1/22026年高考第一次模擬考試數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘，分值：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（熱點(diǎn)）已知全集為，若，則（

）A． B． C． D．2．若復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，則（

）A．5 B． C．3 D．3．已知，則（）A． B． C． D．4．設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)的和為，，，則（

）A． B． C． D．5．已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，且周長(zhǎng)為16，則的取值范圍為（）A．（8，12） B．（8，16） C．（4，6） D．（4，8）6．已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．7．在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是側(cè)面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足平面，則線段長(zhǎng)度的最大值為（

）A． B． C． D．8．（熱點(diǎn)）若定義在上的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，且滿足：①為奇函數(shù)；②對(duì)任意的，都有，則稱函數(shù)具有性質(zhì).已知函數(shù)具有性質(zhì)，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．關(guān)于函數(shù)，正確的命題是（

）A．的最小正周期為 B．的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱C．的最大值為 D．在上單調(diào)遞增10．若，且，則（

）A． B．展開(kāi)式中的系數(shù)最大C． D．11．（改編題）已知橢圓的方程是，為橢圓上任意一點(diǎn)，，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且斜率不為0的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為8，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．存在點(diǎn)，使得的面積為1C．橢圓上存在6個(gè)不同的點(diǎn)，使得為直角三角形D．內(nèi)切圓半徑的最大值與外接圓半徑的最小值的比值為第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知隨機(jī)變量，正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為．13．甲、乙兩位同學(xué)從7部電影中各自隨機(jī)選看2部，兩人選擇獨(dú)立互不影響，則兩人選看的電影中，最多有1部相同的選法共有種.14．已知正四面體的棱長(zhǎng)為，則正四面體的內(nèi)切球的半徑為，若點(diǎn)是該內(nèi)切球面上的一動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15．（13分）在中，角所對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別為，且滿足．(1)求角的值；(2)若外接圓的直徑等于4，求面積的最大值．16．（15分）如圖，在三棱錐中，底面ABC，.點(diǎn)D，E，N分別為棱PA，PC，BC的中點(diǎn)，M是線段AD的中點(diǎn)，(1)求證：平面BDE；(2)求二面角的正弦值；(3)已知點(diǎn)H在棱PA上，且直線NH與直線BE所成角的余弦值為，求線段AH的長(zhǎng).17．（15分）小芳、小明兩人各拿兩顆質(zhì)地均勻的骰子（點(diǎn)數(shù)為1，2，3，4，5，6）玩游戲，游戲規(guī)則如下：每次由1人投擲手中的兩顆骰子，在一次投擲后，若擲出的點(diǎn)數(shù)之和為4的倍數(shù)，則由原來(lái)投擲人繼續(xù)投擲；若擲出的點(diǎn)數(shù)之和不是4的倍數(shù)，則由對(duì)方接著投擲．(1)求小明在一次投擲后，擲出的點(diǎn)數(shù)之和是4的倍數(shù)的概率；(2)規(guī)定第一次從小明開(kāi)始，（?。┣笄?次投擲中，小明恰好投擲2次的概率；（ⅱ）在游戲的前4次投擲中，設(shè)小芳投擲的次數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列和均值；(3)若第一次從小芳開(kāi)始，求第次由小芳投擲的概率．18．（17分）已知雙曲線的離心率為，實(shí)軸長(zhǎng)為2．(1)求C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（ⅰ）若面積為，求；（ⅱ）已知是C的左焦點(diǎn)，直線交C于異于A的點(diǎn)P，直線交C于異于B的點(diǎn)Q，試證明：直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．19．（17分）已知區(qū)間，函數(shù)的定義域?yàn)?，若函?shù)滿足：對(duì)任意，均有，則稱函數(shù)為壓縮函數(shù).(1)判斷函數(shù)，，是否為壓縮函數(shù)?并說(shuō)明理由；(2)若函數(shù)，為壓縮函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)已知函數(shù)，為壓縮函數(shù)，求證：，為單調(diào)函數(shù)的充要條件是：對(duì)任意，均有.

2026年高考第一次模擬考試數(shù)學(xué)·全解全析（考試時(shí)間：120分鐘，分值：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（熱點(diǎn)）已知全集為，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，則，所以.故選：A.2．若復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，則（

）A．5 B． C．3 D．【答案】B【解析】由復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，得，所以.故選：B3．已知，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)椋?，又，所?故選：A.4．設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)的和為，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，，則，解得，所以，故選：C.5．已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，且周長(zhǎng)為16，則的取值范圍為（）A．（8，12） B．（8，16） C．（4，6） D．（4，8）【答案】D【解析】已知的周長(zhǎng)為16，而的周長(zhǎng)，其中，因此：橢圓中滿足，將代入可得：，解得。因此a的取值范圍是(4,8).故選：D.6．已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)椋?，兩式相減得，即.又，所以，所以，從而.故選：B.7．在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是側(cè)面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足平面，則線段長(zhǎng)度的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】取的中點(diǎn)的中點(diǎn)的中點(diǎn)F，連接和，由分別為的中點(diǎn)，知，同理可知：,，有，又由,面且平面，所以平面，同理可知，平面.因?yàn)?平面平面，所以平面平面，而平面，故動(dòng)點(diǎn)在平面內(nèi)的軌跡為，由可知，，所以，即，所以線段的最大值為.故選：A.8．（熱點(diǎn)）若定義在上的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，且滿足：①為奇函數(shù)；②對(duì)任意的，都有，則稱函數(shù)具有性質(zhì).已知函數(shù)具有性質(zhì)，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)，則當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞減，又為奇函數(shù)，所以，所以，所以在上是偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，有，由可得，所以，解得，此時(shí)無(wú)解；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，由可得，所以，解得或，所以或，由不等式有意義可知，即，綜上可得，不等式的解集為.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．關(guān)于函數(shù)，正確的命題是（

）A．的最小正周期為 B．的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱C．的最大值為 D．在上單調(diào)遞增【答案】BC【解析】.A：的最小正周期為，所以本選項(xiàng)不是正確的命題；B：，所以本選項(xiàng)是正確的命題；C：顯然當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，所以本選項(xiàng)是正確的命題；D：當(dāng)時(shí)，，顯然在上單調(diào)遞減，所以本選項(xiàng)不是正確的命題，故選：BC10．若，且，則（

）A． B．展開(kāi)式中的系數(shù)最大C． D．【答案】ACD【解析】令，則，解得，所以A正確；，展開(kāi)式的通項(xiàng)為，，可知均大于0，均小于0，的系數(shù)是負(fù)數(shù)，肯定不是最大值，所以B不正確；在中，令，得，所以C正確；令，得，所以，故D正確．故選：ACD.11．（改編題）已知橢圓的方程是，為橢圓上任意一點(diǎn)，，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且斜率不為0的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為8，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．存在點(diǎn)，使得的面積為1C．橢圓上存在6個(gè)不同的點(diǎn)，使得為直角三角形D．內(nèi)切圓半徑的最大值與外接圓半徑的最小值的比值為【答案】ABD【解析】A，橢圓的方程是，且焦點(diǎn)在軸，由橢圓的定義可得的周長(zhǎng)為，得，正確；B，根據(jù)橢圓性質(zhì)，，的面積最大值為，所以存在點(diǎn)，使得的面積為1，正確；C，若為直角三角形，當(dāng)，存在兩個(gè)這樣的點(diǎn)，當(dāng)，存在兩個(gè)這樣的點(diǎn)，當(dāng)，可得的軌跡為以為直徑的圓，即，不包括兩點(diǎn)，因?yàn)椋詧A與橢圓有四個(gè)交點(diǎn)，即橢圓上存在4個(gè)不同的點(diǎn)，使得，所以橢圓上存在8個(gè)不同的點(diǎn)，使得為直角三角形，錯(cuò)誤；D，的周長(zhǎng)為，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則，故當(dāng)最大時(shí)最大，此時(shí)為上（下）頂點(diǎn)，，則，解得，設(shè)的外接圓半徑為，根據(jù)正弦定理，，根據(jù)C選項(xiàng)，可知存在點(diǎn)P使得，則，此時(shí)，所以內(nèi)切圓半徑的最大值與外接圓半徑的最小值的比值為，正確.故選：ABD第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知隨機(jī)變量，正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為．【答案】【解析】由題意，隨機(jī)變量的分布圖象關(guān)于直線對(duì)稱，又，所以，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.所以的最小值為.故答案為：13．甲、乙兩位同學(xué)從7部電影中各自隨機(jī)選看2部，兩人選擇獨(dú)立互不影響，則兩人選看的電影中，最多有1部相同的選法共有種.【答案】420【解析】甲、乙選看的電影中最多有1部相同包括：（1）兩人選看的電影均不相同，不同選法有（種）；（2）兩人選看的電影有且僅有一部相同，不同選法有（種），不同的選法總共有（種）.故答案為：420.14．已知正四面體的棱長(zhǎng)為，則正四面體的內(nèi)切球的半徑為，若點(diǎn)是該內(nèi)切球面上的一動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為.【答案】【解析】如圖，作出符合題意的圖形，將正四面體放入正方體中，將棱作為正方體的面對(duì)角線，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，連接，由正四面體性質(zhì)得正四面體的內(nèi)切球球心為其幾何中心，由正方體性質(zhì)得正四面體的幾何中心與正方體的幾何中心重合，而正方體的幾何中心是體對(duì)角線的中點(diǎn)，設(shè)正方體邊長(zhǎng)為，因?yàn)檎拿骟w的棱長(zhǎng)為，所以，解得，由題意得，，，，則，，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，設(shè)面的法向量為，可得，令，解得，得到，而，由題意得點(diǎn)到面的距離即為內(nèi)切球半徑，設(shè)點(diǎn)到面的距離為，，由點(diǎn)到平面的距離公式得，由空間向量的減法法則得，由題意得內(nèi)切球的方程為，則，化簡(jiǎn)得，而點(diǎn)是該內(nèi)切球面上的一動(dòng)點(diǎn)，則，可得，，得到，而點(diǎn)是該內(nèi)切球面上的一動(dòng)點(diǎn)，則，可得，解得，則，故答案為：；四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15．（13分）在中，角所對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別為，且滿足．(1)求角的值；(2)若外接圓的直徑等于4，求面積的最大值．【解析】（1）根據(jù)余弦定理得，由，可得，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，解得，所以角的值?（5分）（2）若外接圓的直徑，根據(jù)正弦定理得，由余弦定理得，即，可得，根據(jù)基本不等式，可得，所以，（10分）解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，可得的面積，所以當(dāng)時(shí)，的面積取得最大值，所以面積的最大值為．（13分）16．（15分）如圖，在三棱錐中，底面ABC，.點(diǎn)D，E，N分別為棱PA，PC，BC的中點(diǎn)，M是線段AD的中點(diǎn)，(1)求證：平面BDE；(2)求二面角的正弦值；(3)已知點(diǎn)H在棱PA上，且直線NH與直線BE所成角的余弦值為，求線段AH的長(zhǎng).【解析】（1）取AB中點(diǎn)F，連接MF，NF，因?yàn)镸為AD的中點(diǎn)，則，且平面BDE，平面BDE，則平面BDE；又因?yàn)镹為BC中點(diǎn)，則，且D，E分別為AP，PC的中點(diǎn)，則，可得，且平面BDE，平面BDE，則平面BDE；又，平面，可知平面平面BDE，因?yàn)槠矫?，所以平面BDE.（4分）（2）因?yàn)榈酌鍭BC，，以A為原點(diǎn)，分別以AB，AC，AP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，則，，，，，，可得，，設(shè)平面MEN的一個(gè)法向量為，則，令，則，可得，由題意可知：平面CME的一個(gè)法向量為，（7分）設(shè)二面角為，則，可得，所以二面角的正弦值為.（11分）（3）設(shè)，則，可得，，因?yàn)橹本€NH與直線BE所成角的余弦值為，則，整理可得，解得：或，所以線段AH的長(zhǎng)為或.（15分）17．（15分）小芳、小明兩人各拿兩顆質(zhì)地均勻的骰子（點(diǎn)數(shù)為1，2，3，4，5，6）玩游戲，游戲規(guī)則如下：每次由1人投擲手中的兩顆骰子，在一次投擲后，若擲出的點(diǎn)數(shù)之和為4的倍數(shù)，則由原來(lái)投擲人繼續(xù)投擲；若擲出的點(diǎn)數(shù)之和不是4的倍數(shù)，則由對(duì)方接著投擲．(1)求小明在一次投擲后，擲出的點(diǎn)數(shù)之和是4的倍數(shù)的概率；(2)規(guī)定第一次從小明開(kāi)始，（ⅰ）求前4次投擲中，小明恰好投擲2次的概率；（ⅱ）在游戲的前4次投擲中，設(shè)小芳投擲的次數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列和均值；(3)若第一次從小芳開(kāi)始，求第次由小芳投擲的概率．【解析】（1）設(shè)事件為“小明投擲一次骰子后，點(diǎn)數(shù)之和為4的倍數(shù)”，則基本事件總數(shù)為36，事件包含的基本事件有，，，，，，，，，共9個(gè)基本事件，則．（4分）（2）由（1）知小芳投擲一次后，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和是4的倍數(shù)的概率也為．（?。┮?yàn)榈?次從小明開(kāi)始，所以前4次投擲中小明恰好投擲2次的概率為：；（6分）（ⅱ）設(shè)游戲的前4次投擲中，小芳投擲的次數(shù)為，則可取0，1，2，3，，，，所以的分布列為：0123．（10分）（3）若第一次從小芳開(kāi)始，則第次由小芳投擲骰子有兩種情況：第一種情況：第次由小芳投擲，第次繼續(xù)由小芳投擲，其概率為（）；第二種情況：第次由小明投擲，第次由小芳投擲，其概率為（）；由于這兩種情況彼此互斥，所以（），所以（），且，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，即．（15分）18．（17分）已知雙曲線的離心率為，實(shí)軸長(zhǎng)為2．(1)求C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（ⅰ）若面積為，求；（ⅱ）已知是C的左焦點(diǎn)，直線交C于異于A的點(diǎn)P，直線交C于異于B的點(diǎn)Q，試證明：直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．【解析】（1）由雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)為2，得，故.離心率，即，故.由，得，故雙曲線的方程為.（4分）（2）（i）直線過(guò)點(diǎn)，斜率不存在時(shí)方程為，代入雙曲線得，無(wú)實(shí)根，故設(shè)直線的方程為.將代入，得，整理為.設(shè)，，由韋達(dá)定理得，.直線與雙曲線有兩不同交點(diǎn)，故且，即且.，的面積.由，得，而，故：.（7分）平方得，令，解得（舍去），即.弦長(zhǎng)，代入得：.（9分）（ii）雙曲線左焦點(diǎn)，設(shè)，因在雙曲線上，故.直線過(guò)和，其方程為：,將直線方程代入雙曲線，得：,整理得，，則，（10分），則.同理可得.（11分）直線的斜率，代入，，展開(kāi)其分子：.展開(kāi)其分子：因此，斜率化簡(jiǎn)為：，（15分）直線的方程為，即，代入，展開(kāi)并整理：，，該式對(duì)任意成立，故需滿足“含的項(xiàng)系數(shù)為0”且“常數(shù)項(xiàng)為0”：，解得：因此，直線經(jīng)過(guò)