1.3：空間向量及其運算的坐標表示

【考點歸納】

【知識梳理】

知識點一、空間直角坐標系

(1)空間直角坐標系：在空間選定一點。和一個單位正交基底億j，A｝,以O(shè)為原點，分別以i,j,k的方向為正方

向，以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標軸，這時我們就建立了一個空間直角

坐標系Oxyz.

(2)相關(guān)概念：。叫做原點，i,j,k都叫做坐標向量，通過每兩個坐標軸的平面叫做坐標平面，分別稱為平面、

Qyz平面、Ozr平面，它們把空間分成八個部分.

知識點二、空間一點的坐標

在空間直角坐標系Oxyz中，/,j,〃為坐標向量，對空間任意?點4對應(yīng)??個向量萬1,且點4的位置由向量己唯

一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組歹，z),使為=浦+0+球.在單位正交基底｛/,j,A｝下

與向量OA對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)叫做點力在此空間直角坐標系中的坐標，記作力(x,/z),其中x叫做點/

的橫坐標，y叫做點A的縱坐標，z叫做點A的豎坐標.

知識點三、空間向量的坐標

在空間直角坐標系。工中中，給定向量”，作而=〃.由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)必(x,p,z),使a

=xi+j/+zA.有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)叫做〃在空間直角坐標系3＞，二中的坐標，上式可簡記作a=(x,y,z).

知識點四、空間向量的坐標運算：設(shè)。=5|,(12,43)，b=(b\,加，歷)，有

向量運算向量表示坐標表示

加法a+力〃+力=（〃l+81，①+岳，6+①）

減法a-ba—b=（a\~b\yai—bi,ay-bi）

數(shù)乘）.aAa=（Xa\,kai，腦3），R

數(shù)量積ab〃?力=0〃]+。2岳+。3優(yōu)

1

知識點五、空間向量的平行、垂直及模、夾角

設(shè)a=(41，42，。3)，b=(b\,bl>〃3),則有當方K0時,0〃手勸］,42=助2，03=4岳(4ER)；

“,力=0=4防1+。2岳+。3岳=0；

_ab_4161+0262+4363

|a|=aa=山+而+同；cos(a,b)

同向山+同+同朋+員+員

知識點六、空間兩點間的距離公式

2

設(shè)尸1(孫y\tZ1),尸2(42,1y2,Z2)是空間中任意兩點，:則尸1尸2=|尸1巴=(必一Xlp+g—小尸+⑵-Zi).

【例題詳解】

題型一、求空間點的坐標

,3=2,以河河

【例1】(20-21高二?江蘇)如圖，在長方體。力BC-043'C'中，04=3,0C=4

為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系。.

⑴寫出。MC,H,8'四點的坐標；

⑵寫出向量了萬，麗，彳C7，石的坐標.

【答案】(1)點4(3,0,2),點省(3,4,2),點。(0,4,0),D0(O,O,2)

(2)粉=(0,4,0)；府=(0,0,-2)；JC=(-3,4,0)；JC=(-3,4,2).

【分析】(1)根據(jù)如圖所示的空間直用坐標系以及長方體的長寬高可直接寫出點的坐標;

(2)利用向量坐標的線性運算可得向量的坐標.

【詳解】(1)點川在z軸上，且0Q'=2,

所以點。，的坐標是(0,0,2).

同理，點C的坐標是(0,4,0).

點H在x軸、y軸、z軸上的射影分別為40,以

它們在坐標軸上的坐標分別為3,0,2,所以點4的坐標是(3,0,2).

點"在x軸、y軸、z軸上的射影分別為4,C,

2

它們在坐標軸上的坐標分別為3,4,2,所以點"的坐標是(3,4,2).

(2)才斤二歷=(0,4,0)；

而=_礪=(0,0,_2)；

而=正+lye'=(-3,0,0)+(0,4,0)=(-3,4,0)；

JC=^0+OC+CC=(-3,0,0)+(0,4,0)+(0,0,2)=(-3,4,2).

【跟蹤訓(xùn)練1】23-24高二上?山東聊城?階段練習(xí))已知，在棱長為2的正四面體力-〃CQ中，以△BCO的中心。為

坐標原點，04為z軸，OC為N軸建立空間直角坐標系，如圖所示，M為48的中點，求商的坐標.

【分析】利用空間坐標系中向量坐標求法，結(jié)合向量的運算進行求解.

【詳解】易知△8CO的中線長為乎、2=百，則OC=羊，

：.OA=>!AC2-OC2=卜一3=半^，

設(shè)分別是x,y,z軸正方向上的單位向量，X軸與BC的交點為￡,

12

則?！?產(chǎn)=葭

，兩=：(況+函=；(況+反+函=；兩+芯+：函=g忸+反+g(無?人)卜渾一；碇+夢

1二百二x/6

—i------j+—k?.

263

3

【跟蹤訓(xùn)練2】(23-24高二下.江蘇.課前預(yù)習(xí))如圖所示，在四棱錐。-。4蛇中，建立空間直角坐標系產(chǎn)，若

0。=2Q=4.OC=6,〃是BD的中點，求點M的坐標.

【答案】(2,3,1)

【分析】法一：分別求得"在坐標軸上的投影可得；

法二：設(shè)刀，礪,反的單位向量分別為,利用空間的線性運算可得的=27+3)+1=(2,3,1),即可求解.

【詳解】法—：設(shè)點"在X軸、y軸、N軸上的射影分別為

它們在坐標軸上的坐標分別為2,3,1,所以點M的坐標是(2,3,1).

法二：設(shè)刀，礪,反的單位向量分別為,則GJj｝為空間的一個基底，

0M=ai+AB+7iM=OA+OC：+-8l)=OA-OC+-(OD-Ofi)

22

彷+反+｛而一例+西=9+；灰+g而

=gx4，+；x6J+：x2E=2i+3/+I=(2,3,1).

所以點〃的坐標是(2,3,1).

題型二、空間向量的坐標運算

【例2】(23-24高二上?新疆?階段練習(xí))已知￡=(2,3,-1),B=(T,0,3),3=(0,1,2).

⑴求融28—3")的值；

(2酒+B)?+5).

4

【答案】(1)-13⑵12

【分析】(1)(2)根據(jù)向量的坐標運算以及數(shù)量積的坐標運算即可求解.

【詳解】(1)由，=(-1,0,3),工=(0,1,2)可得涕=(-2,0,6),3c=(0,3,6).

25-3c=(-2,-3,0),a?(2^-3c)=-4-9+0=-13

(2)^=(2,3,-1),/；=(-],0,3),"=(0,1,2)可得1+3=(1,3,2),B+"=(-1,1,5),故伍+斗僅+司=7+3+10=12

【跟蹤訓(xùn)練1】(22-23高二?全國?課堂例題)已知2=(-2,3,5)出=(3,-3,2),求下列向量的坐標：

⑴a-%；(2)2?+b;⑶-5九

【答案】⑴(-5,6,3)(2)(-1312)(3)(-15,15,-10)

【分析】根據(jù)空間向量的坐標運算求解即可.

【詳解】(1)￡一書=(一2,3,5)-(3,-3,2)

=(-2-3,3+3,5-2)=(-5,6,3).

(2)赤+否=2(-2,3,5)+(3,-3,2)

=(-4,6,10)+(3,-3,2)=(-1,3,12).

(3)-5^=-5(3,-3,2)=(-15J5,-10).

【跟蹤訓(xùn)練2】(22-23高二上?遼寧朝陽?階段練習(xí))己知在空間直角坐標系中，力(1,-2,4),8(-2,3,0),C(2,-2,-5);

---1-3---

(1)若點也滿足+二力C，求點M的坐標；

24

(2)若"=C4,q=CB,求(/+?),(萬一").

I|]9

【答案】⑴不一~—);(2)16.

424

【分析】(1)設(shè)乃z),根據(jù)空間向量線性運算的坐標表示，求解即可；

(2)先用坐標表示/力,根據(jù)空間向量線性運算和數(shù)量積的坐標表示，求解即可.

【詳解】(1)不妨設(shè)點M(x),z),

則而二(x-l,y+2,-4),AB=(-3,5,-4),JC=(1,0,-9),

(2)由題意，p=CA=(-1,0,9),^=CB=(-4,5,5),

5

+=(-5,5,14).(3,-5,4)=-15-25+56=16.

題型三、空間向量平行坐標問題

【例3】.(24-25高二下?江蘇南京?期中)已知￡=(1,3,-2)[=(-2,r,4),且￡//九則％=()

A.-5B.3C.4D.6

【答案】D

【分析】根據(jù)向量平行得對應(yīng)坐標成比例可列方程求解.

【詳解】因為0=(1,3,-2)方=-4),且力/否,

所以==3=9,解得x=6.

-2-x4

故選：D.

【跟蹤訓(xùn)練1】.(24-25高二上?河北邯鄲?階段練習(xí))已知不=(義+1,0,2),B=(6,2〃-1,24),若以/心則2與〃的值

可以是()

A.2,：B.——,gC.-3?2D.—2?2

232

【答案】A

【分析】由向量共線定理可設(shè)3二區(qū)，列方程求人〃.

【詳解】因為d〃B，46,

故可設(shè)3=區(qū)，

又]=僅+1,0,2),5=(6,2〃-L22),

所以4+1=6/,0=z(2//—1),2=2/2,

所以2=2,〃=g#=g或4=一3,〃==-；，

故選：A.

【跟蹤訓(xùn)練2】.(24-25高二上?陜西渭南?階段練習(xí))已知向量；=(1，0),力=(-1。2),若“+否與力—右平行，則

實數(shù)上的值為()

11

A.——B.-2C.-D.2

22

【答案】B

【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合向量共線定理求解即可.

【詳解】因為3=。,1,0)3=(-1,0,2),

6

所以AZ+^=〃(1JU)+(-1,0,2)=(A—1,〃,2),

2a-b=2(l,l,0)-(-l,0,2)=(3,2,—2),

因為忘+坂與2)-坂平行，所以存在唯一實數(shù)4，使心+5=/1②一方，

>-l=3A_

所以e一1,%,2)=〃3,2,-2),貝=,解得「二一］

X=-1

2=-22

故選：B.

題型四、空間向量垂直坐標問題

【例4】.(24-25高二上?湖北孝感?階段練習(xí))已知向量不=(覃,0),i=(-l,0,2),且后+B與2萬-5互相垂直，則k=

()

71

A.—1B.2C.—D.—

55

【答案】C

【分析】由向量線性關(guān)系的坐標運算及垂直的坐標表示列方程求參數(shù)即可.

【詳解】由題設(shè)41+各=乂。,1,0)+(7,0,2)=37,02),2a-g=2?(1,1,0)-(-1,0,2)=(3,2,-2),

又折+B與21-B互相垂直，貝iJ3(左-1)+2左-4=0,解得％=(.

故選：C

【跟蹤訓(xùn)練1】.(24-25高二上?廣東惠州?期末)已知空間向量值二(2,-3,0)萬=(/幾2,—1),若1工小則實數(shù)加等于

()

A.-3B.-1C.1D.3

【答案】D

【分析】即等價于萬石=。.

【詳解】因為4=(2,-3,0),5=(m,2,-1)且2_￡6,所以展5=2/"—6+0=0,解得〃?=3,

故選：D.

【跟蹤訓(xùn)練2】.(24-25高二上?河北治州?期末)己知向量而=(4-刈,H=(2,1+21,-3),若玩1(而+射，則2的值

是()

A.-2B.0C.1D.2

【答案】D

7

【分析】利用空間向量垂直的坐標表示建立方程，求解參數(shù)即可.

【詳解】因為向量加=僅,-41),/?=(2,1+22,-3),

所以而”=(/1+2,1+4一2),

因為而_L(而+萬),所以而?(〃'+")=0，

即4(/1+2)-力(/1+1)-2=0,解得4=2,故D正確.

故選：D.

題型五：空間向量模長坐標問題

【例5】.(24-25高二上?遼寧大連?期末)設(shè)x/eR,向量Z=(x,l,l),B=工=(2,-4,2),且￡立，b//c,

則F悶等于()

A.2X/2B.VlOC.3D.9

【答案】C

【分析】根據(jù)向量垂直和平行的坐標表示求出KJ，，再根據(jù)向量坐標形式的模長公式計算即可得解.

xxl+lx^+lxl=O[x-\

【詳解】由題可得1y1，解得

——y=-2

12T2

所以向量1(1,1,1),方二。,一2,1),所以￡+3=(2,—1,2),

所以.+司=^22+(-1)2+22=3.

故選：C.

【跟蹤訓(xùn)練1】.(24-25高二上?安徽阜陽?期中)已知向量萬=0,2,1),號=(a,b,—l),產(chǎn)=(l1,a),且|“一尸|=|歹+尸|.

⑴求力；

⑵若向量力與與+尸垂直，求|。-21

【答案】(1)占=0；

⑵叵

3

【分析】(1)根據(jù)向量加減及模長的坐標運算，結(jié)合用=|4+萬|列方程求參數(shù)；

(2)由向量加減、垂直的坐標運算求得。=-：，再應(yīng)用向量減法和模長坐標運算求結(jié)果.

【詳解】(1)由歷一尸卜|"+司,即|(m-a)|=|(a+l/+l,T+a)|,

8

所以(a_l)2+(Z>_l)2+(a+l)2=(a+l)2+S+l)2+(a_l)2,整理得〃=0；

(2)由2*+尸=(2a,0,-2)+(lJa)=(2a+l」M-2),又向量力與2"+廣垂宜,

所以2。+1+2+。-2=0=。=」，

3

所以|4-2川=|(-；,0,-1)-(2,2,一加(-+2,一3卜手.

【跟蹤訓(xùn)練2】.(23-24高二上?廣東江門?階段練習(xí))已知向量2=(1,-3,2),6=(-2,1,1),點力(-3,7,4),8(-2,-2,2).

⑴求悔+3閘的值：

⑵在直線48上存在一點￡,使得近，幾求點E的坐標.

【答案】(1)舊

(6142)

【分析】(1)根據(jù)空間向量運算的坐標表示公式，結(jié)合空間向量模的坐標表示公式進行求解即可：

<2)根據(jù)空間向量坐標表示公式，結(jié)合空間向量垂直的坐標表示公式進行求解即可.

【詳解】(1)因為向量2=(1,-3,2),5=(-2,1,1),

所以向量%=(2,-6,4),3^=(-6,3,3|,

因此22+3%(-4,-3,7),

所以忸+3'=7(-4)2+(-3)2+72=V74；

(2)因為4(-3,-1,4),8(-2,-2,2),

所以方二(1,-1,-2),

因為點￡在直線月4上，

所以設(shè)施=ZABzz>J￡=(2,-2,-22),

因為益=(3,1,-4),月〒以礪=冠_益=(2_3,_2_1,_22+4),

因為無J_E，

o

所以一2(2—3)—丸一l-24+4=0n；l=w，

——(9996142、

所以QE:一3,——l,-2x-+4，

15555-5

因此點E的坐標,*-曰［J.

9

題型六：空間向量夾角坐標問題

［例6］.（24-25高二上?貴州畢節(jié)?階段練習(xí)）已知向量彳=q-2弓一6，$=2q+%+%，其中弓=（1,。。），=（°，L0），

4=（。，。/）.

⑴求［岳區(qū)+同

⑵求由與G—B的夾角。的余弦值.

【答案】⑴I7—；M+力卜亞

（2）0

【分析】（1）由數(shù)量積和模的坐標表示計算；

（2）由向量夾角的坐標表示求解.

【詳解】（1）由題意】=。,-2,-1）［=（2,1,1）,則￡+1=（3,-1,0）,

所以75=2-2_］=T，p+A|=>/9+l+O=Vio；

(2)^-^=(-1,-3,-2),

-3+3+O_o

一M+肝叫y/iOXy/14

【跟蹤訓(xùn)練1】.（22-23高二上?廣西梧州?期中）如圖，在正方體48co-4片。.中，E,F,G,〃分別是力8,

AD,BC,CC)的中點,則(/居GH)=

【答案】y/60°

【分析】直接利用向量的坐標運算求出向量的夾角.

【詳解】利用正方體，建立空間直角坐標系，A-xyz,

10

設(shè)正方體的棱長為2,

則G（2,1,2）,“（2,2J）,E（1,O,2）,F（O,L2）,

所以麗=（-1,1,0）,布=（0』,-1）,

餐E\EFGH11

所以"卬=小

故（而，67）=；,

故答案為：y.

【跟蹤訓(xùn)練2】.（24-25高二上?北京?期中）設(shè)xjeR,向量值=（1,1,1）,1=（n,-4,2）,且不_L尻方//乙

⑴求舊+B|；

⑵求向量萬+方與BV夾角的余弦值.

【答案】⑴3

（2）一1

【分析1（1）首先利用向量的共線和向量的垂直求出向量的坐標，進一步求出向量的模;

（2）利用向量的線性運算和向量的夾角運算求出結(jié)果.

【詳解】（1）向量1=（l,l,l）,g=（l,y,l）,d=（z,—4,2）,Ralb?

故1+歹+1=0,解得，=-2.

由于B/先，

所以」=解得z=2.

z2

故5=（1,-2,1）忑=（2,—4,2）,

所以。-5=(2,-1,2),

11

故蹄+3|=衣+㈠f+2?=3.

(2)由于石=(1,一2,1)忑=(2,-4,2),故石_d=(T,2,T),

一一+_6x/6

故cos?萬+人力一己。=^~^=一一.

+-c|3V63

題型七：空間向量坐標綜合問題

【例7】.(24-25高二卜?陜西渭南?期末)已知力(-2.0.2),8(-1，2).。(-3.0.4)為=刀石=衣

(l)|c|=3,c//BCt求5的坐標；

(2)求cos<4,B>；

⑶若夠+B與@-2行互相垂直，求實數(shù)〃的值.

【答案】⑴5=(-2,-1,2)或萬=(2,1,-2)

⑵-巫

10

⑶〃=2或%二卷

【分析】(1)由空間向量平行，得出己=%或，設(shè)E=(-2k,_k,2k),再利用同=3列方程，進而求得入

(2)先求得)=(1』,0),5=(-1,0,2),再利用公式即可求得cos＜落5〉的值;

(3)利用空間向量垂直充要條件列出關(guān)于〃的方程，解之即可求得A的值.

【詳解】(1)由題可知,=(-2,-1,2),

由。/前,得e=k前,設(shè)d=(-2",-A,24),

因為?=3,

所以(一2%/+(-k)2+(2k)2=3。解得i=±1,

所以e=(-2,7,2)或2=(2,1,-2).

(2)因為/(—2,0,2)、2(—1,1,2)、C(-3,0,4),五=布，b=AC，

所以G=(1,1,0),=(-1,0,2),

則8s＜我＞=為=目Vio

7o-,

(3)因為%+B=(左一1次,2),而一2$=(%+2人-4),

又%+5與%-2石垂直,

12

所以（旗+5）?卜萬—25）=（4一1）（左十2）+〃2—8=0,

解得左=-2或A=2.

2

【跟蹤訓(xùn)練1】.（24-25高二上?黑龍江牡丹江?期末）已知向量）二（2,-立-拉陽=4,且祈+研=32.

（1）求向量￡與］的夾角;

（2）求忸得的值;

⑶若向量Q+B與￡_序互相垂直,求左的值.

TT

【答案】⑴￡

4

⑵4

⑶心理

2

【分析】（1）由向量模的坐標運算得出同=2五，再根據(jù)向量數(shù)量積的定義及運算律求解即可；

（2）由及已知條件求得|22-即可求模；

（3）由已知得（4Z+可?（￡-口）=0,根據(jù)向量數(shù)量積的運算律及已知條件代入求解即可.

【詳解】（1）因為（2￡+可石=32,忖=4.

得2ai+b=32?所以。石=8.

由工=（2,一后,一五），可得同=2行，

因為cos（a，W=（g=弓，所以向量―與g的夾角為?.

（2）忻-甲二啟+片-4蒜=4x8+16-4x8=16,

故"-畫=4.

（3）由向量忘+坂與￡一左3互相垂直，得（〃4+孫（"45）=0,

2

ka-ka.b+a.b-k^=0^整理得r+A—1=0,解得〃

13

【跟蹤訓(xùn)練2】.（25-26高二上?全國?單元測試）如圖，在四棱錐P-48c。中，底面48CO為直角梯形，AD//BC,

/比1。=90。，產(chǎn)4_1_底面力8c。，且B4=AD=AB=2BC=2,M為PC的中點.

⑴求證：PB1DM；

（2）求DM的長；

G）求cosN?,而.

【答案】（1）證明見解析

⑵叵

2

Vio

(3)

~10~

【分析】（1）（2）（3）法1,由題圖結(jié)合數(shù)量積運算律，向量模長公式，向量夾角公式可得答案;

法2,由圖建立空間直角坐標系，由數(shù)量積坐標計算運算律，向昂:模長坐標公式，向量夾角坐標公式可得答案，

【詳解］（1）法1,結(jié)合題圖，而=礪_/,而=;（而+反）=;（萬一通+益一領(lǐng)］=;不+;而一（赤,

由題麗.布=".而=".在=0，I獲1=1萬I，

則麗麗=（而一珂：而一；而卜;|珂-J研=0,

所以而麗，即

法2,以力為坐標原點，刀，而，刀的方向分別為工，為z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系,

則P(O,O,2),5(2,0,0),D(0,2,0),J(0,0,0),C(2,l,0).

因為“為尸c的中點，所以所以而=(2,0,-2),

又麗?麗=2xl+0x(-')+(-2)xl=0,所以而而，即04_LDM;

(2)法1,DM=AM-AD=-AP+-'AC-AD,AC=AB+BC=AB+-AD,+-~AB--'AD,從而

222224

14

帚上*一河4Mm+髀+夢&抨而

--Z5J5=-X44--X4+—x4+0-0-0=2+-=—,貝麗|=迫，即DW的長為立

44416441122

法2,由(1),兩貝"麗7卜/2+(-|)+]2=半，所以DM的長為孚

(3)法1,由于歷=而-而，而=茄+：茄，

因此叵「=|而-衲2=]而『―2亦?"+|衲2=4-()+4=8,故附=2&.

\AC^=AB+^AD=卜可+/瓦36+1=4+0+1=5,故|元卜石.

工質(zhì)=(萬+；而)刖一萬卜輛2=2,

故cosJC,pr)=廣2-F:

V5-2V210

法2,斤=(2,1,0),TO=(0,2,-2),

所以衣.所=2x0+lx2+0x(—2)=2,|JC|=V5,|而卜2五，

【高分演練】

一、單選題

1.(25-26高二上?黑龍江)已知向量3=(1,x,2),1=(-4,4)),若「與坂共線，則%+5=()

A.12B.9C.-9D.-12

【答案】C

【分析】由空間向量共線的充要條件列式求得x=-l,歹=-8,即得.

15

【詳解】由向量「=（l,x,2）,1=（-4,4,刃兵線,

-4=/

故存在feR,使得5即<4=女，

y=2t

解得x=-l,y=-8,所以x+y=-9.

故選：C.

2.（25-26高二上?安徽阜陽?開學(xué)考試）已知Z+坂=（2,上,2g），15=（0,&,0）,則cos6［〉二（）

11

ARCV606

A.-D.—C.D-

3636

【答案】C

【分析】根據(jù)向量夾角公式的坐標表示求解.

【詳解】由已知兩式相加，得2G=（2,2上,26）即方=（1,立6），

兩式相減可得2b=（2,0,26）即B=（1,0,6），

uui、irL\a》1+0+3限

所以cos<?,/?>=一一=—7==—.

\a\\b\顯63

故選：C

3.（25-26高二上?全國?單元測試）在空間直角坐標系中,向量1=（2,-1刈）,6=（724）,下列結(jié)論正確的是（）

人.若）〃5，則〃?=2B.若同=6,則〃?=5

C.若他與為鈍角，則〃D.若）在B上的投影向量為，，貝1」〃?=4

【答案】D

【分析】利用空間向量共線的坐標表示可判斷A選項；結(jié)合空間向量的模氏公式可判斷B選項；分析可得聯(lián)B<0且

不共線，結(jié)合空間向量數(shù)量積的坐標運算可判斷C選項；利用投影向量的定義以及空間向量數(shù)量積的坐標運算可判

斷D選項.

【詳解】對于選項A:若?！ㄈ藙t二=W=：，解得加=-2,故選項A錯誤；

-424

對于選項B:若同=6,則回，/*=6,解得加=±同，故選項B錯誤：

對于選項C:若6〉為鈍角，則小5=-8-2+4〃?=4〃?-10<0且/〃/-2,解得用<|且機工-2,故選項C錯誤；

對干選項D*在石卜的投影向量為同8s（咽?|||二同?磊|。二審=電/'，則、3=：,解得加=4.

16

故選項D正確.

故選：D.

4.(2425面二下?云南昆明?階段練習(xí))已知空間向量G=(1,〃,2),E=(-3,1,3),若萬與B垂直，則|加=()

A.x/6B.V14C.V19D.14

【答案】B

【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的運算及空間向量的模求解.

【詳解】因為不與B垂直，

所以小/；=lx(—3)+〃+2x3=0,解得〃=-3,

所以1=。,-3,2),

故伍|=』2+(_3)+22=石.

故選：B

5.(24-25高二上,廣東廣州?期中)已知。為原點，方=(1,2,3),方=(2,1,2),而=(1,1,2),點。在直線0P上運動,

則當)?函取得最小值時，點。的坐標為()

A/48、447、「/33、八/33、

oB

A?(3H?-c.(T“5)口.(于3/

【答案】A

【分析】設(shè)麗=/而="/2。，利用坐標計算)取，最后求一元二次函數(shù)的最小值.

【詳解】因點。在直線0P上運動，則設(shè)詼方=億八2。，于是有

因此?=0B=(2-/,1-r,2-2/),

于是得甌函=(1T)(2T)+(2-7)(1—)+(3-2f)(2-21)=6/76/+10

4______2448

則當，=5時，(。力?。"卷口二一4，此時，點。(于3，1

，JJJJ

故選：A

6.(24-25高二下?江蘇常州?階段練習(xí))向量不二(x,1,1),5=(1,刈，c=(2,-4,2),且bHe＞則忸+萬卜()

A.x/6B.2N/2C.3V2D.2百

【答案】C

【分析】由向量的關(guān)系列式求解x,y的值，再運用向量的數(shù)乘及加法的坐標表示公式，結(jié)合向量的模公式計算得

出結(jié)果.

17

2x-4+2=0

【詳解】由G_LZ，bi/c>貝，解得x=l/=—2,

2~^4

/.a=(1,1,1),1=(1，-2,1),

2。+力=(3,0,3),

.\|2a+5|=x/9+9=3V2.

故選：C.

7.(24-25高二上?廣東梅州?期末)如圖，在四棱錐尸-力4。。中，21L平面48c。，四邊形力4。。是正方形，力B=3,

21=4,點M為尸C的中點，麗=：麗,貝叩MV|=()

A.3B.也c.逑D.石

232

【答案】C

【分析】根據(jù)給定條件，建立空間直角坐標系，利用空間兩點間距離公式計算得解.

【詳解】在四棱錐P-j8CD中，八4JL平面/BCD,且四邊形/BCD為正方形，

則直線力反力2/P兩兩垂直，以A為京點，直線力S4Z/P分別為x/,z軸建立空間直角坐標系,

則P(O,。,4),C(3,3,()),8(3,(),0),。(0,3,0),的中點”弓,右2),

前二：麗=(-1,1,0),N=(2,1,0),

所以|MN|=出丫+(；)2+2:=竽.

故選：C

18

8.（24-25高二上?河北石家莊?期末）在棱長為1的正方體彳中；以力為原點，。/、DC、0n所在

宜線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，若直線力C上的點P到直線"G的距離最短，則2點坐標為（)

C.5T0D.(0,1,0)

【答案】C

【分析】以。為原點建立空間直角坐標系，設(shè)萬=4就，利用坐標運算求出所在苑上的投影，利用勾股定理

由義表示出點P到直線8G的距離，再由距離最短，得到2的倩，進而求得尸點坐標.

【詳解】以。為原點。力、DC、。。所在直線分別為X軸，歹軸，z軸建立空間直角坐標系,

正方體的棱長為1，

則J(I,O,O),5(U,O),C(O,I,O),C1(O,I,I),

nj=(i,o,o),jc=(-i,i,o),

設(shè)萬:次，

貝|」而=加+/1衣=(1,0,0)+4(-1,1,0)=(1_440),

即P(1-A1,O),

^p=(-z,2-i,o),Z?q=(-i,o,i),

一\BP-Bc\|2|

而在上的投影為［而■「!=,,

點尸到直線8G的距離為:

=^(-A)2+(2-l)2-9：/22+1=曲母+；

當2時.，點P到直線4G的距離最短,

（121

所以點尸的坐標為10.

故選：C.

19

二、多選題

9.（25-26高二上?全國?單元測試）在空間直角坐標系中，。為坐標原點，且4（1,0,2）,5（-1,1,1）,C（3J2）,則下

列結(jié)論正確的是（）

A.48的中點坐標為（0」,2）B.（而+刀）?前=一1

C.ABA.ACD.若麗—石\而J反，則R4&C四點共面

236

【答案】BD

【分析】對于A,由空間中點坐標公式可判斷選項正誤；對于B,由空間向量坐標運算，數(shù)量積運算公式可判斷選

項正誤;對于C,驗證刀.祀是否等于0,可判斷選項正誤;對于D,由而=?而+?礪+；］可得定=一3萬-2萬,

236

據(jù)此可判斷選項正誤.

【詳解】因為4（1,0,2）,8（-1,1.1）,C（3.1.2）,所以布=（-2,1,-1）,衣=（2,1,0）,芯=（4,0,1）

對于A,48的中點坐標為（三,等與＞（。矍）.故A錯誤；

對于B,J5+JC=（O,2,-l）,則（萬+就）辰=0x4+2x0+（-l）xl=-l.故B正確；

對于C,Z3JC=（-2）x2+lxl+（-l）xO=-3,所以荏，衣不垂直.故C錯誤；

—1—?1—1—

對于D,因為++，所以60P=304+208+1，

236

所以3?-3麗+2麗-2而+反-而=0，

所以3萬+2而+正=正，即定二一3萬一2萬，

所以所，刀，而共面，所以尸，4瓦。四點共面，故D正確.

故選：BD

10.（25-26高二上?全國?單元測試）已知向量。=（1,1,0）,=（0,1,1）,m=（1,2,1）,則下列結(jié)論正確的是（）

A.向量。與向量5的夾角為三B.（a-^）lc

6

C.（a+b）//cD.向量彳在向量6上的投影向量為

【答案】BC

【分析】對于A,根據(jù)向量的夾角公式計算即可；對于BC,利用向量垂直及平行的坐標表示驗證即可：對于D,根

據(jù)向量不在向量讓的投影向量為同8S（叫?喬薩

計算即可.

20

【詳解】對于A,因為用?/>=1x0+lx1+Ox1=1，同=W=V^,

/一r\ab11

所以麗二阿B，

又。州砰式,所以《瓦今=三，所以A錯誤；

對于B,因為4-5=(1,0,7),所以伍一方"=1xl+0x2+(-l)xl=0,

故但所以B正確；

對于C,由向量G=(1,1,O),B=(OJ1),c=(l,2,l),可知萬=1+5,故所以C正確:

對于D,根據(jù)投影向量的定義可知，何量。在向量5上的投影向量為

同cos體今甫=帶bT0,1,1)｛。另),所以D錯誤,.

故選：BC.

1L(25-26高二上?全國?單元測試)已知四邊形"CO是平行四邊形，4(0,0,1),8(2,0,0),C(0,2,-2),則()

A.點O的坐標是(-2,0,-1)B.|麗卜后

C.cos/DAB=興D.四邊形48co的面枳是2折

【答案】BD

【分析】根據(jù)題意，由空間向量的坐標運算代入計算，對選項逐一判斷，即可得到結(jié)果.

【詳解】設(shè)。(x,y,z),則/O=(xj,7-1),由BC=(-2,2,-2),且而=心,

可得x=-2,y=2,z=-1,所以點。的坐標是(—2,2,—1),故A不正確:

因為筋=(-4,2,—1),則西=J(-4)二+2、+(7)2;國故B正確;

因為而=(2,0,-1),JD=(-2,2,-2),所以而.而=一4+0+2=-2，

且附=14+0+1=6,畫=>/4+4+4=2百,

/…AB~AD-2V15

則8sm八網(wǎng)同"用雙二-五,故c錯誤;

_x/2W

由C可知sinNDAB=J1-cos?/DAB=」"

15

則四邊形ABCD的面積為阿口西sinADAB=bx2括x=2m，故D正確;

15

21

故選：BD

12.（24-25高二上?廣東深圳?期末）關(guān)于空間向量，以下說法正確的是（）

A.若對空間中任意一點0,有方；礪+；3，則A、B、C四點共面

B.已知兩個向量a=（1,〃?,3）,b=（5,-1,w）,且；〃力，則〃加=一3

C.若Z_LB，且。=（石,弘,馬）,b=（x2,y2,z2）f則e馬+必必+馬馬=0

D.?=（0,1,1）,1=（0,0,-】），則￡在月上的投影向量為（0,--

【答案】BC

【分析】利用空間中四點共面的推論可判斷A選項；利用空間向量共線的坐標表示可判斷B選項；利用空間向最垂

直的坐標表示可判斷C選項；利用投影向量的定義可判斷D選項.

【詳解】對于A選項，若P、A、8、。四點共面，則存在4、〃wR,使得萬=/1劉+〃恁,

即而后=/1（礪-列+〃回-西,

所以，OP=（\-X-/J]OA+WB^/.IOC,且+%+〃=

因為對空間中任意一點°,有。A=!〈方+!（歷+!歷，且!+!+!工1,

234234

故P、A、8、C四點不共面，A錯；

對于B選項，已知兩個向量。二（1,陽,3）,6=（5,-1,〃），且「〃力，

5%=1

設(shè)工=口，即（1,〃?,3）=々（5,-1,〃），則機=一左解得＜〃?=一,故mn=-3B對;

kn=3

〃=15

對于C選項,若21B，且4=（西,凹百）,b=（x2,y2fz2）,則4彳=中2+乂%+2仔2=0，c對;

對于D選項，若＞=（0,1,1）,6=（0,0,-1）,則）在5上的投影向量為

岬雙詞,響著希芹?E=（。，。/）,D錯.

故選：BC.

13.（24-25高二上?四川南充?期末）下列給出的命題中正確的有（）

A.已知兩個向量值=（1,%2）,5=（2,1,71）,日萬//J?貝l|zw?=2

22

B.三校錐。一月8c中，點尸為平面力EC上的一點，且麗=:土？+x麗+y0?（x,ywR）,貝ijx+y=?