第2章數(shù)列的極限CONTENTS數(shù)列的極限2.1函數(shù)的極限2.2兩個(gè)重要極限2.3函數(shù)的連續(xù)性2.4應(yīng)用示例2.5數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)2.6在中國(guó)古代數(shù)學(xué)史上,樸素的極限思想占有非常重要的地位.許多的哲學(xué)思想中都滲透著“極限思想”的光輝.早在春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期（公元前770—前221年），我國(guó)道家學(xué)派的代表人物莊子，在他的《莊子》“天下篇”中是這樣記載的：一尺長(zhǎng)的木棍，第一天取掉它的一半，還剩下它的二分之一尺，第二天在這剩余的二分之一尺中再取掉一半，還剩下它的四分之一尺……按照這樣的方法一直取下去，木棍的長(zhǎng)度會(huì)越來越小，但是無論剩余的木棍多小，永遠(yuǎn)也分不完，以至于到最后木棍長(zhǎng)度幾乎接近于零，但又永遠(yuǎn)不會(huì)等于零.這就出現(xiàn)了我國(guó)早期的極限思想.當(dāng)然，在道家學(xué)派思想出現(xiàn)以前也曾出現(xiàn)過一些與道家學(xué)派不同的關(guān)于極限思想的觀點(diǎn).如墨家觀點(diǎn)就與莊子的觀點(diǎn)不同，墨家提出一個(gè)“非半”的命題.這個(gè)命題是這樣得出的：將一線段按一半一半地?zé)o限分割下去，必將出現(xiàn)一個(gè)不能再分割的“非半”.這個(gè)“非半”就是點(diǎn).墨家由此提出了有無限分割最后會(huì)達(dá)到一個(gè)“不可分”的思想.這也是早期中國(guó)極限思想的火花.中國(guó)早期的極限思想閱讀與欣賞公元3世紀(jì)，我國(guó)魏晉著名數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立了有名的“割圓術(shù)”，當(dāng)他在注釋《九章算術(shù)》時(shí)，他將極限思想創(chuàng)造性地應(yīng)用到了數(shù)學(xué)領(lǐng)域.下面就割圓術(shù)的具體方法做介紹：將一個(gè)圓周不斷地進(jìn)行分割，圓周分割得越細(xì)，圓內(nèi)接多邊形的邊數(shù)越多，它的內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)就越接近該圓周.按照這種思路不斷地分割下去，一直到該圓周無法再分割為止，當(dāng)分割到了圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限多的時(shí)候.該圓的周長(zhǎng)就與該圓周幾乎重合了.通過這種分割方法，劉徽得到了圓內(nèi)接正3027邊形的面積.通過這個(gè)過程，他求出了我國(guó)最早的圓周率，該圓周率為3.1416，這個(gè)數(shù)值是當(dāng)時(shí)世界上最早也是最準(zhǔn)確的圓周率數(shù)據(jù).后來劉徽把這種思想方法推廣到了更多的有關(guān)圓的計(jì)算中.劉徽的“割圓術(shù)”在人類歷史上首次將極限和無窮小分割引入數(shù)學(xué)證明，成為人類文明史中不朽的篇章.后來我國(guó)數(shù)學(xué)家祖沖之再次用這個(gè)方法把圓周率的值計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后七位.這種對(duì)于某個(gè)值無限接近的思想，就為后來建立極限概念打好了基礎(chǔ).中國(guó)早期的極限思想閱讀與欣賞在中國(guó)數(shù)學(xué)的發(fā)展史上，莊子、墨子、惠施、劉徽等天才數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)研究和成就遠(yuǎn)遠(yuǎn)比不上與他們同時(shí)期的西方數(shù)學(xué)家（如：阿基米德、歐幾里得等數(shù)學(xué)家）.原因在于我國(guó)古代經(jīng)濟(jì)的困頓使得只有很少人來學(xué)習(xí)文化知識(shí)，自然學(xué)數(shù)學(xué)的人也就更少了，數(shù)學(xué)理論研究并沒有受到相應(yīng)的重視.農(nóng)業(yè)社會(huì)的經(jīng)濟(jì)特點(diǎn)限制了古代人們對(duì)自然的探索與對(duì)理論的求索，從而也阻止了數(shù)學(xué)向理性發(fā)展的可能.中國(guó)幾千年的文化，成就了許多思想家、軍事家和文人，其中也不乏能工巧匠，唯獨(dú)缺乏用符號(hào)與算式演繹事物內(nèi)在規(guī)律和關(guān)系的數(shù)學(xué)家.由于中國(guó)古代的數(shù)學(xué)家們看重實(shí)用，因而古代數(shù)學(xué)只用于計(jì)算、測(cè)量等方面，并沒有上升到理論的高度，因而也沒有形成系統(tǒng)的理論體系.中國(guó)古代很多思想止于數(shù)學(xué)大門之外，令人非常惋惜.中國(guó)早期的極限思想閱讀與欣賞2.1數(shù)列的極限2.1.1數(shù)列極限的定義

2.1.1數(shù)列極限的定義定理2.1

（極限的唯一性）收斂數(shù)列{an}的極限是唯一的.定理2.2

（收斂數(shù)列的有界性）如果數(shù)列{xn}收斂，那么數(shù)列{xn}一定有界.推論2.1

有界數(shù)列未必收斂，無界數(shù)列必定發(fā)散.例如，數(shù)列{(－1)n}是有界數(shù)列，但它是發(fā)散的；數(shù)列{2n}

是無界數(shù)列，且它是發(fā)散的.2.1.2收斂數(shù)列的性質(zhì)2.2函數(shù)的極限

2.2.1函數(shù)極限的定義圖2-5

2.2.1函數(shù)極限的定義定義2.3

類似地，如果當(dāng)x→+∞（或x→-∞）時(shí)，函數(shù)f(x)無限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)A，那么A就叫作函數(shù)f(x)當(dāng)x→+∞（或x→-∞）時(shí)的極限，記作2.2.1函數(shù)極限的定義

圖2-62.2.1函數(shù)極限的定義

2.2.1函數(shù)極限的定義

2.2.1函數(shù)極限的定義（1）當(dāng)自變量x小于x0而無限趨近于x0時(shí)，如果函數(shù)f(x)的對(duì)應(yīng)值無限趨近于一個(gè)確定的數(shù)A，那么A就叫作函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時(shí)的左極限，記作（2）類似地，當(dāng)自變量x大于x0而無限趨近于x0時(shí)，如果函數(shù)f(x)的對(duì)應(yīng)值無限趨近于一個(gè)確定的數(shù)A，那么A就叫作函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時(shí)的右極限，記作2.2.1函數(shù)極限的定義不難證明，存在的充分必要條件是和存在且相等，即【例2-3】設(shè)函數(shù)，求，，并由此判斷是否存在.2.2.1函數(shù)極限的定義解即由函數(shù)f(x)在x=1處極限存在的充要條件可知，【例2-4】設(shè)函數(shù)，證明：當(dāng)x→0時(shí)，f(x)的極限不存在.

證明因?yàn)?/p>

，所以不存在.2.2.1函數(shù)極限的定義2.2.2極限的四則運(yùn)算法則

【例2-5】求極限解一般地，若f（x）為多項(xiàng)式函數(shù)，則對(duì)任意x0∈(－∞,+∞）,都有2.2.2極限的四則運(yùn)算法則2.2.2極限的四則運(yùn)算法則一般地,設(shè)P（x），Q（x）都是多項(xiàng)式函數(shù)，則稱P（x）/Q（x）為有理分式函數(shù).有如下結(jié)論：（1）運(yùn)用極限法則時(shí),必須注意只有各項(xiàng)極限都存在（對(duì)商,還要求分母的極限不為零）才能使用極限的四則運(yùn)算法則.（2）若所求極限呈現(xiàn)“0/0”“∞/∞”“∞－∞”等形式不能直接應(yīng)用極限法則,必須先對(duì)原式進(jìn)行恒等變形（約分、通分、有理化、變量代換、分子與分母同除以分子與分母的最高次冪）,然后再利用極限法則求極限.2.2.2極限的四則運(yùn)算法則注意2.2.3無窮小量與無窮大量

（1）無窮小是一個(gè)以零為極限的變量.它表達(dá)的是量的變化狀態(tài),而不是量的大小,一個(gè)量無論多么小都不是無窮小,零是唯一可看成無窮小的常數(shù).（2）無窮小與自變量的變化趨勢(shì)有關(guān).稱一個(gè)函數(shù)是無窮小,必須明確指出自變量的變化趨勢(shì),因?yàn)閷?duì)于同一個(gè)函數(shù),在自變量的不同變化趨勢(shì)下,其極限值不同.注意

2.2.3無窮小量與無窮大量2.2.3無窮小量與無窮大量2）無窮小的性質(zhì)性質(zhì)2.1

有限個(gè)無窮小的代數(shù)和仍為無窮小.性質(zhì)2.2

有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小推論2.4

常數(shù)與無窮小的乘積也是無窮小.推論2.5

有限個(gè)無窮小的乘積仍是無窮小.【例2-8】求解【例2-9】

計(jì)算解此例說明無窮多個(gè)無窮小之和不一定是無窮小.2.2.3無窮小量與無窮大量2.2.3無窮小量與無窮大量3）無窮小量階的比較無窮小量雖然都是趨近于零的變量，但不同的無窮小趨近于零的速度卻不一定相同，有時(shí)可能相差很大.觀察兩個(gè)無窮小比值的極限：在x→0的過程中，x2→0比x→0“快些”，而sinx→0與x→0“快慢相仿”.由此，我們定義如下：2.2.3無窮小量與無窮大量2.2.3無窮小量與無窮大量

2.2.3無窮小量與無窮大量在求極限的過程中，一個(gè)無窮小量可以用與其等價(jià)的無窮小量代替，但只能代替乘積中的項(xiàng)，不能代替和差中的項(xiàng).注意2.2.3無窮小量與無窮大量

2.2.3無窮小量與無窮大量2.3兩個(gè)重要極限

2.3.1第一個(gè)重要極限x/rad-1.0-0.7-0.3-0.01…→0←…0.010.30.71.00.841470.920310.985070.99998…→1←…0.999980.985070.920310.841472.3.1第一個(gè)重要極限

【例2-13】求解【例2-14】求解【例2-15】求解2.3.1第一個(gè)重要極限2.3.2第2個(gè)重要極限

x-1000000-1000-10110100001000000…2.718282.718402.8679722.593742.718152.71828…

2.3.2第2個(gè)重要極限

2.3.2第2個(gè)重要極限【例2-16】求

.

解【例2-17】求

.

解【例2-15】求

.

解例2.4函數(shù)的連續(xù)性2.4.1函數(shù)連續(xù)性的概念

2.4.1函數(shù)連續(xù)性的概念

2.4.1函數(shù)連續(xù)性的概念

2.4.1函數(shù)連續(xù)性的概念

2.4.1函數(shù)連續(xù)性的概念

例2.4.1函數(shù)連續(xù)性的概念例

2.4.2函數(shù)的間斷點(diǎn)

2.4.2函數(shù)的間斷點(diǎn)

2.4.2函數(shù)的間斷點(diǎn)

2.4.2函數(shù)的間斷點(diǎn)

2.4.3閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

2.4.3閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

2.4.3閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

2.4.3閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

2.5應(yīng)用示例——城市垃圾的處理問題根據(jù)某城市某一年年末的統(tǒng)計(jì)資料顯示，到該年年末，該城市已堆積垃圾達(dá)到100萬噸.根據(jù)預(yù)測(cè)，從該年起該城市還將以每年5萬噸的速度產(chǎn)生新的垃圾.如果從第二年起該城市每年處理上一年堆積垃圾的20%，那么長(zhǎng)此以往，該城市的垃圾能否被全部處理完成？2.5.1問題提出

2.5.2解答過程2.6數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)二使用MATLAB求極限2.6.1實(shí)驗(yàn)任務(wù)學(xué)習(xí)利用數(shù)學(xué)軟件MATLAB求極限.2.6.2實(shí)驗(yàn)過程1.相關(guān)命令MATLAB中有關(guān)求函數(shù)極限的命令如下表所示.2.6數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)二命令說明limit（fun,x,-inf）limit（fun,x,inf）limit（fun,x,a）limit（fun,x,a,′right′）limit（fun,x,a,′left′）解（1）運(yùn)行MATLAB，在命令行窗口中輸入：>>symsx%定義符號(hào)變量>>limit（atan（x）/x,x,0）%求函數(shù)在x→0時(shí)的極限按Enter鍵，即可計(jì)算出如下結(jié)果：ans=1即2.6數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)2.操作實(shí)例操作實(shí)例1利用MATLAB求下列極限：（2）在命令行窗口中輸入：>>symsx%定義符號(hào)變量>>limit（（（x+1）/（x-1））^x,x,inf）%求函數(shù)在x→∞時(shí)的極限按Enter鍵，即可計(jì)算出如下結(jié)果：ans=exp（2）即2.6數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)（3）在命令行窗口中輸入：>>symsx%定義符號(hào)變量>>limit（（exp（x）-1）/x,x,0）%求函數(shù)在x→0時(shí)的極限，按Enter鍵，即可計(jì)算出如下結(jié)果：ans=1即操作實(shí)例2利用MATLAB判斷下列函數(shù)的極限是否存在：解

（1）運(yùn)行MATLAB，在命令行窗口中輸入：>>symsx

%定義符號(hào)變量>>limit（（x^3-1）/（x-1）,x,1）%求函數(shù)在x→1時(shí)的極限按Enter鍵，即可計(jì)算出如下結(jié)果：ans=3即2.6數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)（2）在命令行窗口中輸入：>>symsx

%定義符號(hào)變量>>f1=limit（