/第13章勾股定理練習(xí)一、單選題1．在直角三角形中，若一條直角邊長是，另一條直角邊長是，則斜邊長的平方是（

）A． B． C． D．2．如圖，在的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B．C．的面積為10 D．點(diǎn)A到直線的距離是23．如圖，一根長為的梯子斜靠在一面豎直的墻上，這時(shí)的長為．如果梯子的頂端A沿墻下滑，那么梯子底端B外移的距離（

）A．等于 B．大于 C．小于 D．以上都不對4．將一根長的筷子置于底面圓直徑為、高為的圓柱形水杯中，如圖，設(shè)筷子露在杯子外面的長度為，則h的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．如圖，在中，，，且，，則的長是（

）A．4.8 B．8 C．9.6 D．106．如圖，在等腰直角中，，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，若，連接、則的最小值是（

）．A． B． C． D．7．如圖，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，以，為邊向兩邊作正方形，面積分別是和，兩正方形的面積和，已知，則圖中陰影部分面積為（

）A．20 B．22 C．24 D．268．如圖，中，，以的三邊為邊向外作正方形，其面積分別為，，，且，．則（

）A．5 B．12 C．15 D．169．如圖，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，點(diǎn)E和點(diǎn)C是對應(yīng)點(diǎn)，若，，則的長是（

）A． B．2 C． D．410．如圖，在中，，，，平分交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接．則下列結(jié)論：①垂直平分；

②的周長為8；③的長是；

④的面積為．其中正確的結(jié)論有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、填空題11．有一組勾股數(shù)，已知其中的兩個(gè)數(shù)分別是20和15，則第三個(gè)數(shù)是．12．在中，，若，則的周長為．13．如圖，把長方形按如圖方式折疊，使頂點(diǎn)B和點(diǎn)D重合，折痕為．若，，則的長度是cm．14．如圖，等邊中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是上兩點(diǎn)且，若，則的最小值等于．15．如圖，分別以的三邊為邊長向外側(cè)作正方形，面積分別記為，，，若，則圖中陰影部分的面積為．三、解答題16．四邊形如圖所示，已知，，，，，求的長．17．如圖，小河的同一側(cè)有，兩個(gè)村莊，它們到小河所在的直線的距離分別為千米，千米，千米，要在小河上，之間修建一座小型發(fā)電站，使它到，兩個(gè)村莊的距離之和最短．

(1)請?jiān)趫D中畫出的位置；(2)求這個(gè)最短距離．18．如圖，在中，垂直平分，點(diǎn)在的延長線上，點(diǎn)為的中點(diǎn)，且滿足．(1)求證：垂直平分線段．(2)若，，求長．19．如圖，在直角中，，，將繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，直線與直線相交于點(diǎn)．(1)如圖，若P點(diǎn)為射線與線段交點(diǎn)時(shí)，①求的度數(shù)；②證明：；(2)當(dāng)時(shí)，求的長．20．在中，，，，過點(diǎn)作于點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿折線運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以相同的速度沿邊運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)．連接，過點(diǎn)作交邊或的延長線于點(diǎn)，連接、．圖①、圖②分別表示點(diǎn)在邊、上運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．(1)的長為________．(2)如圖①，當(dāng)時(shí)，求的值．(3)如圖②，求證：．(4)如圖②，當(dāng)點(diǎn)是邊的三等分點(diǎn)時(shí)，直接寫出四邊形的面積．《第13章勾股定理練習(xí)2025-2026學(xué)年華東師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊》參考答案題號(hào)12345678910答案DCABCDCDCD1．D【分析】本題考查了勾股定理，利用勾股定理直接計(jì)算即可求解，熟練掌握勾股定理的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由勾股定理得，斜邊長的平方，故選：．2．C【分析】本題考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、利用網(wǎng)格求三角形的面積，熟練掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形的面積公式計(jì)算，判斷即可．【詳解】解：A、由勾股定理得：，A選項(xiàng)正確，不符合題意；B、，，，B選項(xiàng)正確，不符合題意；C、，C選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；D、設(shè)點(diǎn)A到直線的距離為h，則，即，，D選項(xiàng)正確，不符合題意，故選：C．3．A【分析】本題考查正確運(yùn)用勾股定理．梯子的長是不變的，只要利用勾股定理解出梯子滑動(dòng)前和滑動(dòng)后的所構(gòu)成的兩直角三角形即可．【詳解】解：∵，，∴，在中，根據(jù)勾股定理知，，在中，根據(jù)勾股定理知，，所以．故選：A．4．B【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．當(dāng)筷子的底端在A點(diǎn)時(shí)，筷子露在杯子外面的長度最短；當(dāng)筷子的底端在D點(diǎn)時(shí)，筷子露在杯子外面的長度最長；分別求出h的最大值和最小值即可．【詳解】解：如圖1，當(dāng)筷子的底端在D點(diǎn)時(shí)，筷子露在杯子外面的長度最長，∴；如圖2，當(dāng)筷子的底端在A點(diǎn)時(shí)，筷子露在杯子外面的長度最短，在中，，，∴，此時(shí)，∴h的取值范圍是，故選：B．5．C【分析】此題主要考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得，然后在中，由勾股定理即可求出的長，再由，即可求解．【詳解】解：∵，，，，∴，∴，∵，∴，解得．故選C．6．D【分析】如圖，過點(diǎn)作使得，連接，，可得，由此可知當(dāng)三點(diǎn)共線的時(shí)候最小，在中，可得，在，可得，最后在中，可得，即可求解.【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作使得，連接，，∵，，，∴，∴，當(dāng)三點(diǎn)共線的時(shí)候最小，∴，過點(diǎn)作的延長線交于點(diǎn)，在中，，根據(jù)勾股定理得：，在，，∴，∴，根據(jù)勾股定理得，∴在中，，∴，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)及判定，利用輔助線構(gòu)造全等及兩點(diǎn)之間線段最短，在根據(jù)勾股定理求解等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，解題關(guān)鍵在于熟練掌握輔助線及最小值的方法．7．C【分析】本題考查了以直角三角形三邊為邊長的圖形面積，通過面積關(guān)系構(gòu)造使用完全平方公式是求解本題的關(guān)鍵．設(shè)，，建立關(guān)于a、b的關(guān)系，最后求面積即可．【詳解】解：設(shè)，，則，，，∴，∵，∴，∴，∴陰影部分的面積．故選：C．8．D【分析】本題主要考查了勾股定理，掌握直角三角形的三邊關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股定理和正方形的面積公式計(jì)算即可．【詳解】解：∵如圖，中，，∴,∵，∴．故選：D．9．C【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，在中，利用勾股定理即可求解．【詳解】解：將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，，∴，，在中，，故選：C．10．D【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形面積，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．根據(jù)角平分線的定義和垂線的定義，易證，可判斷①結(jié)論；由勾股定理求出，再結(jié)合全等三角形的性質(zhì)，可判斷②結(jié)論；設(shè)，利用勾股定理解方程，可判斷③結(jié)論；根據(jù)等高三角形面積之比等于高所在的邊之比，可判斷④結(jié)論．【詳解】解：平分，，，又，，，，垂直平分，①結(jié)論正確；在中，，，，，，，，，的周長，②結(jié)論正確；設(shè)，則在中，，，解得：，的長是，③結(jié)論正確；在中，，，，，和是等高三角形，，，④結(jié)論正確，故選：D．11．25【分析】本題主要考查勾股數(shù)，勾股定理，分第三個(gè)數(shù)是直角邊和斜邊兩種情況解答求出第三個(gè)數(shù)，再根據(jù)勾股數(shù)判定即可求解，運(yùn)用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)第三個(gè)數(shù)為x，分兩種情況：當(dāng)x為直角邊時(shí)，有，解得，不是正整數(shù)，需舍去；當(dāng)x為斜邊時(shí)，有，解得．綜上所述，第三個(gè)數(shù)為25．故答案為：25．12．【分析】本題考查勾股定理，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理，列出方程求出的值，進(jìn)而求出的值，進(jìn)而利用三角形的周長公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴設(shè)，則．∵，∴，即，解得或（舍去），∴，∴的周長．故答案為：．13．5【分析】本題主要考查的是翻折的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用、等腰三角形的判定等知識(shí)，證得是解題的關(guān)鍵．先證明，從而得到，然后利用翻折的性質(zhì)得到，設(shè)，則，在中利用勾股定理列方程求解即可．【詳解】解：∵四邊形是長方形，∴，，∴．由翻折的性質(zhì)可知；，．∴．∴．∴．設(shè)，則．中，由勾股定理得；，即，解得：．∴，故答案為：5．14．【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，最短路徑問題，以及全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識(shí)，正確的進(jìn)行解題．由題意，過點(diǎn)作，且，連接，連接，先證明，則，，然后找出點(diǎn)F使得距離最小，利用勾股定理即可得到答案．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作，且，連接，連接，∴在等邊三角形中，，∴，，∴∴∵∴，在與中，，∴，∴，，當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值為，∴的最小值為：．故答案為：．15．5【分析】本題考查了勾股定理、正方形的性質(zhì)以及三角形面積，解題的關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理得到．由勾股定理得，再由正方形面積公式得，求出，即可得到陰影部分的面積．【詳解】解：是以為斜邊的直角三角形，，，，，如圖所示，∴，∵陰影部分的面積為，與正方形等底等高，陰影部分的面積為，故答案為：．16．【分析】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用．先利用勾股定理求解，再利用勾股定理求解即可．【詳解】解：∵，，，∴，∵，，，∴．17．(1)見解析(2)的最小值千米【分析】本題考查了軸對稱——最短路線問題，掌握軸對稱的性質(zhì)：“對應(yīng)點(diǎn)到對稱軸的距離相等”是解題的關(guān)鍵．（1）作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，則，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可知點(diǎn)即為到，距離之和最短的點(diǎn)；（2）作的延長線于點(diǎn)，然后根據(jù)勾股定理即可得結(jié)果．【詳解】（1）解：作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，此時(shí)的值最小，如圖點(diǎn)P即為所求，

（2）解：如（1）圖，作的延長線于點(diǎn)，則，∵千米，千米，千米，∴千米，千米，在中，，千米，的最小值千米．18．(1)見解析(2)【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)與判定，解題關(guān)鍵是熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)．根據(jù)垂直平分，可以得到，，根據(jù)等量代換可得，進(jìn)而可證明．【詳解】（1）解：證明：∵垂直平分，∴，，又∵，∴．又∵，∴，∴點(diǎn)在線段的垂直平分線上．（2）由（1）得，即，∵，，∴，在中，，∴，即，解得：．19．(1)；見解析(2)或【分析】（1）①如圖所示，延長到點(diǎn)G使，連接，證明，得到是等邊三角形，得，，，，故和都是等腰三角形，得，故；②延長至H，使，連接、．由，得，，，設(shè)，得，，故，由，得，，故；（2）根據(jù)題意分兩種情況討論，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為時(shí)，過A作由，，得，故，，故為等腰直角三角形，得到，由旋轉(zhuǎn)得，故為等腰直角三角形，得，，勾股定理得，故，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為時(shí)，同理求解即可．【詳解】（1）①解：如圖所示，延長到點(diǎn)G使，連接，，∵∴∵，，∴∴∴∴是等邊三角形∴由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，和都是等腰三角形，，；②證明：延長至H，使，連接、，，，，，設(shè)，，，，，，，，，；（2）如圖所示，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為時(shí)，過A作，，，，，，，為等腰直角三角形，，由旋轉(zhuǎn)，為等腰直角三角形，，，，∴∵∴，；如圖所示，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為時(shí)，過A作，，，，，，，為等腰直角三角形，，由旋轉(zhuǎn)，為等腰直角三角形，，，∴∵∴，；綜上所述，的長為或．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，含角的直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，20．(1)3(2)；(3)見解析(4)四邊形的面積為6或．【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到結(jié)論；（2）根據(jù)，列方程即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)余角的性質(zhì)得到，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，，求得，推出，根據(jù)得到；（4）由，點(diǎn)P是邊的三等分點(diǎn)，得到或，當(dāng)時(shí)，由（3）知，，根據(jù)勾股定理得到，求得，得到，根據(jù)三角形的面積公式得到結(jié)論；當(dāng)時(shí)，由（3）知，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理得到的長，求得，得到，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解