專題01一元二次方程的解法的五類綜合題型

目錄

典例詳解

類型一、直接開方法解一元二次方程

類型二、配方法解一元二次方程

類型三、公式法解一元二次方程

類型四、用因式分解法解一元二次方程

類型五、換元法解一元二次方程

壓軸專題

分題型講解，對(duì)相關(guān)的基礎(chǔ)內(nèi)容進(jìn)行歸納整理，例題后增加相應(yīng)的變式訓(xùn)練，及時(shí)鞏固。

■,類型一、直接開方法解一元二次方程

直接開方法解?元二次方程：利用平方根的定義直接開平方求?元二次方程的解的方法稱為直接開平方

法.

要點(diǎn)：用直接開平方法解一元二次方程的理論依據(jù)是平方根的定義，應(yīng)用時(shí)應(yīng)把方程化成左邊是含未知

數(shù)的完全平方式，右邊是非負(fù)數(shù)的形式，就可以直接開平方求這個(gè)方程的根.

例I.用直接開平方法解下列方程：

⑴(x+3『-2=O.(2)(x+l)2=(l-2.r)2.

【變式1-1］解方程：1(^-1)4-64=0,

【變式1?2】解方程：=9(x+2「

【變式1-3］用直接開平方法解下列一元二次方程：

⑴/-81=0；⑵4/-7=0;

(3)3(1-A)2=12；⑷(2X+6)2-8=O.

覆類型二、配方法解一元二次方程

配方法解一元二次方程：將一元二次方程配成(x+乃『=p(p20)的形式，再利用直接開平方法求解,

這種解一元二次方程的方法叫配方法.

要點(diǎn)：(1)配方法解一元二次方程的口訣：一除二移三配四開方；

(2)配方法關(guān)鍵的一步是“配方”，即在方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.

(3)配方法的理論依據(jù)是完全平方公式。2±2ab+"=(?！琅c2.

例2.解一元二次方程：2x2-6x+3=0.

【變式2?1】用配方法解一元二次方程方程：-3Y+4.T+1=0.

【變式2?2】用配方法解下列方程:

(1)X2+2X-3=0;⑵/一2.8=0；

(3).V2-8X+7=0;(4)6.r-A-12=0.

【變式2?3】用配方法解下列方程:

⑴d+4x=1;(2)x2+6x-5=0；

(3)-A?+2x+3=0；(4)4/—7x-2=0；

(5)了一8舊=°；

(6)-3X2-2X+1=0.

國類型三、公式法解一元二次方程

1.一元二次方程的求根公式

一元二次方程"2+加+《=0(。=0),當(dāng)AMV-WCNO時(shí)，x.-b士招-4ac

2a

2.用公式法解一元二次方程的步驟

用公式法解關(guān)于工的一元二次方程+歷+二=og/o)的步驟：

①把一元二次方程化為一般形式；②確定。、b、C的值(要注意符號(hào))；③求出夕'-4如的值；

④若方2-4叱20，則利用公式X=但求出原方程的解；若

2a

/-4ac<0,則原方程無實(shí)根?

例3.用公式法解方程4d-6x-3=0.

【變式3?1】用公式法解一元二次方程：2X2-A-1=0

【變式3?2】用公式法解方程：3?-7x+2=0.

【變式3?3】解一元二次方程：f+&_]=().

，類型四、用因式分解法解一元二次方程

(1)將方程右邊化為0；

(2)將方程左邊分解為兩個(gè)一次式的積；

(3)令這兩個(gè)一次式分別為0,得到兩個(gè)一元一次方程；

(4)解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原方程的解.

例4.解下列方程：

(l)x2-Zt-8=O;(2)3(X-1)2=2-2X

【變式4?1】解方程：

(l)x2-2r-8=0；(2)2x(.-3).

【變式4?2】用十字相乘法解方程：

(1).V2-4X-12=0(2)X2+X-12=0

【變式4?3】用因式分解法解下列方程：

(l)3x(2x+l)=4x+2.(2)(3X-1)2+4(3X-1)+4=0.

彥類型五、換元法解-元二次方程

1.換元法核心思路：當(dāng)方程含重復(fù)復(fù)雜整式(如多項(xiàng)式平方、分式等)，設(shè)該整式為新元(如y),將原

方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于新元的一元二次方程，解出新元后，代回?fù)Q元式求原未知數(shù)。例如方程(9+3上)2

2(,d+3x)-8=0,設(shè)產(chǎn)/+3x,轉(zhuǎn)化為y2-2廠8=0。

2.關(guān)鍵步驟：①觀察方程結(jié)構(gòu)，確定換元對(duì)象(重復(fù)出現(xiàn)的整式)；②設(shè)新元，替換原方程中對(duì)應(yīng)整式;

③解新方程，得新元值；④代回?fù)Q元式，解出原未知數(shù)：⑤驗(yàn)根，確保解符合原方程。

例5.【閱讀材料】

方程（丁-1）2-5卜2-1）+4=0是一個(gè)一元四次方程，我們可以把42_1看成一個(gè)整體，設(shè)=則原方

程可化為y2—5,，+4=0①，

解方程①可得）1=1，%=4；

當(dāng)7=1時(shí)，x2-l=l，即f=2,.?.工=±五；

2

當(dāng)丁=4時(shí)，x-l=4,即犬=5,.?.x=±逐；

二?原方程的解為$=0，%2=-y/2,X,=x/5,x4=-75.

【解決問題】

⑴在由原方程得到方程①的過程中，是利用換元法達(dá)到的目的（選填"降次"或"消元”），體現(xiàn)了數(shù)

學(xué)的轉(zhuǎn)化思想：

⑵已知（x2+./+1）+）,2+3）=8,求/+/的俏：

⑶請(qǐng)仿照材料中的方法，解方程：（x2-2x）2-4（x2-2x）=0.

【變式5?1】閱讀下面的材料，回答問題.

解方程x4-5x2+4=0.

這是一個(gè)一元四次方程，由這個(gè)方程的特點(diǎn)，可以采用“換元法”起到降次的目的，將其轉(zhuǎn)化成一元二次方程

求解，它的解法如下：

解：設(shè)f=），，那么/=y2,于是原方程可變?yōu)椋?-55+4=0,解得X=l,y2=4.

當(dāng)y=i時(shí)，d=i,.“=±1；

當(dāng)y=4時(shí)，x2=4,/.x=±2；

所以，原方程有四個(gè)根，分別為％=1，W=T，巧=2,X4=-2.

請(qǐng)運(yùn)用以上方法回答問題：

已知卜2+x）~-4卜2+x）-12-0,求知IX的值.

【變式5?2】閱讀與思考:

卜.面是八（1）班學(xué)習(xí)小組研究性學(xué)習(xí)報(bào)告的部分內(nèi)容，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù).研究一元二次方程的

新解法討論一種關(guān)于一元二次方程的新解法一一消去未知數(shù)的一次項(xiàng)，將原方程轉(zhuǎn)化為可以開平方的形式,

將其開平方，從而進(jìn)一步求得方程的解.

【例如】解一元二次方程了2一萬-6=0,

設(shè)X=），+〃7（機(jī)為常數(shù)），

將原方程化為（y+M~-4（），+機(jī)）-6=0,①

方程①整理，得9+（2，〃-4）），+方一4，〃-6=0,（2）

令2"?—4=0,解得〃？=2.

當(dāng)m=2時(shí),〃/一4〃?-6=2?-4x2—6=70，

「?方程②化為9-10=。，解得）LJiay2=-Vio,

%=X+m=,x2=y2+m=.

任務(wù)：

⑴直接寫出材料中".”部分方程的解玉=，W.

（2）按照材料中“例如”的方法，解一元二次方程3d+12x+l=0.

【變式5?3]請(qǐng)你完成解答，提煉方法后，完成題（2〉、題（3）.

⑴解方程5-1）2-5（X-1）+4=0時(shí)，我們可以將x-l看成一個(gè)整體，設(shè)x-1=），，則原方程可化為

y2-5_y+4=0,解得y=l,%=4.當(dāng)y=l,即才一1=1,解得x=2；當(dāng)丁=4,即工一1=4,解得x=5.所

以原方程的解N=2,占=5.請(qǐng)你利用這種方法解方程：（3X+5）2-4（3X+5）+3=0.

方法應(yīng)用：

（2）己知。、b、c為VA笈C的三邊，若（a?十〃2『一3（〃2十〃2）-4=0,c=2,請(qǐng)判斷V/U5C的形狀，說明

理由.

（3）已知x為實(shí)數(shù)且滿足（丁7+）_#7+]b2=0,請(qǐng)直接寫出VT+1的值.

壓軸專練

一、單選題

1.用配方法解一元二次方程2F—4K-6=0時(shí)，配方后的方程是（）

A.（21）2=8B.（I）』C.（X-1）2=8D.2（x-l）2=4

2.方程2）3=8），+3的根是（）

?4+V224-V22-4+x/22-4-x/22

兒y=-2-，）、=-2—氏＞i=---Z----，＞2=----7----

22

4+V104-V10-4+Vio-4-V10

3.關(guān)于％的方程a+〃z)2=〃，下列說法正確的是()

A.當(dāng)〃20時(shí)，有兩個(gè)解4=±4-〃？B.有兩個(gè)解不二土瓜-小

C.當(dāng)〃W0時(shí)，有兩個(gè)解文=±/^荷D.當(dāng)〃K0時(shí)，方程無實(shí)根

4.已知菱形A3CO的邊長是一元二次方程/一12工+35=0的一個(gè)根，且兩條對(duì)角線長的和為14,則菱形

人6c。的邊長為()

A.5B.7C.12D.5或7

二、填空題

5.若方程d+6x+2=0能配方成(x+〃)2+q=0的形式，則直線)'=小經(jīng)過第象限.

6.已知小毛滿足a*、=而+”?〃，己知3*x=4,x為正數(shù)，貝i]x=.

7.B(w2+/?2)(zn2+n2+2)-8=0,則加+"的值為____.

8.方程V-7x+12=()的兩個(gè)根是等腰三角形的底和腰，則這個(gè)三角形的周長為

三、解答題

9.解方程：

(1)(X-3)2=2(X-3)；

(2)(x+l)(x-l)=2缶.

10.用十字相乘法解方程

(1).^-^-90=0

(2)2X2+X-IO=O

11.用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?/p>

(1)(2X-1)2-4=0；

⑵.d-4工-1=0；

(3).v2-5x+6=0.

12.用適當(dāng)?shù)姆椒ń釬列一元二次方程：

⑴3(1)2-27=0；

(2),V2-8X-9=0;

(3)(X+4)2=2x+8

13.解方程

(1).V2-2X-2=0

(2)2X(2X-1)=3(2A-1)

(3)(3X+2)(X+3)=X+14

14.用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝幸辉畏匠蹋?/p>

(l)4x2=12x;

⑵2Mx-3)+x=3；

(3)4x2-28x4-13=0:

3

(4)--X2+X+2=0.

15.(1)解方程：X2+8X-20=0;

(2)解方程：在學(xué)完一元二次方程解法后，老師出了這樣一道試題“f-4x+3=0”，讓同學(xué)們求解.球?qū)?/p>

和甜寶兩位同學(xué)的做法如下