專題03圖形的相似(期中復習講義)

.明?期中考情.

核心考點復習目標考情規(guī)律

成比例線段理解成比例線段的定義，熟練運用成比基礎?？碱}，經常出現(xiàn)在選填題中

例線段的性質

平行線分線段成比掌握平行線分線段成比例的幾種基本?？碱}，單獨在選填題中進行考查，或者作

例圖形并熟練的使用為解答題的橋梁進行求解

相似三角形的性質掌握相似三角形的性質，并能夠運用在高頻?？碱}，常出現(xiàn)在選填題

題目中

相似三角形的判定熟練掌握相似三角形的幾種判定，面對高頻?？碱}，相似三角形的性質與判定作為

不同的題型能夠正確的選擇相應的判本學期的幾何知識點，是期中必考知識點

定方法進行求證

中位線及其應用理解中位線的定義，熟練的應用中位線?？碱}，中位線的性質常出現(xiàn)在選填題中，

的性質進行求解或者作為解題的某一個關鍵步蛛出現(xiàn)

位似圖形理解位似圖形，能夠正確的找到位似中期中?？碱}，辨別位似圖形，找出位似中心

心，準確在宜角坐標系中畫出位似圖形常出現(xiàn)在選填中，作位似圖形常出現(xiàn)在解答

題中

.記?必備知識，

知識點01成比例線段

①對于給定的四條線段a、b、c、d,如果其中兩條線段的長度之比等于另外兩條線段的長度之比，如或

bd

a：b=c：d)，那么，這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段，此時也稱這四條線段成比例。

②成比例線段的基本性質：

(1)如果:=》那么“46c.

(2)如果泡=加，那么步;

I)(I

1知識點02平行線分線段成比例

兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例（簡稱“平行線分線段成比例”）

模型一：如圖所示三條平行線分別被

模型二：如圖所示，DE/7BC,得到皿=隹=叫心產

ABACBCDBEC

模型三：如圖所示，ED〃BC,得以="=以

知識點03相似圖形及其性質

①定義：兩個圖形如果形狀相同但大小不一定相等，則稱這兩個圖形相似。

②性質：相似多邊形的對應邊成比例，對應角相等。

知識點04相似三角形

①對應邊成比例、對應角相等的三角形，相似符號用“s”來表示，讀作“相似丁”

②平行于三角形一邊的直線，和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交所構成的三角形與原三角形相似。

知識點05相似三角形的判定

相似三角形的判定定理1：兩角分別相等的兩個三角形相似

相似三角形的判定定理2：兩邊成比例且夾角相等的兩個三角相似

相似三角形的判定定理3：三邊成比例的兩個三角相似

知識點06相似三角形的性質

①相似三角形對應角相等，對應邊成比例；

②相似三角形的一切對應線段（對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相

似比；

③相似三角形周長的比等于相似比；

④相似三角形面積的比等于相似比的平方。

知識點07三角形的中位線

我們把連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線，并且有：三角形的中位線平行于第三邊，并且等

于第三邊的一半。

知識點08位似圖形

如圖所示，兩個圖形的對應點A與ASB與B，，C與C……的連線都交于一點O,并且皿=也=兀==A，

0.4OBOC…

這兩個圖形叫做位似圖形，點O叫做位似中心。

.破?重難題型.

「題型一根據(jù)比例的性質判斷選項是否正確

【典例1】（2425九上?甘肅蘭州第八中學?期中）已知巴=；則下列式子正確的是（）

n3

A.=!R.C.?=?D.3〃=2,〃

n3"+332?3

【答案】B

【分析】本題考查了比例的性質，根據(jù)比例的性質逐項判斷即可求解，掌握比例的性質是解題的關鍵.

【詳解】解：A、V-=；,

〃3

?fK-n2-3

??丁=丁，

即故選項錯誤，不符合題意；

n3A

?2

..ni=-n,

.??里=<=駕4故選項B正確，符合題意；

，升3n+3w+33

c.v-=1,

n3

.??F=：xrg故選項c錯誤，不符合題意；

2*/323

D、???。，

n3

3W=2/7,故選項D錯誤，不符合題意；

故選:B.

【變式1】（2425九上?黑龍江哈爾濱第十七中學?期中）用2,3,4,6四個數(shù)組成比例，正確的是（）

A.2:3=4:6B.2:4=6:3C.2:6=3:4D.6:2=4:3

【答案】A

【分析】本題主要考查了比例的基本性質，解題的關鍵是熟練掌握比例的基本性質.

根據(jù)比例的基本性質，若兩個比相等，則其外項積等于內項積，逐一驗證各選項是否符合這一條件即可.

【詳解】解：選項A：2:3=4:6

外項積:2x6=12

內頂積：3乂4=12

外項積等于內項積，比例成立，符合題意；

選項B：2:4=6:3

外項積：2x3=6

內項積:4x6=24

外項積不等于內項積，比例不成立，不符合題意；

選項C：2;6-3;4

外項積：2x4=8

內項積:6x3=18

外項積不等于內項積，比例不成立，不符合題意；

選項D：6:2=4:3

外項積:6x3=18

內項積：2x4=8

外項積不等于內項積，比例不成立，不符合題意;

故選：A.

【變式2]（2425九上?福建東盛教育集團?期中）已知5a=34則下列等式正確的是（）

A..=[B.^=-C.-=；D.4=4

3b3aa3a-b

【答案】c

【分析】本題考查了比例的性質，根據(jù)比例的性質逐項判斷解答即可.

【詳解】解：A.由衿河?得"=15,等式不成立；

3b

B.日;二可得ab=15,等式不成立；

C.曰：=河得5〃=3力，等式成立；

a3

D.由*=4可得。+6=4?！?4即3。=5力，等式不成立；

a-b

故選：C.

1題型二利用比例的性質求代數(shù)式

解1題1技1巧

比例的性質示例剖析

（7）等比性質：

【典例2】（2425九上?寧夏銀川?期中汜知則竺叁的值為_

/jqc

【答案】2

【分析】此題考查了比例的性質.設渭=部（原0）,則〃=2匕43鼠。=4上代入手即可求解.

【詳解】解：???=?=：和，

???設原0）,

1.a=2k,b=3k,c=4k.

/?-----=----------=29

c4k4k

故答案為：2.

【變式1](2324九上?安徽宿州靈堂縣第一初級中學?期中)已知廿若"e+e=20,則.

naJ5

【答案】15

【分析】本題主要考查了比例的性質，根據(jù)已知條件得到〃=3,。=“招=》進而得到*“+*(+"+/)=20,

進行求解即可.

【詳解】解：?展三=：=%

baf3

：-a=jb,c=jd,e=^f.

又?.?4+c+e=20,

力+，d+；尸](b”d4y)=20.

???4S+dt/)=20x3,

???什必15.

故答案為：15.

【變式2】(2425九匚四川巴中南江縣實驗中學.期中)若求代數(shù)式三的值為—.

y5y

【答案】1/0.2

【分析】本題考查了比例的性質，解題的關鍵是正確用人表示X、y.由三=2,設尸11人，尸5上再代入匚型化

y5/y

簡求值即可.

【詳解】解：由'==，設x=ll左，y=5k(#0),

yb

?x-2v1\k-2x5kI

??--=--------=—,

y5k5

故答案為：I.

【變式3】(2324九上?湖南邵陽?期中)已知那么代數(shù)式段的值是—.

25a-b

【答案】V

【分析】本題考查了代數(shù)式求值，比例的性質，設T=g=A，則。=2%,45A,代入計算即可，熟練掌握等比性

質是解題的關鍵.

【詳解】解:設?=9上

：.a=2k,b=5k,

?.?aH?）=_2'k+5k=_Ik"=_-7

a-b2k-5k-3A3

故答案為：-J.

題型三判斷是否為成比例線段

解|題|技|巧

四條線段小b,c,d中，如果。和力的比等于c和d的比，即3=￡,那么這四條線段a,b,c,d

b（1

叫做成比例線段，簡稱比例線段.

【典例3】（2425九上.四川眉山青神縣.期中）下列各組線段中，能成比例的是（）

A.1cm,2cm,3cm,4cmB.1cm』.5cm,2cm,4cm

C.0.lcm,0.2cm,0.3cm,0.4cmD.3cm,4cm,6cm,8cm

【答案】D

【分析】本題考杳成比例線段，根據(jù)成比例線段的定義，若四條線段滿足最小與最大的乘積等于中間兩數(shù)

的乘積，則它們成比例，據(jù)此對各選項逐一驗證即可.

【詳解】解；A、”4#2x3,不能成比例，不符合題意；

B、”鋅2乂1.5,不能成比例,不符合題意;

C0.1x04押.2x0.3,不能成比例，不符合題意;

D、3X8=4X6,能成比例，符合題意；

故選D.

【變式1】（2425八卜?吉林長春東北師大附中明珠學校?期中）下列各組中的四條線段成比例的是（）

A.a=4cm?d=6cm,c=5cm,iZ=10cm

B.a=2cm,b=3cm,c=4cm,<7=6cm

C.o=2cm,Z）=3cm,t?=4cm,<7=1cm

D.a=v5cm?b=3cm,c=2cm,d=v5cm

【答案】B

【分析】本題考查比例線段的概念.注意掌握在相乘的時候，最小的和最大的相乘，另外兩個相乘，看它

們的積是否相等.

由題意根據(jù)比例線段的概念：如果其中兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線

段，依次對各選項進行分析判斷.

【詳解】解：

A.5x6/4x10,這四條線段不成比例，故不符合題意；

B.3'4=2乂6,這四條線段成比例：符合題意；

C.3x4#”2,這四條線段不成比冽，故不符合題意；

D.2X3W0XV5,這四條線段不成比例，故不符合題意；

故選：B.

【變式2】（2425九上?重慶朝陽中?期中）下列四組長度的線段中，是成比例線段的是（）

A.3cm,5cm,9cm,15cmB.3cm,5cm,7cm,9cm

C.2cm,3cm,5cm,8cmD.4cm,6cm,9cm,15cm

【答案】A

【分析】本題考查了成比例線段，根據(jù)成比例線段的定義逐項分析即可得解.

【詳解】解：A、3x15=5x9,故3cm,5cm,9cm,15cm是成比例線段,符合題意;

B、3x9#5x7,故3cm,5cm,7cm,9cm不是成比例線段,不符合題意;

C2x8,3*5,故2cm,3cm,5cm,8cm不是成比例線段,不符合題意；

D?dx15/6*9,故4cm,6cm,9ctn,15cm不是成比例線段，不符合題意；

故選：A.

「題型四比例的性質解答題綜合

【典例4】已知線段a,b,c滿足三=g=g,且a+b+c=30.

⑴求線段小h,c的長；

（2）若線段&是線段小〃的比例中項，求線段女的長.

【答案】（l）q=6,b=15,c=9

⑵A=3麗

【分析】本題考查了比例線段.

（1）設尸9*〃，然后用，心表示出。、b、c,再代入。+尿尸30求解得到鼠即可得到〃、b、c的值；

（2）根據(jù)比例中項的定義列式得到F=M=6X15=90,然后根據(jù)算術平方根的定義求解，即可求出線段k的

長.

【詳解】（1）解：設?=!=：=/〃，則4=2〃?，b=5/〃，c=3/n?

又,；a+6+c=30,

?'?2加+5〃?+3"尸30,

解得*3,

a=2m=2^3=6,45/〃=5x3=15,c=3〃？=3x3=9：

（2）解：???線段攵是線段a,〃的比例中項，

P=ab=6x15=90）

解得公3閑或仁-3西（舍去），

???線段人3兩.

【變式1］己知：拶=言=&且為-b+3c=21,求a,b,°的值.

364

【答案】a=4,b=8,c=7

【分析】本題考查了比例的性質.設號=.=："得出〃=3b2,c=6h5,/尸4后根據(jù)題意求得Q2,即可求解.

【詳解】解：設?=*=2，

a+2=3kyc+5=6k,b=4ki

:.a=3k-2,c=6k~5,

???2。-什3c=21,

???2（3"-2）一4%+3（6左-5）=21,

解得：k=2,

:.。=3%-2=6-2=4,b=4k=8,c=6k-5=12-5=7,

.*.a=4,/>=8,c=7.

【變式2］（2425九上?河南平頂山?期中）已知且b+d+#0.

oaJ

⑴求湍的外

（2）7；〃―54+6戶3,求a-5o+6e的值.

【答案】（1）2

（2）6

【分析】此題考查了比例的性質，熟練掌握比例的性質是本題的關鍵.

（1）根據(jù)等比性質求解即可；

（2）根據(jù)給出的條件將。-5c+6e整理，再代入。-5"8=3即可得出答案.

【詳解】(1)解：:子二：二：2，

oaf

a=2b,c=2d,e=2f\

-L~e_2b^2(H2f_2(H出力

一加吐fwy加■出/"一?

(2)解：由!=3=?=2得a=2Z>,c=24,e=2/i

nd)

?：b-5d+W3,

?:a-5c+6e=2b-\Oc+1產2(b-5c+6f)~2x3?6.

Q題型五分割相關求解

解I題I技I巧

??------?

ACR

【典例5】鸚鵡螺曲線在人體繪畫中不僅是比例工具，更是一種"生長的隱喻”.該曲線的每個半徑和前一個

半徑的比都是比例，即普告=?.如圖，點。是8P的分割點(8OPC),點尸是48的分割點(力P>8P),若

長盧任2

BC=3-6,則力P=

【答案】2

【分析】本題主要考查了分割點的定義，二次根式的混合運算，先根據(jù)分割點的定義可求出PC,進而可求

出6P,再根據(jù)分割點的定義即可求出4P.

【詳解】解：丁點。是8尸的分割點(80尸C),

?PC_V5-1

,?麗2-,

:.PC=6-秒率=2v5-4,

：.BP=PC+BC=y^-\,

,/P是48的分割點(4P>8P),

AP2

：.AP-（^~\^--2,

故答案為：2.

【變式1】（2425九下?吉林松原長嶺縣?期中）生活中到處可見分割的美.如圖，在設計人體雕像時?，使雕像

的腰部以下。與全身b的高度比值接近0.618,可以增加視覺美感,若42m,則a約為—m（結果保留小數(shù)

點后兩位）

【答案】1.24

【分析】本題考查了分割，解決本題的關鍵是掌握分割的定義.

根據(jù)雕像的腰部以下。與全身b的高度比值接近0.618,圖中b為2米，即可求出a的值.

【詳解】解:□雕像的腰部以下a與全身b的高度比值接近0.618,b=2m,

□-^0.618,

P

匚tf-0.618x2-1.24m,

□a的值為1.24米.

故答案為：1.24

【變式2］（2425九上?安徽合肥第四十五中學森林城分校?期中）如圖，古箏上的一根弦的長度約為162cm,

兩個端點4,8固定在樂器板面上，支撐點。是弦48靠近點8的分割點，則線段4C的長度約為

cm.（結果保留根號）

【答案】81V5-81

【分析】本題考查了分割點的應用，熟練掌握分割的定義是解題的關鍵.

根據(jù)分割的定義計算即可.

【詳解】解：□支撐點C是弦月8靠近點8的分割點，162cm,

AC=^-^AB=^-7-x162=（81V5-81）cm,

故答案為：81V5-81.

【變式3】（2425九I:?河南鄭州第十一初級中學?期中）把一條線段分割為兩部分，使較大部分與全長的比值

等于較小部分與較大部分的比值，則這個比值（與9為分割，它被公認為是最能引起美感的比例.杭州亞運

會會徽一潮涌，由中國美術學院教授袁由敏設計.其中浪潮設計借助了分割比.如圖，若點C可看作是線段

48的分割點（4CVC8）,若48=40cm,求力C的長.

【答案】（60-20V5）cm

【分析】本題主要考杳了分割.根據(jù)分割的定義及的長求出占。的長，據(jù)此求出/C的長即可解決問題.

【詳解】解：點ET看作是線段.48的分割點(NCvCE),J^=40cm,

BC=0AB=?x40=(2()V5-20)cm,

AC=ABBC=40(20V5-20)=(6020石)cm,

4C的長為(60—20")cm.

「題型六由平行線分線段成比例求數(shù)值

解|題|技|巧

平行線分線段成比例常見模型

模型一：“A”字型和反“A”字型

如圖（1）所示：DE/7BC,△ADE^AABC,可得心=a=江，

ABACSCDBEC

如圖（2）所示：NA=NA,ZAMN=ZACB,可得3=皿=這

ABRCAC

模型二：“8”字型和反“8”字型

如圖（3）所示：CD〃AB,△ABE^ACDE,可得小=儀=理；

CDEBEA

如圖（4）所示：ZCFD=ZAFB,ND=NB,△ABF^ACDF,可得位=d=d

FBAFAB

【典例6】（2425九上?四川眉山?期中）如圖，/|0/2口/3,直線NC、。戶與這三條平行線分別交于點小B、I和

點、D、E、F,若48=4,DE=3,EF=6,

A.4B.612

【答案】C

【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理，根據(jù)平行線分線段成比例定理即可求解，解題的關鍵是掌

握平行線分線段成比例定理.

【詳解】解：???/】□/A，

,ABDE

BCEF

'：AB=4,DE=3,EF=6,

.4_3

；?BC=8,

故選：C.

【變式1】（2425九上?河南鄭州第H^一初級中學?期中）如圖，ABUCDUEF,AD=4,BC=DF=3,則BE的長為

)

AA.—21B.C.4D.6

【答案】A

【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解題的關鍵.

根據(jù)平行線分線段成比例定理球啜然后代數(shù)求出進而求解即可.

【詳解】解:ABDCD2EF,

AD=BC

DF~CE

??"。=4,BC=DF=3,

4_3

3~CEf

匚CE=3

4

：,BE=BC+CE=3+9^=21^.

44

故選：A.

【變式2】（2324九上廣東梅州興寧宋聲學校?期中）如圖，在匚力9。中，點。、E分別在邊48、4C上，若

DEC,*則5的值為（）

AB5EC

【分析】本題考查平行線分線段成比例，再準確的得到對應線段的比是解本題的關鍵.

根據(jù)。友8C,U得到即可解答.

Ao5/iCAD5

【詳解】解：TDEDBC,2=鼻

An5

,AEAD2

..—=—=-,

ACAB5

?EC3

??-------f

AC5

,AE

"EC~3"

故選:B.

【變式3］（2425九上?安徽合肥第四卜五中學森林城分校?期中例圖，〃口如5直線力C,。廠與這三條平行線

分別交于點4,B,C和點。，E,F,若48=3,80=1,。2=8,則OE的長為（）

A.4B.57

【答案】C

【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解題的關鍵.

根據(jù)題意得到黃=存即益=&，求解即可.

【詳解】解：UaUbncf

AB_DE

耘一百，

ABDE

正一DF-DE'

AB=3,BC=l,DF=8,

3_DE

7-8-DE'

DE=6,

故選：C.

0題型七相似圖形的相關求解

【典例7】如圖所示，若把矩形/8CQ截除一個正方形為（陰影部分）后，剩下的矩形4仍與原矩形相

似，那么原矩形48co的兩邊48與8c應滿足的關系是（）

A.AB:BC=1:貝B.

C.AB:BC=(v^-\):2D.AB:BC=(-^-\):2

【答案】B

【分析】本題考查的是相似多邊形的性質、解一元二次方程.解決本題的關鍵是根據(jù)相似多邊形的對應邊

成比例列出比例式，得到一元二次方程，解方程即可求出結果.

【詳解】解：由題意可知：矩形48七/七矩形8CD4,

AFAB

AB~BC

AF=BE=BC-AB,

3C-ABAB

ABBC

整理得：AB2+BCCAB-BC2=Q,

解得:或筮=亭（負值，舍去）,

BC2

故選:B.

【變式1】（2425九上下?山東煙臺牟平區(qū)（五四制）?期中）如圖,六邊形ABCDEF□六邊形GHIJKL,相似比

為2:1,則下列結論正確的是（

A.匚E=2匚K

B.六邊形/88EF的周長等于六邊形G//Z/KL的周長的嫄倍

C.AB+BC=2(GH+Hi)

D.六邊形力ACT）環(huán)的面積等于六邊形勺面積的2倍

【答案】C

【分析】本題考查的是相似圖形，熟知相似多邊形周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方是解

題的關鍵.根據(jù)相似圖形的性質解答即可.

【詳解】解：〈六邊形ABCDEF□六邊形GUIJKL,相似比為2:1,

???匚七=口乂故A選項錯誤，不符合題意;

二六邊形4BCDEF口六邊形GH/JKL,相似比為2:1,

???六邊形/86所的周長等于六邊形G/WKA的周長的2倍，故B選項錯誤，不符合題意;

?:六邊形ABCDEF口六邊形GHUKL,相似比為2:1,

匚AB=2GH,BC=2HI,

???A8+BC=2（GH+H1）,故C選項正確，符合題意;

??,六邊形ABCDEFn六邊形GHIJKL,相似比為2:1,

???六邊形48CQEr的面積等于六邊形G”〃出的面積的4倍，故D選項錯誤，不符合題意，

故選：C.

【變式2】（2425九上?山西長治武鄉(xiāng)縣多校?期中）如圖，在矩形綢布力8c。中，邊力8的長為2m,沿圖中實線

部分將其裁剪成三塊形狀大小完全相同的矩形綢布.若裁出的綢布與綢布力4C。相似，則綢布為AC的長為

()

A.26mB.4mC.2>/3mD.275m

【答案】C

【分析】本題主要考查了相似多邊形的性質，熟練掌握相似多邊形的性質是解題的關鍵.根據(jù)題意可得

BF=*BC,矩形48CO□矩形4EFB,然后利用多邊形的性質進行計算即可得到答案.

【詳解】解：根據(jù)題意可得：BF=\BC,矩形48co1矩形力EFB,

AB_BC

c2■■BC

2

解得8C=2M或8。=一2仍(舍去)，

AED

BFC

故選C.

【變式3】（2425九上?四川宜賓興文縣?期中）如圖，小福在矩形力8CZ）的左邊分割出正方形48",然后在矩

形廣的一組對邊￡/，C。上分別取中點分割出矩形KWNZ）和矩形MECM最后把矩形FMNQ對半分

割成矩形向"7G和矩形GHND若矩形G〃N。與矩形48CZ）相似，則矩形48CQ的寬與長的比當?shù)闹禐椋ǎ?/p>

MN

H

【答案】D

【分析】本題考查了正方形的性質，相似多邊形的性質，解一元二次方程；設廠G=OG=a,DN=CN=b,由矩

形G//ND與矩形488相似得與=%求出仁丫+卻巾，解方程得.乎，先求;|皆=彥，進而可求出

ADAU\n/pp2ADL

ABVS-I

AD2

【詳解】解：由題意得，AB=EF=CD,FG=DG,DN=CN.

設FG=DG=a,DN=CN=b,

則尸￡>=2a,AB=EF=CD=2b,

??"4所是正方形，

',AF=AB=2b,

.9.AD=2a+2b.

???矩形GMVQ與矩形48CZ）相似,

.DG_DN

'*~AB~~ADy

?c_h

??日一2十21

:.a2+ab-b2=O,

???（*T=。，

?彳=￥或,=￥（舍去），

.JD_2ZT4-2/>_-I+V5^,lW5

AB2h22

.AB_2一百1

**AD~\-^/52~,

故選D.

「題型八選擇或補充條件使得兩個三角形相似

解I題I技I巧

相似三角形的判定方法，如圖所示

①兩角分別相等的兩個三角形相似

例如NA=ND,ZB=ZE,ABC^ADEF；

②兩邊對應成比例及其夾角相等的兩個三角形相似

例如a=叱，ZB=ZE,可得可得AABC^ADEF；

DEEF

③三邊對應成比例的兩個三角形相似

例如a=區(qū)=打，可得可得△ABCS^DEF；

DEEFDF

【典例8】（2425九上?河南馬店?期中）如圖，卜.列條件不能判定力8c與匚/。上相似的是（）

A.7=笠B.CB=UADEC.口。=口4瓦）D.笑=工

【答案】D

【分析】本題考查的是相似三角形的判定，根據(jù)相似三角形的判定定理對各選項進行逐一判斷即可.

【詳解】A、m=笠且夾角「4=4可判斷□NBCSFOE,故A選項不符合題意:

ACAD

B、口3=匚4。5匚4=口4,可判斷匚力8。口口力。￡,故B選項不符合題意；

C、□。=匚4￡。,匚4=EM,可判斷口/14?？诳??！?故C選項不符合題意；

D、受=蕓，不能確定二46C匚二故D選項符合題意;

ACoC

故選：D.

【變式1】（2425九上?北京延慶區(qū)?期中）如圖，點。在口力4。的邊.4C上，要判定力。4與匚相C相似，添加一

個條件，不正確的是（）

A.QABD=\JC

AB_CB

C.BD~CD

【答案】C

【分析】此題考查了相似三角形的判定.由口力是公共角，利用有兩角分別相等的兩個三角形相似，即可得

A與B正確；又由兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似，即可得D正確，繼而求得答案，注意排除法

在解選擇題中的應用.

【詳解】解：???匚力是公共角，

???當二/5/＞口。或□月。片口/BC時，口力。8II匚44c（有兩角分別相等的兩個三角形相似）；

故A與B正確；

當胃=吟時，口力。8n38C（兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似）：

ADAC

故D正確；

當吟=等時，因為由所給比例涉及的兩個三角形根本不是口力。8與匚48C,而是38C與口8℃，故不能證明

HL）

QADB^ABC,

故C錯誤.

故選：C.

【變式2】（2425九下?四川眉山青神縣?期中）如圖，點。是□力8。的邊JC上一點，連結8P,以下條件中，不

能判定EM8P〕□4c8的是（）

[ABP=UCUAPB=UBC最=吃三

A.B.C.APABD.CfiAC

【答案】D

【分析】本題考杳添加條件使三角形相似，根據(jù)相似三角形的判定方法逐一進行判斷即可.

【詳解】解：在匚/18P和ZMC8中，

Z）匚4=□/,

???當38。=口。時，UABP-JUACB,故選項A不符合題意；

當8c時，nABPJUACB；故選項B不符合題意；

當?=』時，ABPKB；故選項C不符合題意；

ArAD

當?=學時，無法得到ABPACB；故選項D符合題意；

故選：D.

【變式3］（2425九上?山西臨汾?期中）如圖，已知口1=口2,那么添加下列一個條件后，不能判定匚力8cUEWE

的是（）

A.CC=CEB.CB=3ADEC.三吟D.最=?

ADAEADDE

【答案】D

【分析】本題考查了相似三角形的判定定理.先根據(jù)門4口2,求出［。力石=［歷1C,再根據(jù)相似三角形的判

定定理，逐項分析，即可求解.

【詳解】解：???口1=02,

：ADAE^BAC,

A、添力口口0口￡,

*：\：DAE=VBAC,nC=CE,

：,LABCQ^ADE,故A選項不符合題意；

B、添力□匚8=口/。后，

.LDAE=LBAC,口B=」ADE,

???匚力8c□匚故B選項不符合題意；

c、添加石=族

ABAC

DAE=DBAC,

~AD~'AE'

：?_ABC二ADE,故C選項不符合題意；

D、添加蕓=骼不能判定匚"C1口力。E,故D選項符合題意.

ADDE

故選：D.

題型九判斷剪下的三角形與原三角形是否相似

【典例9】如圖，口48。中，05=60°,力8=6,4c=8.將EMBC占圖中的。E剪開.剪下的陰影三角形與原三

角形不相似的是（）

【答案】C

【分析】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關鍵.根據(jù)相似三角形

的判定逐一判斷即可.

【詳解】解：A、VDC=DC,口DEC=L8=60。，

：.ZDECQCABC,故選項不符合題意；

B、vac=ac,口?！赉?,

.\CCDEQCCBA,故選項不符合題意；

C、由圖形可知，只有匚8=匚4,不能判斷BDEC二BAC,故選項符合題意；

D、???□/=口/,CAED=\4=60。，

：AAED故選項不符合題意；

故選：C.

【變式1】（2425九上?河北保定第三中學分校?期末）如圖，在35C中，□J=78°,48=6,AC=9.將□力8。。

圖示中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原二:角形不相似的是（）

78

B

A

【答案】D

【分析】本題考查的知識點是相似三角形的判定.根據(jù)相似三角形的判定方法對選項進行逐一判斷即可.

【詳解】解：A、陰影部分三角形與原三角形有兩個角相等，故兩三角形相似，本選項不符合題意；

B、陰影部分三角形與原三角形有兩個角相等，故兩三角形相似，本選項不符合題意；

C、翳=：=；=?，,=□力，兩三角形有兩邊對應成比例且夾角相等，故兩三角形相似，本選項不符合題意；

9-726AB

D、夾角相等但夾角兩對應邊比例不相等，故兩三角形不相似，本選項符合題意.

故選：D.

【變式3】（2425九上?遼寧沈陽育源中學?月考）如圖,在口中，口力=75。,/出=8,AC=6,將二力班?沿圖中

的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（）

【答案】D

【分析】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關鍵.

根據(jù)“兩角分別相等的兩個三角形相似“證明，可判斷A不符合題意；

根據(jù)平行線截得的三角形與原三角形有兩個角相等，故兩三角形相似，可判斷B不符合題意；

根據(jù)“兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似“證明，可判斷C不符合題意；

由對應成比例的邊所夾的角不相等，可知陰影三角形與原三角形不相似，可判斷D符合題意，于是得到問

題的答案.

【詳解】解：A、陰影部分的三角形與原三角形有兩個角相等，故兩三角形相似，故本選項不符合題意:

B、根據(jù)平行線截得的三角形與原三角形有兩個角相等，故兩三角形相似，故本選項不符合題意：

C、□卷且n/=Q4,兩三角形對應邊成比例且夾角相等，故兩三角形相似，故本選項不符合題意；

D、□：=：,陰影三角形已知兩邊所夾的角是匚從原三角形已知兩邊所夾的角是,□力升38,故兩三角

oo

形不相似，故本選項符合題意；

故答案為D.

「題型十相似三角形的相關證明

【典例10］如圖，在矩形45CQ中，點、E,F分別在力。，BC上,連接ER過點3作8G□￡/吁點G,口/口。。交

4D千點H,求證：匚BGF口匚FHE.

【答案】詳見解析

【分析】本題考查了矩形的性質，相似三角形的判定.利用平行線的性質求得再利用相似

三角形的判定定理即可證明口56「］山7花.

【詳解】證明：???四邊形48CO是矩形，

：.ADBC,口0=90°,

???CDEF—BFG,

"：FH「CD,

，匚4HF=1￡>=90°,

?:BG匚EF,

"BGF=」EHF=9。。,

???CHEF=3BFG,

ABGFUUFHE.

【變式1］（2425九上?江蘇揚州翠3中學?期中）如圖，點七尸分別在正方形力5CQ的邊力Q,CD上,連接即和旅,

AB=9,AE=3,DF=2.求證：口/iBE□匚QE產.

【答案】見解析

【分析】本題考查正方形的性質，相似三角形的判定，掌握相關性質和判定是解題的關鍵.根據(jù)已知條件

求出。E,再證明9=*，又由正方形的性質，得□/=[/）,根據(jù)4兩邊對應成比例，夾角相等的兩個三角形

DLDr

相便'即可證明出結論.

【詳解】證明：匚四邊形力8。。是正方形，力B=9,

CAD=AB=9,匚4=匚

LAE=3,

匚DE=AD-AE=9-3=6,

,4〃—_—9—_—3,

DE62

匚。產=2,

AE3

DF2

AB_AE

~DE~'DF"

△ABE△DEF.

【變式2]（2425九上甘肅天水甘谷縣新興初級中學?期中）如圖所示，將矩形紙片45CD沿4E折疊得到二4九￡

且點尸恰好落在。C上.求證：EDFDFCE.

【答案】見解析

【分析】本題主要考杳了相似三角形的判定，矩形的性質，折疊的性質，熟練掌握三角形相似的判定方法

是解題的關鍵.根據(jù)矩形性質得出匚髭。=口;>90。，根據(jù)余角的性質得出匚。臚=1C莊，根據(jù)兩個對應相

等的兩個三角形相似，證明結論即可.

【詳解】證明：匚四邊形48co是矩形，

□[3=口。=10=90。，

Z1匚彳/。+口。彳產=90°.

矩形紙片/AC。沿折疊得到EFE且點"EOC上，

□匚4FE=[8=90°,

□LAFD+□CFE=180°-口4產E=90。，

ULDAF=UCFE,

JCADFDLFCE.

【變式3】已知：在口相。中，血為□用1。的平分線.求證：蕓=槳

【答案】見解析

【分析】本題主要考查相似三角形的判定和性質，等腰三角形的判定，掌握相似三角形的判定和性質是解

題的關鍵.

如圖，過C點做力8的平行線與4。的延長線交于點￡可證二48。二ECO,得到笑=笑，根據(jù)角平分線的性

質，等腰三角形的定義得到/1C=EC,由此即可求解.

【詳解】證明：如圖，過C點做的平行線與4。的延長線交于點E,

ABQCE,

LABD=UECD,BAD=DDEC,

CABDJLECD,

AB_BD

EC~CDf

又14。為口口。的角平分線,

匚BAD=nDEC=UEAC,

匚AC=EC,

.ABBD

p題型十一相似三角形綜合求解

【典例11］（2425九上?江西九江?期中）如圖，在RtLIBC中，［胡C=90。，DJC5=30°,將線段4儂點A逆

時針旋轉60。得到線段/￡,點。為8C邊的中點，連接EC,ED,AD.

（1）求證：口口￡口匚4/1。；

（2）若BC=8,求的長.

【答案】（1）見解析

Q）EZ>8

【分析】本題考查了相似三角形的判定、直角三角形斜邊上的中線、含30度角的直角三角形的性質、旋轉

的性質等知識，熟練掌握相似三角形的判定和旋轉的性質是解題關鍵.

（1）先根據(jù)直角三角形斜邊上的中線和直角三角形的性質可得口5=60。，AD=；BC-BD,從而可得□及。是

等邊三角形，再根據(jù)旋轉的性質可得4￡=4。,口?！?60。，從而可得ZIC4E是等邊三角形，然后杈據(jù)相似三角

形的判定即可得證；

（2）先利用勾股定理和線段中點的定義可求出404西，CZ>4,再根據(jù)等邊三角形的性質可得“C￡=60。，

CE=AC=4V5,從而可得DC￡=9Ci°,然后在RtCQE中，利用勾股定理求解即“I得.

【詳解】（1）證明：???在RH/18C中，O^C=90°,U\ACB=30°,

???□8=60°,

???點。為8C邊的中點,

：,AD=-BC=BD,

???〔B4D是等邊三角形,

ACBAD=8=60。，

由旋轉的性質得：AE=AC^CAE=6^,

???匚。IE是等邊三角形，

???匚4?！?口?！?60。，

???14CE=CB,"AE7BAD,

在口C4K和匚8力。中，

(ACE=[B

ICAE=BAD'

：.LCAE3^BAD.

(2)解：???在Rt匚月AC中，匚B4c=90°,CACB=30°,BC=8,

：,AB=\BC=4,JC=i/fec2-/152=4iA,

??,點。為8C邊的中點，

：,CD=^BC=4,

2

???□C/E是等邊三角形，

???ACE=60°,CE=/C=4V5,

IDCE=UAC^QACE=90°,

則在RlCZ＞月中，ED=y/CD2+CE2=S.

【變式I】(2425九上海南僧州?期中)如圖，在四邊形48co中，E是48的中點，。8和CE交于點F,DF=FB,

AF匚DC.

(I)求證：UBEF^VBADx

(2)求證：四邊形力OC尸為平行四邊形；

⑶若QBZICE,AD=4,BF=3EF,求〃C的長.

【答案】（1）證明見解析

（2）證明見解析

（3）2713

【分析】（1）證明所是48。的中位線，得EFAD,EF=\ADt繼而推出BEF=BAD,BFE=BDA,

根據(jù)相似三角形的判定即可得證；

（2）由（1）知：EFCAD,根據(jù)平行四邊形的判定即可得證；

（3）根據(jù)三角形中位線的性質推出二引芍=口408=90。，EF=\AD=2,繼而得到二歸R>90。，BF=3EF=6,ill

平行四邊形的性質得C尸=力。=4,最后利用勾股定理可得出結論.

【詳解】（1）證明：尸=尸8,

???點產是03的中點，

???點七是44的中點，

JEF是匚/8D的中位線，

:?EF口AD,EF=^AD,

：ABEF=QBAD,匚BFE=UBDA,

：.LBEFQQBAD,

（2）由（1）知：EFUAD,即。尸二40,

又；4F二DC,

???四邊形4OCr為平行四邊形；

（3）解：,:DB"E,AD=4,BF=3EF,

AC408=90。,

由（1）知：EFUD,EF=；AD,

ACBFE=UADB=90°,EF=^AD=-x4=2,

22

???[BFC=l80TBFE=90°,BF=3EF=3x2=6,

???西邊形406為平行四邊形，

：.CF=AD=4,

在RlBCF中,7C=vt尸+8產=&+62=2五,

???6C的長為2g.

【力、睛】本題考查二角形中位線定埋，相似二角形的判定，平行四邊形的判定和性質，勾股定理等知識點，

解題的關鍵是掌握三角形的中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半.

【變式2*2324九上陜西咸陽永壽縣啟迪中學永壽分校期中）如圖,在平行四邊形458中，過點B作BEEJCD,

垂足為￡,連接力E,F為4E上一點、,RJBFE=QC.

⑴求證：UABF31EAD.

（2）若力￡=2,口8心30。,目弋力〃的長.

【答案】（1）見解析

⑵V5

【分析】本題考杳平行四i力形的性質，相似三角形的判定,含30。百角三角形的性質,勾股定理,熟練掌握

相關圖形的性質是解決問題的關鍵.

（1）由平行的性質結合條件可得到和可證得結論；

（2）由平行可知□*8E=90。，在Rt□48E中，由含30。直角三角形的性質結合勾股定理可求得力8.

【詳解】（1）證明：:四邊形力SCO是平行四邊形，

：,ADUBC,AB1DC

ArC+aJD￡=180°,CBAE=UAED

VCBFE=CC,｛：AFB+CADE=\^°

：AAFB=\EDA,

???□J5FDD^Z）；

（2）":AB"D,BE2CD,

???匚48￡=90。，

V/!E=2,匚6/l￡=30°,

:,BE=\AE=\,

由勾股定理得：AB=X/AE2-BE2=-^.

「題型十二利用相似三角形的性質求解

解I題I技I巧

①兩相似三角形中任意一組對應邊的比例稱為這兩個相似三角形的相似比；

②若兩三角形相似，則這兩個三角形的對應邊上的高成比例且其比例等于相似比；

③若兩三角形相似，則這兩個三角形的周長之比等于相似比，面積之比等于相似比的平方。

【典例12］（2324九上?廣西南寧?期中）已知□ZBCntWER相似比為3:2,若口43。的周長是9,則口。所的

周長為（）.

A.1B.3C.6D.9

【答案】C

【分析】本題考查了相似三角形性質，根據(jù)相似三角形周長的比等于相似比求解，即可解題.

【詳解】解：□口4洋。口口。七一，相似比為3:2,

□口/8C的周長：。。七尸的周長=3:2,

□的周長是9,

□口。所的周長為6；

故選：C.

【變式1）（2425九匕遼寧朝陽建平縣沙海中學?期中）已知口/沙口口助物,且面積比為9:16,則EL44C與口功加

的對應中線之比為（）

A.3:4B.百:2C.9:16D.81:256

【答案】A

【分析】本題考查的是相似三角形的性質，理解并掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題關

鍵.直接根據(jù)相似三角形對應中線的比等于相似比，面積的比筆于相似比的平方進行解答.

【詳解】解：J?匚48C與匚。防相似，面積比9:16,

???西三角形的相似比等于3:4,

:.148c與匚。七廠的對應中線之比為3:4,

故選：A.