專題02一元二次方程（期中復(fù)習(xí)講義）

明?期中考情.

核心考點(diǎn)復(fù)習(xí)目標(biāo)考情規(guī)律

1.選擇題（30%）：判斷方程類型或解法適

1.能識別一元二次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式

汨性。

一元二次方程的（ax2+bx+c_0,a^O）?

2.填空題（20%）：直接求解簡單方程（如

定義與解法2.掌握直接開平方法、配方法、公式法、

x2=9）。

因式分解法的適用條件及步驟。

易錯點(diǎn)：忽略a￥0或漏解（如x2=4的解為±2）。

1.根據(jù)△值判斷根的情況（△＞（）兩實(shí)根，1.高頻考點(diǎn)（80%概率出現(xiàn)），常見于選擇

根的判別式△=0重根，△＜（）無實(shí)根）。趣和解答題。

（A=b24ac）2.逆向應(yīng)用：己知根的情況求參數(shù)范圍2.易混淆△=（）與的情況，需注意題目

（如k為何值時(shí)方程有實(shí)根）。要求（如“有實(shí)根”包含A=0）。

1.解答題（50%）：與實(shí)際問題或綜合題結(jié)

1.掌握Xi+x=b/a＞Xix=c/a的應(yīng)用。

根與系數(shù)的關(guān)系22合（如己知兩根之和求參數(shù)）c

2.能求解對稱式（如Xi2+X2）或構(gòu)造新

（韋達(dá)定理）22.易錯點(diǎn)：符號錯誤（b/a漏負(fù)號）或未驗(yàn)

方程。

證△沙的前提。

1.列方程解幾何問題（面積、勾股定理）、1.壓軸題常見（占30%）,多與幾何、經(jīng)濟(jì)

一元二次方程的增長率問題、利潤問題。句題結(jié)合。

實(shí)際應(yīng)用2.檢驗(yàn)解的合理性（如邊長＞0、增長率2.易錯點(diǎn)：未舍去不合實(shí)際的解（如時(shí)間為

＜100%）。負(fù)值）。

.記?必備知識，

庭知識點(diǎn)01一元二次方程的基本概念

1.定義:

只含有一個未知數(shù)的整式方程，并且都可以化為ax2+bx+c=0（a,b,c為常數(shù)，a/））的形式，這樣的方

程叫做一元二次方程

2.一般形式：

ax2+bx+c=0（a,b,c為常數(shù)，a^O）

3.項(xiàng)數(shù)和系數(shù):

ax2+bx4-c=0（a,b,c為常數(shù)，a^O）

二次項(xiàng)：ax2;二次項(xiàng)系數(shù):a

一次項(xiàng)：故；二次項(xiàng)系數(shù):b

常數(shù)項(xiàng):c

4.注意事項(xiàng)：

（1）含有一個未知數(shù);（2）未知數(shù)的最高次數(shù)為2;（3）二次項(xiàng)系數(shù)不為0;（4）整式方程

示例：判斷方程類型：

①3/-5X+1=0（是）

②爐+2%=0（否，最高次非2）

易錯點(diǎn)：忽略二次項(xiàng)系數(shù)QH0

國知識點(diǎn)02解一元二次方程的方法

各種一元二次方程的解法及使用類型

示例：解方程/-9=0（直接開平方法）

答案：x=±3

易錯點(diǎn)：1.漏解（如%2=4的解為±2）

2.配方時(shí)符號錯誤

國知識點(diǎn)03一元二次方程的根的判別式

對于一元二次方程ax?+bx+c=0（a#0）的根的判別式A=b2-4ac>0

A=b2-4ac>0?原方程有兩個不相等實(shí)數(shù)根

△=b2-4ac=0原方程有兩個相等實(shí)數(shù)根

△=b2-4ac<0原方程有兩個相等實(shí)數(shù)根

示例：1.方程2%2一3%+1=0的4=1>0,有兩個不等實(shí)根

2.若方程/+依+4=0有實(shí)根，求k范圍

答案：攵三一4或/04

易錯點(diǎn)：1.混淆△>（）（兩實(shí)根）與AM（有實(shí)根）

2.計(jì)算A時(shí)漏寫負(fù)號（如b=-3時(shí)A=b2—4ac=9-4ac）

國知識點(diǎn)4一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

一元二次方程ax?+bx+c=。的兩根為勺、x2?則兩根、無2與系數(shù)a，b,c的關(guān)系是：x1+X2=

bc

注意:根與系數(shù)的關(guān)系的前提是:方程是一元二次方程，即二次項(xiàng)系數(shù)時(shí)（），旦△=b?-4acN0.

示例：1.己知方程式一54十6=0的兩根為％1，也，求君+老

解：/+孫=5,xxx2=6

xl+X2=（%1+%2）2—2%1%2=13

2.構(gòu)造新方程，使兩根為原方程根的倒數(shù)

解：新方程為6y2-5y+1=0

易錯點(diǎn)：1.符號錯誤（必+必=一3漏負(fù)號）

2.未驗(yàn)證AX）的前提條件

國知識點(diǎn)5一元二次方程在生活中的應(yīng)用

列方程解應(yīng)用題的一般步驟

答、審、設(shè)、歹I」、解、檢

（1）審題:通過審題弄清已知量與未知量之間的數(shù)量關(guān)系

（2）設(shè)元:就是設(shè)未知數(shù)，分直接設(shè)與間接設(shè)，應(yīng)根據(jù)實(shí)際需要恰當(dāng)選取設(shè)元法（3）列方程:就是建立已知量與未知

量之間的等量關(guān)系，列方程這一環(huán)節(jié)最重要，決定著能否順利解決實(shí)際問題

⑷解方程:正確求出方程的解并注意檢驗(yàn)其合理性，

（5）作答:即寫出答語,遵循問什么答什么的原則寫清答語

示例：增長率問題：某廠2月產(chǎn)50噸，4月產(chǎn)60.5噸，求月均增長率

解：設(shè)增長率r,列方程50（1+r：F=60.5,解得r=10%

易錯點(diǎn)：1.未舍去不合實(shí)際的解（如時(shí)間為負(fù)、增長率＞100%）

2.單位不統(tǒng)一導(dǎo)致計(jì)算錯誤

.破?重難題型.

包題型一根的判別式綜合題

解|題|技|巧

怎么想？

看到含參數(shù)的一元二次方程，優(yōu)先計(jì)算4（判別式），判斷根的情況（兩實(shí)根、重根、無實(shí)根）。

怎么做？

1.列判別式A=b24aco

2.根據(jù)題目要求（如“有實(shí)根”“無實(shí)根”）列不等式。

解不等式時(shí)注意二次項(xiàng)系數(shù)是否為0（需分類討論）。

易|錯|點(diǎn)|撥

忽略二次項(xiàng)系數(shù)為0的情況（如方程（kl）x2+2xl=0需討論k=l時(shí)是否為一次方程）。

混淆（兩不等實(shí)根）與AX）（有實(shí)根）。

【典例1】（2526九年級上?全國?期中）方程/一2無一1=0的根的情況是（）

A.有兩個不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個相等的實(shí)數(shù)根

C.有一個實(shí)數(shù)根D.沒有實(shí)數(shù)根

【變式1】（2425九年級上?全國期中）已知方程依2+Qk+3）x+k=6有實(shí)數(shù)根，則上的取值范圍是一

【變式2】（2425八年級下?廣西百色?期中）若正比例函數(shù)y=0）的圖象經(jīng)過第一、三象限，則關(guān)于

、的方程上爐一“一1=。根的情況為.

【變式3】（2425九年級上?北京海淀?期中）已知關(guān)于無的方程產(chǎn)一（巾+1）%+（小一3=0.

（1）求證：方程必有兩個不等實(shí)數(shù)根；

（2）當(dāng)7幾取0<5的整數(shù)時(shí)，存在兩個有理數(shù)根，求m的值和這兩個有理數(shù)根.

國題型二韋達(dá)定理

解|題|技|巧

怎么想？

已知兩根之和/積，求代數(shù)式（如X]2+x？2）或構(gòu)造新方程。

怎么做？

1.用Xi+x2=b/a,Xix2=c/ao

2

2.變形公式：Xi+X22=（X1+X2）22X1X2O

構(gòu)造新方程時(shí)，兩根和/積與原方程相反或倒數(shù)。

易I錯I點(diǎn)I撥

忘記驗(yàn)證AK）的前提條件。

符號錯誤（如Xi+x2=b/a漏負(fù)號）。

【典例1】（2425八年級下?廣西百色?期中）若關(guān)于％的一元二次方程的兩個根為勺=2,必=3,則這個方

程是（）

A.X2+5%4-6=0B.%2+5x-6=0

C.x2—5%4-6=0D.x2—5x—6=0

【變式1】（2526九年級上?寧夏銀川?期中）關(guān)于x的方程/+2x+m=0有兩個根為與、x2,則/+必=

()

A.1B.-1C.2D.-2

【變式2】（2526八年級上?廣東廣州?期中）（2+4+4=10）綜合與探究

【定義】我們把關(guān)于x的一元二次方程ax?+.+c=0與c/+bx+a=0（acHO,aHc）稱為一對“友

好方程”

【示例】如2/+7%-3=0的“友好方程”是-31+7%+2=0.

（1）寫出一元二次方程12/-7.v+1=0的“友好方程”是.

【探究】

（2）已知一元二次方程12/—7r+l=0的兩根為/=/x2=^請求出它的“友好方程”的兩個根.

【猜想】

（3）當(dāng)A=必一4acN。時(shí)，方程a/+bx+c=0的兩根/，不與其“友好方程“c/+bx+a=0的兩根小，

M之間存在的一種特殊關(guān)系為.（acrO，a豐c）

【讓明】

-b+\;b2-4ac-b-y/b2-4ac

?.?方程a/+力x+c=。的兩根為/=

方程+.+。=0的兩根為“3=

一小/：CT①____

請完成上述填空①，并補(bǔ)全證明過程.（備注：證明一組關(guān)系即可）

【變式3】（2425九年級上?廣東箜慶?期中）【知識技能】

材料1：若關(guān)于X的一元二次方程Q》2+bx+c=0（QH0）的兩個根為與，%2?則為1+%2=-3'"1"2二

材料2：已知一元二次方程32一%一I=o的兩個實(shí)數(shù)根分別為m,n,求小2九+m〃2的值.

解：?.,一元二次方程/一x-1=0的兩個實(shí)數(shù)根分別為m,n,/.TN+n=1,mn=-1,

則利2九+mn2_mn^rn+n）=—1x1=—1.

【數(shù)學(xué)理解】

x

（1）一元二次方程4/一X-2=0的兩個根為％1，0，則工1+2=，XjX2=

【拓展探索】

（2）已知一元二次方程2/+3%-1=0的兩根分別為m,n,求/+M的值.

（3）已知實(shí)數(shù)s,t滿足2s2+3s-1=0,2t2+3t-1=0,且s3求二一三的值.

SC

包題型三動態(tài)幾何問題

解網(wǎng)技I巧

怎么想？

動點(diǎn)問題中，設(shè)參數(shù)表示邊長，利用勾股定理或面積公式列方程。

怎么做？

1.設(shè)動點(diǎn)位置（如運(yùn)動時(shí)間為t）。

2.用t表示相關(guān)線段長度或面積。

解方程時(shí)注意t的范圍限制。

易|錯|點(diǎn)|撥

忽略幾何圖形存在條件（如三角形兩邊之和〉第三邊）。

未分類討論多解情況。

【典例1］（2425九年級上?廣東清遠(yuǎn)?期中）如圖,在AABC中,LABC=90°,AB=8cm,BC=7cm,動

點(diǎn)P，。分別從點(diǎn)A，5同時(shí)開始移動（移動方向如圖所示），點(diǎn)P的速度為lcm/s,點(diǎn)。的速度為2cm/s,

點(diǎn)。移動到。點(diǎn)后停止，點(diǎn)戶也隨之停止運(yùn)動，當(dāng)四邊形APQC的面積為13cm2時(shí)，則點(diǎn)P運(yùn)動的時(shí)間是（）

A.3sB.5sC.3s或5sD.6s

【典例2](2425九年級上?甘肅蘭州?期中)如圖，在矩形4BCD中,AB=10cm,BC=12cm,P從點(diǎn)A開

始沿48向終點(diǎn)8以lcm/s的速度移動，與此同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)8開始沿8C邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動，如果P、

Q分別從力、B同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動到點(diǎn)。時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間是t.

.1C

口

4fpB

(1)￡為何值時(shí)，8在尸Q的垂直平分線上？

(2)t為何值時(shí)，PQ的長度為10cm?

【變式1](2526九年級上?全國?期中)如圖，在矩形為8C0中，AB=5cm,BC=6cm,點(diǎn)P從點(diǎn)4開始沿

邊48向終點(diǎn)8以lcm/s的速度移動，與此同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿邊BC向終點(diǎn)。以2cm/s的速度移動.如果P,

Q分別從4B同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動到點(diǎn)C時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動.設(shè)運(yùn)動時(shí)間為￡秒.(0<t<3).

(1)當(dāng)￡為何值時(shí)，PQ的長度等于5cm?

(2)連接PC,是否存在t的值，使得的面積等于8cm2?若存在，請求出此時(shí)t的值；若不存在，請說明

理由.

【變式2】（2324九年級上?廣東梅州?期中）如圖，在正方形力8c。中，AB=4cm,點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿以

2cm/s的速度向點(diǎn)。運(yùn)動，同時(shí)點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)，以lcm/s的速度沿CD向點(diǎn)。運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)后,

P，。兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時(shí)間為is.

（1）問當(dāng)/為多少時(shí)，AP=2PQ?

⑵連接4Q,是否存在時(shí)間f，使得SMPQ=4?若存在，求出，的值；若不存在，請說明理由.

.過?分層驗(yàn)收.

期中基礎(chǔ)通關(guān)練（測試時(shí)間：10分鐘）

1.下列方程中，關(guān)于工的一元二次方程是（）

A.2030B.2029C.2025D.2021

A.3B.—1C.1D.3Mk—1

6.解方程：

8.中國人民抗日戰(zhàn)爭暨世界反法西斯戰(zhàn)爭勝利80周年，全國各地積極開展“弘揚(yáng)紅色文化，重走長征路”

主題教育活動.據(jù)了解，某展覽中心1月份的參觀人數(shù)為10萬人，3月份的參觀人數(shù)增加到14.4萬人.求

參觀人數(shù)的月平均增長率.

期中重難突破練(測試時(shí)間：10分鐘)

1.已知m、n、3分別是等腰三角形(非等邊三角形)三邊的長，且?n、九是關(guān)于高勺一元二次方程/一4%+

k+2=0的兩個根，則A的值是.

2.若關(guān)于x的一元二次方程(k—l)/—2gx-5=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則大的最小正整數(shù)值

是.

3.已知一元二次方程/一2%-1=0的兩根是與，小，則2■+!=_____.

XlX2

4.(2526九年級上?黑龍江綏化?開學(xué)考試)先化簡，再求值：/煮+(血+2-總)其中m是方程3+

3x-1=0的根.

5.關(guān)于%的方程％+二=c+工的解為與=c,x=-,x--=c--(可變形為％+[=c+—)的解為力=

XC2CXCXC

C,%2=-：，工+j=C+|的解為與=C,X2=：，工+3=,+|的解為與=C,X2=|....

(1)請你根據(jù)上述方程與解的特征，猜想關(guān)于%的方程為=c+。0)的解；

(2)請總結(jié)上面的結(jié)論，并求出方程"+六=。+六的解.

6.美丁力的一元二次方程十以十c=0有兩個實(shí)數(shù)根分別是七，血。1＜叼)，若句，和為整數(shù)，則稱。1，兀2)

為“Deep”點(diǎn).

(l)x2+5x+4=0_(填是或否)存在“Deep”點(diǎn)；

(2)若關(guān)于x的一元二次方程：x2+入+c=o的“Deep”點(diǎn)為(2,3),求Ac的值；

(3)關(guān)于x的一元二次方程/+2mx+m2+m=0是否存在一“Deep”點(diǎn)，且該點(diǎn)在直線y=-2x+2上，若

存在，求出，〃的值，若不存在，請說明理由.

7.白露是秋季第三個節(jié)氣，具有晝夜溫差顯著、氣候轉(zhuǎn)涼的特點(diǎn)，在這一天有收集清露、飲白露茶、吃龍

眼等習(xí)俗.某水果店在白露節(jié)氣來臨之際，主推本地龍眼，已知該龍眼每千克成本為8元，原售價(jià)定為每

千克20元時(shí)，每天可銷售50千克.根據(jù)銷售經(jīng)驗(yàn)，每千克售價(jià)每降低1元，日銷售量可增加10千克.

(1)若將該龍眼每千克售價(jià)定為17元，每天可銷售多少千克？

(2)高溫天氣水果難以保鮮，水果店想在保證銷售量盡可能大的前提卜，通過調(diào)整售價(jià)使每天的利潤達(dá)到660

元，每T-克龍眼售價(jià)應(yīng)定為多少元？

8.用長為78米的竹籬笆圍一個面積為750平方米的長方形雞場，雞場的一邊靠墻(墻長45米)，另三邊

用竹籬笆圍成，

(1)求雞場的長與寬各為多少米?

(2)能否圍成一個面積為90()平方米的長方形養(yǎng)雞場？如果能，說明圍法；如果不能，請說明理由.

期中綜合拓展練(測試時(shí)間：15分鐘)

1.已知方程2(a-b)/+(2b-ab)x+(ab-2a)=0有兩個相等