平面向量中三角形的“四心”問題及奔馳定理秒殺應用

（5大題型）

目錄

01知識重構(gòu)?重難梳理固根基.......................................................1

02題型精研?技巧通法提能力.......................................................5

題型一重心（★★★★★：............................................................5

題型二外心（★★★★★）................................................................6

題型三內(nèi)心（★★★★★）...........................................................7

題型四垂心（★★★★★；.................................................................8

題型五奔馳定理（★★★★）..............................................................9

03實戰(zhàn)檢測?分層突破驗成效......................................................11

檢測I組重難知識鞏固....................................................................11

檢測n組創(chuàng)新能力提升...................................................................14

01J

知識重構(gòu)-重難梳理固根基

一、三角形的重心

1、定義：三角形三條中線的交點為三角形的重心，重心為中線的三等分點；

2、重心的性質(zhì)：①重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1.

②重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等.

在平面向量的應用：（1）設點G是△ABC所在平面內(nèi)的一點，則當點G是△ABC的重心時，有

Q+而+反=6或而二:（PX+而+玩）（其中P為平面內(nèi)任意一點）；

（2）在向量的坐標表示中，若G、A、B、C分別是三角形的重心和三個頂點，且分別為G（x,y）、

A（X1,yJ、B（x2,y2）,C（x3,y3）,則有G（占上蘭士，讓與上）.

二、三角形的外心

1、定義：三角形三邊的垂直平分線的交點為三角形的外心，外心到三個頂點的距離相等；

2、外心的性質(zhì)：①“接”是說明三角形的頂點在圓上，或者經(jīng)過三角形的三個頂點.

②銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部：直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點；鈍角三角形的外心在

三角形的外部.

③找一個三角形的外心，就是找一個三角形的三條邊的垂直平分線的交點，三角形的外接圓只有一個，而

一個圓的內(nèi)接三角形卻有無數(shù)個.

3、外接圓：經(jīng)過三角形的三個頂點的圓，叫做三角形的外接圓.

在平面向量的應用：若點0是△ABC的外心，則|第|=|而|=|玩|或

（6A+6B）BA=（6B+OC）C3=（OC+6A）AC=O；

三、三角形的內(nèi)心

1、定義：三角形三個角的角平分線的交點為三角形的內(nèi)心

2、內(nèi)心的性質(zhì)：①三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等

②三角形的內(nèi)心與三角形頂點的連線平分這個內(nèi)角.

3、內(nèi)切圓

與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角形叫做

圓的外切三角形

在平面向量的應用：若點I是AABC的內(nèi)心，則有|瓦卜云卜市+|式西?元二0

四、三角形的垂心

1.定義：三角形三邊上的高或其延長線的交點為三角形的垂心；

在平面向量的應用：若H是△ABC的垂心，則口屋而=麗.的=瓦./或

222222

HA+BC=HB+AC=HC4-AB

五、奔馳定理

1、奔馳定理：O是4ABC內(nèi)一點，KxOA+yOB+zOA=6?則S^BOC:S^COA:S^OB=X：y：Z

2、奔馳定理推論：O是AABC所在平面內(nèi)一點，且x6X+y而+K6X=6,,則：

①SMOC：S沙oc：S沙oB=x:y:z

?S^BCC[X[S~oc]y[SMCBIZ[

西嬴^x+p+zl；式UIx+y+zl,S-8cIx+y+zl

由于這個定理對應的圖像和奔馳定理的圖標很相似，我們把它稱為奔馳定理.

3、奔馳定理的證明

奔馳定理：o是AJ4c內(nèi)一點，且x?33+y?赤+z?0?=6,則

已知。是ZU8C內(nèi)的一點，八8。。,。1。。,/3。8的面積分別為5>SB，S「求證：

S.^OA+S^OB+Sc^OC=^

法一證明：延長CM與8。邊相交于點。則處二弓血二親"二親"吃也二本

DC^AACD?ACOD?/C￡>—，CW

歷=胎礪+?]=篇礪+上一反

SB+Sc

°D_SBCD_5co/7_'BOD+'COD_5.4?~Q￡)——$404

。4SROASc0ASB0A+SC0ASB+SCS+S

/.一-JOA=SB礪+Sc反

s+sSs+品SB+SC

：.SA.OA+SB.OB+SC.OC=^

法二證明：延長OA到OAI，OB到OBI,OC到OCI使得，OA,=x0%02=y0%,。3=zo2,O為△A]BC

的重心.

B

Bf

、C1

SWOB^\OA\\OB\sinZAOB{

SMQB\110%||。4Isin40%xy

Swoc^\OA\\OC\sinZAOC1

SAJQGQjoqIsinZJ.OC,"

SAJ|OB1=邛必JOB,

SM℃i=xzSAAOC,

xyS^AOB=xzS/^AOCy

SM0B__z_

SAAOC~y

得證.

4、三角形四心與奔馳定理的關(guān)系及證明

①。是△力3C的重心：5.“：5.口：5“陽=1：1：1麗+玩=。.

證明：由重心分三角形面積相等及奔馳定理易得工8次：S△⑼：52叩=1:1:1o/+礪+。

②。是AABC的內(nèi)心：SABOC:^\COA:SMOB=。：b:c0aOA+bOB+cOC=6

證明：S^B（K.=-a-r,SACOA=-b-r,=1。?廠（/為A/18C內(nèi)切圓的半徑），所以

SABOC:0A:SMOB=a:b:c,再由奔馳定理可得aOA+bOB+cOC=6

③。是△48C的外心：sin:sin:sin=sin+sin+sin2coe=6.

S八1toe:S.COA:SAA（）H=2A2BIC2AOA2BOB

證明：SSBGC=-0B[\0CsinZCO5,由同弧所對的圓周角是圓心角的一半可得/CO4=2N4,所以

11^|?|^c|Sin2^=-/?2sin2A（R為AJ3C外接圓的半徑），同理可得SA。,二；H?sin24，

=^2sin2C,所以工8或上.以：S"08=sin2/:sin23:sin2C，再由奔馳定理可得

sin2^04+sin24而+sin2COC=6

④。是△/14C的垂心：

...

Ssgpc:SACPA-SMPB=tanJ:tan:tanC<=>tanAPA+tanBPB+tanCPC=0

PDPD

證明：如圖P為△48C的垂心，則有tan4=—,tan8=——，所以:|49|=tan/:Ian8,所以

ADBD111

S&BPC:%pc=?忸:l|CP|-pZ)|=|^D|:|^|=tanJ:tanB,同理可得九8：S*=

tan5:tanC,所以：：=tan4:tan8:tanC,再由奔馳定理可得

SMPC:SM，PA-SMPB=tanJ:tanZ?:tanC<=>tanAPA+tanBPB+tanCPC=0

02

題型精研-技巧通法提能力

?題型一重心?

【技巧通法?提分快招】

,硬石星_徒“弓謠董萬丁下藥率面再在煮二菽

（,）GA+GB+GC=0

（2）PG=-（PA+PB+PC）,AG=-（AB+AQ,BG=—（BA+BC）,CG=-（CA+CB）

3333

（3）若AS=/l（&§+斤）,％w[0,+8）,則G點的軌跡一定經(jīng)過三角形的重心.

（4）動點尸滿足麗=。1+/（方+就），4￡（（）,+8）,則尸的軌跡一定通過△/8C的重心

一一{~AR~4C1

（5）動點P滿足O0=OC+，|—|一+|、|J」,AG（0,+OO）,則動點P的軌跡一定通過AABC的

丁力8卜1114|JC|sinCj

重心

1.（2025?吉林?二模）在△/〃（?中，點。為力8的中點，點。為△48C的重心，則而+而=（）

A.COB.ODC.2COD.2DO

2.（24-25高三下?湖南長沙?月考）空間內(nèi)有五點4P,Q,S,T,則福卜+萬+萬廠是"0為△尸ST

重心”的（）

A.充要條件B,充分不必要條件

C.既不充分也不必要條件D.必要不充分條件

3.設G為的重心，1.y/7GAsinA+3GBs\nB+3V?GCsinC=6>則角8的大小為（）

A.30°B.45°C.60°D.90

4.已知ZU8C,O為平面內(nèi)任意一點，動點。滿足5麗=[(2+7)以+(2+4方+(1-2勾反],則點尸的

軌跡一定經(jīng)過()

A.△4?。的內(nèi)心B.△48C的垂心

C.的重心D.UAC的夕卜心

s

5.已知G為△力4C的重心，過G的直線分別與邊48,4C交于點P,。，則譽這■的最小值為()

6.已知△WBC為等邊三角形，點G是△WB。的重心.過點G的直線/與線段交于點力，與線段4C交

于點￡設而=2茄，/1E二〃/。，貝iJ?+,=.

?題型二外心?

【技巧通法?提分快招】

i⑴?明=i礪H雙1<=>蘇=蘇二反2j

ii

|(2)(OA+OB)AB=(dB+OC)BC=(OA+OC)AC=()

ii

I(3)動點尸滿足。A=+/i，26(0,+8),則動點尸的軌跡一定通過△45C(

°"2；℃UMcosS+卜=qcCosC,

Ii

J的外心；

L_____________________________________________________________________________________________________________________________!

1.設尸是△力AC所在平面內(nèi)的一點，若茄?(而+畫)=2而?而，且|萬|=|5I，則點P是ZUBC的()

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

2.已知在△/8C中，8C=6,G,。分別為△力8C的重心和外心，且濟?元=6，則ZUBC的形狀是().

A.銳角三角形B.鈍角三角形

C.直角三角形D.上述三種情況都有可能

3.在△力BC中，[8=4,AC=3f[,點。為△ABC的外心，若彳萬=4荏+〃祝，A,//sR,則

A=

4.在銳角ZU4C中，內(nèi)角4SC的對邊分別為。力,。,乙4=1,。為其外心.若△力8c外接圓半徑為/?,且

空月+華.祝=上.〃?而，則加的值為______.

cb2R

—2—1——

5.己知O是△/8C的外心，AO--AB+—AC,則cos4-.

/>2._2

6.如圖，已知。為ZU8C的外心，內(nèi)角4民。的對邊分別為db.c.若CO4B=BOC4,則^—―=.

7.（24-25高三上?天津河北?期中）己知△48C中，點G,。分別是△力8C的重心和外心，且就?而=4,|北卜2,

則邊8c的長為.

8.記△48。的三個內(nèi)角48,C,且力4=4,AC=6,若。是△.48C的外心，力。是角A的平分線，。在線

段8c上，則70?而二.

?題型三內(nèi)心?

【技巧通法?提分快招】

（1）|而|定+|前|再+|西麗=6C^aPA+bPB+cPC=6）

其中。也。分別是A48c的三邊8C、AC、AB的長

（2）萬=以/竺+￡）2W（0E），則P點的軌跡一定經(jīng)過三角形的內(nèi)心

I函\AC\

+不）（％W0）所在直線過A48。內(nèi)心（是ZBAC角平分線所在宜線））

（3）動點尸滿足而=厲+?嗡+奇；4￡[0,+8）,則P的軟跡一定通過的內(nèi)心

1.設G為△/出。的內(nèi)心，AB=2,AC=4,CB=3,~AG=xAB+yJC,則x+J，=.

2.已知△H8C,〃為三角形所在平面上的一點，且點P滿足a成+3而+c正=0，則。為三角形的

（）.

A.外心B.內(nèi)心C.聿心D.垂心

3.設△48c的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。,b,c,P是"8C所在平面上的一點，

PJ^=-PJPC+—PJ2=-ra-PC+--ra2,則點p是“8c的（）

bbaa

A.重心B.外心C.內(nèi)心D.垂心

4.在△/8C中，角4B,。的對邊分別為a,b,c,/為△48C的內(nèi)心，acosB-bcosA=c-bt且

J/=—75+-7C，則2的值為（）

33

A.3石B.VJC.3-6D.2石

5.（24-25高三上?河南駐馬店?月考）（多選題）己知△力8。是邊長為4的正三角形，該三角形的內(nèi)心為點

O,下列說法正確的是（）

A.而在荏方向上的投影向量的模為2

B.JB-AO=^

C.師+畫=竽

D.若P為△48C外接圓上任意一點，則|蘇+A）+無|=4>/1

6.（多選題）△49C的內(nèi)心為尸，外心為O,重心為G,若|<5|=?1=5,忸。|=6,下列結(jié)論正確的是

（）

3

A.△力4c的內(nèi)切圓半徑為尸二］B.6萬+5而+5正=0

C.60A+50B+50C=0D.\OG\=^

?題型出垂心?

【技巧通法?提分快招】

⑴OAOB=OBOC=OCOA

(2)|次『+|團|2=|礪『+|方|2=|反『+|萬『

____\

(3)動點P滿足訴=刀+2[—r+/，幾6(0，+8)則動點P的軌跡?定通過△NBC的垂心

|/15|cos5|JC|COSC

(4)tanJ.O4+tan^.<?5+tanC.0C=6.

1.已知平面上四個點49。,。，其中任意三個不共線.若莉.而=萬，則直線力。一定經(jīng)過三角形

的（）

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

2.已知點。是非等邊△力4C的外心，尸是平面力8C內(nèi)的一點且方+歷+沅=而，則。是△力8c的

（）

A.垂心B.重心C.內(nèi)心D.外心

3.（23-24高三上?河北?月考）若〃是A48C的垂心，2殖+2而+3優(yōu)=0，則tan。的值為（）

A.舊B.叵C.26D.叵

22

4.（多選題）已知=1，2,3,4）是平面上的四點，任何三點不共線，且滿足

“?和二環(huán)麗=麗電，則下列結(jié)論正確的是（）

A.［是的垂心

B.鳥是的垂心

C麗卷二礫跖二礫.麗

D.即+而+屐=6

5.已知〃是△力8c的垂心，滿足屈=；荔+（衣，且|麗卜1,則而.沅=.

6.（24-25高三上?寧夏銀川?月考）歐拉線是由瑞士數(shù)學家萊昂哈德?歐拉在1765年提出的一個幾何定理,

指出在一個三角形中，其外心、重心和垂心共線.這條直線被稱為歐拉線.在三角形48c中，O為三角形的外

心，P為三角形垂心（。點與尸點不重合），旦OP〃BC,動點〃在直線。夕上，=2xAB^yAC.

則刁'的最大值

?題型五奔馳定理?

【技巧通法?提分快招】

「三鬲形西E；寫彝把兔鬼的芙索

|①。是44BC的重心：S&B0c:SLCOA:SAAOB=1:1:1。OA+0B+0C=0.

i

I

:②。是AABC的內(nèi)心：S鄴oc:SACYM:SMQB-ci'.b'.c<=>aOA+bOB+cOC=0

II

j③。是AABC的外心：SAS0C:S.OA：S;.,,AOB=sin2A:sin2B:sin2C<=>sin2A0A+sin2B0B+sin2CSC=6.

I

\④。是△彳8c的垂心：

i?..,?—?

；SA8pc：SMTM：SgpB=tanJ:tan8:tanC=tanAPA+tanBPB+tanCPC=0

i

L-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1.“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標志得來，是平面向量口一個非常優(yōu)美的結(jié)論.它的具體內(nèi)容是：已

知M是△/BC內(nèi)一點，4BMC,“MC,△4118的面積分別為S/,S6,S一旦

S,總+Sg?麗+Sc?祝=0.若”為△/8C的垂心，3MA+4MB+5MC=O^則cos/4W8=()

bc?骼D.如

-43

2.（23-24高三上?河北保定?月考?）（多選題）“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定

理對應的圖形與“奔馳”轎車的標志很相似，所以形象地稱其為“棄馳定理奔馳定理：已知。是△力8c內(nèi)一

點，AB（JC,LAOB,△4OC的面枳分別為S.4，品，Sc，貝+?痂+金?灰:=0.設O是△4NC'

內(nèi)一點，的三個內(nèi)角分別為A,B,C,"OC,ZUOC,ZUO8的面積分別為S…既，S「若

3厲+4萬+5反=0，則以下命題錯誤的有（）

A.SA:SB:SC=3:4:5

B.O有可能是△力4c的重心

C.若。為△力8c的外心,則sin，：sin8:sinC=3:4:5

D.若。為△48C的內(nèi)心，則A/IBC為直角三角形

3.（23-24高三上?江西新余?期末）（多選題）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標志得來，是平面向量

中一個非常優(yōu)美的結(jié)論.奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián).它的具體

內(nèi)容是：如圖所示，已知M是△48C內(nèi)一點，4BMC,△4WC,△4W4的面積分別為S』,，且

SAMA^SBMB+SCMC^.以下命題正確的有（）

A.若S/SB：SC=1：1:1,則M為MBC的重心

B.若M為8c的內(nèi)心，則8c-必+/1C?礪+48?流=6

C.若N歷1。=45。,乙48。=61，"為ZU8C的外心，則Sj:%=6：2:1

D.若〃為△48C的垂心，3而+4礪+5次=6,貝I」tan/84C:tanN/4C:lanN8C4=3:4:5

4.“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳車的標志而來，是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，奔馳定理與三角

形的四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著美麗的邂逅.它的具體內(nèi)容是：如圖，若P是△48C內(nèi)一點,

△8PC,"PC/P8的面積分別為邑鳥￡,則有S-蘇+S',麗+S。?元=。.已知。為ZUBC的內(nèi)心，且

cosZ5JC=1,若而=〃/月+〃k，則〃?+〃的最大值為.

03

實戰(zhàn)檢測-分層突破驗成效

?檢測I組重難知識鞏固?

1.（24-25高三下?江西?月考）設G為△18C的重心，AB=3,AC=4,則前.麗=（）

757

A.-yB.——D.-

3GI3

2.（2024?四川南充?三模）已知點尸在所在平面內(nèi)，若莎?（至-駕）=麗?（生-芻-）=0,

\AC\\AB\\BC\\BA\

則點尸是。的（）

A.外心B.垂心C.重心D.內(nèi)心

22222

3.已知在同一個平面上有△/8C和一點。，且滿足關(guān)系式：OA+BC=OB+CA=OC+AB＞則。為

△4BC的（）.

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.乖心

4.已知點。為△/"。的外心，且向量加=2益+次，AeR,若向量互5在向量而上的投影向量為

!前，則cos8的值為()

4

A.在B.好C.正D.

2552

5.設。為的內(nèi)心，/1B=AC=T3,BC=\(),75=mAB+n7c(m,neR),則〃[+〃=().

6.（24-25高三上?遼寧?期中）設△48。的外心為。，重心為G,并且滿足|。/1|=淅2彳+疝叨+血2。，則

當|0G|最大時，△力8c的外接圓半徑為（）

A.在B.-C.且D.-

4422

7.平面向晟中有一個非常優(yōu)美的結(jié)論：已知。為△/8C內(nèi)的一點，/。C,4AOC,△力。8的面積分別

為工，品，S「則3；5+金?方+3。?反=0.因其兒何表示酷似奔馳的標志，所以稱為“奔馳定埋已

知。為△川火?的內(nèi)心，三個角對應的邊分別為〃，b,c,已知。=3,b=?6c=5,則麗.％=（）

A.2后-8B.-2C.V6-7D.372-9

8.（24?25高三上,黑龍江哈爾濱,期中）（多選題）在△48C中，48=4C=5,8C=6/為△48C內(nèi)的一點,

萬”而+yn，則下列說法正確的是（）

A.若尸為ZUBC的重心，則B.若。為ZUACH勺外心，則而?元=-18

C.若尸為△48C的垂心，則了+?二］D.若尸為△48C的內(nèi)心，則x+y=￡

168

9.（24-25高三上?吉林松原?月考）（多選題）已知點P在△力EC所在的平面內(nèi)，2GR,則下列命題正確

的是（）

A.若莎耳=A3?正=正.或，且君.刀=2，則萬.太=2

B.若（方+珂?而=（而+元）?前=0,則同=網(wǎng)=|園

C.若=―—+?—40~~-，則動點尸的軌跡經(jīng)過Zi/IBC的內(nèi)心

sinBJCsinC

一'X1］—（X］、一

D.若"==-------+--4B+=q——+-AC則動點P的軌跡經(jīng)過△/IBC的外心

ABcos2?2JJC|cosC2,t

10.（2025?陜西咸陽?三模）（多選題）如圖，已知。是ZU4C內(nèi)一點，三角形4OC、AOC.408的面積

分別為邑、SB、S「則S「刀+Sg?麗+S0?反=0.若。是銳角A48C內(nèi)的一點，A,B,C是XABC

的三個內(nèi)角，且。點滿足而?歷=而灰京，則下列說法正確的是（）

A.O是△月8C的垂心

B.\OA\:\OB|:|OC|=cosJ:cos5:cosC

C.ZBOC+A＜n

D.tanA-OA+tanB-OB+tanC-OC=0

11.（多選題）如圖.P為△力〃。內(nèi)任意一點，角C的對邊分別為ab,c,總有優(yōu)美等式

S“8C蘇+S#優(yōu)而+S,81=0成立，因該圖形酷似奔馳汽車車標，故又稱為奔馳定理.則以下命題是真命

題的有（）

A.若P是△力臺。的重心，則有力+方+卮=6

B.若a可十〃而十c定=6成立，貝1J尸是△48。的內(nèi)心

—2—1—

C.若力PC,則S△的：S△低＞=2:5

JJ

D.若P是ZU8C的外心，＜=：,9=〃廊+〃］，則

12.（多選題）邊長為1的正三角形力AC的內(nèi)心為0,過。的直線與邊力氏4c交于尸、Q,則（）

A，向*向、B.當力。門。時,此時相邛

1]]1

c.阿+網(wǎng)的最大值為18D.西+畫的最小值為15

13.（2024?四川南充?模擬預測）已知點O是A/BC的重心，04=2,08=3,OC=3,則

OAOB+OAOC+OBOC=?

14.在△48c中，/為ZUAC的內(nèi)心，若3方+4而+5^=6，則。=.

15.設0,“分別為△4%?的外心和垂心，OH=OA+OB+OC^4H=T,BH=6,CB=6則

Sz）BA:S^OBC:^^OAC~?

16.（2024高三?江蘇?專題練習）在△居＜:中，％8=&,ZJC8=45。，。是ZUAC的外心，則祝?心+反.而

的最大值為

17.由三角形內(nèi)心的定義可得：若點。為△48C內(nèi)心，則存在實數(shù)無，使得芯=%借+制.在△X8C

中，tan/A4c=2&，若點。為MAC內(nèi)心，且滿足血=》方+y太，則x+N的最大值為.

18.（202S?海南?模擬預測）瑞十數(shù)學家歐拉在176s年提出定理：任意二角形的外心、重心和垂心依次位

于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，該直線也被稱為歐拉線.已知在△/BC

中，AB=&，AC=2,且設△力8c的外心為O,重心為G,垂心為，，若

AOG=OA+OB+OC，則實數(shù)義=;|?！ú?/p>

?檢測U組創(chuàng)新能力提升?

—1—

1.在四面體P-48C中，。為△N8C的重心，瓦￡G分別為側(cè)棱21,PB,PC上的點，若PE=§PA,

即=|而，PG=1一