專題02指數(shù)函數(shù)

內(nèi)容概覽

教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)重難點(diǎn)

指數(shù)函數(shù)的概念

知識清單指數(shù)函數(shù)的圖象與件質(zhì)

底數(shù)對指數(shù)函數(shù)圖象的影響

判斷函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù)

已知函數(shù)為指數(shù)函數(shù)求參

求指數(shù)的數(shù)的解析式

根據(jù)指數(shù)型函數(shù)圖象判斷參數(shù)的范圍

指數(shù)型的數(shù)圖象過定點(diǎn)問題

指數(shù)型困數(shù)圖象的識別

指數(shù)函數(shù)-指數(shù)型的數(shù)圖象的變換

題型精講求指數(shù)（型）函數(shù)的定義域

求指數(shù)（型）函數(shù)的值域

判斷指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

由指數(shù)型函數(shù)單調(diào)性求參

由指數(shù)（型）函數(shù)值域或最值求參

解指數(shù)不等式

比較指數(shù)幕的大小

指數(shù)函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

練基礎(chǔ)

強(qiáng)化訓(xùn)練練提升

I練創(chuàng)新

教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)重難點(diǎn)

1.指數(shù)函數(shù)的基本概念、圖象與性質(zhì)；

教學(xué)目標(biāo)

2.體會研究一個函數(shù)的基本方法.

1重.點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的基本概念、圖象與性質(zhì)；

教學(xué)重難點(diǎn)

2難.點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的應(yīng)用.

知識清單

知識點(diǎn)01指數(shù)函數(shù)的概念（重點(diǎn)）

（1）一般地,函數(shù)產(chǎn)地（。＞0,且中1）叫做指數(shù)函數(shù),其中指數(shù)，是自變量,定義域是R.

⑵指數(shù)函數(shù)產(chǎn)〃,僅＞0,且時1）解析式的結(jié)構(gòu)特征：

①優(yōu)的系數(shù)為1;

②底數(shù)。是大「0且不等于1的常數(shù).

【即學(xué)即練】

1.124-25高一上?全國?課前預(yù)習(xí)）下列各函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的是（）

A.y=dB.y=（-4）vC.），=5mD.y=52x

【答案】D

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)定義即可判斷.

【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義形如），=優(yōu)（。＞0且1）為指數(shù)函數(shù)判斷：

對于A：y=x,為幕函數(shù)，故A錯誤；

對于B：,，=（-4『中T不能作為底數(shù)，故B錯誤；

對于C：y=5川=5x5*中系數(shù)不為1,故C錯誤;

對于D：），=52'=25、是指數(shù)函數(shù),故D正確；

故選：D

2.124-25高一上?全國?課前預(yù)習(xí)）若函數(shù)），=（/-5〃+5）,是指數(shù)函數(shù)，則。=

【答案】4

【分析】由指數(shù)函數(shù)定義可得答案.

a2-5a+5=\

【解析】因），=（/-5〃+5）/為指數(shù)函數(shù)，則。＞0,

由/一5。+5=1,可得a=4或〃=1,

綜上，67=4.

知識點(diǎn)02指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)（重點(diǎn)）

0<a<1a>1

)

圖象

I

產(chǎn):\1(a>0

4<0.II…。?1)

…二

()

定義域R

值域(0.+8)

過定點(diǎn)圖象過定點(diǎn)（。山，即當(dāng)―=（）時,y=_L

性

單調(diào)性在（一8,+8）上是減函數(shù)在（一8,+8）上是增函數(shù)

質(zhì)

函數(shù)值的當(dāng)％v0時，y》當(dāng)％<0時，0<y<L

變化范圍

當(dāng)x=0時，y=l_當(dāng)％=0時，y=L

當(dāng)>>0時,0<y<1當(dāng)先＞。時，yV1.

【即學(xué)即練】

1.已知/5）="+4”0,且的圖象如圖所示，則/（3）等于（）

A.272-2B.與一3C.3&-3D.36-3或一3G-3

【答案】C

【解析】由題中圖象知，函數(shù)過（。,一2）,（2,0）,則〃0）=1+人=-2,所以〃=—3.又/（2）=/-3=0,

所以.=石（負(fù)值舍去），故/"）=（石）-3?

/（3）=373-3.

故選C

2.124?25高一上?全國?課前預(yù)習(xí)）函數(shù)），=屈下的定義域?yàn)?值域是.

【答案】S，2],[0,4）

【解析】由題意知16-4途0,解得XW2,所以定義域?yàn)椋ㄒ灰?].因?yàn)橄?gt;0,所以0W16-4:16,所以

V16-4rG[0,4).

3.124-25高一上?全國?課前預(yù)習(xí)）函數(shù)/（"=59-3向的定義域是

【答案】（―』

【分析】解不等式9-3』之0,可得出原函數(shù)的定義域.

【解析】要使函數(shù)〃幻=-9-3川有意義,貝U9-3川之0,變形可得3"七9=32,

因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y=3"在R上單調(diào)遞增，則X+1K2,解得xG,

故函數(shù)/（6的定義域是（YO,1].

知識點(diǎn)（）3底數(shù)對指數(shù)函數(shù)圖象的影響（拓展）

1.對函數(shù)值變化快慢的影響

⑴當(dāng)a>l時，指數(shù)函數(shù)y=ax是R上的增函數(shù)，且當(dāng)x>0時，底數(shù)a的值越大屈數(shù)圖象越“陡”,說明其函數(shù)值

增長得越快.

⑵牙（）<a<l時，指數(shù)函數(shù)y=ax是R上的減函數(shù)，且當(dāng)x<0時，底數(shù)a的值越小，函數(shù)圖象越“陡”，說明其函數(shù)

值減少得越快.

2.對函數(shù)圖象變化的影響

指數(shù)函數(shù)y=ax（a>O,Ha#l）與y=bx（b>0,且b#l）的圖象的特點(diǎn)：

⑴若a>b>l,則①當(dāng)x<0時，總有（Xatby;②當(dāng)x=0時，總有a*=b*4③當(dāng)x>0時，總有ax>bx>l.

⑵若Ovavbvl,則①當(dāng)x<0時，總有ax>bx>l;②當(dāng)x=0時，總有ax=bx=l;③當(dāng)x>0時，總有0<ax<bx<l.

3.指數(shù)函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)的規(guī)律

在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)的底數(shù)越大，指數(shù)函數(shù)圖象越靠近于y軸，這個規(guī)律可簡記為：底大圖高.

如圖，

又即:xw（0,+oo）時,bx<ax<dx<cx（底大募大）Xe（-8,0）時，bx>ax>dx>cx

【即學(xué)即練】

I.若指數(shù)函數(shù)），=〃，y=b\y=^（其中〃、b、c均為不等于1的正實(shí)數(shù)）的圖象如圖所示，則〃、〃、c

的大小關(guān)系是（）

y

IL

OH

A.a+b'cB.c>a>bC.c>b>aD.b'a+c

【答案】B

【分析】】由題意，做出直線乂=1，結(jié)合圖象可得結(jié)論.

【解析】對于指數(shù)函數(shù)xx

y=ax,y=b,y=c(其中a、b、c均為不等于1y_

結(jié)合圖象可得，\\/

的正實(shí)數(shù)》的圖象，做出直線X二=1,

=bSy=H的圖象的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為y=\,L:/

直線x=l和指數(shù)函數(shù)y=ax,y=

a、b、c,且c>a>b,故選B.

2.如圖是指數(shù)函數(shù)①y=〃，②)，=",③/=爐，④))，="'的圖象，則。，??.

b,c,d與1的大小是(

A.a<b<\<c<dB.h<a<\<d<c1=1

C.a<b<\<d<cD.\<G<b<c<d

【答案】B

【分析】作直線x=l,根據(jù)直線x=l與四個指數(shù)函數(shù)-------------------3-------------------?x圖象交點(diǎn)的

縱坐標(biāo)即可判斷出a,b,c,d的大小關(guān)系.

【解析】作直線x=l與四個指數(shù)函數(shù)圖象交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(1,

a),(1,b),(1,c),(1,d),

由圖象可知縱坐標(biāo)的大小關(guān)系為OVbVa<l<d<c,

故選B.

平一

P

題型01判斷函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù)

【典例1】（24-25高一上?全國?課前預(yù)習(xí)）下列各函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的是（）

A.y=x3B.y=（-4）￥C.），=5川D.y=52v

【答案】D

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)定義即可判斷.

【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義形如），=優(yōu)（〃＞。且。聲1）為指數(shù)函數(shù)判斷：

對于A：y=Y為尋函數(shù)，故A錯誤；

對］，B：），二（-4『中T小能作為底數(shù)，故B錯誤；

對于C：y=5旬=5x5"中系數(shù)不為1,故C錯誤;

對于D：），=52，=25、是指數(shù)函數(shù)，故D正確；

故選:D

方法技巧

判斷一個函數(shù)是否是指數(shù)函數(shù)的方法

牢記指數(shù)函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式必須是y=a。其中注意兩點(diǎn)：

（I）整個指數(shù)哥的系數(shù)必須是1或者可以通過指數(shù)基的運(yùn)算化簡成I;

（2）底數(shù)的范圍：。＞0且。工1.

【變式1-1］（24-25高一下?貴州六盤水?期末）下列圖象中，有可能表示指數(shù)函數(shù)的是（~）

【答案】D

【分析】可根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義和性質(zhì)來逐一分析選項(xiàng).

【解析】指數(shù)函數(shù)的一般形式為j="（。＞0且。。1）,其具有以下性質(zhì):

定義域?yàn)镽,值域?yàn)椋ā?轉(zhuǎn)）

當(dāng)。＞1時，函數(shù)在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)在R上單調(diào)遞減.

圖象恒過點(diǎn)（0,1）.

觀察圖象可知，D有可能是指數(shù)函數(shù)圖象.

故迄D

【變式1-2］（24-25高一上?湖南?階段練習(xí)）"=1”是為指數(shù)函數(shù)”的（）

A.充要條件B.必要不充分條件

C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】當(dāng)〃-I時，/（*）=6、是指數(shù)函數(shù)；

若/（工）=（6"'）’是底數(shù)為6"的指數(shù)函數(shù).則6'”＞0,且6"'工1，解得"件0，

故為=1”是“〃力=6'小為指數(shù)函數(shù)”的充分不必要條件.

故選：C.

題型02已知函數(shù)為指數(shù)函數(shù)求參

【典例2］（24-25高一上?全國?課前預(yù)習(xí)）若函數(shù)），=卜/-5〃+5）優(yōu)是指數(shù)函數(shù)，則。=

【答案】4

【分析】由指數(shù)函數(shù)定義可得答案.

a2-5a+5=\

【解析】因丁=k『-5。+5）優(yōu)為指數(shù)函數(shù)，則,

由/一5〃+5=1,可得。=4或。=1,

綜上，a=4.

方法技巧

已知函數(shù)為指數(shù)函數(shù)求參問題求解策略

先由指數(shù)累的系數(shù)為1,解出參數(shù)的值，而后通常利用Q＞。且Q*1或函數(shù)的單調(diào)性等其他性質(zhì)來舍去其

中一個值.

【變式2-1］（24-25高二下,福建泉州?期末）若指數(shù)函數(shù)），=，?4＞0,。工1）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2,9）,則。的值

為.

【答案】3

【分析】將點(diǎn)代入函數(shù)解析式計算即可求解.

【解析】因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)〉="（。＞0,〃工1）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2,9）,

所以6?=9,解得a=3.

【變式2-2］（24-25高一上?廣東湛江?階段練習(xí)）函數(shù)＞=（/-4?+4）〃是指數(shù)函數(shù)，則〃的值不可以是

()

A.4B.3C.2D.1

【答案】ACD

【分析】由指數(shù)函數(shù)的定義可得出關(guān)于實(shí)數(shù)。的等式與不等式，即可得出實(shí)數(shù)。的值.

【解析】因?yàn)楹瘮?shù))，=("—4〃+4.、是指數(shù)函數(shù)，

a2-4a+4=\

則＜。＞。，解得4=3.

"1

故選：ACD.

【變式2-3](22-23高一上?云南紅河?階段練習(xí))已知指數(shù)函數(shù)“大)=(/-2〃-2”,則/⑶的值

為.

【答案】27

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)定義求得a=3,進(jìn)而代入求解即可.

【解析】因?yàn)椤▁)=(aJ2a—2)/為指數(shù)式，則〃一24-2=1,解得々=3或4=一1,

又因?yàn)椤?且awl,可得a=3,即/(力=3、，

所以/⑶=下=27.

故答案為：27.

題型03求指數(shù)函數(shù)的解析式

【典例3](24-25高一上?全國?課后作業(yè))若指數(shù)函數(shù)/Xx)的圖象過點(diǎn)(4,81),則/Xx)的解析式為()

A./(無)=x3B.f(x)=3X

C./'(%)=&D.f(x)=X3

【答案】B

【分析】設(shè)/'(%)=/,(a＞0且a。1),代入點(diǎn)(4,81)運(yùn)算求解即可.

【解析】設(shè)/(%)=Q”，(a＞OKa*1),

因?yàn)楹瘮?shù)/(幻的圖象過點(diǎn)(4,81),則/(4)=。4=81,解得Q=3,

所以/a)=3”.

故選：B.

方法技巧

求指數(shù)函數(shù)的解析式的方法

對于這類問題，一般利用待定系數(shù)法設(shè)出函數(shù)的解析式為/區(qū)(。＞0且1),再找出一個條

件列出關(guān)于底數(shù)a的方程并解之.

【變式3-1](24-25高一上.陜西西安.階段練習(xí))若指數(shù)函數(shù)/(%)的圖象過點(diǎn)(3,8),則/(口的解析式為

A.fW=xB.fW=C.f(x)=2XD./(x)=Q)"

【答案】C

【解析】設(shè)八%)=謨(。>0且。工1),因f(x)的圖象過點(diǎn)(3,8),

則=8,得Q=2,所以/'(%)=2七

故選:C.

【變式3-2](2025高一?全國?專題練習(xí))若指數(shù)函數(shù)/(%)的圖象過點(diǎn)(3,8),則/(2)=.

【答案】4

【解析】設(shè)/'(X)=謨(a>。且QI1),則M=8,

解得a=2,故/(%)=25所以f(2)=4.

題型04根據(jù)指數(shù)型函數(shù)圖象判斷參數(shù)的取值范圍

【典例4】(24-25高二下?河北石家莊?期末)若函數(shù)>的圖象經(jīng)過第二、三、四象

限，則一定有()

A.()<?<1,且Z?>0B.a>\,且Z?>0

C.Ovavl,月.。<0D.avl,且Z?>0

【答案】C

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)圖象經(jīng)過的象限，列出關(guān)于〃和〃的不等式組，進(jìn)而求解。和。的

取住范圍.

【解析】已知函數(shù))，="+〃-1的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，說明函數(shù)單調(diào)遞減，所以可得0<。<1

指數(shù)函數(shù)尸過定點(diǎn)(0,1),則函數(shù))，=優(yōu)+〃-1過定點(diǎn)即(0,6)

因?yàn)楹瘮?shù))，=〃*+8-1的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，如圖所示，所以該函數(shù)與y軸的交點(diǎn)在了軸負(fù)半軸

上，即a°+b-lvO=bvO

綜上分析，可得(0v八a<1

b<0

方法技巧

根據(jù)指數(shù)型函數(shù)圖象判斷參數(shù)的取值范圍

先由題干畫出大致圖象，通常將其與標(biāo)準(zhǔn)的指數(shù)函數(shù)進(jìn)行比較，再利用圖象平移變換及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)

性的結(jié)論從而得出答案.

【變式4-1］（24-25高一上?上海?期末）函數(shù)），="+八1（〃〉（），且1）單調(diào)遞增且圖象不經(jīng)過第四象

限，則滿足的條件為（）

A.6/>1,b<\B.a>\,b>0

C.0<"l,b<\D.b>\

【答案】B

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合函數(shù)的圖象不經(jīng)過第四象限，判斷"，〃的范圍.

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)尸1（。>（）且"1）單調(diào)遞增，

所以圖象不經(jīng)過第四象限，則當(dāng)x=0時，y=\+b-\=h>0,所以〃>1,/2>（）,

故選:B.

【變式4-2】函數(shù)/（x）=〃z的圖象如圖所示，其中。，A為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.a>\,b<0B.67>1,b>0

C.0<a<l,b>0D.0<〃<l,b<D

【答案】D

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性得到Ovavl,根據(jù)。得到hvO.

【解析】由于='的圖象單調(diào)遞減，所以

又Ov/(0)<1,所以0</<l=a°,即3>0,力<().

故選：D.

題型05指數(shù)型函數(shù)圖象過定點(diǎn)問題

【典例5】（24-25高二下?河北?期末）函數(shù)y=3/"+3（〃〉0,且。工1）的圖象恒過點(diǎn)（）

A.(2,6)B.(2,4)C.(1,6)D.(1,4)

【答案】A

【分析】根據(jù)題意,利用〃0=1,令X-2=0,得x=2,將x=2代入函數(shù)中計算即可求得函數(shù)y=O-+3

的圖象恒過點(diǎn)（2.6）.

【解析】根據(jù)題意，函數(shù)y=+3中,

令工-2=0,得x=2,

將工=2代入函數(shù)可得），=3〃°+3=6,

即函數(shù)），=3優(yōu)-2+3的圖象恒過點(diǎn)（2,6）.

故選：A

方法技巧

指數(shù)型函數(shù)圖象過定點(diǎn)問題求解策略

利用Q。=1得到橫坐標(biāo)的值，再將其代入解析式中得到縱坐標(biāo)的值,從而求得定點(diǎn)坐標(biāo).

【變式5-1］（24-25高一上?全國?課前預(yù)習(xí)）函數(shù)尸優(yōu)7+3（a>0,且的圖象過定點(diǎn).

【答案】（3,4）

【分析】根據(jù)4°=1，可得指數(shù)型函數(shù)定點(diǎn).

【解析】令x-3=0得x=3,此時y=4,

故函數(shù)）,="T+3（〃>0,且。工1）的圖象過定點(diǎn)（3,4）.

【變式5?2】已知函數(shù)/（力=。1+1（。>0,"1）恒過定點(diǎn)4（仃）,則函數(shù)g（x）=，+”的圖象不經(jīng)過

（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

［解析】???函數(shù)fM=ax-2+1（。>0,"1）恒過定點(diǎn)46）,

-2=0人,

.?.?,解得，=2,s=2,

s=a0+1

二.g（x）=，+￡*=V+2

???）=/在R上為遞增的奇函數(shù)，其圖象經(jīng)過第一第三象限及坐標(biāo)原點(diǎn)，

.?.以幻=/+2的圖象不經(jīng)過第四象限.

故選:D.

題型06指數(shù)函數(shù)的圖象識別問題

【典例6】我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微''.在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究過

程中，常用函數(shù)圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也經(jīng)常用函數(shù)解析式來分析函數(shù)的圖象特征，函數(shù)丁=-^-；在

2"+2T

［-6,6］的圖象大致為（）

【答案】B

【解析】設(shè)函數(shù)/。）=＞，=口一在|-6,6|上，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱,

2+2'x

又因?yàn)?（-x）==-fa），

所以函數(shù)為奇函數(shù)，排除C選項(xiàng)，

當(dāng)xw（0,6J時，/（%）＞0,排除D選項(xiàng),

當(dāng)x=4時，/（4）=^--?8,所以A不正確，B正確.

八"2"+2"

故選:B.

方法技巧

指數(shù)型函數(shù)圖象的識別箋略

對于這類問題，可從特殊點(diǎn)、函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對稱性等角度入手，結(jié)合排除法求解，同時由于

函數(shù)涉及到了指數(shù)函數(shù)，故往往式需考慮底數(shù)與指數(shù)函數(shù)圖象之間的關(guān)系.

【變式6-1】函數(shù)=的圖象大致為（）

e+e-

【答案】A

—2x2,x

【解析】由===且定義域?yàn)镽，故人幻為奇函數(shù)，排除B、D；

e+ee+e

XL時,2x,e*+eT都趨向于+oo,且e*+W增長快于2x,所以/（力趨向于0,排除C.

故選：A

【變式6-2】函數(shù)y=2x飛岡在［22］的圖象大致為（）

【答案】D.

【解析】當(dāng)x=2時,丫=8/￡（01）,排除A,B;易知函數(shù)y=2x2"對為偶函數(shù)，當(dāng)x￡［0,2］時,y=2x2-e:求導(dǎo)得y'=4x-

e:當(dāng)x=0時,y'<0,當(dāng)x=2時,y>0,所以存在x°￡(0,2),使得y'=0,故選D.

【點(diǎn)撥】對于函數(shù)圖象的識別題，一般首選排除法，即通過函數(shù)的性質(zhì)(尤其是奇偶性和單調(diào)性)及取特殊

點(diǎn)的策略排除錯誤選項(xiàng)，從而得到正解.

題型07指數(shù)型函數(shù)圖象的變換問題

【典例7-1】利用函數(shù)/(外=2、的圖象，作出下列各函數(shù)的圖象

(l)f(x-l)；(2)f(|x|)；(3)f(x)-l;(4)-f(x);(5)|f(x)-l|.

【分析】(1)將f(x)的圖象向右平移1個單位；(2)保留f(x)在y軸右方圖象，并對稱至左邊;(3)將f(x)的圖

象向下平移1個單位;(5)-f(x)與f(x)的圖象關(guān)于x軸對稱;(5)先作出函數(shù)f(x)-l的圖象，再將x軸下方的圖象

沿x軸翻折到x軸的上方.

【解析】利用指數(shù)函數(shù)'的圖象及變換作圖法可作所要作的函數(shù)圖象，其圖象如卜.：

【點(diǎn)撥】利用平移變換作函數(shù)圖象時，要明確平移方向及平移的單位長度;而利用對稱法作函數(shù)圖象時，要明確

對稱軸是哪條直線,點(diǎn)與點(diǎn)的坐標(biāo)有何關(guān)系等.

【典例7-21(1)確定方程2x=-x?+2的根的個數(shù).

(2)若直線y=2a與函數(shù)y=|ax—l|+l(a>0且a#l)的圖象有兩個公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

(分析】(1)將求方程的根的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)y=2x與y=-x2+2圖象的交點(diǎn)個數(shù)問題去求解：(2)

根據(jù)條件確定直線y=2a與函數(shù)丫=合一1|+1圖象的位置關(guān)系，然后由位置關(guān)系建立不等式，進(jìn)而求得結(jié)

果.

【解析】根據(jù)方程的兩端分別設(shè)函數(shù)f(x)=2x,g(x)=-x?+2.在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f(x)=2x與g(x)=

—x?+2的圖象，如圖所示：

￡心曰

TJAV

/x)=-x-+2|

由圖可以發(fā)現(xiàn)，二者僅有兩個交點(diǎn)，

???方程2X=-X2+2的根的個數(shù)為2.

(2)當(dāng)a>l時，通過平移變換和翻折交換可得y=|a'—1|+1的圖象(如圖①所示)，則由圖可知l<2a<2,

即*a<l,與a>l矛盾；

當(dāng)0<a<l時，同樣通過平移變換和翻折變換可得y=|a'—l|+l的圖象(如圖②所示)，則由圖可知l<2a<2.

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍*vavl.

【點(diǎn)撥】(1)對于一些較為復(fù)雜的方程的根的個數(shù)問題，往往轉(zhuǎn)億為某兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)個數(shù)問題去求解.

(2)對于第(2)題，要注意底數(shù)的不確定性，因此作圖時要分類討論.

方法技巧

指數(shù)型函數(shù)圖象的變換問題求解策略

1.平移變換(a>0,且a#l)

把函數(shù)y=ax的圖象向左平移<p((p>0)個單位，則得到函數(shù)y=axF的圖象；若向右平移(p((p>0)個單位，

則得到函數(shù)y=ax"的圖象；若向上平移(p((p>0)個單位，則得到y(tǒng)=a'+(p的圖象；若向下平移(p((p>0)個

單位，則得到y(tǒng)=a，一(p的圖象.即“左加右減，上加下減”.

2.對稱變換(a>0.且a#l)

函數(shù)y=ar的圖象與函數(shù)y=ax的圖象關(guān)于y軸對稱；函數(shù)y=-ax的圖象與函數(shù)y=ax的圖象關(guān)于x

軸對稱；函數(shù)y=-ar的圖象與函數(shù)y=ax的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；函數(shù)y=a岡的圖象關(guān)于y軸對稱.

【變式7-1]為了得到函數(shù)產(chǎn)9'3乂+5的圖象，可以把函數(shù)y=3*的圖象(―)

A.先向左平移9個單位長度，再向上平移5個單位長度

B.允向右平移9個單位長度，再向下平移5個單位長度

C.先向左平移2個單位長度，再向上平移5個單位長度

D.先向右平移2個單位長度，再向下平移5個單位長度

【答案】C

【解析】???y=9x3x+5=3x+2+5,???把函數(shù)尸的圖象先向左平移2個單位長度，再向上平移5個單位長度，可得

到函數(shù)度9*3*+5的圖象，故選C.

【變式7-2]根據(jù)函數(shù)f(x)=G)”的圖象，作出函數(shù)g(x)=G)劉的圖象，并借助圖象寫出這個函數(shù)的一些重要性

質(zhì).

【分析】通過對稱變換得到圖象，再求其性質(zhì).

【解析】因?yàn)間(x)=[C)(X二0%所以可由f(x)=G)"的圖象

(2x(x<0),

保留y軸上及其右邊部分，再作其關(guān)于y軸對稱的圖象即可得到左邊部分,合起來就可得到函數(shù)

g(x)=G)”的圖象，如圖所示.由圖象可知，函數(shù)g(x)的定義域?yàn)镽,值域是(0,1],圖象關(guān)于y軸對稱，單調(diào)遞增區(qū)間

是(-8,0],單調(diào)遞減區(qū)間是(0,+8).

題型08求指數(shù)(型)函數(shù)的定義域

【典例8](24-25高一上?全國?課前預(yù)習(xí))求下列函數(shù)的定義域與值域

I

(1)y=24；

⑵，伊

【分析】(I)根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和分母不為0進(jìn)行求解即可.

(2)根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義域和性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【解析】⑴,?,由工-4。0,得x，4,

二?函數(shù)的定義域?yàn)閧xlxeR且/工4}.

2士w1?>'=2七的值域?yàn)?0J)U(1,-H?)?

(2)函數(shù)的定義域?yàn)镽.

TA眇。?

故T2y的值域?yàn)?0”).

i3/

方法技巧

求指數(shù)(型)函數(shù)的定義域方法

(l)y=af(x)(a>0,且a￥l)的定義域與函數(shù)y=f(x)的定義域相同.

(2)y=f(aX)的定義域與函數(shù)y=f(x)的定義域不一定相同.例如，函數(shù)f(x)=F的定義域?yàn)閇0,+s),而

f(x)=G的定義域則為R.求y=f(a，)的定義域時，應(yīng)通過復(fù)合函數(shù)的定義，由f(x)的定義域與g(x)=a、的值

域的等價性，建立關(guān)于x的不等式，利用指數(shù)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)求解.

【變式8-1](24-25高一上?河南?階段練習(xí))函數(shù)/(幻=而￥■的定義域?yàn)?)

A.RB.(0,3]C.(-a),3]D.(-oo,3)

【答案】C

【分析】根據(jù)被開方式大于等于0求解定義城，并結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式.

【解析】根據(jù)題意，函數(shù)/("=位

則函數(shù)8-2*20，即2*48=23,

所以xW3.

故選：C

【變式8-2](24-25高一上?四川成都?期中)函數(shù)/(月=以二±的定義域?yàn)?)

A.(-oo,2]B.(-oo,5)U(5,+oo)C.[2,+a>)D.[2,5)U(5,+oo)

【答案】D

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合分母不為零、交集思想在行求解即可.

?"7f?A-4>0

【解析】函數(shù)/(工)=烏二士的定義域滿足u八，解得x22且XH5.

八,x-5x-5wO

則函數(shù)定義域?yàn)閇2,5)口(5,田),

故選；D

題型09求指數(shù)（型）函數(shù)的值域

【典例9】求下列函數(shù)的定義域和值域：

（l）y=^/l-2x;（2）y=2~；

x2-2x—3

⑶y=(?

（4）y=V4x+6-2x+10.

【分析】首先要注意外層函數(shù)與內(nèi)層函數(shù)的特征，然后利用指數(shù)函數(shù)的定義域、值域整體求解.

【解析】⑴由1-加得2xq,.\x<0.

，y=、i—2'的定義域?yàn)椋?8,0].

由0<2xq得一l0一2x<0,AO<1-2X<1.

???丫=、1-2'的值域?yàn)?0,1）.

（2）由乂-1和得對1,

工函數(shù)丫=2"的定義域?yàn)閧x|x￡R且咫1}.

V—*-^0,

X—1

工21，1.

.?.y=2=的值域?yàn)閧y|y>0且歸1}.

(3)定義域?yàn)镽.(ll分)

VX2—2x—3=(x—I)2—4>—4,

—⑹

x?-2x-3

???函數(shù)y?的值域?yàn)?0，16].

(4)丫=/鏟+62%+10的定義域?yàn)镽.令t=2，,則t>0,

:.y=V4x+6-2x+10=Vt2+6t+10.

令u=t2+6t+10,又11=1+61+1()在(0,+8)上是增函數(shù)，

u>10,/.y>V10.

???函數(shù)的值域?yàn)閧ylyWTG}.

設(shè)t=2x,則y=P+2t+2,

Vxe[-L21

Ate不，4

又對稱軸為t=-1,

，函數(shù)y=*+2i+2在4上為增函數(shù)，

13”

ymir=N"，ymax=26,

???所求函數(shù)的值域是件26.

【點(diǎn)撥】（1）求與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域時，要充分考慮到用指數(shù)函數(shù)本身的要求，并利用好指數(shù)函數(shù)

的單調(diào)性.

⑵在引入新元后,一定要注意新元的范圍，否則會將所求的范圍擴(kuò)大（或縮?。?如本題第（4）小題中，若不考慮t

的范圍，就會得到值域?yàn)閇1,+8）的錯誤結(jié)果

方法技巧

求指數(shù)（型）函數(shù)的值域的兩大策略

⑴求y=ag的值域時，先求函數(shù)y=f（x）的值域，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)y=a'x）的值域.

（2）求y=f（a，的值域時，可用換元法求解，但換元后應(yīng)注意引入的新變量的取值范圍

【變式9-1］（24-25高一上?廣東深圳?期末）將函數(shù)13J的值域?yàn)?

【答案】（o,i）U（L也）

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，艮］可求得答案.

22

【解析】由千系工°?故（丁、°且（；/川.

2

故函數(shù)yjlf1的值域?yàn)椋∣4）U（L田），

、3,

7X

【變式9-2］（24-25高一上?上海?假期作業(yè)）已知函數(shù)、=/。），其中〃力=17A.

⑴求f（O），并計算“T）+/（X）的值;

（2）作出該函數(shù)的圖象，并求函數(shù)丁=f（%）的值域.

【分析】⑴直接代入式子計算“0）、f（T）+〃x）即可;

（2）結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)分離常數(shù)法求函數(shù)值域，結(jié)合函數(shù)的單:周性作出f（x）的圖象.

【解析】（1）/（0）=|^|=0,

（2）由（1）如，XeR,/（X）/（x）=O,

所以“力為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，且/（0）=0.

〃"）=「一為增函數(shù)，

2

因?yàn)?、+1>1，所以0<：7—r<2，

2'+1

得函數(shù)〃力=1-七的值域?yàn)?/p>

/（X）的圖象如下圖，

【變式9-3］（24-25高一上?西藏那曲?期末）已知函數(shù)/C）=3T"2\

⑴若求實(shí)數(shù)x的取值范圍；

⑵求/(X)的值域.

【分析】(1)根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可得+2x20,結(jié)合二次不等式運(yùn)算求解即可；

(2)根據(jù)二次函數(shù)分析可知-寸+2X<1，結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)求值域.

【解析】(1)因?yàn)椤╔)=3"+2、1=3°,且)，=3,在定義域R上單調(diào)遞增，

則-/+2%之0,解得0W2,

所以實(shí)數(shù)x的取值范圍為[0,2].

(2)因?yàn)橐?+2%=一(4-1),+1個，當(dāng)且僅當(dāng)x=l時等號成立，

且y=3"在定義域R上單調(diào)遞增，l/(x)=3"包”3=3,

乂因?yàn)?")=3一八2,>(),所以/■㈤的值域?yàn)?0,3].

題型10判斷指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

【典例10](24-25高二下?天津?yàn)I海新?階段練習(xí))函數(shù)/(X)=0.3'JN的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.(-oo,1)B.(1,-KO)C.(0,1)D.(1,2)

【答案】A

【分析】利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得結(jié)果.

【解析】函數(shù)/3)=0.342'中，令，=/_2],則函數(shù)/=/一2工在(-8,1)上單調(diào)遞減，(1,上單調(diào)遞

增，

而函數(shù))=03為減函數(shù)，因此函數(shù)/3)在(—1)上單調(diào)遞增，(1,+00)上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)f(x)=0.3)2的單調(diào)遞增區(qū)間是(YO,1).

故選：A.

方法技巧

判斷形如y=af(x)(a>0,且存1)的函數(shù)的單調(diào)性的方法

利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：令u=f(x),x￡[m,n],復(fù)合的兩個函數(shù)y=au與u=f(x)的單調(diào)性如果相同，

則復(fù)合后的函數(shù)y=a，<x)在[m,n]上是增函數(shù)；如果兩者的單調(diào)性相反(即一增?減)，則復(fù)合函數(shù)丫=2而在

[m,n]上是減函窺.

【變式10-1>(24-25高一下?河北保定?階段練習(xí))函數(shù)/0)=3,4As的單調(diào)遞減區(qū)間是二

【答案】(-8,2)

【分析】利用指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求出減區(qū)間.

【解析】函數(shù)/(X)=3/TT的定義域?yàn)镽，令〃=/一以一5,

函數(shù)〃=x2-敘-5在(-8,2)上單調(diào)遞減，在(2,y)上單調(diào)遞增，

函數(shù)y=3"在R上單調(diào)遞增,因此函數(shù)/("在(-8,2)上單調(diào)遞減,在(2,+8)上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)/3)=3J77的單調(diào)遞減區(qū)間是(YO,2).

故選:(-00,2)

【變式10-2］求F列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

（l）y=a-x2t3xt2（a>0且a^l）；

（2）y=2寸-x?+2x+3.

【分析】本題考查與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題，解^的關(guān)鍵是先確定指數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再求函

數(shù)的單調(diào)區(qū)間，對（1）,要注意對a分類討論；對（2）,要注意其定義域.

【解析】⑴設(shè)U=-X2+3X+2=-（X-|）+*

可知U在（一8,號上是增函數(shù)，在修+oo）上是減函數(shù).

當(dāng)a>l時，y=a。在（一8,上是增函數(shù)，在［；,+s）上是減函數(shù)；

即當(dāng)a>l時，函數(shù)y=a—x?+3x+2的單調(diào)增區(qū)間是（一8,5，減區(qū)間是［|,+，）.

當(dāng)0<a<l時，y=a”在（一8,號上是減函數(shù)，在,，+s）上是增函數(shù).

即當(dāng)0<a<l時，函數(shù)y=a—x?+3x+2的單調(diào)增區(qū)間是［|,+oo）,減區(qū)間是（一8,1）.

（2）V-X2+2X+3>0,X2-2X-3<0,工一10X03.

，函數(shù)的定義域f［-1,3］.

函數(shù)U=-X2+2X+3=-（X-1）2+4,其圖象的對稱軸為直線x=k

，u=-x2+2x+3在［-1,1）上單調(diào)遞增,在口,3］上單調(diào)遞減，

???函數(shù)y=2vzx?+2x+3在［-1,1）上單調(diào)遞增，在［1,3］上單調(diào)遞減，

???函數(shù)y=2、-x2+2x+3的單調(diào)增區(qū)間是［-1,1）,減區(qū)間是［1,3］.

【點(diǎn)撥】一般情況下，兩個函數(shù)都是增函數(shù)或都是減函數(shù)，則其復(fù)合函數(shù)是增函數(shù)；如果兩個函數(shù)是一增一

減，則其復(fù)合函數(shù)是減函數(shù).但一定要注意考慮復(fù)合函數(shù)的定義域.

題型11由指數(shù)型函數(shù)單調(diào)性求參

【典例11］（2025?山東濟(jì)寧?二模）若函數(shù)/（x）曠在［1,十句上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

()

A.a<2B.a>2C.a<\D.a>\

【答案】A

【分析】=是由），=（；）"與”=復(fù)合而成，先分析外層函數(shù)單調(diào)性，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)

性確定內(nèi)層函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而求出。的取值范圍.

【解析】=《嚴(yán)”是由y=（；）"與〃=W—數(shù)復(fù)合而成，

在y=（g）"中，〃=；，，所以y=（；）"在R上單調(diào)遞減.

因?yàn)樵冢?，位）上單調(diào)遞減，且外層函數(shù)），=（》"在R上單調(diào)遞減，

根據(jù)復(fù)合函數(shù)“同增異減”的原則，可知內(nèi)層函數(shù)”=/-必在［1，+8）上單調(diào)遞增.

對于二次函數(shù)9,其圖象開口向上，對稱軸為…標(biāo)=5

二次函數(shù)在對稱軸右側(cè)單調(diào)遞增，要使〃◎在［1,田）上單調(diào)遞增,

則對稱軸需滿足解得。42.

故選:A.

方法技巧

由指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性求參的方法

這類問題其解決方法是換無法，通過換元，將問題轉(zhuǎn)化為外層函數(shù)或內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)性問題，再根據(jù)

“同增異減''列出關(guān)于參數(shù)的方程、不等式（組），解之即得所求.

【變式11-1］（24-25高二下?廣東深圳?期末）若函數(shù)“力=。爾（〃＞0且"1）在區(qū)間（4,6）上單調(diào)遞

減，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍為（）

「3

A.B.-,1

【答案】B

【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求解即可.

【解析】由題意知，函數(shù)），=x/^二5（〃＞0且"1）在（4,6）上單調(diào)遞增,

要使函數(shù)=（穌0且。工1）在（4,6）上單調(diào)遞減,

0<?<13

則,解得產(chǎn)5

4?-3>0

故選:B.

【變式11-21（24-25高一下?云南?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=（a+l嚴(yán)+1（。＞-1且。￥0）在區(qū)間口,內(nèi)）

上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是（）

A.U（0,-K?）B.-g,0v（0,+x）C.（。,+8）

D.［1,+co）

【答案】A

【分析】利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)，結(jié)合分段討論外函數(shù)單調(diào)性，再確定內(nèi)函數(shù)二次函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

【解析】當(dāng)-1＜。＜0時，所以外函數(shù)是單調(diào)遞減的指數(shù)函數(shù)，

此時要使得函數(shù)/（x）=（a+l）d在區(qū)間［1,”）上單調(diào)遞增，

則滿足二次函數(shù)），=0?+1-1在區(qū)間［1，+＜對上單調(diào)遞減，

即滿足對稱軸一hW1，解得-彳,結(jié)合—l<avO,可得一1<?！暌蝗?/p>

2a22

當(dāng)。>0時，所以外函數(shù)是單調(diào)遞增的指數(shù)函數(shù)，

此時要使得函數(shù)/(x)=(a+1)。八1在區(qū)間[1,”)上單調(diào)遞增，

則滿足二次函數(shù))，=爾+x-1在區(qū)間[1,”)上單調(diào)遞增，

即滿足對稱軸-鼠W1,解得結(jié)合。>0,可得a>0；

綜上可得a的取值范圍是-1或a>0,

故選:A.

【變式11-3】(2025?重慶?三模)已知函數(shù)/")=卜：2-22+。，]>0在R上單調(diào)遞減，則。的取值范圍是

e\x<0

()

A.[0,+s)B.[0,1]

c.y,o]D.[0,1)

【答案】B

【分析】利用指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)單調(diào)性及分段函數(shù)單調(diào)性列式求解.

【解析】依題意，函數(shù)尸-/_2外+4在(0,+8)上單調(diào)遞減，則_〃K0,解得420,

又函數(shù)/a)在R上單調(diào)遞減，則。"(0)=1,

所以。的取值范圍是[0』.

故選：B

題型12由指數(shù)(型)函數(shù)值域(最值)求參

【典例12](24-25高一上?內(nèi)蒙古巴彥淖爾?期末)已知/")=#?(。>0且"1)是偶函數(shù).

⑴求機(jī)的值：

⑵若/(“在[o,i]上的最大值比最小值大;，求。的值.

【分析】(1)根據(jù)偶函數(shù)的定義建立方程，根據(jù)方程恒成立得解：

(2)分和。V4V1兩種情況討論，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求最值即可得解.

【解析】(1)若"X)為偶函數(shù)，則f(r)=f(x)恒成立,

所以/一儂=/5，即以-小=3+小恒成立,解得加=0.

故陽的值為().

(2)由(1)可得=J(a>0且awl).

當(dāng)〃>1時，/(力在(0,+8)上單調(diào)遞增，|/(|)_/(O)|=a7=g,解得"去

當(dāng)Ovavl時，/⑺在（0,y）上單調(diào)遞減，|川）一/（0）|=1-4=《，解得。=：.

故。的值為13或