第4講導數與構造法講義設計提綱：構造法是高中數學學習中一種極其重要的思維方法與學科方法,構造法是高中數學學習中一種極其重要的思維方法與學科方法,通過對數學問題的已知條件和結論進行深入分析,抓住問題的本質特征,恰當地構造輔助元素或數學模型,轉化原問題的結構,重組條件和結論之間的關系,產生一種新的結構,通常這種新結構的構思精巧,聅想豐富、思維靈活,通過構造所得新問題的解決出奇制勝地解決了原問題.構造法是高考中的一個熱點內容，同時也是一個難點內容，其常與導數、函數、不等式相結合，考查考生的綜合數學素質，下面對在考試中常出現的題型以及解題技巧進行一下總結。技巧一：根據f（x）與f'（x）的關系構造函數在導數及其應用的客觀題中，有一個熱點考察點，即不給出函數的具體解析時，二是給出f（x）與f'（x）的關系式，需根據此條件構造抽象函數，再根據構造函數的單調性解決問題，構造函數的的關鍵是結合導數的求導法則和的結構特征和具體函數的導函數的特點構造函數。類型1利用f(x)與xn構造例1（1）(2023·重慶模擬)已知定義域為{x|x≠0}的偶函數f(x)，其導函數為f′(x)，對任意正實數x滿足xf′(x)>2f(x)且f(1)＝0，則不等式f(x)<0的解集是()A．(－∞，1) B．(－1,1)C．(－∞，0)∪(0,1) D．(－1,0)∪(0,1)（2）(2023·蘇州質檢)已知函數f(x)在R上滿足f(x)＝f(－x)，且當x∈(－∞，0]時，f(x)＋xf′(x)<0成立，若a＝20.6·f(20.6)，b＝ln2·f(ln2)，c＝·f

，則a，b，c的大小關系是()A．a>b>c B．c>b>aC．a>c>b D．c>a>b【對點演練1】已知偶函數f（x）（x≠0）的導函數為f'（x），且滿足f（－1）＝0，當x＞0時，2f（x）＞xf'（x），則使得f（x）＞0成立的x的取值范圍是；

類型2利用f(x)與ex構造例2（1）(2022·蚌埠質檢)已知可導函數f(x)的導函數為f′(x)，若對任意的x∈R，都有f′(x)－f(x)<1，且f(0)＝2022，則不等式f(x)＋1>2023ex的解集為()A．(－∞，0) B．(0，＋∞)C. D．(－∞，1)（2）f（x）為定義在R上的可導函數，且f'（x）＞f（x），對任意正實數a，下列式子一定成立的是 （）A.f（a）＜eaf（0） B.f（a）＞eaf（0）C.f（a）＜f(0)ea D.f（【對點演練1】(2023·南昌模擬)已知定義在R上的函數f(x)滿足f(x)＋f′(x)>0，且有f(3)＝3，則f(x)>3e3－x的解集為________．【對點演練2】已知函數f（x）在R上可導，其導函數為f'（x），且滿足：（x－1）[f'（x）－f（x）]＞0，f（2－x）＝f（x）·e2－2x，則下列判斷一定正確的是（）A.f（1）＜f（0） B.f（2）＞e2f（0）C.f（3）＞e3f（0） D.f（4）＜e4f（0）類型3利用f（x）與sinx，cosx構造函數例3(多選)已知定義在上的函數f(x)，f′(x)是f(x)的導函數，且恒有cosxf′(x)＋sinxf(x)＜0成立，則()A.f＞eq\r(2)fB.eq\r(3)f＞fC.f＞eq\r(3)fD.eq\r(2)f＞eq\r(3)f【對點演練1】已知函數f（x）定義在0,π2上，f'（x）是它的導函數，且恒有f（x）＜f'（x）tanx成立，又知fπ6＝12，則關于x的不等式f（x）＞sinx技巧二變量分離構造函數例4（1）已知α，β∈-π2,π2，且αsinα－βsinβ＞0A.α＞β B.α2＞β2C.α＜β D.α＋β＞0（2）(2020·全國Ⅰ)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，則()A．a>2b B．a<2bC．a>b2 D．a<b2【對點演練1】若lnx－lny＜1lnx－1lny（x＞1，y＞1），則 A.ey－x＞1 B.ey－x＜1C.ey－x－1＞1 D.ey－x－1＜1【對點演練2】已知a<5且ae5＝5ea，b<4且be4＝4eb，c<3且ce3＝3ec，則()A．c<b<a B．b<c<aC．a<c<b D．a<b<c技巧三根據數值特點構造函數例5（1）已知a＝eq\f(ln2,2)，b＝eq\f(1,e)，c＝eq\f(ln3,3)，則a、b、c的大小關系為()A.b＜c＜a B.c＜a＜bC.a＜c＜b D.c＜b＜a（2）(2022·新高考Ⅰ卷)設a=0.1e0.1，b=19A.a<b<c B.c<b【對點演練1】（多選）下面比較大小正確的有 （）A.ln22＞1e B.3ln4C.πe＞lnπ D.3＜eln【對點演練2】設，，，則（）A． B．C． D．技巧4根據指對變形構造函數例6(2023·武漢模擬)已知a>0，若在(1，＋∞)上存在x使得不等式ex－x≤xa－alnx成立，則a的最小值為________．【對點演練】(2023·南京模擬)設a，b都為正數，e為自然對數的底數，若aea<blnb，則()A．ab>e B．b>eaC．ab<e D．b<ea技巧5指對分離構造函數例7已知函數f(x)＝x2＋2x－2xex.當x＞0時，證明f(x)－2x＋x2＋x3＜－2elnx.【對點演練】已知f(x)＝xlnx.(1)求函數f(x)的最小值；(2)證明：對一切x∈(0，＋∞)，都有l(wèi)nx>eq\f(1,ex)－eq\f(2,ex)成立．1．(2023·株洲模擬)已知a＝eq\f(1,e2)，b＝eq\f(ln2,4)，c＝eq\f(ln3,9)，則()A．a<b<c B．c<a<bC．b<a<c D．c<b<a2．若2x－2y<3－x－3－y，則()A．ln(y－x＋1)>0 B．ln(y－x＋1)<0C．ln|x－y|>0 D．ln|x－y|<03．(2023·濟南模擬)已知f(x)是定義在R上的偶函數，f′(x)是f(x)的導函數，當x≥0時，f′(x)－2x>0，且f(1)＝3，則f(x)>x2＋2的解集是()A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(0,1) D．(－∞，－1)∪(0,1)4．(2023·常州模擬)已知函數y＝f(x－1)的圖象關于點(1,0)對稱，且當x>0時，f′(x)sinx＋f(x)cosx>0，則下列說法正確的是()A．f

<－f

<－f

B．－f

<f

<－f

C．－f

<－f

<f

D．－f

<f

<－f

5．若定義在上的函數滿足，其導函數，則下列結論中一定錯誤的是（）A.B.C.D.6．若lnm－m＋2m2＝lnn－n＋2e2n2＋1，則()A.eq\f(m,n)>eB.eq\f(m,n)<eC．m－n>eD．m－n<e7．已知定義在R上的函數f(x)的導函數為f′(x)，且f(x)<f′(x)<0，則()A．ef(2)>f(1)，f(2)>ef(1)B．ef(2)>f(1)，f(2)<ef(1)C．ef(2)<f(1)，f(2)>ef(1)D．ef(2)<f(1)，f(2)<ef(1)8．(2022·龍巖質檢)已知m>0，n∈R，若log2m＋2m＝6,2n＋1＋n＝6，則eq\f(m,2n)等于()A.eq\f(1,2)B．1C.eq\r(2)D．29．(多選)(2023·開封模擬)已知e是自然對數的底數，函數f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)是f(x)的導函數，且eq\f(fx,x)＋lnx·f′(x)>0，則()A．f

＋f(e)>0 B．f

<0C．f(e)>0 D．f(1)＝010.(多選)下列四個命題（為自然對數的底數）中真命題的是（）A；B；C；D.11.(多選)(2023·泰州模擬)已知α，β均為銳角，且α＋β－eq\f(π,2)>sinβ－cosα，則()A．sinα>sinβ B．cosα>cosβC．cosα<sinβ D．sinα>cosβ12.（多選）若不