8＝0的兩個根是2和4，則方程x2﹣6x+8＝0就是“倍根方程”．（1）若一元二次方程x2﹣3x+c＝0是“倍根方程”，則c＝；（2）若（x﹣2）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，求代數(shù)式的值；（3）若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是倍根方程，且不同的兩點M（k+1，5），N（3﹣k，5）都在拋物線y＝ax2+bx+c上，求一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根．22．（9分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，點D是AB的中點，DE⊥BC，垂足為點E，連接CD．（1）如圖1，DE與BC的數(shù)量關系是；（2）如圖2，若P是線段CB上一動點（點P不與點B、C重合），連接DP，將線段DP繞點D逆時針旋轉60°，得到線段DF，連接BF，請猜想DE、BF、BP三者之間的數(shù)量關系，并證明你的結論；（3）若點P是線段CB延長線上一動點，按照（2）中的作法，請在圖3中補全圖形，并直接寫出DE、BF、BP三者之間的數(shù)量關系．六、（本大題共12分）23．（9分）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，A點在原點的左側，B點的坐標為（3，0），與y軸交于C（0，﹣3）點，點P是直線BC下方的拋物線上一動點．（1）求這個二次函數(shù)的表達式．（2）連接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POP′C，那么是否存在點P，使四邊形POP′C為菱形？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．（3）當點P運動到什么位置時，四邊形ABPC的面積最大？求出此時P點的坐標和四邊形ABPC的最大面積．

2018-2019學年江西省贛州市南康區(qū)五校九年級（上）期中數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分，每小題只有一個正確選項）1．【解答】解：根據(jù)中心對稱圖形的概念：在同一平面內，如果把一個圖形繞某一點旋轉180度，旋轉后的圖形能和原圖形完全重合，可知A、B、C是中心對稱圖形；D不是中心對稱圖形．故選：D．2．【解答】解：由題意，得m2﹣2＝2，且m﹣2≠0，解得m＝﹣2，故選：A．3．【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣4＝0的根的判別式△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣4）＝20＞0，∴方程x2﹣2x﹣4＝0有兩個不相等的實數(shù)根，兩根之和為2；∵方程x2﹣4x+2＝0的根的判別式△＝（﹣4）2﹣4×1×2＝8＞0，∴方程x2﹣4x+2＝0有兩個不相等的實數(shù)根，兩根之和為4．∵2+4＝6，∴兩方程所有的實數(shù)根之和是6．故選：C．4．【解答】解：將拋物線y＝x2向右平移2個單位可得y＝（x﹣2）2，再向上平移3個單位可得y＝（x﹣2）2+3，故選：B．5．【解答】解：設點E是優(yōu)弧AB上的一點，連接EA，EB∵∠AOB＝80°∴∠E＝∠AOB＝40°∴∠ACB＝180°﹣∠E＝140°．故選：B．6．【解答】解：由對稱軸為直線x＝2，得到﹣＝2，即b＝﹣4a，∴4a+b＝0，故（1當x＝﹣2時，y＝4a﹣2b+c＜0，即4a+c＜2b，故（當x＝﹣1時，y＝a﹣b+c＝0，∴b＝a+c，∴﹣4a＝a+c∴c＝﹣5a∴5a+3c＝5a﹣15a∵拋物線的開口向下∴a＜0，∴﹣10a＞0∴5a+3c＞0；故（∵方程ax2+bx+c（a≠0）＝0的兩根為x1＝﹣1，x2＝5，∴方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0的兩根是x1＝0，x2＝6，故（4）正確．故選：C．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）7．【解答】解：由題意可知：2m2﹣3m﹣1∴2m2﹣3∴原式＝3（2m2﹣3m）故答案為：20188．【解答】解：∵二次函數(shù)y＝（x+1）2+m，∴當x＞﹣1時，y隨x的增大而增大，當x＜﹣1時，y隨x的增大而減小，函數(shù)有最小值，頂點坐標為（﹣1，m），∵點A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）兩點都在二次函數(shù)y＝（x+1）2+m的圖象上，﹣1﹣（﹣2）＝1，﹣1﹣（﹣1）＝0，1﹣（﹣1）＝2，∴y2＜y1＜y3，故答案為：y2＜y1＜y3．9．【解答】解：由題意可得∠AOB+∠COD＝180°，又∠AOB+∠COD＝∠AOC+2∠COB+∠BOD＝∠AOD+∠COB，∵∠AOD＝110°，∴∠COB＝70°．故答案為：70．10．【解答】解：設半圓圓心為O，連OA，OB，如圖，∵∠ACB＝∠AOB，而∠AOB＝86°﹣30°＝56°，∴∠ACB＝×56°＝28°．故答案為：28°．11．【解答】解：連接OE，OF，ON，OG，在矩形ABCD中，∵∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝4，∵AD，AB，BC分別與⊙O相切于E，F(xiàn)，G三點，∴∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°，∴四邊形AFOE，F(xiàn)BGO是正方形，∴AF＝BF＝AE＝BG＝2，∴DE＝3，∵DM是⊙O的切線，∴DN＝DE＝3，MN＝MG，∴CM＝5﹣2﹣MN＝3﹣MN，在Rt△DMC中，DM2＝CD2+CM2，∴（3+NM）2＝（3﹣NM）2+42，∴NM＝，∴DM＝3+＝．故答案為．12．【解答】解：∵△BOC繞點C按順時針方向旋轉60°得△ADC，∴∠OCD＝60°，OC＝CD，∠ADC＝α，∴三角形COD是等邊△OCD，∴∠COD＝∠60°，