專題05解三角形

「題型概覽

題型01正（余）弦定理的基本應用

題型02有關三角形的面積及周長問題

題型03有關三角形中的中線、角平分線、高的問題

題型04四邊形中的解三角形問題

題型05解三角形與向量等知識交匯

題型01正（余）弦定理的基本應用

1.（2025?江西?二模）在V月3C中，分別根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是（）

A.a=72,〃=50,4=135°B.。=20,/）=40,4=31°

C.。=30,8=20,3，4=12?！鉊.。=8,6=14,A=30°

2.（2025?內蒙古包頭?模擬預測）在鈍角V/8C中，內角4不。的對邊分別為。也c,。=3@=7且

最大角則c的取值范圍是（）

A.（4,2x/10）B.（4,7）

C.（5,7）D.（5,2x/10）

3.（2025?江西南昌?二模）在V28C中，角。的對邊分別是出"c,若b=3,2acosC+2aos1=3。,

則”=（）

49

A.2B.3C.-D.-

32

4.（2025?安徽黃山?二模）如圖1,為了測量兩山頂M,N間的距離，飛機沿水平方向在A,B兩

點進行測量，A,B,M,N在司一個鉛垂平面內，其平面圖形如圖2所示.已知乙48M=30"，

NZMN=45\=60?NMBN=90,44=2行，貝ijMV=（）

A.5（百一1）B.5X/2C.5（V3+1）D.10

5.（2025?黑龍江哈爾濱?二模）己知V/18C的內角4B,。所對的邊分別為a,b,c,若

cos（4-〃）-cosW+8）=q,且a〃=g,則V48。的外接圓的面積為（）

A.-B.兀C.2兀D.4兀

2

6.（2025?安徽合肥?二模）已知L48C為銳角三角形，且力8=5,JC=6,V/8C的面積為66，

貝|J8C=.

7.（2025?山西晉城?二模）記V/8C的內角48,C的對邊分別為“也c,已知cos（/+4）=2sin）-1.

（1）證明：C=2/；

（2）若”=2,5=135°,求c；

（3）若4=6，6=2百，求J

題型02有關三角形的面積及周長問題

C5sinAcosR

1.（2025?江西萍鄉(xiāng)?二模）在V48C中，內角4&C所對的邊分別為a,Ac,若。=2.----------+-------3,

1+cosAsinA

則V/18C面積的最大值為（）

A.3B.-|C.&D.2百

2.（2025?陜西渭南?二模）在V/i8c中，若C=W，"=JH,4C+8c=5,則V48C的面積為.

3.12025?江西?二模）在銳角V48C中，角A、B、C所對應的邊分別為。、b、C己知。=2,B=".

（1）S1+cosA=/>sinJsinC，求V.48C的面積;

（2）求V48C的周長的取值范圍.

4.（2025?山東濰坊?二模）在V48C中，角4&C的對邊分別為db,c,已知（2c-a）cos4=/?cos/l.

⑴求角"的大??；

⑵若V48C外接圓的半徑為也，且2c-。=2,求V"C的面積.

3

5.（2025?安徽淮北?二模）V48C的內角45c的對邊分別為此,c,b=6asin（c+?

⑴求A；

⑵若4=1,Z\"C的面積為及，求V48C的周長.

6.（2025?山東聊城?二模）V/8C中，角4B,C的對邊為a,6,c,已知cos（8-C）—cos4=5,

且/=be.

A

⑴證明：V/18C為等邊三角形;

（2）如圖，若V'/4c邊長為3,點E,廠分別在邊8C,BA±,將4加印沿著線段E/對折，頂點4恰

好涔在邊/C上的。點，當力。=2。。時，求重疊部分。E6的面積.

ch%

7.（2025?遼寧?二模）記VI8c的內角力、B、C的對邊分別為a,b,c,已知”=-+-=—+1.

bcbe

⑴求4;

3

（2）若sin?+sinC=5，求V48C的面積.

8.（2025?廣東清遠?二模）記VN5C的內角A,B,C的對邊分別為。，b,C,已知

sinC=sirt4cosA+—sin^.

2

⑴求A；

（2）若6+c=2a,V"C外接圓的半徑為2,求V48c的面積.

9（2必?云南昆明?二模）在Y麗中,…AC=?，7

(l);RsinC；

⑵點。在V/4C外接圓上，設△臺。。的面積為S,若S=在CQ，求△3CO的周長.

2

題型03有關三角形中的中線、角平分線、高的問題

Q

1.（2025?甘肅白銀?二模）在\/力5。中，角4,B,C的對邊分別為a,b,c,a2+c2=b2--ac,

且,48邊上的高等于T力打，則sinC'=（）

A6行R4百2>/5

rmn

65272025

2.（2025?江西鷹潭?二模）在銳角V48C中，內角43,C所對的邊分別為〃也c,若血4命=A％0-：）,

AC=2,則XC邊上的高的取值范圍是（）

A.(1,72)B.(1,2)C.(1,272)D.(>/2,2>/2)

3.（2025?河南焦作?二模）在中，內角4氏。的對邊分別為”,Ac,若/月的平分線力上交8c

2

于點E,且力E=§,c=l,〃=2,則。=.

4.（2025?河南?二模）在V/8C中，角A,B,。所對的邊分別為“，b,C,8C邊上的高為仙若〃=4,

〃=],則歷的最小值為________________：若力=正〃，則匕士的最大值為________________.

26be

5.（2025?山東二模）在丫力8。中，內角48,。的對邊分別為”,〃,小且5m〃（近0$。+。8$/）=兒058.

⑴求B

3

⑵設。為邊8c的中點，若cosC=g,V/l8c的面積為14,求4）的長

6.（2025?湖南長沙?二模）在V/BC中，已知力8=2,AC=5,ZBAC=60°.

⑴求sinZJCB；

（2）設AC,/C邊上的兩條中線4W,&V相交于點P,求cos/A/PN.

7.（2025?廣東深圳?二模）在VH6。中，力=58。邊上的高等于

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⑴求sin8sinC的值；

（2）若8C=2,求V/8C的周長.

8.（2025?山東莉澤?二模）記Y/fBC的內角48c的對邊分別為a/,c,已知ccos/-；a=6.

⑴求C;

⑵若2sirU+4sin8=a+2b，求AB邊上高的最大值.

9.（2025?河南新鄉(xiāng)?二模）V力的內角A,B,。的對邊分別為。，八明且

sin2J+sin2C+cos2^+sin[it-A）sin（7t+C）=1,

⑴求8：

（2）若。=2,c=3,求V/4C內切圓的半徑；

⑶若M為V/8c的垂心，且點/在V/8C內，直線力M與8C交于點。，且8"=4,求4B+MD

的最大值.

10.（2025?廣東肇慶?二模）在①sin8+：in°=F；②%=丁三這兩個條件中任選一個，補

sinJb-ccosB2a-b

充在下面的橫線上，并解答.記V/BC的內角48,C所對的邊分別是a,b,c,已知.

⑴求C.

⑵設。為V/2C的內心（三角形三條內角平分線的交點），且滿足力〃=17,求“BO

的面積.

11.（2025?吉林長春?二模）在VN5C中，4也c分別為角45。所對的邊，且gc="”cosC,角力

的平分線交8C于。，且80=20。.

（1）求角出

（2）若AC=3,求/。的長.

12.（2025?安徽池州?二模）已知“8。的內角4民。的對邊分別為。也，,。=日，且25苗（4-。）=5m8.

⑴求sin^；

⑵在三個條件中選擇一個作為已知，使△48C存在且唯一確定，并求力8邊上高線的長.

①”=3?。籃a=2b-,③“8C的周長為76+5歷.

題型04四邊形中的解三角形問題

1.（2025?廣東廣州?二模）在平面四邊形ABCD中，/C=/。=4,NC4D=60°,ZABC=90。，若△ABD

的面積是ABCD的面積的2倍，則BD的長度為.

2.（2025?山東濱州?二模）在圓內接四邊形48co中，/DBA=J2BD=^AB,則/408=,

若AC=4網,則△8C。的面積最大值為

3.（2025?河南焦作?三模）如圖，在四邊形/8CQ中，對角線4C8。交于。點,

AO=OC=41,BD=2.AAOB=-,且。。＞80,記NABO=a，4CD()=0.

（1）證明：AB=CD；

(2)證明：sina=sin";

(3)記/OCQ=0,若5sin2a=13-8石sin。,求sin。的值.

4.（2025?河北邯鄲?二模）如圖，在平面四邊形力4c。中，ZJ=ZC=60°,ZJ5C=90,BC=.

（1）若8。=與，求C。的長；

（2）設NC8O=a=將歹表示成。的函數(shù)，并求V的取值范圍.

5.（2025?黑龍江齊齊哈爾?二模）如圖：四邊形48CO中，對角線4c與8。交于點O,已知60',

AC=3,BD=6,且40=8c

⑴求50的長;

⑵若7sin2ZOCB--=8V?cosLODA-15,求cosNOA4的值.

6)

題型05解三角形與向量等知識交匯

1.（2025?山東聊城?二模）V"C中，&?=23力=60。，則畫.比的最大值為（）

A.6B.3+2上C.12D.6+4G

2.（2025?云南曲靖?二模）在VNBC中,角4SC所對邊分別為a也c,若bcosC+ccosB=,

且”=逐.則VA3c外接圓的面積為（）

2525

A.—/IB.—/IC.25兀D.1（）0兀

164

3.（2025?安徽淮北?二模）在V/4C中，記w=cos/lcos（8-C）-cos24〃=cos8cos（C-4）-cos28,

則（）

A.存在VABC,使"?>〃B.存在V48C,使〃】<〃

C./〃