《向量的加法》第一課時教案

課題向量的加法單元第一單元學(xué)科數(shù)學(xué)年級高一

1.數(shù)學(xué)抽象：利用位移和路程的相關(guān)情境將平面向量具體化；

2.邏輯推理：通過課堂探究逐步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力.

教學(xué)3.數(shù)學(xué)建模：掌握平面向量的相關(guān)知識，為空間向量的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)的同時，也能學(xué)習(xí)利用

目標向量解決實際問題。

與核4.直觀想象：通過有向線段直觀判斷平面向量加法的法則；

心素5.數(shù)學(xué)運算:能夠正確運算平面向量的加法運算律；

養(yǎng)

6.數(shù)據(jù)分析:通過經(jīng)歷提出問題一推導(dǎo)過程一得出結(jié)論一例題講解一練習(xí)鞏固的過程，讓學(xué)

生認識到數(shù)學(xué)知識的邏輯性和嚴密性。

重點重點：平面向量的三角形法則；平面向量的平行四邊形法則；平面向量的加法運算律。

難點難點：平面向量的三角形法則；平面向量的平行四邊形法則。

教學(xué)過程

教學(xué)環(huán)節(jié)教師活現(xiàn)

新課導(dǎo)入情境導(dǎo)入：

由于大陸與臺灣沒有直航，一臺商要從臺北到上海，需先乘飛機從臺北繞道香港，再從

香港飛達上海，請問臺商這兩次位移的和是什么？

“S“zy3

WBan

a4/

新知探究新知探究（一）：平面向量的三角形法則

如圖，一艘船從碼頭0出發(fā)先往東行駛40km到達位置A,再往北行駛30km到達位置

B,總的位移是多少？

這艘船先從。到A,再從A到B,總的效果是從0到B,因而其總位移是OB。

0B是RtZXOAB的斜邊。由勾股定理得

10B|=7|OA|2+|AB|2=V402+302=50(km)。

總位移0B是兩段航程的位移

OA、AB的總效果，很自然地把它定義為

兩次位移之和：

()A+AB=OB.

上述分析表明，位移的合成可看做是向量的加法。

由此，我們可以得出向量的加法法則：

如圖，已知兩個非零向量a,b,在平面上任取一點0,分別作0A二a,AB=b,則定義從0到

B的向量0B為a,b的和,記作a+b.即

a+b=0A+AB=0B.

求向量和的運算稱為向量的加法。

將兩個向量表示為首尾相接的有向線段來求和的作圖法則叫作向量加法的三角形法則。

如果兩個向量a.b的方向相同或相反，對于這種特殊情況，我們用下圖來表示它們的

和。

a

b

a

Fa+^A

練一練:

設(shè)向量a表示“向西走5km”，向量b表示“向北走5km”，則a+b的實際意義是（D）。

A.向東南方向走了10km

B.向西北方向走了10km

C.向東南方向走了5V2km

【）.向西北方向走了5V2kni

需要利用向量的三角形法則作出和向量a+b.

解：

如圖，作向量OA,它表示向西走5km,作AB,它表示向北走5km,則OB=OA+AB=a+b,

\OB\=VS2+52=5V2.

又OA與OB的夾角是45°,

所以a+b表示向西北方向走了5\Z2kmo

（1）兩個向量的和仍是一個向量，多個向量的和仍是一個向量。

（2）利用三角形法則求兩個向量的和向量時一定要兩向量首尾相連，第一個向量的起點

指向另一向量的終點，求作三個向量的和時，首先作其中任兩個向量的和，然后再求作

這個向量與另一個向晟的和。多個向晟的和的求作方法以此類推，且有

A1A2+A2A3+...+An-lAn,=AlAn,,

新知探究（二）：平面向量的平行四邊形法則

如圖，若作用于同一點。的兩個力A，F(xiàn)2可用由。出發(fā)的有向線段OA,0B來表示，則

兩個力的合力F與F”F2的關(guān)系如何？

F為F”F2的合力!

如何證明呢？

方法一：從A出發(fā)作AC=OB,則由三角形法則可得

OC=OA+AC=OA+OB=F.

因為AC與0B平吁且相等，

所以四邊形OACB是平行四邊形。

因此，以上作出的0C是以O(shè)A,0B為一組鄰邊的

Z70ACB的對角線。

對于方向既不相同也不相反的非零向量a,b,還有一種求和的作圖方法：

方法二：

平行四邊形法則如圖，從同一點0出發(fā)作有向線段0A=a,0B=b,以O(shè)A,0B為鄰邊作平行

四邊形OACB,則對角線0C就是a與b的和，這種作兩個向量的和的方法叫做向量加法

的

平行四邊形法則，即OC=a+b.

法則特點：兩個已知向量的起點相同。

向量加法三角形法則：

特點：首尾相接，首尾連。

向量加法平行四邊形法則:

特點：起點相同，連對角。

新知探究(三)：平面向量的加法運算律

數(shù)的運算和運算律緊密聯(lián)系，運算律可以有效地簡化運算。類似地，向量的加法又有哪

些運算律呢？

如圖,設(shè)AB=a,AD=b.以AB,AD為鄰邊作Z7ABCD,則BC=b,DC=a.因為AC=AB+BC=a+b,

AC=AD+DC=b+a,

所以a+b=b+a.

如圖,設(shè)OA=a,AB=b,BC=c.

因為(a+b)+c=(OA+AB)+BC

=OB+BC=OC,

a+(b+c)=OA+(AB+BC)

=OA+AC=OC,

所以(a+b)+c=a+(b+c).

B

向量的加法滿足交換律和結(jié)合律：

(1)加法交換律:a+b=b+a對任意兩個向最a,b成立。(2)加法結(jié)合律:(a+b)+c=a+(b+c)

對任意三個向量a,b,c成立。

練練：

用向量的方法證明：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.

注意：如圖，要證四邊形ABCD是平行四邊形，只要證明AD〃BC,即證AB=BC即可.

如圖,設(shè)0為四邊形兩條對角線的交點，

則OA=OC,OB=OD,即AO=OC,BO=OD.

.*.AD=AO+OI)

二OC+BO

=BO+OC

=BC

又A,D,B,C不在同一直線上，

，四邊形ABQ)是平行四邊形.

注意：用向量方法解決平面幾何問題，首先應(yīng)用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平

面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題，再利用向量平行相等或向量運算轉(zhuǎn)化為幾何關(guān)系(如線段

長度、位置關(guān)系中的平行、垂直)來解決。

典型例題典型例題

1、下列等式中不正確的是（【））

A.AB+BC=AC

B.a+b=b+a

C.a+b+c=b+（a+c）

D.AB+CD=AD

2、在平行四邊形ABCD中,AB+CA+BB=（B）

A.BC

B.CD

C.BA

D.AB

3、設(shè)a表示“向北走10km”，b表示“向西走10km”，c表示“向東北走20km”，則a+b+c

表示向（D）

A.西北走10V2km

B.北走10V2km

C.北偏西走10遍km

D.北偏東走105/6km

4、若AB,BC是模不為0的兩個向量,且AB+BC=AC,則（B）

A.線段AB,BC,AC一定構(gòu)成一個三角形

B.線段AB,BC一定共線

C.AC的模不可能為零

D.以上均不對

拓展提高

在平行四邊形ABCD的對角線BD的延長線及反向延長線上取點F,E,使

BE=DF（如圖），用向量方法證明：四邊形AECF也是平行四邊形。

???FD;BE且F,D,B,E四點共線,

???FD=BE.???FD+DB=BE+DB,

/.FB=DE.

四邊形ABCD為平行四邊形，

.-.AD=BC且AD//BC,/.AD=