期中壓軸題專訓(xùn)（解答題6大題型32題）

題型歸納

題型一：幾何模型壓軸（6題）

題型二：輔助線模型壓軸（4題）

題型三；幾何最值模型壓軸（6題）

題型四：其他幾何壓軸（6題）

題型五：勾股定理相關(guān)壓軸（5題）

題型六：實(shí)數(shù)類壓軸（5題）

:題型專練

題型一：幾何模型壓軸（6題）

1.（25?26八年級(jí)上?山東?階段練習(xí)）（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)

如圖①，在△/8C中，AC=BC,D,E分別在4C,上，若CD=CE,則ACOE和是頂角相等

的等腰三角形，連接/E,BD,則/。與的數(shù)量關(guān)系是

（2）類比探究：如圖②，△/CB和△QCE均為等邊三角形，點(diǎn)力，D,七在同一條直線上，連接試

求N/1E8的度數(shù)及力。與8E的數(shù)量關(guān)系.并說(shuō)明理由.

（3）拓展延伸：如圖③，和△QCE均為等腰直角三角形，N4CB=NDCE=9。。，點(diǎn)、,4,D,E在

同一條直線上，CM為△QCE中。石邊上的高，連接8E.試猜想的度數(shù)及線段CM,AE,BE之間

的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

（4）解決問(wèn)題：在（3）的條件下，若BE=4,CM=3,直接寫出四邊形44EC的面積.

【答案】（1）AD=BE；（2）4EB=60。,AD=BE-理由見(jiàn)解析：（3）NAEB=90。,AE-BE=2CM：

理由見(jiàn)解析；（4）35

【詳解】解：（1）?.?力。=8。，CD=CE,.-.AC-CD=BC-CE,

：.AD=BE,故答案為：AD=BE.

（2）4E8=60。，AD=BE；

理由如下：???△4C8和△OCE均為等邊三角形,

AC-Z?C,DC—EC,ZACB-^DCE-ZCDE-ZCED-60°,

AACD=600-ZDCB=ZBCE，

AC=BC

在與ABCE中，,4CD=NBCE,.?.△ACD會(huì)△BCE(SAS),

DC=EC

ZADC=NBEC,AD=BE,

vZ.CDE=60°,/.NBEC=Z.ADC=1800-NCDE=120°,

ZAEB=/BEC-4CED=120°-60°=60°；

(3)ZAEB=90°,AE—BE=2CM；理由如下：

???△/CB和均為等腰直角三角形，

AC=BC,DC=EC,NACB=NDCE=90。,NCDE=NCED=45。

:.AACD=90°-4DCB=/BCE,

AC=BC

在“CD與ABCE中,"CD=/BCE,AACD會(huì)△BCE(SA0,

DC=EC

：.NADC=NBEC,AD=BE,

???ZCDE=45°,NBEC=ZADC=180°-ZCDE=135°,

乙4EB=NBEC-Z.CED=135°-45°=90°:

???CM為1邊上的高，電DC=EC,：.DE=2CM,

AE-BE=AE-AD=DE=2cAy:

⑷二?AE-BE=2CM,BE=4,CW=3,AE=BE+2CM=4+2x3=\0,

S\Q邊影4BEC=S“BE+S“CE=；AEBE+gAE-CM=yxl0x4+^-x]0x3=35.

2.(25-26八年級(jí)上?江蘇?階段練習(xí))【模型提出】"一線三垂直”模型是"一線三等角〃模型的特殊情況，即三

個(gè)等角的度數(shù)為90。，且三組邊相互垂更，所以稱為“一線三垂直”模型.當(dāng)模型中有一組對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)相等時(shí),

模型中必定存在全等三角形.

BEJ.DE^^、E,則4）,BE與DE之間滿足的數(shù)量關(guān)系是.

②如圖2,在等腰直角△ABC中，4c8=90。，AC=BC,過(guò)點(diǎn)C作直線CE,過(guò)點(diǎn)力作力。ICE于點(diǎn)Q,

過(guò)點(diǎn)B作BE1CE于點(diǎn)E,AD=5,BE=2,則OE的長(zhǎng)為.

【模型初探】（2）①如圖3,四邊形/6C。中，AC=BC,乙ACB=CADC=900,CD=8.求△6CZ＞的面

枳.②如圖4,在RtJOB中，405=90。，分別以8/1和為直角邊作等腰RtZX.MO和等腰

Rt^OBC,連OC交。8延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,判斷4。與的數(shù)量關(guān)系并證明.

BC=4,S“8C=6,以/C為直角邊向右惻作一個(gè)等腰

直角三角形4C0,連接8。，請(qǐng)畫出圖形并直接寫出△4。。的面積.

【答案】（1）?DE=BE+ADx②3：（2）①32：②OA=2BE,證明見(jiàn)解析：（3）10或4

【詳解】解：（1）?vADIDE,BEIDE,"ADC=/CEB=90°,

/C8=90°,AZACD+ZCAD=90°,乙48+NBCE=90。,ZCAD=ZBCE,

NADC=/CEB

在AC4。和△8CE中，/CAD=，BCE,:.^CAD^BCE(AAS),

AC=BC

：.CD=BE,AD=CE,:.DE=CD+CE=BE+AD,故答案為：DE=BE+AD；

②?；AD工DE,BE1DE,ZADC=ZCEB=90°,

?:NACB=90°,ZACD+ZCAD=90°,ZACD+NBCE=90°,;.NCAD=NBCE,

/ADC=/CEB

在AC4。和ABCE中，NCAD=，BCE,..△C4O絲△BCE(AAS),:.CD=BE.AD=CE,

AC=BC

vAD=5,BE=2,DE=CE-CD=AD-BE=5-2=3,故答案為：3；

(2)①如圖所示，過(guò)點(diǎn)8作8〃_LOC交DC延長(zhǎng)線于"，

同（1）可證明△B/ZCg^CZM,.?.4〃=。。=8,.?.SA8°=gc。8〃=；x8x8=32：

②。=28七，證明如下：如圖所示，過(guò)點(diǎn)。作?！╛L4E交反延長(zhǎng)線于〃，

是等腰直角三角形，且為直角邊，.?.48=8D,ZJW=90°,

.??同理可證明8gDH=OB；

???△O3C是以08為直角邊的等腰直角三角形，.?.03=8C,/O8C=90。，

；.BC=DH,^CBE=180O-ZOBC=90°,Z.EBC=Z.EHD=90°,

乂?；/BEC=/HED,."CBEaDHE(AAS),；.EH=EB,：,OA=BH=2BE；

(3)以AC為直角邊向右側(cè)作一個(gè)等腰直角三角形AC。，NCW=90。，如圖4,過(guò)點(diǎn)力作力E_L8C「E,

圖4

,/AB-AC,BC=4,SSBjBCC=—2-AE=6,AE=3,CE=—2BC=2,

由（1）得：^ACE^DAF,:.AF=CE=2,：.S=-BCEF=-x4x（2+3）=\0-

&f）CD22

以4c為直角邊向右側(cè)作一個(gè)等腰直角三角形D,ZJCD=90°,如圖5,過(guò)點(diǎn)力作花_L8C「氏過(guò)點(diǎn)。

作Qb±8c交延長(zhǎng)線于戶，

,/AB=AC,BC=4,SAC4DBLC=—2BC?AE=6,AE=3,CE=—2BC=2,

由（1）得：^AF.C^^CFD./.CE=DF=7.,S^BCD=DF=^x4x2=4；

綜上所述，△8C。的面積為10或4.

3.（25-26八年級(jí)上?湖北武漢?階段練習(xí)）在等邊“8C的兩邊力。所在直線上分別有兩點(diǎn)歷，N,D

為》4c外一點(diǎn)，且NM￡W=60。，ZBDC=120°,BD=DC.探究：當(dāng)M,N分別在直線4c上移

動(dòng)時(shí)，&W,NC,之間的數(shù)量關(guān)系及A/IMN的周長(zhǎng)。與等邊△力8c的周長(zhǎng)￡的關(guān)系.

【問(wèn)題探究】（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)M,N分別在邊力8,彳C上，且DW=ON時(shí)，此時(shí)NC,MN間的

數(shù)量關(guān)系：，學(xué)=

（2）如圖2,點(diǎn)M,N邊分別在48,力。上，且當(dāng)0MWON時(shí)，猜想8M,NC,A/N之間的數(shù)量關(guān)系

并加以證明，同時(shí)求此時(shí)號(hào)的值.

/-

【拓展延伸】（3）當(dāng)M,N分別在邊力3,。的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3所示，若此時(shí)/N=x,貝!。=

用】，￡表示，直接寫出結(jié)果）.

N

圖1圖2圖3

0?O22L

【答案】(1)MN=BM+NC,-=-；(2)MN=BM+CN,證明見(jiàn)解析；工二三：(3)2x+—

￡3L33

【詳解】(1)解：如圖1，猜想：MN=BM”C,理由如下：

圖1圖2

?/DM=DN,NMDN=60°,是等邊三角形，/.MN=DM=DN,

vZ5DC=120°,BD=DC,Z.DBC=ZDCB=30°,

是等邊三角形，ZABC=^ACB=60°,ZDBM=ZDCN=90°,

在RhDBM和R^DCN中,,pw-￡W"RtAMM-RuDC/V(HL)*

:.￡BDM=4CDN=30。，BM=CN,DM=2BM,

DM=2BM=BM+NC,MN=DM=BM+NC；

'：AB=AC,BM=CN,:.AM=AN,

?/ZJ=60°,...△4WN是等邊三角形，：.AM=AN=MN=2BM，

:.“MN的周長(zhǎng)Q=3MN=6BM,等邊"BC的周長(zhǎng)▲=348=3(4W+BM)=9BM,

.2=絲吃二2；故答案為:MN=BM+NC,-

L9BM33

(2)解：MN=BM+CN,證明：如圖2,延長(zhǎng)dC到￡，使CE=8M,連接OE,

???“BC是等邊三角形，/.NABC=/ACB=60°,

?/BD=CD,Z5DC=120°,:./DBC=NDCB=30°,

AABC+4DBC=NACB+NDCB,即NABD=ZACD=90°,

NDCE=180°-NACD=90°=/DBM,

BD=CD

在LDBM和ADCE中，NDBM=NDCE

BM=CE

.-.AD5M^ADCE（SAS）,DM=DE,NBDM=，CDE,

vZ5DC=120°,ZMDN=60°,/.ABDM+ZCDN=120°-60°=60°,

ZCDE+ZCDN=60°,即NEDN=60°=4MDN,

DM=DE

在&MDN和AEDN中，?4MDN=4EDN：AMDN%EDNGAS）,MN=EN,

DN=DN

?;EN=CE+CN,CE=BM,:.MN=BM+CN、?.?18。是等邊三角形，/.AB=AC=BC,

等邊三角形48C的周長(zhǎng)￡=AB+AC+BC=3AB,-/MN=BM+NC,

的V的周長(zhǎng)0=4W+MN+4N=4W+8M+NC+4V=/18+/1C=248,/.^=|^=|:

BD=CD

在GBM和ADCF中，?NDBM=NDCF：ADBM2DCF（SAS）,：.4BDM=ZCDF,DM=DF,

BM=CF

???2MDN=4BDM+NBDN=/CDF+4BDN=60°,

---￡BDC=120°,二.乙FDN=600=乙MDN,

DM=DF

在么MDN和AFDN中，4MDN=NFDN:AMDN知FDN（SAS）,MN=FN,

DN=DN

?;CN=CF+FN,CF=BM,:.CN=BM+MN；

???等邊”BC的周長(zhǎng)為八j加?，"MN的周長(zhǎng)0=MN+/4N+4W,

=FN+AN+AB+BM,=AN+AF+AN+AC+CF,=2AN+2AC,=2x+—.故答案為：2x+/-.

4.（24-25八年級(jí)上?山東東營(yíng)?期口）如圖，在中，ZC=90°,AC=BC,點(diǎn)。是中點(diǎn)，

NA/ON=900,將NMOV繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，NMON的兩邊分別與射線力C、C8交于點(diǎn)。、E.

圖一圖二

⑴當(dāng)/M0N轉(zhuǎn)動(dòng)至如圖一所示的位置時(shí)，連接。。，求證：△（：（）慳4BOE；

⑵如圖一，線段CO、CE、4C三者之間的數(shù)量關(guān)系是

⑶當(dāng)乙“ON轉(zhuǎn)動(dòng)至如圖二所示的位置時(shí)，線段C。、CE、力。之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）CE+CO=WC⑶CE-CQ=4C,理由見(jiàn)解析

u

【詳解】（1）證明：vAC=BC,ZC=90,AO=OBf

:.OCA.AH,OC=AO=OB,:"OCD=/B=45°,

???2MON=ZCOB=90°,???ZDOC=/EOB,

NOCD=NB

在△COO和△BOE中，OC=OB,.,.△COO出△BOE(ASA).

ZCOD=ZBOE

(2)CE+CD=AC,理由如下：如圖所示，連CO,

?:"B=90。,AC=BC.。為的中點(diǎn)，

：4=NB=45o,AO=BO=CO,/ACO=NBCO=45。,CO1AB,

.?.408=90。，NECO=ND4ONCOE+NBOE=90。,

?.ZMON=90°,ZBOE+ZDOA=90°,ADOA=AEOC,

.-.△Df)J^A￡f)C(ASA),：.CE=AD,AD+CD=CD+CE=AC：

圖二

(3)CE-CD=AC.理由：連接OC.

vAC=BC,ZC=90°,AO=OB,OCLAH,OC=AO=OB,

：2OCB=NB=45°,NDCO=NOBE=135°,

???乙MON=Z.COB=90°,:.ZDOC=/EOB,

'/OCD=/OBE

在△CO。和△BOE中，＜OC=OB,.?.△CO。絲△BOE(ASA),

NCOD=ABOE

:.CD=BE,/.CE-CD=CE-BE=BC=AC.

5.(25-26八年級(jí)上?四川?階段練習(xí))(1)如圖1,點(diǎn)石，F(xiàn)是邊長(zhǎng)為4cm的正方形力用。。的邊上兩點(diǎn)，且

AEBF=45°.為了探究CF,E尸之間的數(shù)量關(guān)系.某同學(xué)的方法是：如圖1,延長(zhǎng)以到H,使

AH=CF,連接8”,先證"4〃0團(tuán)"再結(jié)合得出的結(jié)論證明△E8“四得EF=EH,從而得到

AE,CF,b之間的數(shù)量關(guān)系是；0石/的周長(zhǎng)是.

⑵如圖2,若在四邊形"C。中，AB=AD,ZB+ZZ)=180°,E,b分別是線段8C,CD上的點(diǎn)，且

ZE.4F=^BAD,探究圖中線段即，BE，尸。之間的數(shù)量關(guān)系：

(3)如圖3,在四邊形力BCD中，//6C+4OC=180。，AB=AD,點(diǎn)、E,F分別在C8和CD的延長(zhǎng)線上,

且滿足EF=BE+DF,請(qǐng)?zhí)骄縉8力。和NEAF間的數(shù)量關(guān)系.

【詳解.】解：(1)如圖所示，延長(zhǎng)及1到〃，使連接4〃，

???四邊形/8CO是正方形，.?./B=C8,NC=N4BC=NBAD=90。,

:"BAH=1800-/BAD=90°=ZC,

乂\AH=CF,.?.“BH%CBF(SAS),：.BH=BF,/ABH=NCBF；

???AEBF=45°,Z.ABE+ZCBF=Z.ABC-ZEBF=45°,

:.NEBH=ZABE+ZABH=ZABE+ZCBF=45°,:.4EBH=NEBF,

乂?.BE=BE,：.AEBFqAEBH(SAS),EF=EH,

'：EH=AE+AH=AE+CF,;.EF=AE+CF,

：.QEF的周長(zhǎng)=EF+DE+DF=AE+CF+DE+DF=AD+CD=4+4=8(cm)；

故答案為：EF=AE+CF；8cm：

(2)如圖所示，延長(zhǎng)E8到H,使得BH=DF,連接力H，

-??ZJ5C+ZD=180°,/ABC+/ABH=l80。，；.NABH=ND,

又?.BH=DF,AB=AD,d&ADF(SAS),；.AH=AF,ZLBAH=Z.DAF：

Z.EAF=-々BAD,NBAE+ZDAF=/BAD-ZEAF=-4BAD,

22

:.Z.EAH=Z.BAE+Z.BAH=Z.BAE+Z.DAF=—/.BAD,Z.EAH-Z.EAF,

2

又?；AE=AE,^EAF^EAH(SAS),EF-EH,

???EH=BH+BE=BE+DF,EF=BE+DF;

（3）如圖所示，延長(zhǎng)。C到G,使得OG=8E,連接力G,

vZ//5C+ZJDC=180°,/Z8C+N48E=180。,/.^ADG=Z.ABE,

乂?；AD=AB,DG=BE,：."DGW"BE（SAS）,：.AG=AE,/DAG=/BAE；

,:EF=BE+DF,；.EF=DG+DF=FG：

又?；4F=4F..?.△4FGgAjFE（SSS）,；./FAE=NFAG；

???NFAE+/FAG+/EAG=360°，,2NFAE+NEAB+ZBAG=360°,

.'.2^FAE+ZDAG+ZBAG=360°,2^FAE+SAD=360°,：.ZEAF=\^00--ZBAD.

2

6.124-25八年級(jí)上?吉林?校考期末）如圖，已知NDCE與NAOB，OC平分/4OB.

⑴如圖1,，力CE與/力。5的兩邊分別相交于點(diǎn)。、E,N4OB=NDCE=900,試判斷線段C。與CE的數(shù)

晟關(guān)系，并說(shuō)明理由.

以下是小宇同學(xué)給出如下正確的解法：

解：CD=CE.

理由如下：如圖1,過(guò)點(diǎn)。作b_LOC,交OB于點(diǎn)、F,則NOC尸=90。，

請(qǐng)你根據(jù)小宇同學(xué)的證明思路，寫出該證明的剩余部分.（2）若408=120。，ZDC￡=60°.

①如圖3,-OCE與一力。5的兩邊分別相交于點(diǎn)。、E時(shí)，寫出線段O。、OE、的數(shù)量關(guān)系二

②如圖4,NOCE的一邊與40的延長(zhǎng)線相交時(shí)，寫出線段。。、OE、OC的數(shù)量關(guān)系」

若。O:OC=2:5,AOCO的面積為〃，則△OCE的面積=_（用含。的代數(shù)式表示）.

【答案】⑴見(jiàn)詳解⑵?！?00=0。，OE-OD=OC,y

【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)。作。/，。。，交08于點(diǎn)八如圖，則NOCT=90。,

?.?0。平分4。8,/.Z1=Z2=45°,

vZ3=90，-Z2=45\/.Z1=Z2=Z3,:.OC=FC,

又:/4+/5=/6+/5=90,二/4=/6,

Z1=Z3

在ACOO與ACEF中，Me=FC.小。。*△C￡F(ASA),:.CD=CE.

Z4=Z6

(2)@OE+OD=OC.理由如下：方法一：過(guò)點(diǎn)C作CW_LN,CN1O8,垂足分別為M，N,如圖,

則NCA/O=NONE=90。，又丁。。平分2408,.?.CM=CN,

在四邊形ODCE中，ZAOB+ZDCE+Z1+Z2=360°,

又??//O8+NO"=60。+120°=180°,Zl+Z2=180°,又???/2+N3=180。，Zl=Z3,

Z=N3

在△CMD與CNEZ.CMD=NOVE，:.ACMD^ACNE(AAS),..CD=CE,DM=EN.

CM=CN

OE+OD=OE+OM+DM=OE+OM+EN=ON+OM.

方法二：以CO為?邊作/R7O=60。，交08于點(diǎn)尸，如圖，

.-.Zl=Z2=60°,AZ3=180°-Z2-ZFCO=60°,

Z1=Z3,Z3=Z2=AFCO,二，。?！笆堑冗吶切?，二。。=C/7,

vZDCE=Z4+Z5=60°,/產(chǎn)CO=N6+/5=60。，Z4=Z6,

Z1=Z3

在ACDO與CO=CF：.ACDOACEF(ASA),

Z4=Z6

CD=CEQD=EF.：.OE+OD=OE+EF=OF=OC.

②有OE—=結(jié)論成立.以O(shè)C為一邊，作NOCF=60。與OB交于F點(diǎn),如圖，

???404=120。，0c為//O4的角平分線，.?./CO3=NCO4=50。，

又???NOC/=60°，,ACOF為等邊三角)^:.OC=OF,

?；4OCF=NOCD+/DCF=60°,/DCE=/DCF+/FCE=60°,ZOCD=AFCE,

又?.ZCOD=180°-ZCOA=180°-60°=120°,NCFE=180°-NCFO=180°-60°=120°,

：./COD=4CFE、：.KJODACFE(ASX).：.CD=CE、OD=EF.

..OE=OF+EF=OC+OD,^OE-OD=OC.

過(guò)點(diǎn)。作CM，。力，CN_LO6垂足分別為M,M如圖，則NC”Q=/CVE=90。，

又'OC平分/AOB,:.CM=CN,設(shè)OO=2x,

vOD:OC=2:5,OC=5x,貝!OE=OC+OD=7x,

1|S...OECNlx7a

SzycNnf,寶石廠三,則

題型二：輔助線模型壓軸（4題）

7.（25-26八年級(jí)上?江蘇?階段練習(xí)）小剛在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，通過(guò)小組合作解決了一個(gè)幾何問(wèn)題：如

圖①，等腰△/8c中，AB=AC.點(diǎn)。是〃?上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E、。分別在8力延長(zhǎng)線上，且神二花，

CP=EP.

（2）問(wèn)題再探若/比1。=6（）。，如圖②，探究線段在、BP、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

小剛發(fā)現(xiàn)：用截長(zhǎng)補(bǔ)短法先構(gòu)造等邊三角形，再利用三角形全等，將線段進(jìn)行轉(zhuǎn)換，進(jìn)而可以解決上述問(wèn)

題（注；截長(zhǎng)補(bǔ)短法是把幾何題化難為易的一種思路，這種方法常用于證明兩條短線段之和等于第二條長(zhǎng)

線段.）（3）問(wèn)題拓展，若4%C=90。，且80平分/川?C,如圖③，請(qǐng)直接寫出GX的值為

BD

【答案】⑴證明見(jiàn)解析；（2）第=力尸+EP,證明見(jiàn)解析；⑶;.

【詳解】（1）解：8尸=力尸+EP,證明如下：?.?44=/￡,AB=AC,:.AC=AE,

AC=AE

在△</?（?與zUPE中，\AP=AP：.^APC^/\APE,:"ACP=/AEP,

PC=PE

vAB=AE,AB=AC,:.NABE=ZAEB,ZACB=4BCA,:ZBE=NACP,

?/ABAC+/ABC+ZACB=/BAC+/ABE+/PBC+ZACB=\80°,

/BPC+NPBC+4PCB=NBPC+NPBC+NBCA+ZACP=\80°./.NBAC=/BPC；

（2）如圖所示，在線段BP上取點(diǎn)R使得N/M產(chǎn)=60。，

?:/\APE9XAPC,/APE=AAPC,

ZBPC=NBAC=60°,二ZAPF+NAPE=2ZAPF+60°=180°,

/.ZAPF=600=NPAF,???NBAC=ZFAP=60°,/BAF=NCAP,

BA=CA

在48力￡與乙，尸中｛/3力尸=/。夕，，2\8力/^40。，..8/=。尸，

NABF=Z.ACP

?：BP=BF+PF,PC=PE,AP=PF,:.BP=AP+EP；

（3）如圖所示：在線段BP上取點(diǎn)，，使得NPJL/H,即NH4P=90。,

???/比IC=90°,且8。平分N/18C,

ZABC=Z.ACB=45°,NABH=NHBC=22.5°,

乂?：4BAH”HAP=9QQ,々PAC+4HAp=9?！?:.NBAH=/PAC,

BA=CA

在^BAH與《CAP中NBAH=NPAC,:.AABH會(huì)4APC,

4BE=/ACP

AH=AP,:.NAHE=NAPB=45。,

NBAH=/AHE—NABH=450—22.50=22.5°=APAC=/APC;

:,AP=PC,BH=AH=PC=PE,/HBA=NHAB=225°,

ZHDA=180-ZABH-Z.BAC=67.5°=^HAD,即：HA=HD,

FPFP\i

:.HD=HA=BH=EP.：.而=^^=5,故答案為：?

8.（25-26八年級(jí)上?江蘇?階段練習(xí)）【問(wèn)題情境】課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題:

圖1圖2

如圖1,△48。中，若48=6,AC=4,求8c邊上的中線的取值范圍.

小明在組內(nèi)和同學(xué)們合作交流后，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)力。到已使。￡=力。，連接BE.請(qǐng)根據(jù)

小明的方法思考：（1）由已知和作圖能得到△力。CgAE/用，依據(jù)是

A.SSSB.AASC.SASD.HL

（2）由“三角形的三邊關(guān)系〃，可求得的取值范圍是.

解后反思：題目中出現(xiàn)"中點(diǎn)〃“中線〃等條件，可考慮延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證

的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形中.

［初步運(yùn)用］（3）如圖2,4）是。的中線，BE交AC于E,交力力于尸，AE=EF.若EF=3,EC=2,

線段8E的長(zhǎng)為

(4)如圖3,力。是△力8c的中線，N8/C=N/C8,點(diǎn)￡在8c的延長(zhǎng)線上，EC=BC.求證：

AE=2AD.

【答案】（1）C(2)\<AD<5(3)5(4)見(jiàn)解析

【詳解】解:???力。是BC邊上的中線，??.BO=8,?.?7）￡

BD=CD

???在△4OC和AEDB中<ZBDE=ZCDA,

DE=AD

：2DC為EDB（SAS）,??.依據(jù)是SAS,故選：C；

解：由(1)知MDCdEDB,：.BE=AC=4,AD=DE=；AE,

在中，AB=6,/.6-4<J￡<6+4,即2vXEvlO,

A1<<5,故答案為：

解：如圖所示，延長(zhǎng)力力到點(diǎn)G,使OG=4。，連接8G,標(biāo)記Nl,/2,N3,/4,

???力。是△48C的中線，.?.8。=。。，

DG=AD

在△4OC和△GO4中{N2=N3,:AADCgAGDB(SAS),,-.Zl=Z4,BG=AC,

BD=CD

,*'AE-EF?EF=3,EC=2,Zl=Z2>AC=AE+EC=FF+-EC=5,/.BG=JC=5,N2=/4

又??/2=/3,.?./3=N4,.?.B/=8G=5,.?.線段8r的長(zhǎng)為5；

(4)證明：如圖所示，延長(zhǎng)力。到點(diǎn)“，使?！?力。，連接C〃，標(biāo)記/5,/6,

??FD是△ZBC的中線，.?.3。=8,

BD=CD

在AABD和xHCD中?NADB=Z.HDC，:.AABDAHCD(SAS]、：.HC=AB,Z5=Z6,

DH=AD

vABAC=ZACB,/.AB=BC,NB/1C+N5=N4CB+N6,

U[1ZACE=ZACH,又?：EC=BC,：.EC=HC,

AC=AC

???在△/CE和"C"中、N4C￡=4C"，.-.△JC￡^AJC//(SAS),AE=All,

EC=HC

又,?DH=AD,；.AH=2AD,:.AE=2AD.

形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

9.(25-26八年級(jí)上?江西宜春?階段練習(xí))中線是三角形中的重要線段之一.在解決幾何問(wèn)題時(shí)，當(dāng)條件中

出現(xiàn)“中點(diǎn)”"中線"等條件，可以考慮利用中線作輔助線，即把中線延長(zhǎng)一倍，通過(guò)構(gòu)造全等三角形，把分散

的已知條件和所要求的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形中，從而運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題，這種作

輔助線的方法稱為“倍長(zhǎng)中線法

如圖，在。中，。是邊8c上的中點(diǎn).

A

⑴如圖1.E是邊45上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作C產(chǎn)〃/A,交石￡)的延長(zhǎng)線于點(diǎn)產(chǎn)..求證：DE=DF.

(2)如圖2,連接力。，若/8=6,JC=4,求力。的長(zhǎng)的取值范荊.

⑶如圖3,力。是△48C的中線，點(diǎn)E在8C的延長(zhǎng)線上，AB=CE,NBAC=/BCA,求證：4c平分

/DAE.

⑷若將(3)中的”"=CE,/。4。=/8。"更改為"力(7平分/。4￡：,ZE=ZBAD",試探究線段4E與力。

的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【答案】⑴見(jiàn)解析⑵1<4。<5⑶見(jiàn)解析⑷4E=23,理由見(jiàn)解析

【詳解】(1)解：YCF"AB,:2B=/DCF,ZF=ZBED,

??,Q是邊8c上的中點(diǎn)..?.4。=。。，.?.△8OEg^CZ)/"AAS),."七二。/.

(2)解：如圖，延長(zhǎng)力。至點(diǎn)￡,使ED=<D,連接EC.

?.?4)是44〃。的中線，：.BD=CD,

BD=CD

在公/iDB和AEDC中，?：<N4DB=NEDC,.?.△ADB絲AEDC(SAS),.?.力B=EC=6,

AD=ED

又NC=4,.?.在△4￡C中，由三邊關(guān)系可得：CE—AC<AE<CE+AC,即2</4E<10,

vAE=2AD,/.2<2AD<10故1〈月。<5.

(3)證明：如圖，延長(zhǎng)彳。至點(diǎn)凡使內(nèi)連接任

同法(1)得：/\ABDg/\FCD,：.CF=AB,/ABD=/FCD,

vABAC=Z.BCA,：.AB=BC,：.AB=CE,：.CE=AB=BC,：.CF=CE,

???ZACE=NABC+ZBAC,???NACE=NACB+NBCF=NACF,

在△力677和/\ACE中，???CT7=CE/ACF=Z.ACE,AC=AC,

.?.△.4CF^JCf(SAS),ZCAF=ZCAE,即力。平分NZX4E；

(4)AE=2AD,理由如下：如圖，延長(zhǎng)力。至點(diǎn)尸，使FD=AD,連接/C.

.。?力少=？/!。同法(1)得：4ABD出AFCD,：2F=NBAD,

?；"=NBAD,：.NE=NFMC平分NDAE,?；NCAF=NCAE,

AC=ACAAS),:.AE=AFt'?AE—IAD

10.(25-26八年級(jí)上?江蘇揚(yáng)州?階段練習(xí))(1)【感知】小亮遇到了這樣一道題：已知如圖①任△48C中，

AB=ACf點(diǎn)、D在力B上,E在4C的延長(zhǎng)線上，DE交BC于F,且DF=EF,求證：BD=CE,小亮仔

細(xì)分析了題中的己知條件后，如圖②過(guò)。點(diǎn)作DG〃/。交"CTG,進(jìn)而解決了該問(wèn)題，請(qǐng)繼續(xù)完成證明.

（2）【探究】如圖③，在四邊形力5CO中，AB//DC,七為8。邊的中點(diǎn)，NBAE=/EAF,心與。。的

延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)尸.試探究線段與力尺b之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

（3）【應(yīng)用】如圖④，在正方形48CO中，E為48邊的中點(diǎn)，G、尸分別為力￡）,8。邊上的點(diǎn)，若

AG=\,BF=4i/GEF=9G,則GF的長(zhǎng)為.

【詳解】續(xù)寫證明：???QG||4C,.?.NGO/7=NE,，ACB=NDGB,

?/DF=EFyAGFD=ACFE,.—DGF處ECF,DG=CE.

?：AB=AC,:"ABC=/ACB,；"DGB=/ABC,:.BD=DG,

XvDG=CE,/.BD=CE.

【探究】解：AB=AF+CF.如圖1,

分別延長(zhǎng)。C、AE,交于G點(diǎn)，AB//DC,:"B=/GCE,NBAE=NEGC,

???E為AC邊的中點(diǎn)，/.BE=CE,:.“BE知GCE(AAS),:.AB=CG,

又?：AB〃DC、：.ZBAE=ZG,而NB4E=NEAF,

ZG=Z.EAF,AF=GFfAB=CG=GF+CF=AF+CF.

【應(yīng)用】解：如圖2,延長(zhǎng)GZ交C6的延長(zhǎng)線于A/,

???四邊形43C。是正方形，J.AD//CM,:.NAGE=NM,

/AEG=NBEM,AE=BE;.AAEGmBEM(AAS),/.GE=EM,AG=BM=\t

,：EF工MG,:.FG=FM,BF=6，:.MF=BF+BM="&，

；,GF=FM=g+L故答案為：V2+1.

題型三：幾何最值壓軸（6題）

11.（25-26九年級(jí)上北京,階段練習(xí)）放△力4c中，乙4c5=90。，N4=a，點(diǎn)。是44邊中點(diǎn)，點(diǎn)、E是BC

邊二動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)8、點(diǎn)C重合），連接OE,將線段OE繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)2a,得到線段?？走B接

⑴如圖1,若點(diǎn)廠剛好落在8C邊上，連接求證：AF=BF；

⑵在圖2中判斷AC、BE、8廠的數(shù)量關(guān)系，并證明；

⑶若a=3（）。，AC=\,直接寫出的最小值為.

【答案】（1）見(jiàn)解析⑵證明見(jiàn)解析⑶g

【詳解】（1）解:由旋轉(zhuǎn)可得：DE=DF,ZEDF=2a,

/.￡DEF=NDFE=i（18O0-Z.EDF）=90°-<z,

???/B=a，點(diǎn)F剛好落在BC邊匕

："BDF=I80°-Z5-ADFE=180°-a。-（90°-?）=90°FD_LAB

又??點(diǎn)。是ZB邊中點(diǎn)，?.Z）產(chǎn)垂直平分48,?.4萬(wàn)=3尸,

（2）解:AC2+BE2=BF2,理由如卜，

如圖所示，過(guò)點(diǎn)力作/G〃Z?C,AG=BE,則力G_LAC,.?.NG/1O=NEB。,

又??點(diǎn)D是AB邊中點(diǎn)、，；/D=BD"GDgABED(SAS)DG=DE,

???CD是/18上的中線，.?.0)=/Q=AO,.?.NQ8C=NQC8

vZABC=a,則ZJZ)C=NDBC-4DCB=2a：2GDC=Z.GDA+2a

又??旋轉(zhuǎn)，則/￡Q/，=2a,DF=DE,：.Z.BDF=ZBDE+2a=AGDC,DG=DF,

DF=DG

在小BDF和ACDG中,/BDF=乙GDC：.A8。尸之△COG(SAS)：.CG=BF

BD=CD

在Rt△力CG中，AC2+AG2=CG2,-AC2+BE2=BF2；

（3）解：如圖所示，連接力尸，???a=30。，乙4。8=90。，=60。,

由旋轉(zhuǎn)可得：DE=DF,ZEDF=2a=60°,

?.CD是48上的中線，.?.8=4。=8。，.?.ZD8C=NOC8

:ZABC=a,則NADC=ZDBC-4DCB=2aNADF=4CDE=2a+Z.CDF

:.ADJF^ADCE（SAS）：.NDAF=2DCB=/ABC=30。：.CF1AF時(shí),CF取得最小值，

在中，AC=\,NC4尸=NA4C-/初尸uGOO-BOOuBOOj.bnLxCnL故答案為：1

222

12.（24-25八年級(jí)上?廣東?階段練習(xí)）綜合探究.

【初步感知】（1）如圖1，已知“IBC為等邊三角形，點(diǎn)。為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)。不與點(diǎn)以點(diǎn)。重合）.以

力。為邊向右側(cè)作等邊“。石，連接底.求證：“BQg△4CE；

【類比探究】（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在邊8C的延長(zhǎng)線上時(shí)，寫出力8與CE的位置關(guān)系為二線段EC,AC,

。之間的數(shù)量關(guān)系為二

【拓展應(yīng)用】（3）如圖3,在等選A/B。中，/5=3,點(diǎn)尸是邊/C上一定點(diǎn)且力0=1,若點(diǎn)D為射線BC

上一動(dòng)點(diǎn)，以。尸為邊向右側(cè)作等邊△。尸E,連接CE,BE.PE+8E是否有最小值？若有，請(qǐng)求出其最小值；

若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）AB//CE,EC=AC+CD；證明見(jiàn)解析；（3）有；5

【詳解】（1）證明：???△/4C和△月。E是等邊三角形，

:.AB=AC,AD=AE^BAC=/.DAE=60°,

?:/BAC=NDAE,:.NBAC-NDAC=NDAE-NDAC,BPABAD=^CAE,

AB=AC

在△44。和△ACE中，1/BAD=NCAE,且△4CE（SAS）.

AD=AE

（2）解：AB//CE,EC=AC±CD,

,:t.ABC和△力?！晔堑冗吶切危?，AB=AC,AD=AE/BAC=/DAE=60°=ZB=Z.BCA,

vZBAC=ZDAE,ZBAC+ZDAC=ZDAE+ZDAC,BPABAD=ZCAE,

AB=AC

在△/BQ和中，\^BAD=^CAE,:.^ABD^ACE^>\S\t

AD=AE

CE=BD,ZACE=ZB=60°,/.ZB+ZACB+ZACE=60°4-60°4-60°=180°,:.AB〃CE；

vAC=BC,..CE=BD=BC+CD=AC+CD.

(3)解：有最小值，在射線8c?.截取PC=。"，連接EM,

?:dABC和GPE是等邊三角形，F(xiàn)E-ED,ZDPE-乙ICB-60°,

NACD=180°-ZACB=\20°,；.NACD+/DEP=180°,

APCE+/CEP+4EPC=180°,ZECD+ZCDE+ZCED=180°,

/.NECD+ZCDE+/CED+4PCE+ZCEP+/EPC=360°,

???￡P(guān)CE+ZECD+/CEP+ZCED-ZACD+ZDEP=180°,

ZEPC+Z.CDE=180°,/.ZEPC=ZEDM,

PE=ED

在LEPC和4EDM中，NEPC=4EDM,..△￡P(guān)C'gA￡DM(SAS),

PC=DM

/.EC=EM、Z.PEC=ZDEM,工PEC+NCED=NDEP=60°,

.?.NCEW=/QE”+NCEO=60°,??.△CEM是等邊三角形，/.Z￡GW=60°,

NECD=60°,ZACE=\80°-NECD-ZACB=60°,即點(diǎn)E在ZACD角平分線上運(yùn)動(dòng)，

在射線8上截取CP=CP,連接EP,

PC=PC

在dCEP和ZiCEP中，NPCE=乙FCE,/.△C￡P(guān)^ACEP,(SAS),

CE=CE

PE=P'E,:.BE+PE=BE+P'E,

由三角形三邊關(guān)系可得，BE+P'ENBP',即當(dāng)點(diǎn)石與點(diǎn)。重合時(shí)，BE+P,E=BP,Hj,8E+尸E有最小值

BP,

-AP=\yAC=BC=AB=3tPC=AC-AP=2,

:.BE+PE=BE+P'E=BP=BE+CP'=BC+CP=3+2=5.6E+PE的最力、值為5.

13.(25-26八年級(jí)上?湖南長(zhǎng)沙?階段練習(xí))以線段4C、C8為底按順時(shí)針?lè)较蛟谄矫鎯?nèi)構(gòu)造等接△力CO與等

腰△C8E,DA=DC,EC=EB,ZADC=a,4CEB=0,且a+/=180°.

⑴如圖1,當(dāng)點(diǎn)小B、C三點(diǎn)共線時(shí)，求證：DC1CE；

⑵如圖2,當(dāng)點(diǎn)力、B、C三點(diǎn)不共線時(shí)，連接力6,點(diǎn)產(chǎn)為中點(diǎn)，連接。/、EF,求證：DFLEF

⑶如圖3,當(dāng)點(diǎn)〃在線段力。上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)、B與A、。不重合），連接QE,若。=60。，1C=4,且

5〃水73=4百，求力石+七的最小值?

【答案】（1）詳見(jiàn)解析（2）詳見(jiàn)解析（3）26

【詳解】（1）證明：在4c中，vAD=DC,ZDAC=ZDCA,

vZADC=a,Z.DCA+Z.DAC+ZADC=180°,/.ZDO=90°-ia,同理可得：Z￡C5=90°-1/?,

v90°--1+90°-^+ZDCE=180°,a+/?=180°,.?.NOCE=90。，/.