第10講三角形個數(shù)及判斷三角形形狀問題

題型一：三角形解的個數(shù)問題

己知a、b、A,△HAC解的情況如下圖示.

(i)A為鈍角或直角時解的情況如下:

(ii)人為銳角時，解的情況如下:

時,有兩解

a=bsinA時，有一解acfrsinA時.無解

【例1】在中，C=30。，。=垃，c=E若滿足條件的/8C有且只有一個，則”的可能取值是

()

A.4B.3C.1D.73

22

【答案】D

【分析】利用正弦定理得到sin8=土，再分0V3W30和3>300兩種情況討論，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求

2x

出工的取值范圍，即可判斷.

【詳解】解：由正弦定理二=芻，即巫所以sinB="，

sin8sinCsinBsin302x

因為，A8C只有一解，

若8>30”，則3=90",

若0<B430"顯然滿足題意，

所以0<sin5?,或sinB=l,所以0<立4,或—=1,

22x22x

解得工2&或%=正；

2

故選：D

【例2】在,.ABC中，若力=3,c=—,8=45，則此三角形解的情況為（）

2

A.無解B.兩解

C.一解D.解的個數(shù)不能確定

【答案】C

【分析】根據(jù)正弦定理求出sinC的值，結(jié)合大邊對大角定理可得出結(jié)論.

bc

【詳解】由正弦定理，得痛=限

3&y/2

得.<?sinB2*2D，

b322

因為c<〃，則C<B,故C為銳角，故滿足條件的ABC只有?個.

故選:C.

【例3】設的內(nèi)角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c,S和R分別為“WC的面積和外接圓半

徑.若〃=Nc=3,則選項中能使ABC有兩解的是（）

A.3=30。B.C=30°C,S=3D.R=2

【答案】AD

【分析】由已知條件，結(jié)合正弦定理以及三角形面積公式，三角形中“大邊對大角”的性質(zhì)，結(jié)合選項即可

逐一求解.

【詳解】對于A,由〃=2,c=3,6=30。，由于csin6=3x1=±Hcsin囚此有兩個解；

22

對于B,由b=2,c=3,。=30。則由正弦定理得sinB=^￡=!<4,Rb<c,因此A只能是銳角，故只

c32

有一組解；

■GC

對「C,由8=2,c=3,S=3得S=-bcsinAnsinA=—=I=>A=—,故只有一解：

2be2

對于D,由R=2得sin8=3=:，所以B=J或8=2，由于/）=2c=3=A<C,所以。=丁，由選項A

2R2666

可知有兩解.

故選：AD

【例4】在,ABC中，根據(jù)下列條件解三角形，其中有一解的是（）

A.〃=9,c=4,C=30。B.〃=5,。=4,4=45。

C.a=6,b=3區(qū)B=60。D.a=20,0=30.A=30。

【答案】BC

【分析】由正弦定理逐項判斷.

9x1

yx

【詳解】解：對『A,因為〃=9,c=4,C=30。，所以由正弦定理可得bsinC29、1，無解;

sinD=----------=--------=—>1

c48

AO

4x

對于B,b=5,。=4,8=45。，所以由正弦定理可得csinB^~2應r11。<從有好:

sinC=---------=--------=------<1

b55

對于C,因為。=6/=36,8=60。，所以由正弦定理可得。2-，解得A=90。，此時

sin/1——-I

b36

C=30°,有一解:

因為a=2O/=3O,A=3O"所以由正弦定理可得sinB=更生2=3°x；_3/1,且所以B有

對于D,

a--------=—<1

204

兩個解,不符合題意.

故選：BC

【題型專練】

I.在“BC中，內(nèi)角ARC所對的邊分別為瓦?則下列條件能確定三角形有兩解的是（）

A.a=5/=4,A=f

6

B.a=4,b=5.A=—

4

C.?=5,/?=4M=—

6

D.a=4,b=5,A=—

3

【答案】B

【分析】結(jié)合已知條件和正弦定理即可求解.

【詳解】對于A：由正弦定理可知，-j=—V=sin8=]

sinAsinB5

mb,故三角形，ABC有?解；

6

對于B：由正弦定理可知，—=—=>sinB=^,

sinAsinB8

n=j故三角形ABC有兩解；

4

對于C：由正弦定理可知，仁二工nsinB=]

sinAsinD5

???A為鈍角，一定為銳角，故三角形,/WC有一解;

對于D：由正弦定理可知，，一=_L=sinB=生色>1，故故三角形“SC無解.

sinAsinB8

故選：B.

2.在ABC中，己知。=2/=#,人=45,則滿足條件的三角形（）

A.有2個B.有1個C.不存在D.無法確定

【答案】A

【分析】根據(jù)正弦定理得sinB=正，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)和三角形的邊角關系判斷解的個數(shù).

乙

【詳解】由正弦定理可得三=3,又a=2,b=R、A=45

sinAsinB

..2_=_^___73

所以&sinB?所以sinB=——?

—2

2

因為所以，又3€（0,萬）

所以8=^或8=4

.??滿足條件的三角形有2個.

故選：A.

3.在中，已知〃=2,0=3,8=30°,則此三角形（）

A.有一解B.有兩解C.無解D.無法判斷有兒解

【答案】A

【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合正蘢定理計算判斷作答.

【詳解】在A8C中，a=2口=3,8=30。，由正弦定理得sinA=竺出=空也=」，

b33

而"b,有4v8=30,即4為銳角，所以此三角形有一解.

故選：A

4.在A8C中，內(nèi)角A,B,。的對邊分別為小b,c已知a=2g力=6,A=f,則此三角形（）

A.無解B.一解C.兩解D.解的個數(shù)不確定

【答案】C

【分析】利用正弦定理結(jié)合已知條件分析判斷即可.

,2G_6同

【詳解】由正弦定理號=號，得〒=嬴下，解得sin8=".

sinAsin8—2

2

因為a<〃，所以4<8.

又因為8e（0/）,所以8=?；?=充，

故此三角形有兩解，

故選：C.

5.在解三角形時，往往要判斷三角形解的情況，現(xiàn)有A/WC滿足條件：邊c=20,角8=60%我想讓它有

兩解，那么邊》的整數(shù)值我認為可?。ㄖ惶罘蠗l件的一種即可）

【答案】18或19

【分析】在三角形中，已知其中一邊和其中一角，根據(jù)幾何關系得出另一邊和已知邊和角的關系，求出〃

的取值范圍，即可求出〃的整數(shù)值

【詳解】解：由題意，

在A48c中，c=20,8=60。，。為整數(shù)，

???三角形有兩解，

???c>b>csin8即20>b>20sin60?，

解得：10Gvb<20,

M的整數(shù)值為18或19.

故答案為：18或19.

6.在.A6c中，a,b,。分別為內(nèi)角A,B,。所對的邊，若。=石，3=60。，若石C僅有一個

解，則a的取值范圍是（）

A.（0,G]D{2}B.0,-C.fo,|u{2}D.2

212.

【答案】A

【解析】：解法一：因為b=6,8=60。，由正弦定理得‘一=一絲，所以。=如粵=2sinA,

sinAsinBsinB

因為A?0,120。），），=2sinA的圖象如圖所示:

因為AA/C僅有一個解，所以)'=〃與y=2sinA的圖象只有一個交點，所以或。=2,

故選：A

解法二：可知當0<。工人或Z?=asinB時，僅有一個解，所以或。=2,

題型二：判斷三角形形狀

判斷三角形形狀的思路：

1.轉(zhuǎn)化為三角形的邊來判斷：

2222

(1)A/\BC為直角三角形Qa=b+c2或=Q2+或c2=a+b；

22

(2)A4BC為銳角三角形=a+b>c2且+c2>Q2且c2+a2>回

22222

(3)AABC為鈍角三角形oa+b<c?或82+c<M或c?+a<b；

(4)按等腰或等邊三角形的定義判斷.

2.轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)(值)來判斷：

(1)若cosA=0,則A=90。，"BC為直角三角形;

⑵若cosAvO,則AABC為鈍角三用形；

⑶若cos4>0且8sB>0且cosCO,則Zi/WC為銳角三角形；

(4)若siM4+sin2B=sin2C,則C=90°,HABC為直角角形；

⑸若sinA=sinB或$%(人-8)=(),則A=B,^ABC為等腰三角形；

⑹若s加2A=s山2從則或A+8=90°,zUBC為等腰三角形或直角三角形.

在具體判斷的過程中，應注意靈活地應用正、余弦定理進行邊角的轉(zhuǎn)化，究竟是角化邊還是邊化角應依具體

情況決定.

【例1】在中，〃-2ccos3=0則此三角形的形狀為()

A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等邊三角形

【答案】A

【解析】由正弦定理sinA-2sinCcos3=0,又因為A+8+C=TT,

所以sinA=sin（8+C）.即4。（8+。）=2411。以）53,用兩角和的正弦公式展開左邊，得：

sinBcosC+cosBsinC=2sinCeosB,整埋得sinBcosC-sinCeos3=（）,

所以sin（3—C）=。，又因為N8和NC是三角形的內(nèi)角，所以B—C=0,B=C,此三角形為等腰三角

形.

【例2】（多選）下列命題中，正確的是（）

A.在AA8c中，A>B^:.s\nA>sinB

B.在銳角A4BC中，不等式sinA>cos8恒成立

C.在AA8C中，若acosA=〃cosB,則AA8C必是等腰直角三角形

D.在AABC中，若3=60"，b2=ac，則AABC必是等邊三角形

【答案】ABD

【解析】對于A,由4>3,可得：a>b,利用正弦定理可得：sin4>sinB,正確；

71717171

對于8,在銳角AASC中，A,BE（0,—）?A+B>—?—>A>-----B>0,

2222

7T

sinA>sin（----B）=cosB,因此不等式sin4>cos8恒成立，正確;

2

對于C,在AA8C中,由acosA=bcos8,利用正弦定理可得:sinAcosA=sinBcosB,

..sin2A=sin23,?.A,8￡（0,%），「.24=28或2A=2不一23,或A+B=g,

???MBC是等腰三角形或直角三角形，因此是假命題，C錯誤.

對于Q,由于3=60°，b1=ac?由余弦定理可得：b1=ac=a1+c~-acy

可得（〃一。）2-0,解得〃=c,可得A=c=〃=60。，故正確.

故選：ABD.

【例3】（多選題）的內(nèi)角AB,C的對邊分別為〃也c,下列四個命題中氐砸的是（）

A.若/+從一02>0,則4/V?。一定是銳角三角形

B,若一^=」一=」一，則一定是等邊三角形

cosAcosBcosC

C.若acos4=Z?cosB,則.ABC一定是等腰三角形

D.若〃cosB+/?cosA=a,則AABC一定是等腰三角形

【答案】BD【解析】A選項：當a=4,〃=2,c=3時，a24-Z72-c2>0?

△A3C為鈍角.錯誤.B選項：因為‘一=」一=」一，

cosAcosBcosC

所以lanA=tanb=tanC，且4B,Cw(0,萬)所以A=8=C，.ABC為等邊三角形.正確.

C選項：acosA-bcos8=>sin2A=sin28nA=B或A+B二生.

2

ABC不一定是等腰三角形.錯誤.

D選項：acosB+Z?cosA=a=>sinAcosB+sinBcosA=sinA

=sin(A+3)=sinA=sinC=sinA

又因為4。￡(0.不)，所以4=C.即為等腰三角形.正確.

【例4】已知在/8C中，si/A+sirB-si/Js-C,且嗎=2cosA,則該的形狀為()

sinA+sinB-sinCsinB

［附:a'+b'=(a+b)(a?+從—必)］

A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等邊三角形

【答案】D

【分析】由己知條件結(jié)合正弦定理得/十〃一＜?=＜；2(0+幼＜3,化簡后可得一帥=/,然后由余弦

定理求得C=3,由嗎=2cos八結(jié)合正弦定理和三角函數(shù)恒等變換公式可得A=3.從而可判斷出三角

3sinB

形的形狀

f?.y.hjj、sin-"Fsin5-sinC.2c3,3a2(?x3

［詳解】由-------------------=sin-C=＞?+Z＞-r=c2(a+h)-c},

sinA+sinB-sinC

又,；a'+Z/=(〃+〃)(/+b2-ab^,

"-a1+b2-ab=c2.

-1

cosC=—,

2

VCG(O,7T)

：.c=-.

3

IsinC_..-c....

Ili----=2cosAnsinC=2cosAsinB.

sinB

而sinC=sin(A+B)=sin4cosB+cosAsinB,

???sinAcosB=cosAsinB

??.sinAcosA-cosAsin4=0,即sin(A-B)=0,

A=B.

??.JSC為等邊三角形，

故選：D.

【例5】在AABC中，如果lg?-lgc=lgsinB=-lg>/2,且B為銳角，試判斷此三角形的形狀（）.

A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

【答案】C

【分析】由對數(shù)運算性質(zhì)可求得角B,再根據(jù)正弦定理、三角變換進行判斷可得三角形的形狀.

【詳解】vlgsinB=-lg>/2,

??sinB=——，

2

又因為B是銳角，

所以8=g.

4

...[.a41

?Iga-lgc=lg_=1g—9

c2

:巴=叵.

c2

由正弦定理得則

sinCc2

.A.（34]x/2.

sin4=sin------C=——sinC,

_（4）2

???—cosC+sinC=sinC,

222

cosC=0,

A=B=—,

4

??.△ABC是等腰直角三角形.

故選C.

【點睛】判斷三角形形狀的方法有兩種，一是將邊轉(zhuǎn)化為角進行判斷，二是將角轉(zhuǎn)化為邊進行判斷，解題

時注意三角變換在解題中的應用，屬于基礎題.

【例6】dBC的三個內(nèi)角A,B,C的對邊分別是mb,c,若sinA:sin8:sinC=3:4:5,則,ABC的形

狀是()

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形

【答案】B

【分析】根據(jù)正弦定理的三邊比值，然后能得到。2+〃=/,即可得到答案

【詳解】由正弦定理可知a:〃:c=sinA:sin/?:sinC=3:4:5,

設〃=3/,〃=41,c=5/,(/>0),

所以/+從=25r=02,所以AO3C,所以48c的形狀是直角三角形，

故選:B

【例7】已知一ABC的三個內(nèi)角A4C所對應的邊分別為。力,c,且滿足

coszA-cos2B+cos2C=1+sinAsinC?JIsinA+sinC=siny,且..ABC的形狀是()

A.等邊三角形B.等腰直角三角形

C.頂角為半的等腰三角形D.頂角為至的等腰三角形

63

【答案】D

【分析】先利用同角三角函數(shù)基本關系得siifA+siZC-=-sinAsinC,結(jié)合正余弦定理得

8s6=一；,求出角5,再利用sinA+sin彳-A)=l,化簡得sin(A+5)=l在結(jié)合條件求出角A,進而得G

則三角形的形狀就可以判斷了.

(詳解】由題cos2A-cos2B+cos'C=1+sinAsinC得：

(1-sin2i4)-(l-sin2B)+(l-sin2C)=1+sinAsinC,

即sin2A+sin2C-sin2B=-sinAsinC>

由正弦定理及余弦定理得c°sb-三孝衛(wèi),

2ac2

又?Be(0,^):.B=—,:.C=TT-B-A=--A

33

sin4+sinC=sinA+sin(y-A)=sing=1

整理得sin(4+W7T)=l,.?.4=2TT，C=2TT

366

故AA3C為頂角為半的等腰三角形

故選：D

【例8】在“中，角4,8,C對應邊分別為4,〃，C,已知三個向量，〃=a,cos-yI，n=p?,C0Sy

（

P=GCOS-共線，則二A5C形狀為（）

A.等邊三角形B.等腰三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】A

【分析】由向量共線的坐標運算可得。85尚=比。5曰，利用正弦定理化邊為角，再展開二倍角公式整理可得

sing=sin?,結(jié)合角的范圍求得4=4,同理可得8=C,則答案可求.

AD

【詳解】解：?.向量，?=S,cos3）,八=（〃,8§不）共線,

B,A

,acos-=~cos—.

22

RA

由正弦定理得：sinAcos—=sinSeos—.

.aide"8sC=2sin戛"cosA

22222

c人乃cBn

0<—<—,0<—<—

2222

AB

所以cos—HO,cos—*0

則siny=sin-j.

?'L，即A=8.

同理由7=("cos%/=(c,cos()共線,

可得B=C.

2

.?."BC形狀為等邊三角形.

故選：A.

【例9】已知三角形的三邊長分別為3,4,X,若該三角形是鈍角三角形，則X的取值范圍是（）

A.(V7,7)B.(5,7)C.(0,J7)U(5,-K?)D.(l,V7)u(5,7)

【答案】D

【詳解】由題意，為鈍角三角形，三邊長分別為3,4,X,

可得當4是最大邊時，4所對的先是鈍角，即此角的余弦值小于零,

4<x+3「

則："0,2,解得1<X〈療，當X是最大邊時，X所對的角是鈍角，即此角的余弦值小于零，

、3-+廠<42

（JC43

則<；2：4t<%2,解得5<XV7,綜上可得，工的取值范圍是[夕）=（5,7）

I

故選：D.

【題型專練】

1.在WC中，已知〃+〃=」一+'一,則一4BC的形狀一定是（）

tanAtanB

A.等腰三角形B.直角三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

【分析】根據(jù)正弦定理，結(jié)合同角的三角函數(shù)關系式、二倍角的正弦公式、正弦型函數(shù)的性質(zhì)進行求解即

可.

,ab.?sinAsinB...sinAsinB

…有、.「沙士mi,1,〃+〃=；+-=>sinA+sin/^=-+=>sinA+sin/?=-.-

【詳解】根R+據(jù)f?正弦定理，由tanAtanBtanAtanBsin4sinB

cosAcosB

nsinA+sinB=cosA+cosB=>（sinA-cosA）2=（cosB-sinB）2

nsin?A+cos2A-2sinAcosA=sin?B+cos?4-2sin4cos/3

=>I—sin2A=1—sin2Bsin2A=sin2B,

因為ABw（（U）,所以2A23e（0,2兀），

所以行2A=28,或2A+2B=7t,或24+28=3幾，

當2A=23時，有A=8,此時有sinA=cosAnA=A=8，

44

即C=],所以此時該三角形是等腰直角三角形；

當2A+28;兀時，即A+8=],所以此時三角形是直角三角形；

當24+23=3兀時，B[JA+B=y,不符合三角形內(nèi)角和定理，舍去，

綜上所述：的形狀一定是直角三角形，

故選：B

2.在/8C中，A,B,C的對邊分別是々也叫若a?+〃<c2,則以8c的形狀是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.銳角或直角三角形

【答案】C

【分析】由余弦定理確定。角是鈍角.

【詳解】一:角形48c中，cosC="+/c2<0,所以。為鈍角，

lab

三角形為鈍角三角形.

故選：C.

3.ABC的三內(nèi)角AB,C的對邊分別為a也c且滿足acosA+/2cosA=2rcosC,且sinA=sin8,則ABC

的形狀是（）

A.等腰三角形B.等邊三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

【答案】B

【分析】對己知條件結(jié)合正弦定理進行邊換角，另一個條件說明三角形是等腰三角形，兩者結(jié)合起來判斷.

【詳解】根據(jù)條件：acosB+加osA=2rcosC,利用正弦定理可得：

sinAcosB+sinBcos4=2sinCeosC,

整理得：sin(A+B)=sinC=2sinCeosC,0<C<7t,則sinCwO,

化簡得：cosC=l故C=￡,

23

在《ABC中，由于sinA=sinB,所以A=8(不可能A+4=7t),

故A=8=C=g.所以ABC為等邊三角形.

故選：B.

4.已知/WC內(nèi)角4、8、C所對的邊分別為a、/\c面積為S,若osinW^=/〉sin4,2s=75HACA,則

.ABC的形狀是（）

A.鈍角三角形B.直角三角形C.正三角形D.等腰直角三角形

【答案】C

【分析】利用正弦定理邊角關系及三角形內(nèi)角性質(zhì)求出角8,再由向量數(shù)量積定義和三角形面積公式求出

角A,即可判斷形狀.

A+「

【詳解】由題設及正弦定理邊角關系有sinAsin--—=sinBsinA,而sinA>0且A+C=/r-B.

山7?4-BB..BB....B7T.BI

所以sin-------=cos—=2sin-cos-,義0<一<一,可4得asin-=一，

22222222

所以囁故5g

而5=—BACA=-ABAC=—bccosA，又S=—/?csinA,

2222

所以GeosA=sin4,故tanA=v5>（）,0<,可得A=?，

綜上，,ABC為正三角形.

故選：C

5.己知在/8c中，/+從-。3=。2.+〃）-。3,且嗎=2COSA,則該A6C的形狀為（）［附：

sinB

a-4-1>=（a+〃）（a?+b2-ab）］

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等腰直角三角形D.等邊三角形

【答案】D

【分析】利用已知邊長關系式可整理求得cosC,進而得到C=。；由sinC=sin（A+8）,結(jié)合兩角和差正

弦公式化簡已知角的關系式，可得到sin（A-8）=0,從而得到A=8：由此可得“灰?形狀.

【詳解】由"+『3-+b)得:々a+//="(〃+〃)=(〃+h)(a~+b2-ab),

乂Ce(0,,/.C=—；

由sinC=2cos4得:sinC=2cosAsinB,

sinB

即sin(A+B)=sin(^--C)=sinC=2cosAsinB.

/.sinAcosB+cosAsinB=2cos>4sinB,sinAcosB-cosAsinB=sin(A-B)=0,

0<-----<A—B<—,「.A-8=0,I'PA=Bt

3333

.▲ABC為等邊三角形.

故選:D.

6.ABC中，。、b、c分別是內(nèi)角A、B、C的對邊，若a?6-*=4屈2,且

AD

（北陽+丹）/C=°，則/的形狀是（）

|AB|\AC\

A.等腰非直角三角形B.三邊均不相等的直角三角形

C.等邊三角形D.等腰直角三角形

【答案】A

【分析】根據(jù)題意得2"cosC=26i〃sinC，求出C,再利用（湍]+齦>”=0,可判斷8=C,再分析

求解即可.

【詳解】由4+〃一/=46s謝-可得2a〃cosC=2百absinC,

所以tanC=正，所以。=[,由（嚕+1=）OC=0可得8=C,所以8=C=g.

36|AC|6

故選：A.

7.在AABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,K/?2+cz=cr+bc,若sin4sinC=sin?A,則

的形狀是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形

【答案】C

【分析】先依據(jù)條件〃+d=a、慶?求得人=^，冉利用sin4sinC=sin"A可以求得。=c,從而判斷△A3。的

形狀是等邊三角形

【詳解】中，b2+C2=a~+bc,則cosA="+'———=-^-=—

2bc2bc2

又0<A<7i,貝Ij4=g

由fin3sinC=sin，A,可得/=〃c,RA/>2+c2=a2+bc

則有b2+c2=bc+bc=2bc,WO（b-c）~=0.則Z?=C

又A則ZUBC的形狀是等邊三角形

故選：c

8.已知角A4,C是"C的內(nèi)角，向豉〃7=（sinAsin8）,〃=（ccsA8sB）且加與〃共線，則可以判斷

.4?。的形狀為（）

A.等腰三角形B.等腰直角三角形C.直角三角形D.等邊三角形

【答案】A

【分析】根據(jù)向量共線的坐標運算，可得sinAcos8=sin8cosA,根據(jù)角4、B的范圍，即可得

tanA=tanB,即可得答案.

【詳解】因為加與,;共線，

所以sinAcosB=sin8cosA，

所以sin(A-4)=0

因為A8w（0,乃），所以A-8w（一小兀），

所以A-8=0,即A=B,

所以.XBC為等腰三角形，

故選：A

9.在AABC中，若COS2A+COS28>2