第07講函數(shù)的基本性質(zhì)題型梳理題型梳理易錯(cuò)分析易錯(cuò)點(diǎn)一復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間判斷錯(cuò)誤易錯(cuò)點(diǎn)二忽略定義域的影響直接應(yīng)用性質(zhì)題型方法題型一判斷函數(shù)的單調(diào)性（區(qū)間）題型二已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)題型三利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式題型四求函數(shù)的最值題型五比較大小題型六判斷函數(shù)的奇偶性題型七函數(shù)奇偶性的應(yīng)用題型八函數(shù)的周期性與對(duì)稱性知識(shí)清單知識(shí)清單一．函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，區(qū)間I?D，如果?x1，x2∈I當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞減圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的(2)單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間I叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．二．函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镈，如果存在實(shí)數(shù)M滿足條件(1)?x∈D，都有f(x)≤M；(2)?x0∈D，使得f(x0)＝M(1)?x∈D，都有f(x)≥M；(2)?x0∈D，使得f(x0)＝M結(jié)論M為f(x)的最大值M為f(x)的最小值常用結(jié)論1．?x1，x2∈I且x1≠x2，有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)?f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增(減)．2．在公共定義域內(nèi)，增函數(shù)＋增函數(shù)＝增函數(shù)，減函數(shù)＋減函數(shù)＝減函數(shù)．3．函數(shù)y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定義域內(nèi)與y＝－f(x)，y＝eq\f(1,fx)的單調(diào)性相反．4．復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：同增異減．三．函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果?x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱奇函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果?x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱四.周期性(1)周期函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得對(duì)每一個(gè)x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函數(shù)y＝f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期．(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期．常用結(jié)論1．奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性．2．函數(shù)周期性常用結(jié)論對(duì)f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝eq\f(1,fx)，則T＝2a(a>0)．五．奇函數(shù)、偶函數(shù)的對(duì)稱性(1)奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱．(2)若f(x－2)是偶函數(shù)，則函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱軸為x＝－2；若f(x－2)是奇函數(shù)，則函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱中心為(－2,0)．六．若函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱，則f(a－x)＝f(a＋x)；若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a－x)＝－f(a＋x)，則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱．七．兩個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱(1)函數(shù)y＝f(x)與y＝f(－x)關(guān)于y軸對(duì)稱；(2)函數(shù)y＝f(x)與y＝－f(x)關(guān)于x軸對(duì)稱；(3)函數(shù)y＝f(x)與y＝－f(－x)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．易錯(cuò)分析易錯(cuò)分析【易錯(cuò)點(diǎn)一】復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間判斷錯(cuò)誤【例1】（2025·江西·一模）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先求函數(shù)的定義域，再利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】由且，得，即或，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又函數(shù)為增函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又函數(shù)為增函數(shù)，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：B.【舉一反三】【變式1】（2020·全國·模擬預(yù)測）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)真數(shù)大于零，可得函數(shù)的定義域；結(jié)合復(fù)合函數(shù)“同增異減”的原則，可確定函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】由得，所以函數(shù)的定義域?yàn)榱?，則是單調(diào)遞減函數(shù)又，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的定義域，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.【變式2】（2021·內(nèi)蒙古包頭·一模）設(shè)函數(shù)，則（

）A．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 B．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減C．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 D．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減【答案】C【分析】首先確定定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又有，可知為偶函數(shù)；利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定方法可確定時(shí)，單調(diào)遞減，由對(duì)稱性可知時(shí)，單調(diào)遞增，由此得到結(jié)果.【詳解】由得：，定義域?yàn)?；又，為定義域內(nèi)的偶函數(shù)，可排除BD；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可排除A；為偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，C正確.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題對(duì)于函數(shù)單調(diào)性的判斷的關(guān)鍵是能夠根據(jù)的范圍得到的解析式，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷，即“同增異減”的方法確定函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性.【變式3】（2021·上海浦東新·三模）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.【答案】(或都對(duì))【解析】利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，同增異減，即可得到答案；【詳解】令，則，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得：在單調(diào)遞減，故答案為：.【易錯(cuò)點(diǎn)二】忽略定義域的影響直接應(yīng)用性質(zhì)【例2】（2025·河南·三模）已知為定義在上的奇函數(shù)，若在上單調(diào)遞減，則滿足不等式的實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得在上單調(diào)遞減，再根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)將化為，結(jié)合定義域利用單調(diào)性得，解不等式組即可解答.【詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，則可化為．又在上單調(diào)遞減且是定義在上的奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減．則，解得或，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是．故選：C【舉一反三】【變式1】（2023·內(nèi)蒙古·模擬預(yù)測）已知是定義在上的增函數(shù)，且的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將所求不等式化為，可令，根據(jù)奇函數(shù)定義和單調(diào)性性質(zhì)可確定為奇函數(shù)且在上單調(diào)遞增，由定義域、奇偶性和單調(diào)性可構(gòu)造不等式組求得結(jié)果.【詳解】由得：，令，則；關(guān)于對(duì)稱，，，為定義在上的奇函數(shù)；又為上的增函數(shù)，為增函數(shù)，在上單調(diào)遞增，則由得：，，解得：，即的解集為.故選：D.【變式2】（2023·全國·模擬預(yù)測）定義在上的函數(shù)滿足，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，，則，由奇偶函數(shù)的定義得出在上是奇函數(shù)，由得出在上是增函數(shù)，再將轉(zhuǎn)化為，由為增函數(shù)，定義域?yàn)?，列出不等式，求解即可．【詳解】設(shè)，，則，因?yàn)樗栽谏鲜瞧婧瘮?shù)，因?yàn)椋栽谏鲜窃龊瘮?shù)，因?yàn)椋?，即，由在上是增函?shù)得，，解得，故選：D．【變式3】（2023·山東棗莊·模擬預(yù)測）已知函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，且，則的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，且，∴，解得．故答案為：題型方法題型方法【題型一】判斷函數(shù)的單調(diào)性（區(qū)間）【例1】（2023·海南?？凇つM預(yù)測）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B．和C． D．和【答案】B【分析】將絕對(duì)值函數(shù)轉(zhuǎn)化成分段函數(shù)，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可求【詳解】，則由二次函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，故的單調(diào)遞減區(qū)間是和.故選：B解題技巧確定函數(shù)單調(diào)性的四種方法(1)定義法；(2)導(dǎo)數(shù)法；(3)圖象法；(4)性質(zhì)法．【舉一反三】【變式1】（2022·江西·二模）已知函數(shù)若，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)題目條件求出的值，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出的單調(diào)遞增區(qū)間【詳解】解：依題意，解得a＝－1，故，可知在上單調(diào)遞增故選：D【變式2】（2023·海南?？凇ざ＃┮阎己瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是．【答案】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱性結(jié)合圖象平移分析求解.【詳解】因?yàn)榕己瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，則函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象向右平移2個(gè)單位長度得到，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是．故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的性質(zhì)，要求學(xué)生了解函數(shù)圖象的平移與單調(diào)性和奇偶性的綜合關(guān)系．【變式3】（2022·全國·三模）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為．【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)區(qū)間，從而可求出函數(shù)的減區(qū)間【詳解】當(dāng)時(shí)，，則其在上遞減，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，綜上，的單調(diào)遞減區(qū)間為，故答案為：【題型二】已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)【例2】（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，判斷列式計(jì)算作答.【詳解】函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則有函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，解得，所以的取值范圍是.故選：D解題技巧利用單調(diào)性求參數(shù)的取值(范圍)．根據(jù)其單調(diào)性直接構(gòu)建參數(shù)滿足的方程(組)(不等式(組))或先得到其圖象的升降，再結(jié)合圖象求解．對(duì)于分段函數(shù)，要注意銜接點(diǎn)的取值．【舉一反三】【變式1】（2025·江蘇南通·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)即可得到不等式組，解出即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，其在上單調(diào)遞增，若在單調(diào)遞增，，所以.故選：D．【變式2】（2023·山東·模擬預(yù)測）若函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，且在上是減函數(shù)，則．【答案】【分析】因函數(shù)圖像過，且在上是減函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，，可得.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，且在上是減函數(shù)，所以，且，得或（舍去）．故答案為：．【變式3】（2024·湖南邵陽·二模）已知，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)題意，將原不等式分離參數(shù)，然后換元，由函數(shù)的單調(diào)性可得最值，即可得到結(jié)果.【詳解】原不等式等價(jià)于，令.令，且，則在上單調(diào)遞減，.故的范圍是.故答案為：【題型三】利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式【例3】（2025·江蘇南通·模擬預(yù)測）已知函數(shù)若對(duì)于任意，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)的解析式，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得：等價(jià)于且，從而可知不等式在,上恒成立，然后根據(jù)基本不等式求最值，算出的最小值為，進(jìn)而可得實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】對(duì)于，函數(shù)在上為常數(shù)1，在處連續(xù)，且在上為增函數(shù)，因此等價(jià)于，對(duì)任意恒成立，由①可知，，結(jié)合②可得，而，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，結(jié)合，可知在,上為增函數(shù)，可得，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：C．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題是含參數(shù)的不等式恒成立問題；解決此類問題的思路是轉(zhuǎn)化為最值問題，即f(x)＜a恒成立?a＞f(x)max，f(x)＞a恒成立?a＜f(x)min.解題技巧求解函數(shù)不等式時(shí)，由條件脫去“f”，轉(zhuǎn)化為自變量間的大小關(guān)系，應(yīng)注意函數(shù)的定義域．【舉一反三】【變式1】（2025·甘肅·模擬預(yù)測）已知函數(shù)則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分，兩種情況，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，即有，，因?yàn)椋趨^(qū)間上均為單調(diào)遞增函數(shù)，所以在區(qū)間上也為單調(diào)遞增函數(shù)，因?yàn)闀r(shí)，，所以的解為，當(dāng)時(shí)，即有，，因?yàn)?，在區(qū)間上均為單調(diào)遞減函數(shù)，所以在區(qū)間上也為單調(diào)遞減函數(shù)，因?yàn)闀r(shí)，，所以的解為，綜上，不等式的解集為.故選：D【變式2】（2025·河北秦皇島·三模）已知函數(shù)滿足對(duì)都有成立．當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為．【答案】【分析】根據(jù)得到函數(shù)是上的奇函數(shù)，繼而求出時(shí)，的解析式并判斷在上的單調(diào)性，利用奇函數(shù)和單調(diào)性結(jié)合分段函數(shù)可得兩個(gè)不等式組，求解即得.【詳解】因?yàn)閷?duì)都有，所以是上的奇函數(shù)，又時(shí)，，顯然在上單調(diào)遞增，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則，即；由，可得，故得，則有或，即或，解得：，所以不等式的解集為.故答案為：.【變式3】（2023·山東·模擬預(yù)測）若函數(shù)在上是增函數(shù)，且，求的取值范圍．【答案】【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性，直接列出不等式方程組，然后計(jì)算求解.【詳解】函數(shù)在上是增函數(shù)，且，，解得或，的取值范圍是．【題型四】求函數(shù)的最值【例4】（2025·上?！じ呖颊骖}）已知，C在上，則的面積（

）A．有最大值，但沒有最小值 B．沒有最大值，但有最小值C．既有最大值，也有最小值 D．既沒有最大值，也沒有最小值【答案】A【分析】設(shè)出曲線上一點(diǎn)為，得出，將三角形的高轉(zhuǎn)化成關(guān)于的函數(shù),分析其單調(diào)性，從而求解.【詳解】設(shè)曲線上一點(diǎn)為，則，則，，方程為：，即，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，到的距離為：，設(shè)，由于，顯然關(guān)于單調(diào)遞減，，無最小值，即中，邊上的高有最大值，無最小值，又一定，故面積有最大值，無最小值.故選：A【舉一反三】【變式1】（2025·湖南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則“，”是“在上的最小值為2”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)充分、必要條件的判斷方法，結(jié)合函數(shù)最小值的概念進(jìn)行判斷.【詳解】先判斷充分性：若函數(shù)在的最小值為3，則“，”成立，但“在上的最小值為2”不成立，所以“，”不是“在上的最小值為2”的充分條件.再判斷必要性：“在上的最小值為2”時(shí)，可得“，”成立，所以“，”是“在上的最小值為2”的必要條件.綜上：“，”是“在上的最小值為2”的必要不充分條件.故選：B【變式2】（2025·甘肅·二模）已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為．【答案】#【分析】考慮每個(gè)選項(xiàng)和圓的關(guān)系，考慮每個(gè)選項(xiàng)的幾何意義即可求解【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，則的最小值為.故答案為：【變式3】（2025·浙江嘉興·三模）已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值.【答案】(1)(2).【分析】（1）先求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義知即為在處的切線方程的斜率，再利用直線的點(diǎn)斜式即可寫出切線方程；（2）求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，得到在區(qū)間上的單調(diào)性，可知最大值只能是或，利用作差法比較二者的大小即可得出答案.【詳解】（1）由題意可得，所以，又，由直線的點(diǎn)斜式方程可得在處的切線方程為，即；（2）因?yàn)榈亩x域?yàn)?，令，得或，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，所以在區(qū)間的最大值為.【題型五】比較大小【例5】（2023·全國甲卷·高考真題）已知函數(shù)．記，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用作差法比較自變量的大小，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.【詳解】令，則開口向下，對(duì)稱軸為，因?yàn)?，而，所以，即由二次函?shù)性質(zhì)知，因?yàn)椋?，即，所以，綜上，，又為增函數(shù)，故，即.故選：A.解題技巧比較函數(shù)值的大小時(shí)，先轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性解決．【舉一反三】【變式1】（2025·安徽合肥·模擬預(yù)測）已知，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)得出單調(diào)性即可得出，構(gòu)造，由導(dǎo)數(shù)得出單調(diào)性，即可得出．【詳解】構(gòu)造函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，所以，構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)在單調(diào)遞增，所以，即，所以.故選：B．【變式2】（2025·湖北黃岡·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)可得為R上的增函數(shù)，利用單調(diào)性比較大小即可.【詳解】由，得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，而，，即在R上單調(diào)遞增，，，即.故選：A.【變式3】（2025·甘肅金昌·模擬預(yù)測）已知，，，，則，，的大小關(guān)系為.（均用“>”連接）【答案】【分析】根據(jù)的奇偶性以及周期性，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可判斷，進(jìn)而根據(jù)單調(diào)性進(jìn)一步判斷，，即可求解.【詳解】易知為偶函數(shù)，周期為4，當(dāng)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減，且，當(dāng)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減，且，，，，所以；又，所以，又，所以，故.故答案為：【題型六】判斷函數(shù)的奇偶性【例6】（2025·江西·模擬預(yù)測）函數(shù)是（

）A．奇函數(shù)，且最大值為5 B．奇函數(shù)，且最小值為C．偶函數(shù)，且最大值為5 D．偶函數(shù)，且最小值為【答案】C【分析】根據(jù)奇偶性的定義先判斷奇偶性，利用二倍角的余弦公式得，利用換元法即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以是偶函?shù)，故AB錯(cuò)誤；又因?yàn)?，令（），，則在上單調(diào)遞減，，故選：C.解題技巧判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個(gè)必備條件(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，否則即為非奇非偶函數(shù)．(2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關(guān)系，在判斷奇偶性的運(yùn)算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價(jià)等量關(guān)系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函數(shù))或f(x)－f(－x)＝0(偶函數(shù)))是否成立．【舉一反三】【變式1】（2025·河南許昌·三模）下列函數(shù)中，值域?yàn)榍覟槠婧瘮?shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)奇偶性的定義，判斷各函數(shù)的奇偶性，再判斷值域即可.【詳解】對(duì)于函數(shù)，定義域?yàn)?，而，∴該函?shù)不是奇函數(shù).故A錯(cuò)誤.對(duì)于函數(shù)，定義域?yàn)?，，∴該函?shù)是偶函數(shù)，不是奇函數(shù).故B錯(cuò)誤.對(duì)于函數(shù)，定義域?yàn)?，，∴該函?shù)是奇函數(shù).對(duì)于值域，其值域?yàn)?，不?故C錯(cuò)誤.對(duì)于函數(shù)，定義域?yàn)?，，∴該函?shù)是奇函數(shù).當(dāng)趨于正無窮時(shí)，趨于正無窮；當(dāng)趨于負(fù)無窮時(shí)，趨于負(fù)無窮；并且函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的，值域?yàn)?故D正確.故選:D.【變式2】（2025·山東濟(jì)寧·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則下列是奇函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】分別求得定義域，由定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可判斷AC；BD定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，進(jìn)而令，利用奇函數(shù)的定義計(jì)算可判斷B，令，利用奇函數(shù)的定義計(jì)算可判斷D.【詳解】因?yàn)椋瑢?duì)于A，，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以不是奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，所以，則，令，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，所以B正確；對(duì)于C，，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以不是奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，所以，則，令，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，所以不是奇函數(shù)，所以D不正確；故選：B.【變式3】（多選）（2022·福建寧德·模擬預(yù)測）下列既是奇函數(shù)，又是增函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性可排除BC，利用觀察法分析AD兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性可得答案.【詳解】對(duì)A：因?yàn)?，所以函?shù)為奇函數(shù).且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，在上也是單調(diào)遞增，所以在上為增函數(shù)，故A正確.對(duì)B：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋院瘮?shù)非奇非偶，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：因?yàn)椋院瘮?shù)一定不是奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：應(yīng)為，所以，所以為奇函數(shù)，且隨的增大而增大，隨的增大而減小，所以隨著的增大，的值在增大，即在上為增函數(shù)，故D正確.故選：AD【題型七】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用【例7】（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）若為偶函數(shù)，則（

）．A． B．0 C． D．1【答案】B【分析】根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)，利用特殊值法求出值，再檢驗(yàn)即可.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，則，解得，當(dāng)時(shí)，，，解得或，則其定義域?yàn)榛?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.，故此時(shí)為偶函數(shù).故選：B.解題技巧(1)利用函數(shù)的奇偶性可求函數(shù)值或求參數(shù)的取值，求解的關(guān)鍵在于借助奇偶性轉(zhuǎn)化為求已知區(qū)間上的函數(shù)或得到參數(shù)的恒等式，利用方程思想求參數(shù)的值．(2)利用函數(shù)的奇偶性可畫出函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間上的圖象，結(jié)合幾何直觀求解相關(guān)問題．【舉一反三】【變式1】（2025·河南·模擬預(yù)測）已知是定義在上的奇函數(shù)，且對(duì)任意，都有，則（

）A．2 B．1 C．0 D．【答案】C【分析】通過賦值法結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】令，則，因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，則.故選：C.【變式2】（2025·安徽合肥·模擬預(yù)測）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】【分析】分和討論，當(dāng)時(shí)，分的取值化簡，利用奇偶性畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合解不等式可得.【詳解】時(shí)，顯然符合；時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．畫出其圖象，由于函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，即可畫出時(shí)的圖象，與時(shí)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．，由圖象可知．解得，實(shí)數(shù)的取值范圍為．故答案為：．【變式3】（2023·陜西咸陽·模擬預(yù)測）求下列情況下的值(1)若函數(shù)是偶函數(shù),求的值．(2)已知是奇函數(shù),且當(dāng)時(shí),,若,求的值．【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)偶函數(shù)定義,代入化簡即可得的值;(2)根據(jù)奇函數(shù)定義,先求出的解析式,再將代入,即可得的值.【詳解】（1）因?yàn)?故,因?yàn)闉榕己瘮?shù),故,所以,整理得到,故;（2）因?yàn)槭瞧婧瘮?shù),且當(dāng)時(shí),,因?yàn)?,所以,化簡可得,解得:.【題型八】函數(shù)的周期性與對(duì)稱性【例8】（2025·全國一卷·高考真題）設(shè)是定義在上且周期為2的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)周期性和奇偶性把待求自變量轉(zhuǎn)化為的范圍中求解.【詳解】由題知對(duì)一切成立，于是.故選：A解題技巧周期性(1)求解與函數(shù)的周期有關(guān)的問題，應(yīng)根據(jù)題目特征及周期定義，求出函數(shù)的周期．(2)利用函數(shù)的周期性，可將其他區(qū)間上的求值、求零點(diǎn)個(gè)數(shù)、求解析式等問題，轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，進(jìn)而解決問題．函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱?f(x)＝f(2a－x)?f(a－x)＝f(a＋x)；若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(a＋b,2)成軸對(duì)稱．函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)對(duì)稱?f(a＋x)＋f(a－x)＝2b?2b－f(x)＝f(2a－x)；若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，則y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)，\f(c,2)))成中心對(duì)稱．函數(shù)y＝f(a＋x)的圖象與函數(shù)y＝f(b－x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(b－a,2)對(duì)稱．【舉一反三】【變式1】（2025·四川成都·模擬預(yù)測）已知是定義在上的函數(shù)，則“其圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】利用函數(shù)對(duì)稱性的定義、奇偶性的定義結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形，且函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t，即，設(shè)，則函數(shù)的定義域?yàn)?，則，即函數(shù)為奇函數(shù)，因此，“的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的充要條件.故選：C.【變式2】（2025·江蘇·三模）已知函數(shù)滿足，且，則方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為．【答案】【分析】首先可得的周期為，方程的解，即為與的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，畫出與的圖象，數(shù)形結(jié)合即可判斷.【詳解】由函數(shù)滿足，則，所以的周期為，由，則，可得的圖象如圖，方程的解，即為與的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，且當(dāng)時(shí)，由圖可知兩圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)為，即方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為.故答案為：【變式3】（2025·陜西西安·二模）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)設(shè)函數(shù)．（ⅰ）求的值；（ⅱ）證明：存在實(shí)數(shù)，使得曲線關(guān)于直線對(duì)稱．【答案】(1)答案見解析(2)（i）；（ii）證明見解析【分析】（1）求出，求導(dǎo)，，分和兩種情況討論函數(shù)的單調(diào)性，即可求解；（2）（?。┣蟪觯苯佑?jì)算，即可得結(jié)果；（ⅱ）根據(jù)的定義域，推斷函數(shù)的對(duì)稱軸為，驗(yàn)證即可.【詳解】（1）由題意可知，則的定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，在區(qū)間上恒成立，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令，即，解得，若，，若，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）（i）函數(shù)，則，，故．（ii）函數(shù)的定義域?yàn)椋舸嬖?，使得曲線關(guān)于直線對(duì)稱，則關(guān)于直線對(duì)稱，所以，又．可知曲線關(guān)于直線對(duì)稱好題必刷好題必刷一、單選題1．（2024·天津·高考真題）下列函數(shù)是偶函數(shù)的為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)偶函數(shù)的判定方法一一判斷即可.【詳解】對(duì)A，設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)?，但，，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)?，且，則為偶函數(shù)，故B正確；對(duì)C，設(shè)，，，則不是偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)?，因?yàn)?，且不恒?，則不是偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：B.2．（2025·湖北·模擬預(yù)測）已知函數(shù)是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A．0 B．1 C． D．2【答案】A【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義及對(duì)數(shù)運(yùn)算即可求解．【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以恒成立，所以，故選：A．3．（2025·浙江金華·三模）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】利用導(dǎo)數(shù)值恒大于或等于0，再利用分離參變量思想即可求解.【詳解】求導(dǎo)得，要滿足函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，即，因?yàn)?，所以，即，故選：B.4．（2025·云南·一模）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.若對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)相切時(shí)，即可根據(jù)圖象求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的恒成立，令所以，令，則,故當(dāng)時(shí)，直線與相切，此時(shí)對(duì)任意的恒成立，結(jié)合圖象以及是偶函數(shù)，可知的圖象往右平移即可滿足對(duì)任意的恒成立，所以，故選：C5．（2025·貴州畢節(jié)·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心在直線上，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可得，令，可證函數(shù)是奇函數(shù)，進(jìn)而可得關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求的最小值.【詳解】由，可得，令，函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，所以函數(shù)是奇函數(shù)，所以函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)榈膶?duì)稱中心在直線上，所以，所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：C.二、多選題6．（2025·青海海東·三模）定義在上的函數(shù)滿足，，則（

）A． B．C． D．2為的一個(gè)周期【答案】ACD【分析】根據(jù)給定條件求得函數(shù)的周期，再逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對(duì)于D，由，得，則2為的一個(gè)周期，D正確；對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，C正確.故選：ACD7．（2025·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知函數(shù)（

）A．是偶函數(shù) B．最大值為C．最小值為 D．在有兩個(gè)零點(diǎn)【答案】ABC【分析】利用奇偶性的定義，即可判斷A選項(xiàng)；分，，三種情況論可求得函數(shù)的值域判斷CD，結(jié)合前面分類討論和作出示意圖可判斷D．【詳解】對(duì)于A，，是偶函數(shù)，故A正確；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，所以，所以，?dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，所以，所以，，又時(shí)，，因?yàn)?，所以，所以，所以，又時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，是以為周期的周期函數(shù)，又是偶函數(shù)，所以函數(shù)的值域?yàn)?，故BC正確；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，所以，所以，?dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，得，所以時(shí)，，作出函數(shù)在的圖象的示意如圖所示，故函數(shù)在有沒有零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.8．（2025·重慶·三模）已知函數(shù)對(duì)任意的都有，，且當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．在上單調(diào)遞減C．關(guān)于x的不等式的解集是D．【答案】ACD【分析】對(duì)于A，結(jié)合，利用賦值法依次求出即可判斷；對(duì)于B，通過選項(xiàng)A中的函數(shù)值的規(guī)律即可判斷；對(duì)于C，運(yùn)用定義法證明函數(shù)在上的單調(diào)性，將代入后，運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性將其化成一元二次不等式求解即得；對(duì)于D，令，代入已知式，根據(jù)遞推性質(zhì)即可證明結(jié)論.【詳解】對(duì)于A，在中，，取，可得，解得，再取，可得，再取，可得，故A正確；對(duì)于B，由A項(xiàng)可知，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，不妨設(shè)，則，設(shè)，則，因當(dāng)時(shí)，，則有，由可得，即函數(shù)在上是增函數(shù).取易得，則，故等價(jià)于，故得，解得或，故不等式的解集是，故C正確；對(duì)于D，將都取為，則得，故，故D正確.故選：ACD.三、填空題9．（2025·江西宜春·一模）已知函數(shù)在上的最小值是1，則.【答案】/【分析】分三類，，，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷的單調(diào)性，即可求出最小值.【詳解】若，則，在上單調(diào)遞增，最小值為，不符合題意；若，則的定義域?yàn)?，且由?fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知在上單調(diào)遞增，則最小值為，解得，不符合題意；若，則的定義域?yàn)椋深}意可得，則，此時(shí)由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知在上單調(diào)遞增，則最小值為，解得，符合題意；綜上，.故答案為：10．（2025·江西·二模）已知函數(shù)，則不等式的解集是.【答案】【分析】根據(jù)解析式判斷函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，再應(yīng)用單調(diào)性和奇偶性解不等式即可.【詳解】由，在R上都單調(diào)遞減，且都是奇函數(shù)，所以是單調(diào)遞減的奇函數(shù)，故，則，即，所以不等式的解集為.故答案為：11．（2025·湖南·三模）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，當(dāng)時(shí)，，則的值為．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)換為，代入求值即可.【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以．故答案為?四、解答題12．（2025·遼寧·