第五章平行四邊形

1平行四邊形的性質(zhì)

第2課時平行四邊形的對角線的性質(zhì)

刷基礎(chǔ)

知識點1平行四邊形對角線的性質(zhì)

1.如圖，在"BCD中,對角線AC,BD相交于點0,AB=3,AAB0的周長比△B0C的周長小1,

則。ABCD的周長是（）

A.10

第1題圖第2題圖

2.如圖,在口ABCD中，全等三角形共有（)

A.2對B.3對C.4對D.5對

3.如圖,口ABCD中，一條邊AD的長是8,一條對角線AC的長為6,那么它的另一條對角線

BD的長x的取值范圍是

4.如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC,BD相交于點0,分別過點A,C作AE1BD,CF1

BD,垂足分別為E,F,AC平分NDAE.

⑴若NA0E=50°，求NACB的度數(shù);

（2）求證:AE=CF.

BC

知識點2平行四邊形性質(zhì)的綜合應(yīng)用

5.如圖，在周長為20厘米的平行四邊形ABCD中，AB#AD,AC,BD相交于點0,0E1BD交

AD于點E,連接BE,則aABE的周長為（）

A.10厘米D.16厘米

6.如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC,BD交于點0,過點0的線段EF與AD,BC分別

交于點E,F.如果AB=4,BC=5,0E=l.5,那么四邊形EFCD的周長為

7.如圖，平行四邊形ABCD的對角線交于點0,以0D,CD為鄰邊作平行四邊形DOEC,0E交

BC于點F,連接BE.求證:F為BC中點.

8.在①AE=CF;②0E=0F;③BE〃DF這三個條件中任選一個補充在下面橫線上，并完成證明

過程.

已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，對角線AC,BD相交于點0,點E,F在AC

上,（填寫序號）.

求證:BE=DF.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

0

DC

刷提升

1.如圖，平行四邊形ABCD中,對角線AC,BD交于點E,NCBD=90°,BO4,AC=10,則這個平

行四邊形面積為（）

2.如圖，ZA0B=30°,OB=4,點P為射線0A上任意一點，連接PB.以PO,PB為鄰邊作平

行四邊形POQB,連接PQ,則線段PQ的最小值為.

3.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點E是邊CD上一點，且BOEC,CF1BE交AB于點F,

交BE于點G,P是EB延長線上一點，連接CP,FP.下列結(jié)論:①BE平分NCBF;②CF平分

NDCB;③BC=FB;④PF=PC.其中正確的有.（填序號）

4.如圖,在平行四邊形ABCD中,M,N分別為BC,CD的中點,AM=1,AN=2,ZMAN=60°,AM,DC

的延長線相交于點E,則AB的長為.

5.如圖,平行四邊形ABCD的對角線相交于點0,且ADWCD,過點0作0M1AC,交AD于點

此連接CM.AMD

（1）若ACDM的周長為8,求口ABCD的周長；

⑵若NADC=78°,CM平分/ACD,試求NBCA的度數(shù).乙/^

BC

刷素養(yǎng)

6.如圖，平行四邊形ABCD中,AB=7,BC=5.CH_LAB于點H,CH=4,點P從點D出發(fā),以每秒

1個單位長度的速度沿DC-CH向點H運動，到點H停止，設(shè)點P的運動時間為t.

(1)AH=;

(2)若aPBC是等腰三角形,求t的值.

參考答案

刷基礎(chǔ)

1.C【解析】VAABO的周長比△BOC的周長小1,ABC-AB=1.VAB=3,ABC=4,

/?0ABCD的周長為14.

2.C【解析】???四邊形ABCD是平行四邊形，「.AB二CD,AD=BC,0D=OB,0A=0C.

V0D=0B,0A=OC,ZAOD=ZB0C,AAAOD^ACOB(SAS);

同理可得出△AOBgACODGAS);

VAD=BC,AB=CD,BD=DB,AAABD^ACDB(SSS);

同理可得△ACDgZXCAB(SSS).因此共有4對全等三角形.

3.10<%<22【解析】???四邊形ABCD是平行四邊形，,0A=OC=^AC=3fOB=OD.

在aAOD中，由三角形的三邊關(guān)系，得40—。力<ODV40+。力,即8-3V00<8+

3".5V。0V10<2。。<22,即10VBOV22,.??10VXV22.

4.(1)【解】VAE±BD,/.ZAE0=90°.VZA0E=50°,AZEA0=40°.

VACT^ZDAE,AZDAC=ZEA0=40°.

???四邊形ABCD是平行四邊形，???AD〃BC,???NACB=NDAC=40°.

(2)【證明】??,四邊形ABCD是平行四邊形，???OA=OC.

VAE1BD,CF1BD,二NAEONCFO=90°.

???ZAOE=ZCOF,.,.△AEO^ACFO(AAS),AAE=CF.

5.A【解析】???四邊形ABCD是平行四邊形，???AC,BD互相平分，.?.0是BD的中點.又?:

0E±BD,A0E為線段BD的垂直平分線，,BE=DE,A△ABE的周長為

AB+AE+BE=AB+AE+DE=AB+AD.??,平行四邊形ABCD的周長為20厘米，，AB+AD=1。(厘米).

??.△ABE的周長為10厘米.故選A.

6.12【解析】:四邊形ABCD為平行四邊形，???AB=CD二4,AD=BC=5,AOOC,AD/7BC,AZOAE=

ZOCF.???ZAOE=ZCOF,AAOAE^AOCF(ASA),AOF=OE=1.5,CF=AE,J四邊形EFCD的

周長為ED+CD+CF+OF+OE=ED+CD+AE+OE+OF=AD+CD+OE+OF=5+4+L5+1.5=12.

7.【證明】

4n-----------------

------―^由口ABCD得OB=OD,

，由SOEC得EC〃OD,

BA/JVAOD=ECt從而易證

“LOBF^LECF,進而

E|得證..

???四邊形ABCD是平行四邊形，???OB=OD.

???四邊形DOEC為平行四邊形，A0D/7EC,OD=EC,.\EC/70B,EC=OB,

AZBOF=ZCEF,ZOBF=ZECF,AAOBF^AECF(ASA),

???BF=CF,即F為BC中點.

8.【解】若選①，即AE=CF.

證明：:四邊形ABCD是平行四邊形，???B0=DO,AO=CO.

VAE=CF,.*.OE=OF.XVZB0E=ZD0F,AABOE^ADOF(SAS),.\BE=DF.

若選②，即OE=OF.

證明：???四邊形ABCD是平行四邊形，/.BO=DO.?.?OE=OF,ZBOE=ZDOF,

△DOF(SAS),ABE=DF.

若選③，即BE/7DF.

證明：*/四邊形ABCD是平行四邊形，???BODO.???BE〃DF,?,.NBE0=NDFO.

XVZB0E=ZD0F,.,.△BOE^ADOF(AAS),ABE=DF.

刷提升

LA【解析】,??四邊形ABCD是平行四邊形,4C=C0,??.4E=CE=ZA〉=5,BE=DE=

2

2222

^BD.???NCBD=90°tBC=4,二BE=VCE-BC=V5-4=3,.,.BD=2BE=6,,

則這個平行四邊形面積為BD-BC=6X4=24.故選A.

2.2【解析】設(shè)0B與PQ交于點H.???四邊形PBQO是平行四邊形，，PH=HQ,0H=11B=

\OB=2.根據(jù)垂線段最短，可知當PQ±OA時,PQ最短.在RtAPOIl中，:NA0B=30°,

PH=^OH=1,PQ=2PH=2,即線段PQ的最小值為2.

3.?@③④【解析】VBC=EC,AZCEB=ZCBE.

???四邊形ABCD是平行四邊形，???DC〃AB,???NCEB=NEBF,???NCBE:NEBF,???①正確.

VBC=EC,CF_LBE,???NECF-NBCF,,??②正確?

VDC^AB,AZDCF=ZCFB.VZECF=ZBCF,AZCFB=ZBCF,ABF=BC,A(3)1E^.

??,FB=BC,CFLBE,AGB是CF的垂育平分線.丁點P在有線GB匕，PF=PC,...④正確.

4.g【解析】???四邊形ABCD為平行四邊形，/.AB^CE,AB=CD,AZBAM=ZCEM,ZB=ZECM.

M為BC的中點，，BM=CM,.二△ABMg△ECM(AAS),???AB=CE=CD,AM=EM=1.

,/N為邊DC的中點，???NE=3NC=1CB,即AB=-NE.

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-AN=2,AE=2AM=2,且NMAN=60°,AAEAN是等邊三角形,

NE=AN=AE=2,，AB=-NE=

33

5.【解】(I)'.?四邊形ABCD是平行四邊形，???OA=OC,AD=BC.

???0M_LAC,??.0M垂直平分線段AC,???AM;MC,

AACDM的周長為CM+MD+DC=AM+MD+DC=AD+CD=8,

???uABCD的周長為2(AD+CD)=2X8=16.

(2)由(1)得AM=CM,AZMAC=ZMCA.

VCMT^ZACD,AZMCA=ZMCD,AZMAC=ZMCA=ZMCD.

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