專題06概率與統(tǒng)計題型概覽題型01頻率分布直方圖求平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差、標準差、極差題型02回歸分析題型03條件概率題型04正態(tài)分布與相互獨立題型05古典概型題型06獨立性檢驗題型07求離散型隨機變量的分布列與期望題型08概率綜合問題題型01頻率分布直方圖求平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差、標準差、極差題型011．（2025·山東青島·一模）為了研究與的線性相關(guān)關(guān)系，收集了5組樣本數(shù)據(jù)（見下表），假設(shè)經(jīng)驗回歸方程為，則（

）123450.50.811.21.5A．B．當(dāng)時的殘差為C．樣本數(shù)據(jù)的％分位數(shù)為0.8D．去掉樣本點后，與的樣本相關(guān)系數(shù)不變【答案】ABD【分析】根據(jù)樣本中心點、殘差、百分位數(shù)、相關(guān)系數(shù)等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】由題，所以，故A選項正確；由A，當(dāng)時，，所以時的殘差為，所以B選項正確；因為，所以樣本數(shù)據(jù)的％分位數(shù)為，C選項錯誤；去掉樣本點后，而，由于，所以去掉樣本點后，與的樣本相關(guān)系數(shù)不變，故D正確.故選：ABD2．（2025·安徽滁州·一模）下列說法中正確的是（）A．一個樣本（數(shù)據(jù)不全為3）的平均數(shù)為3，若添加一個新數(shù)據(jù)3組成一個新樣本，則新樣本的平均數(shù)不變，方差變小B．在成對樣本數(shù)據(jù)中，兩個變量間的樣本相關(guān)系數(shù)越小，則它們的線性相關(guān)程度越弱C．?dāng)?shù)據(jù)，53，56，69，70，72，79，65，80，45，41的極差為40，則這組數(shù)據(jù)的第m百分位數(shù)為79D．依據(jù)小概率值的獨立性檢驗推斷兩個分類變量X與Y之間是否有關(guān)聯(lián)，經(jīng)計算得，則可以認為“X與Y沒有關(guān)聯(lián)”【答案】AC【分析】利用平均數(shù)與方差的定義可判斷A；由相關(guān)系數(shù)的概念可判斷B；利用百分位的定義求解可判斷C；由獨立性檢驗的意義可判斷D.【詳解】一個樣本（數(shù)據(jù)不全為3）的平均數(shù)為3，若添加一個新數(shù)據(jù)3組成一個新樣本，則新樣本的平均數(shù)不變，根據(jù)方差公式，可知方差變小，故A正確；兩個變量的相關(guān)系數(shù)越小，則兩者的線性相關(guān)程度越弱，故B錯誤;除m外，剩余數(shù)據(jù)的極差為，因為所有數(shù)據(jù)的極差為40，且，所以把數(shù)據(jù)技從小到大題序排列，得：41，45，53，56，65，69，70，72，79，80，由，所以這組數(shù)據(jù)的第m百分位數(shù)為第9個，為故C正確;零假設(shè)為與Y相互獨立，即X與Y沒有關(guān)聯(lián)，由，可知依據(jù)的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷不成立，可以認為“X與Y有關(guān)聯(lián)”，故D錯誤.故選：AC.3．（2025·寧夏銀川·一模）下列說法正確的是（

）A．若隨機變量服從正態(tài)分布，且，則B．一組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為C．若線性相關(guān)系數(shù)越接近1，則兩個變量的線性相關(guān)性越強D．對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量，其線性回歸方程為，若樣本點的中心為，則實數(shù)的值是【答案】ACD【分析】對于A，根據(jù)條件，利用正態(tài)分布的對稱性，即可求解；對于B，根據(jù)條件直接求出第百分位數(shù)，即可求解；對于C，利用相關(guān)系的定義，即可求解；對于D，利用線性回歸方程經(jīng)過樣本中心，即可求解.【詳解】對于A，因為，又，則，正確，對于B，因為，所以數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為，錯誤，對于C，因為線性相關(guān)系數(shù)越接近1，則兩個變量的線性相關(guān)性越強，正確，對于D，由題知，解得，正確.故選：ACD.4．（2025·甘肅蘭州·一模）在某班級的一次測驗后，隨機抽取7名同學(xué)的成纜作為樣本，這7名同學(xué)的成領(lǐng)分別為78，80，81，84，87，88，90，則（

）A．估計這次考試全班成績的平均分為84B．從樣本中任取兩人的成績，均大于平均分的概率是C．樣本的分位數(shù)是87D．當(dāng)該樣本中加入84形成新樣本時，新樣本方差小于原樣本方差【答案】ABD【分析】利用平均數(shù)的定義計算可判斷A；求得任取2人的方法數(shù)，取得2人的成績均大于平均分的方法數(shù)，利用古典概型概率公式可求得對概率判斷B；利用百分位數(shù)的定義計算判斷C；由平均成績不變，利用方差的定義可判斷D.【詳解】對于A，樣本的平均分為，所以估計這次考試全班成績的平均分為84，故A正確；對于B，從樣本中任取兩人的成績有種不同的取法，從成績大于平均的3名同學(xué)中任取2人有種不同的取法，所以從樣本中任取兩人的成績，均大于平均分的概率是，故B正確；對于C，因為，所以樣本的分位數(shù)是第6個數(shù)據(jù)，故C錯誤；對于D，當(dāng)該樣本中加入84形成新樣本時，新數(shù)據(jù)平均數(shù)不變，由方差公式可知新樣本方差小于原樣本方差，故D正確.故選：ABD.5．（2025·黑龍江·一模）在高三某次調(diào)研考試時，某學(xué)習(xí)小組對本組6名同學(xué)的考試成績進行統(tǒng)計，其中數(shù)學(xué)試卷上有一道滿分為12分的解答題，6名同學(xué)的得分按從低到高的順序排列為，若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是這組數(shù)據(jù)極差，則該組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是（

）A．7 B．7 C．9 D．10【答案】D【分析】根據(jù)中位數(shù)是極差求出的值，再計算第60百分位數(shù)即可.【詳解】已知數(shù)據(jù)，，，，10，12，數(shù)據(jù)個數(shù)為偶數(shù)，所以中位數(shù)是中間兩個數(shù)和的平均數(shù)，即中位數(shù)為.極差是最大值12減去最小值，即極差為.因為該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是這組數(shù)據(jù)的極差，所以.可得：.此時這組數(shù)據(jù)為，，，10，10，12.計算，所以第60百分位數(shù)是第個數(shù)，即10.故選：D.6．（2025·山東聊城·一模）某學(xué)校為了調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，在高二年級舉行了一次數(shù)學(xué)有獎競賽，對考試成績優(yōu)秀（即考試成績不小于分）的學(xué)生進行了獎勵.學(xué)校為了掌握考試情況，隨機抽取了部分考試成績，并以此為樣本制作了如圖所示的樣本頻率分布直方圖.已知第一小組的頻數(shù)為.(1)求的值和樣本容量；(2)估計所有參賽學(xué)生的平均成績；(3)假設(shè)在抽取的樣本中，男生比女生多人，女生的獲獎率為，填寫下列列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，判斷男生與女生的獲獎情況是否存在差異？性別獎勵合計獲獎未獲獎男女合計附：，【答案】(1)，樣本容量為(2)(3)列聯(lián)表見解析，無【分析】（1）由頻率分布直方圖中，所有矩形面積之和為可得的值，將第一組的容量除以第一組的頻率可得出樣本容量；（2）將每個矩形底邊的中點值乘以對應(yīng)矩形的面積，相加可得出平均數(shù)；（3）根據(jù)題意完善列聯(lián)系表，結(jié)合臨界值表可得出結(jié)論.【詳解】（1）由頻率分布直方圖中，所有矩形面積之和為可得，解得，樣本容量為.（2）所有參賽學(xué)生的平均成績?yōu)?（3）由題意可知，獲獎人數(shù)為人，由題意可得如下列聯(lián)表性別獎勵合計獲獎未獲獎男女合計所以，，所以，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，男生與女生的獲獎無差異.7．（2025·黑龍江·一模）已知一組樣本數(shù)據(jù)分別為：31，6，12，19，17，16，11，則該組樣本數(shù)據(jù)的（

）A．極差為27 B．上四分位數(shù)為19 C．平均數(shù)為15.5 D．方差為【答案】BD【分析】根據(jù)平均數(shù)、方差以及極差求解可判斷ACD，根據(jù)百分位數(shù)計算即可判斷D.【詳解】將樣本數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為：6，11，12，16，17，19，31.對于A，根據(jù)極差定義可知，該組數(shù)據(jù)的極差為，故A錯誤；對于B，因為，所以該組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為19，故B正確；對于C，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故C錯誤；對于D，該組數(shù)據(jù)的方差為，故D正確.故選：BD.8．（2025·陜西西安·一模）某校組織1000名學(xué)生參加“新中國成立75周年”知識競賽，經(jīng)統(tǒng)計這1000名學(xué)生的成績都在區(qū)間內(nèi)，按分數(shù)分成5組：，，，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．1000名學(xué)生成績的平均數(shù)是77B．成績不低于80分的學(xué)生所占比例為40%C．用分層抽樣從該校學(xué)生中抽取容量為100的樣本，則應(yīng)在內(nèi)抽取30人D．這1000名學(xué)生成績的第50百分位數(shù)是80【答案】D【分析】利用頻率分布直方圖估計平均數(shù)判斷A；計算不低于80分的頻率和判斷B；利用分層抽樣的特點計算判斷C；求出第50百分位數(shù)判斷D.【詳解】對于A，由頻率分布直方圖，得1000名學(xué)生成績的平均數(shù)是，A錯誤；對于B，成績不低于80分的學(xué)生頻率為，成績不低于80分的學(xué)生所占比例為，B錯誤；對于C，由分層抽樣特點得，則應(yīng)在內(nèi)抽取人，C錯誤；對于D，1000名學(xué)生成績的第50百分位數(shù)即中位數(shù)為80，D正確.故選：D9．（2025·福建泉州·一模）有一組樣本數(shù)據(jù)1，2，3，4，5，現(xiàn)加入兩個正整數(shù)，構(gòu)成新樣本數(shù)據(jù)，與原樣本數(shù)據(jù)比較，下列說法正確的是（

）A．若平均數(shù)不變，則 B．若極差不變，則C．若，則中位數(shù)不變 D．若，則方差不變【答案】AC【分析】根據(jù)平均數(shù)、極差、中位數(shù)和方差的定義判斷.【詳解】若平均數(shù)不變，則，解得，故A正確；當(dāng)時，極差不變，但，故B錯；若，則為或或，每一種情況對應(yīng)的中位數(shù)都是3，故C正確；原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3，原數(shù)據(jù)的方差為，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3，新數(shù)據(jù)的方差為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以方差有可能改變，故D錯.故選：AC.10．（2025·山東濟寧·一模）為了解高三，1班和2班的數(shù)學(xué)建模水平，現(xiàn)從兩個班級中各隨機抽取10名學(xué)生參加數(shù)學(xué)建模能力比賽（滿分100分），成績?nèi)缦拢簲?shù)據(jù)Ⅰ（高三，1班）：68，80，58，75，65，70，54，90，88，92；數(shù)據(jù)Ⅱ（高三，2班）：72，55，83，59，56，90，83，52，80，95．(1)求數(shù)據(jù)Ⅰ（高三，1班）的第80百分位數(shù)；(2)從上述成績在60分以下的學(xué)生中隨機抽取3人作下一步調(diào)研，設(shè)被抽到的3人中來自于高三，2班的學(xué)生人數(shù)為，求的概率分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)89(2)分布列見詳解；【分析】（1）將數(shù)據(jù)從小到大排列，根據(jù)百分位數(shù)的定義進行求解即可；（2）的所有可能取值為1，2，3，求出對應(yīng)的概率，即可得出分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）將數(shù)據(jù)Ⅰ從小到大排列為：54，58，65，68，70，75，80，88，90，92，因為，所以數(shù)據(jù)Ⅰ的第80百分位數(shù)為.（2）數(shù)據(jù)Ⅰ中60分以下的有54分，58分；數(shù)據(jù)Ⅱ中60分以下的有52分，55分，56分，59分；即符合題意共6人，其中高三，1班有2人，高三，2班有4人.可知X的所有可能取值為1，2，3，則，，，所以X的概率分布列為X123P數(shù)學(xué)期望.題型02回歸分析題型021．（2025·廣東湛江·一模）已知，，，，，5個數(shù)據(jù)的散點圖如圖所示，采用一元線性回歸模型建立經(jīng)驗回歸方程．經(jīng)分析確定為“離群點”，故將其去掉，將數(shù)據(jù)去掉后，下列說法正確的有（

）．

A．樣本相關(guān)系數(shù)r變大B．殘差平方和變小C．決定系數(shù)變大D．若經(jīng)驗回歸直線過點，則其經(jīng)驗回歸方程為【答案】BCD【分析】根據(jù)散點圖的性質(zhì)可知去掉E后相關(guān)性變強判斷A選項；殘差平方和以及決定系數(shù)判斷BC選項；根據(jù)回歸直線的求法和性質(zhì)判斷D.【詳解】對于選項A：由圖可知，變量x與變量y是負相關(guān)，且將數(shù)據(jù)去掉后，樣本相關(guān)系數(shù)r的絕對值變大，所以r變小，故選項A錯誤；對于選項B：將數(shù)據(jù)去掉后，變量x與變量y的相關(guān)性變強，所以殘差平方和變小，決定系數(shù)變大，故選項B，C正確；對于選項D：設(shè)經(jīng)驗回歸方程為，經(jīng)計算得，且，，可得，，所以經(jīng)驗回歸方程是，所以選項D正確．故選：BCD．2．（2025·黑龍江哈爾濱·一模）由樣本數(shù)據(jù)，求得回歸直線方程為，且，若去除偏離點后，得到新的回歸直線方程為，則去除偏離點后，相應(yīng)于樣本點的殘差值為.【答案】【分析】求出的值，求出去除偏離點后，剩余數(shù)據(jù)的樣本中心點的坐標，代入新的回歸直線方程，求出的值，將代入新的回歸直線方程，結(jié)合殘差的定義可求得結(jié)果.【詳解】由于回歸直線過樣本中心點，當(dāng)時，，去除偏離點后，剩余數(shù)據(jù)的中心點為，則，，將點的坐標代入回歸直線方程，可得，解得，所以，新的回歸直線方程為，當(dāng)時，，所以，去除偏離點后，相應(yīng)于樣本點的殘差值為.故答案為：.3．（2025·山東煙臺·一模）已知變量線性相關(guān)，其一組樣本數(shù)據(jù)，滿足，用最小二乘法得到的經(jīng)驗回歸方程為.若增加一個數(shù)據(jù)后，得到修正后的回歸直線的斜率為2.1，則數(shù)據(jù)的殘差的絕對值為（

）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4【答案】A【分析】根據(jù)已知求原數(shù)據(jù)的樣本中心，再確定增加數(shù)據(jù)后的樣本中心，進而得到修正后的回歸直線，估計的對應(yīng)值，最后由殘差的定義求解.【詳解】由題設(shè)，則，增加數(shù)據(jù)后，，，且回歸直線為，所以，則，所以，有，故殘差的絕對值為.故選：A4．（2025·四川巴中·一模）下列命題正確的有（

）A．回歸直線過樣本點的中心，且至少過一個樣本點B．兩個變量相關(guān)性越強，則相關(guān)系數(shù)越接近C．將一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都加上同一個正數(shù)，則其方差不變D．將個數(shù)的一組數(shù)去掉一個最小和一個最大數(shù)，則中位數(shù)不變【答案】CD【分析】根據(jù)線性回歸方程的性質(zhì)可判斷A，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)可判斷B，根據(jù)方差的性質(zhì)可判斷C，根據(jù)中位數(shù)的定義可判斷D.【詳解】對于A選項，回歸直線過樣本點的中心，但是不一定過樣本點，故A錯誤；對于B選項，兩個變量相關(guān)性越強，則相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近，故B錯誤；對于C，由方差的性質(zhì)可知，將一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都加上同一個正數(shù)，則其方差不變，故C正確；對于D，將個數(shù)的一組數(shù)去掉一個最小和一個最大數(shù)，則中位數(shù)不變，故D正確．故選：CD.5．（2025·廣東·一模）一組樣本數(shù)據(jù)．其中，，，求得其經(jīng)驗回歸方程為：，殘差為．對樣本數(shù)據(jù)進行處理：，得到新的數(shù)據(jù)，求得其經(jīng)驗回歸方程為：，其殘差為、，分布如圖所示，且，則（

）A．

樣本負相關(guān) B．C． D．處理后的決定系數(shù)變大【答案】ABD【分析】根據(jù)回歸方程判斷A，根據(jù)樣本中心點計算判斷B，根據(jù)圖象由波動性判斷C，根據(jù)圖象的波動性判斷D.【詳解】由經(jīng)驗回歸方程單調(diào)遞減，可知樣本負相關(guān)，故A正確；由題意樣本均值分別為，由樣本中心在經(jīng)驗回歸直線上，代入回歸直線解得，故B正確：由圖一的數(shù)據(jù)波動較大可得比更集中，所以，故C錯誤；由圖一的殘差平方和較圖二的殘差平方和大可知，處理后擬合效果更好，決定系數(shù)變大，故D正確．故選：ABD6．（2025·廣東汕頭·一模）在政府發(fā)布的光伏發(fā)電補貼政策的引導(dǎo)下，西北某地光伏發(fā)電裝機量急劇上升，現(xiàn)對2016年至2023年的新增光伏裝機量進行調(diào)查，根據(jù)散點圖選擇了兩個模型進行擬合，并得到相應(yīng)的經(jīng)驗回歸方程．為判斷模型的擬合效果，甲、乙、丙三位同學(xué)進行了如下分析：（1）甲同學(xué)通過計算殘差作出了兩個模型的殘差圖，如圖所示；（2）乙同學(xué)求出模型①的殘差平方和為0.4175、模型②的殘差平方和為1.5625；（3）丙同學(xué)分別求出模型①的決定系數(shù)、模型②的決定系數(shù)為；經(jīng)檢驗，模型①擬合效果最佳，則甲、乙、丙三位同學(xué)中，運算結(jié)果肯定出錯的同學(xué)是．（填“甲”或“乙”或“丙”）【答案】丙【分析】應(yīng)用殘差圖，殘差平方和，決定系數(shù)的性質(zhì)判定即可.【詳解】甲的殘差圖中，模型①的殘差點更均勻地分布在以橫軸為對稱軸的水平帶狀區(qū)域內(nèi)，且水平帶狀區(qū)域更窄，說明模型①擬合效果更好；殘差平方和越大，即決定系數(shù)越小，說明數(shù)據(jù)點越離散，所以乙的計算結(jié)果顯示模型①的擬合效果更好，而丙的計算結(jié)果顯示模型②的擬合效果更好．故答案為：丙.7．（2025·山東日照·一模）近期根據(jù)中國消費者信息研究報告顯示，超過的消費者更加頻繁地使用網(wǎng)上購物，某網(wǎng)購專營店統(tǒng)計了2025年1月5日到9日這5天到該專營店購物的人數(shù)和時間第天間的數(shù)據(jù)，列表如下：1234575849398100(1)由表中給出的數(shù)據(jù)判斷是否可以用線性回歸模型擬合人數(shù)和時間第天之間的關(guān)系？若可用，估計1月10日到該專營店購物的人數(shù)；若不可用，請說明理由（人數(shù)用四舍五入法取整數(shù)，若相關(guān)系數(shù)，則線性相關(guān)程度很高，可以用線性回歸模型擬合，精確到0.01）；(2)該專營店為了吸引顧客，推出兩種促銷方案．方案一：購物金額每滿100元可減5元；方案二：一次性購物金額超過800元可抽獎三次，每次中獎的概率均為，且每次抽獎互不影響，中獎一次打9折，中獎兩次打8折，中獎三次打6折．某顧客計劃在此專營店購買1000元的商品，請從實際付款金額的數(shù)學(xué)期望的角度分析選哪種方案更優(yōu)惠．參考數(shù)據(jù)：．附：相關(guān)系數(shù)．【答案】(1)可用，109(2)選擇方案二更劃算【分析】（1）先計算相關(guān)系數(shù)，再結(jié)合線性回歸方程的知識求解即可；（2）首先根據(jù)二項分布的概率公式求出為的概率值，則方案二的期望可求，與方案一的950進行比較即可判斷.【詳解】（1）由表中數(shù)據(jù)可得，，所以，所以可用線性回歸模型擬合人數(shù)與天數(shù)之間的關(guān)系．而，則所以令，可得，所以1月10日到該專營店購物的人數(shù)約為109．（2）若選方案一?需付款元．若選方案二?設(shè)需付款元，則的取值可能為，則，，所以，因此選擇方案二更劃算．8．（2025·浙江·一模）下列說法正確的是（

）A．?dāng)?shù)據(jù)的上四分位數(shù)為9B．若，，且，則相互獨立C．根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)的散點圖判斷出兩個變量線性相關(guān)，由最小二乘法求得其回歸直線方程為，若其中一個散點坐標為，則D．將兩個具有相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)，，…，調(diào)整為，，…，，決定系數(shù)不變（附：，，）【答案】BD【分析】利用上四分位數(shù)的性質(zhì)判斷A，利用條件概率公式和獨立事件概率公式判斷B，利用散點圖的性質(zhì)判斷C，利用決定系數(shù)的性質(zhì)判斷D即可.【詳解】對于A，我們把數(shù)據(jù)重新排列，得到，而，則數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為9.5，故A錯誤；對于B，因為，所以，由條件概率公式得，得到，即相互獨立，故B正確，對于C，散點不一定在回歸直線上，不能直接代入直線方程，故C錯誤，對于D，由于，變成了，則，，從而，都不變，則，故D正確.故選：BD.題型03條件概率題型031．（2025·天津武清·一模）長時間玩手機可能影響視力，據(jù)調(diào)查，某學(xué)校學(xué)生中大約有的學(xué)生，每天玩手機超過1小時，這些人近視率約為，其余學(xué)生的近視率約為，現(xiàn)從該校任意調(diào)查一名學(xué)生，他近視的概率大約是.【答案】/【分析】由題意，根據(jù)條件概率公式和全概率公式求解即得.【詳解】設(shè)事件“學(xué)生玩手機超過小時”，事件“學(xué)生近視”，事件為的對立事件，由題意可得，，，則，所以.故答案為：.2．（2025·廣東深圳·一模）學(xué)校要舉辦足球比賽，現(xiàn)在要從高一年級各班體育委員中挑選4名不同的裁判員（一名主裁判，兩名不同的助理裁判，一名第四裁判），其中高一共13個班，每個班各一名體育委員，共4個女生，9個男生，要求四名裁判中既要有男生，也要有女生，那么在女裁判員擔(dān)任主裁判的條件下，第四裁判員是男生的概率為．【答案】【分析】先確定四名裁判中既有男生也有女生，且女裁判員擔(dān)任主裁判的事件數(shù)，再確定四名裁判中既有男生也有女生，且女裁判員擔(dān)任主裁判，第四裁判是男生的事件數(shù)，最后根據(jù)條件概率公式得結(jié)果.【詳解】第一步確定四名裁判中既有男生也有女生，且女裁判員擔(dān)任主裁判的事件數(shù)：先從名女生中選出一名擔(dān)任主裁判，有種選法，再從剩下人中選出人分別擔(dān)任不同的助理裁判以及第四裁判，注意到四名裁判中既有男生也有女生，所以有種選法，故四名裁判中既有男生也有女生，且女裁判員擔(dān)任主裁判的事件數(shù)為，第二步確定四名裁判中既有男生也有女生，且女裁判員擔(dān)任主裁判，第四裁判是男生的事件數(shù)：先從名女生中選出一名擔(dān)任主裁判，有種選法；再從名男生中選出一名擔(dān)任第四裁判，有種選法；最后從剩下人中選出人分別擔(dān)任不同的助理裁判，有種選法，故四名裁判中既有男生也有女生，且女裁判員擔(dān)任主裁判，第四裁判是男生的事件數(shù)為，因此，四名裁判中既要有男生，也要有女生，且在女裁判員擔(dān)任主裁判的條件下，第四裁判員是男生的概率為，故答案為：3．（2025·福建泉州·一模）編號為的個球依次被等可能地涂成黑色或白色，設(shè)編號為奇數(shù)的黑色球的個數(shù)為，編號為偶數(shù)的白色球的個數(shù)為，記事件“”為．(1)求；(2)當(dāng)時，求；(3)當(dāng)時，設(shè)，證明：．【答案】(1)，(2)(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)獨立事件定義分析，分別對應(yīng)的事件，并計算對應(yīng)概率，再根據(jù)條件概率公式計算即可.（2）當(dāng)時，分析可能情況，記事件“編號為奇數(shù)的個球中，被涂成黑色的球的個數(shù)為”為，事件“編號為偶數(shù)的個球中，被涂成白色的球的個數(shù)小于”為，則，且兩兩互斥，再根據(jù)公式計算即可.（3）根據(jù)題意列出對應(yīng)事件及其概率，再用期望公式計算，最后根據(jù)組合數(shù)性質(zhì)進行化簡計算即可得證.【詳解】（1）記事件“編號為的球被涂黑色”為，則，且相互獨立，所以，同理，可得，所以事件，所以，故．（2）記事件“編號為奇數(shù)的個球中，被涂成黑色的球的個數(shù)為”為，事件“編號為偶數(shù)的個球中，被涂成白色的球的個數(shù)小于”為，則，且兩兩互斥，所以設(shè)，則，故，從而，所以．（3）設(shè)，則可取，故可取，根據(jù)對稱性，且，根據(jù)組合數(shù)的對稱性，可得，因為展開式中的系數(shù)為，展開式中的系數(shù)為，故，故從而，整理，得又，所以，所以，又根據(jù)，可得．可得．記“偶數(shù)號白球個數(shù)與奇數(shù)號黑球個數(shù)相等”為事件，其概率為由（2）知，所以，又由（2）知，可得，所以4．（2025·甘肅蘭州·一模）“春雨驚春清谷天，夏滿芒夏暑相連，秋處露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒．”這二十八字節(jié)氣歌是我國古人智慧的結(jié)晶．某文具店試銷二十四節(jié)氣書簽，每套書簽24張，分別印有春夏秋冬四季節(jié)氣各6張．文具店為促銷進行抽獎活動，凡購買一套二十四節(jié)氣書簽可參加抽獎，抽獎規(guī)則如下：從一套書簽中挑出6張春季卡，6張夏季卡，將其中3張春季卡和3張夏季卡裝在一個不透明的盒中，剩余的3張春季卡和3張夏季卡放在盒外．現(xiàn)從盒中隨機抽出一張卡，若抽出春季卡，則把它放回盒子中，若抽出夏季卡，則該卡與盒外的一張春季卡置換．如此操作不超過4次，將盒中的夏季卡全部置換為春季卡，則停止抽卡并獲得2套二十四節(jié)氣書簽，否則不獲獎．(1)求只抽3次即獲獎的概率；(2)若促銷的30天中預(yù)計有360人參加活動，從數(shù)學(xué)期望的角度分析商家準備多套少書簽作為獎品更為合理？【答案】(1)(2)60套【分析】（1）用字母表示出事情，根據(jù)事情的關(guān)系以及條件概率的公式，可得答案；（2）由互斥事件的概率加法公式以及條件概率，求得獲獎概率，利用二項分布的均值公式，可得答案.【詳解】（1）設(shè)事件（i可取1，2，3，4）表示第i次抽到春季卡，（j可取1，2，3，4）表示第j次抽到夏季卡，事件C表示抽3次即獲獎，則，，所以.（2）設(shè)事件D表示獲獎，則，且，為互斥事件，，由（1），，，，又因為參加抽獎是否獲獎相互獨立，用隨機變量X表示參加活動獲獎的人數(shù)，若促銷的30天中預(yù)計有360人參加活動，則，所以，即估計獲獎人數(shù)的平均值為30，又因為獲獎后每人獲得2套二十四節(jié)氣書簽，，所以商家準備60套書簽作為獎品較為合理．5．（2025·山東濟寧·一模）甲，乙兩人進行乒乓球比賽，比賽采用3局2勝制，如果每局比賽甲獲勝的概率為0.7，乙獲勝的概率為0.3，且各局比賽結(jié)果相互獨立，那么在甲獲勝的條件下，比賽進行了3局的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)相應(yīng)事件，根據(jù)獨立事件概率求法求，，進而求條件概率.【詳解】設(shè)甲獲勝為事件A，比賽進行了3局為事件B，則，，所以.故選：C.6．（2025·四川·一模）某保險公司隨機選取了200名不同駕齡的投保司機，調(diào)查他們投保后一年內(nèi)的索賠情況，結(jié)果如下：單位：人一年內(nèi)是否索賠駕齡合計不滿10年10年以上是10515否9095185合計100100200(1)依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析表中的數(shù)據(jù)，能否據(jù)此推斷司機投保后一年內(nèi)是否索賠與司機的駕齡有關(guān)？(2)保險公司的大數(shù)據(jù)顯示，每年投保的新司機索賠的概率為，投保的老司機索賠的概率均為．假設(shè)投保司機中新司機的占比為.隨機選取一名投保司機，記事件“這名司機在第年索賠”為，事件“這名司機是新司機”為.已知.（i）證明：；（ii）證明：，并給出該不等式的直觀解釋.附：，【答案】(1)司機投保后一年內(nèi)是否索賠與司機的駕齡無關(guān)(2)（i）證明見解析；（ii）證明見解析，說明投保司機第一年索賠的概率小于他第一年索賠后第二年又索賠的概率.【分析】（1）根據(jù)卡方獨立性檢驗的檢驗規(guī)則即可求解；（2）（i）根據(jù)條件概率公式即可證明；（ii）根據(jù)題意可知，由（i）中的結(jié)論及已知易得，進而轉(zhuǎn)化為，將該式化簡變形即可證明.【詳解】（1）零假設(shè)為：司機投保后一年內(nèi)是否索賠與司機的駕齡無關(guān).根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計算得.根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認為成立，即認為司機投保后一年內(nèi)是否索賠與司機的駕齡無關(guān).（2）（i）根據(jù)條件概率的定義，.（ii）由題意.由（i）中的結(jié)論及已知得，，由概率的性質(zhì)知.由全概率公式，.根據(jù)條件概率的定義，.因為，所以要證，即證，即證.因為，所以成立.所以.式子說明投保司機第一年索賠的概率小于他第一年索賠后第二年又索賠的概率.題型04正態(tài)分布與相互獨立題型041．（2025·天津河?xùn)|·一模）下列說法中，正確的有（

）①回歸直線恒過點，且至少過一個樣本點；②根據(jù)列列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計算得出，而，則有的把握認為兩個分類變量有關(guān)系，即有的可能性使得“兩個分類變量有關(guān)系”的推斷出現(xiàn)錯誤；③是用來判斷兩個分類變量是否相關(guān)的隨機變量，當(dāng)?shù)闹岛苄r可以推斷兩類變量不相關(guān)；④某項測量結(jié)果服從正態(tài)分布，則，則.A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)回歸直線的特征即可判斷①，理解獨立性檢驗的基本思想即可判斷②，正確把握卡方值的含義即可判斷③，利用正態(tài)曲線的對稱性可判斷④.【詳解】回歸直線的性質(zhì)是恒過樣本點的中心，但不一定會經(jīng)過任何一個具體的樣本點.所以說法①錯誤.在獨立性檢驗中，我們先提出一個假設(shè).當(dāng)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計算得出，且時，這意味著在假設(shè)成立的條件下，出現(xiàn)這樣的值是一個小概率事件.小概率事件在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生，但現(xiàn)在卻發(fā)生了，所以我們有理由拒絕假設(shè)，從而有的把握認為兩個分類變量有關(guān)系，同時也就意味著有的可能性使得“兩個分類變量有關(guān)系”的推斷出現(xiàn)錯誤，所以說法②正確.是用于判斷兩個分類變量是否相關(guān)的隨機變量.當(dāng)?shù)闹岛苄r，只能說明我們有較小的把握認為兩類變量相關(guān)，但不能就此推斷兩類變量不相關(guān).因為即使值小，也有可能是由于樣本量等因素的影響，不能絕對地得出兩類變量無關(guān)的結(jié)論，所以說法③錯誤.已知某項測量結(jié)果服從正態(tài)分布，正態(tài)分布具有對稱性，其對稱軸為.又因為，這表明與關(guān)于對稱軸對稱.根據(jù)正態(tài)分布的對稱性可知，與之和為，已知，那么，所以說法④正確.故選：B.2．（2025·黑龍江·一模）坐位體前屈（SitAndReach）是一種體育鍛煉項目，也是大中小學(xué)體質(zhì)健康測試項目，通常使用電動測試儀進行測試，為鼓勵和推動學(xué)生積極參加體育鍛煉，增強學(xué)生體質(zhì)，我國于2002年開始在全國試行《學(xué)生體質(zhì)健康標準》，坐位體前屈屬于該標準規(guī)定的測試內(nèi)容之一，已知某地區(qū)進行體育達標測試，統(tǒng)計得到高三女生坐位體前屈的成績（單位：cm）服從正態(tài)分布，且，現(xiàn)從該地區(qū)高三女生中隨機抽取3人，記在區(qū)間的人數(shù)為，則正確的有（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】利用正態(tài)分布的性質(zhì)計算判斷A；利用二項分布的期望、方差公式計算判斷BC；利用對立事件的概率公式計算判斷D.【詳解】對于A，由，得，則，A正確；對于B，由A知，在區(qū)間的概率為，，，因此，B正確；對于C，由B知，，因此，C錯誤；對于D，，D錯誤.故選：AB3．（2025·山東泰安·一模）下列選項正確的是（

）A．若隨機變量，則B．若根據(jù)分類變量與的成對樣本數(shù)據(jù)，計算得到，則依據(jù)的獨立性檢驗，認為變量與不獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過0.05C．若隨機變量，且，則D．?dāng)?shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是9【答案】ABD【分析】根據(jù)二項分布的方差公式、百分位數(shù)、正態(tài)分布、獨立性檢驗等知識對選項進行分析，從而確定正確選項.【詳解】對于A，若隨機變量，則，故A正確；對于B，因為，所以能根據(jù)作出判斷，認為變量與不獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過0.05，故B正確；對于C，對稱軸為，則，因為，所以，所以，故C錯誤；對于D，數(shù)據(jù)從小到大排列為1，1，2，2，3，3，3，9，11，12，所以，所以第75百分位數(shù)為9，故D正確.故選：ABD.4．（2025·江西·一模）已知隨機變量，若，則.【答案】0.2【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性，計算即可得答案.【詳解】因為，，所以，所以.故答案為：.5．（2025·全國·一模）某公司為考核員工，采用某方案對員工進行業(yè)務(wù)技能測試，然后統(tǒng)計并分析測試成績以確定員工績效等級．(1)已知該公司甲部門有3名負責(zé)人，乙部門有4名負責(zé)人，該公司從甲、乙兩部門中隨機選取3名負責(zé)人做測試分析，記負責(zé)人來自甲部門的人數(shù)為，求最有可能的取值．(2)該公司統(tǒng)計了七個部門測試的平均成績（滿分100分）與績效等級優(yōu)秀率，如表所示．324154687480920.280.340.440.580.660.740.94根據(jù)數(shù)據(jù)繪制散點圖，初步判斷，選用作為經(jīng)驗回歸方程．令，經(jīng)計算得，．（i）已知某部門測試的平均成績?yōu)?0分，估計其績效等級優(yōu)秀率；（ii）根據(jù)統(tǒng)計分析，大致認為各部門測試平均成績，其中近似為樣本平均數(shù)近似為樣本方差．經(jīng)計算，求某個部門績效等級優(yōu)秀率高于0.7875的概率．參考公式與數(shù)據(jù)：①．②經(jīng)驗回歸方程中，．③若隨機變量，則．【答案】(1)1(2)（i）0.498；（ii）約為0.15865【分析】（1）根據(jù)題干隨機變量服從超幾何分布，寫出的可能取值并求出所對應(yīng)的概率．（2）（i）又兩邊取對數(shù)，得，令，求出線性回歸方程即可求解；（ii）求出的取值范圍，再由正態(tài)分布的性質(zhì)計算可得．【詳解】（1）隨機變量服從超幾何分布，且的可能取值為，且，．由此可得最大，即的可能性最大，故最有可能的取值為1．（2）（i）第一步：取對數(shù)．依題意，兩邊取對數(shù)，得，即．第二步：求經(jīng)驗回歸方程．其中，由提供的參考數(shù)據(jù)，可知，又，故，由提供的參考數(shù)據(jù)，可得，故．當(dāng)時，，即估計其績效等級優(yōu)秀率為0.498．（ii）由（i）及提供的參考數(shù)據(jù)可知，又，即，可得，即，又，且，由正態(tài)分布的性質(zhì)，得，記“績效等級優(yōu)秀率高于0.7875”為事件，則，所以績效等級優(yōu)秀率高于0.7875的概率約為0.15865．6．（2025·江西·一模）比較兩組測量尺度差異較大數(shù)據(jù)的離散程度時，常使用離散系數(shù)，其定義為：離散系數(shù)．某地區(qū)進行調(diào)研考試，共名學(xué)生參考，測試結(jié)果（單位：分）近似服從正態(tài)分布，且平均分為，離散系數(shù)為，則下列說法正確是（

）（附：若隨機變量服從正態(tài)分布，，）A．學(xué)生考試成績標準差為B．學(xué)生考試成績近似服從正態(tài)分布C．約有名學(xué)生的成績低于分D．全體學(xué)生成績的第百分位數(shù)約為【答案】ABD【分析】利用離散系數(shù)的定義可判斷A選項；利用正態(tài)分布的概念可判斷B選項；利用正態(tài)分布原則可判斷C選項；利用百分位數(shù)的定義可判斷D選項.【詳解】對于A選項，，則學(xué)生考試成績標準差為，A對；對于B選項，由正態(tài)分布可知學(xué)生考試成績近似服從正態(tài)分布，B對；對于C選項，因為，則，所以，績低于分的學(xué)生人數(shù)約為，C錯；對于D選項，因為，所以，全體學(xué)生成績的第百分位數(shù)約為，D對.故選：ABD.題型05古典概型題型051．（2025·山東青島·一模）《周易》反映了中國古代的二進制計數(shù)的思想方法，可以解釋為：把陽爻“”當(dāng)做數(shù)字“”，把陰爻“”當(dāng)做數(shù)字“”，例如，成語“否極泰來”包含了“否”卦和“泰”卦，“否”卦所表示的二進制數(shù)為，轉(zhuǎn)化為十進制數(shù)是，“泰”卦所表示的二進制數(shù)為，轉(zhuǎn)化為十進制數(shù)是(1)若某卦的符號由五個陽爻和一個陰爻構(gòu)成，求所有這些卦表示的十進制數(shù)的和；(2)在由三個陽爻和三個陰爻構(gòu)成的卦中任取一卦，若三個陽爻均相鄰，則記分；若只有兩個陽爻相鄰，則記分；若三個陽爻互不相鄰，則記分，設(shè)任取一卦后的得分為隨機變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)315(2)分布列見解析，【分析】（1）由題意，由五個陽爻和一個陰爻構(gòu)成的卦所表示的二進制數(shù)有6個，列舉后按照二進制數(shù)與十進制數(shù)之間的轉(zhuǎn)化公式計算求和即得；（2）先判斷的所有可能取值，再運用古典概型概率公式和插空計數(shù)法求對應(yīng)的概率值，寫出分布列，計算數(shù)學(xué)期望即可.【詳解】（1）因為該卦的符號由五個陽爻和一個陰爻構(gòu)成，所以該卦所表示的二進制數(shù)共有個，分別為、、、、、，因為這個數(shù)中，每個數(shù)位都是次和次，所以這些卦表示的十進制數(shù)的和為：；（2）由題意可知，隨機變量的所有可能取值有、、，則，，，則隨機變量的分布列如下表所示：故.2．（2025·北京平谷·一模）某科研團隊研發(fā)了一款快速檢測某種疾病的試劑盒.為了解該試劑盒檢測的準確性，科研團隊從某地區(qū)（人數(shù)眾多）隨機選取了40位患者和60位非患者，用該試劑盒分別對他們進行了一次檢測，結(jié)果如下：抽樣人群陽性人數(shù)陰性人數(shù)患者364非患者258(1)試估計使用該試劑盒進行一次檢測結(jié)果正確的概率；(2)若從該地區(qū)的患者和非患者中分別抽取2人進行一次檢測，求恰有一人檢測結(jié)果錯誤的概率；(3)假設(shè)該地區(qū)有10萬人，患病率為0.01.從該地區(qū)隨機選取一人，用該試劑盒對其檢測一次.若檢測結(jié)果為陽性，能否判斷此人患該疾病的概率超過0.2？并說明理由.【答案】(1)0.94(2)(3)超過，理由見解析【分析】（1）由古典概型概率計算公式求解即可；（2）設(shè)事件：患者檢測結(jié)果正確，事件：非患者檢測結(jié)果正確“，事件：該地區(qū)的患者和非患者中分別抽取2人進行一次檢測，恰有一人檢測結(jié)果錯誤，由求解即可；（3）求得檢測一次結(jié)果為陽性的人數(shù)，確定其中患者人數(shù)，即可判斷；【詳解】（1）由題意知，使用該試劑盒進行一次檢測共有100人，其中檢測結(jié)果正確的共有94人，所以使用該試劑盒進行一次檢測結(jié)果正確的概率估計為.（2）設(shè)事件：患者檢測結(jié)果正確，事件：非患者檢測結(jié)果正確“，事件：該地區(qū)的患者和非患者中分別抽取2人進行一次檢測，恰有一人檢測結(jié)果錯誤；根據(jù)題中數(shù)據(jù)，可估計為可估計為該地區(qū)的患者中抽取2人進行一次檢測，恰有一人檢測結(jié)果錯誤的概率為該地區(qū)的非患者中抽取2人進行一次檢測，恰有一人檢測結(jié)果錯誤的概率為所以，所以.因此恰有一人檢測結(jié)果錯誤的概率為（3）此人患該疾病的概率超過0.2.理由如下：由題意得，如果該地區(qū)所有人用該試劑盒檢測一次，那么結(jié)果為陽性的人數(shù)為，其中患者人數(shù)為900.若某人檢測結(jié)果為陽性，那么他患該疾病的概率為.3．（2025·山東聊城·一模）將四個不同的小球，放入四個編號為、、、的盒子中，每個小球放入各個盒子的可能性都相等，設(shè)表示空盒的個數(shù)，表示號盒子中小球的個數(shù)，則（

）A．每個盒子中恰有球的概率為B．事件“號是空盒”與事件“號是空盒”不獨立C．隨機變量的方差為D．隨機變量的均值為【答案】BCD【分析】計算出每個盒子中恰有球的概率，可判斷A選項；利用獨立事件的定義可判斷B選項；利用二項分布的方差公式可判斷C選項；利用隨機變量期望公式可判斷D選項.【詳解】對于A選項，每個盒子中恰有球的概率為，A錯；對于B選項，記事件號是空盒，事件號是空盒，則，，所以，，故事件“號是空盒”與事件“號是空盒”不獨立，B對；對于C選項，由題意可知，故，C對；對于D選項，由題意可知，隨機變量的可能取值有、、、，則，，，，因此，，D對.故選：BCD.4．（2025·黑龍江·一模）已知正項數(shù)列滿足：對任意的正整數(shù)，都有，其中為非零常數(shù)．(1)若，求數(shù)列的通項公式；(2)證明：；(3)若且，從（且）中任取兩個數(shù)，記事件A：“取出的兩個數(shù)是無理數(shù)且中間僅包含一個整數(shù)”，其概率為，若，求正整數(shù)的最小值．公式：（其中為正整數(shù)）．【答案】(1)(2)證明見解析(3)19【分析】（1）利用遞推關(guān)系以及等差數(shù)列定義可求得，可求得通項公式；（2）由并根據(jù)裂項相消求和即可證明得出結(jié)論；（3）依題意利用遞推關(guān)系可求得，且，易知數(shù)列中共有個無理數(shù)，符合條件的無序?qū)橄噜弲^(qū)間和中的無理數(shù)對，分別求得總對數(shù)和從（且）中任取兩個數(shù)的組數(shù)，由古典概型公式求得，解不等式可求正整數(shù)m的最小值．【詳解】（1）由知為等差數(shù)列，（2）根據(jù)遞推關(guān)系可得：所以，因此（3）由（2）中結(jié)論且可得；又，即可得，因此，即可得；又，即，即可知；所以，即，因此此時；數(shù)列中無理數(shù)項對應(yīng)的為非平方數(shù)項，符合條件的無序?qū)橄噜弲^(qū)間和中的無理數(shù)項對，即在區(qū)間和上分別任取一個無理數(shù)構(gòu)成無理數(shù)項對，相鄰兩區(qū)間上符合題意的無理數(shù)項對為；因此總對數(shù)共有；從（且）中任取兩個數(shù)共有，因此，即，解得或，又，所以因此正整數(shù)的最小值為19.5．（2025·江西上饒·一模）將編號為的4個小球隨機放入編號為的4個凹槽中，每個凹槽放一個小球，則至少有1個凹槽與其放入的小球編號相同的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用排列組合，先求出將編號為的4個小球隨機放入編號為的4個凹槽中的放法數(shù)，再求出4個凹槽與其放入小球編號互不相同的放法數(shù)，再利用對立事件的概率公式，即可求出結(jié)果.【詳解】將編號為的4個小球隨機放入編號為的4個凹槽中，共有種放法，4個凹槽與其放入小球編號互不相同的有種放法，所以至少有1個凹槽與其放入小球編號相同的概率是.故選：C.題型06獨立性檢驗題型061．（2025·寧夏銀川·一模）數(shù)學(xué)中的概率概念最早起源于對賭博問題的研究.一個數(shù)學(xué)興趣小組隨機調(diào)查了名成年人，對關(guān)于賭博是否感興趣的話題進行了統(tǒng)計，其中被選取的男女人數(shù)之比為.(1)請補充完整列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為對賭博感興趣的情況與性別有關(guān).感興趣不感興趣合計成年男性成年女性合計(2)假如一名賭徒進入賭場參與一個賭博游戲，每一局賭徒賭贏的概率為，且每局賭贏可以贏得元，每一局賭徒賭輸?shù)母怕蕿?，且賭輸就要輸?shù)粼?賭徒會一直玩下去，直到遇到如下兩種情況才會結(jié)束賭博游戲：一種是手中賭金為元，即賭徒輸光：一種是賭金達到預(yù)期的元，賭徒停止賭博.記賭徒的本金為，當(dāng)賭徒手中有元時，最終輸光的概率為，請回答下列問題：①請直接寫出與的數(shù)值.②證明是一個等差數(shù)列，當(dāng)時，分別計算時，的數(shù)值，并結(jié)合實際，解釋當(dāng)時，的統(tǒng)計含義.附：.0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828【答案】(1)聯(lián)列表見解析，不能(2)①，；②證明見解析，時，，時，，統(tǒng)計含義見解析【分析】（1）根據(jù)條件得男生人，女生人，再根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，即可得到列聯(lián)表，再利用的計算公式，即可求解；（2）由全概率公式可得，整理為，即可證明結(jié)論；進而可得，即可求得，時，的數(shù)值，結(jié)合概率的變化趨勢，即可得統(tǒng)計含義.【詳解】（1）因為被選取的男女人數(shù)之比為，所以男生人，女生人，所以列聯(lián)表如圖，感興趣不感興趣合計成年男性成年女性合計又，所以依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，不能認為對賭博感興趣的情況與性別有關(guān).（2）①當(dāng)時，賭徒已經(jīng)輸光了，因此，當(dāng)時，賭徒到了終止賭博的條件，不再賭了，因此輸光的概率.②記：賭徒有元最后輸光的事件，：賭徒有元，且下一場贏的事件，,即，所以，所以是一個等差數(shù)列，設(shè)，則，累加得，故，得，當(dāng)，由得，即，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，因此可知久賭無贏家，即便是一個這樣看似公平的游戲，只要賭徒一直玩下去就會的概率輸光．2．（2025·山東淄博·一模）某地為調(diào)查大型水域的水質(zhì)情況，設(shè)置若干站點檢測水質(zhì)指數(shù)（“M指數(shù)”．），以這些站點所測“M指數(shù)”的平均值為依據(jù)，接報此大型水域的水質(zhì)情況．下圖是2024年11月份30天內(nèi)該大型水域“M指數(shù)”的頻率分布直方圖，其中分組區(qū)間分別為：，，，，，，，．

(1)規(guī)定：“指數(shù)”不超過50為“優(yōu)質(zhì)水源日”，否則稱為“非優(yōu)質(zhì)水源日”．對該地區(qū)50名外出郊游的市民進行調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：男市民女市民合計優(yōu)質(zhì)水源日出游1230非優(yōu)質(zhì)水源日出游6合計50請完成上述列聯(lián)表，并根據(jù)的獨立性檢驗，能否認為優(yōu)質(zhì)水源日出游與性別有關(guān)？(2)從“指數(shù)”在第一組和第二組的所有天數(shù)中選取3天的數(shù)據(jù)進行評價，記這3天的數(shù)據(jù)來自第一組的數(shù)據(jù)有天，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)答案見詳解(2)答案見詳解【分析】（1）完善列聯(lián)表，根據(jù)公式計算出卡方，即可得解；（2）由題知的可能取值為，然后計算相對應(yīng)的概率，畫出分布列，最后求出期望.【詳解】（1）男市民女市民合計優(yōu)質(zhì)水源日出游121830非優(yōu)質(zhì)水源日出游14620合計262450，所以有的把握認為優(yōu)質(zhì)水源日出游與性別有關(guān).（2）根據(jù)題意，第一組有天，第二組有天，所以的可能取值為，，，，，的分布列為0123.3．（2025·黑龍江·一模）第九屆亞洲冬季運動會在哈爾濱圓滿落下帷幕．在這場盛大的亞洲冰雪盛會中，獎牌榜見證了各國運動員的榮耀與拼搏．中國隊以32金27銀26銅，總計85枚獎牌的傲人成績，強勢登頂獎牌榜，成為最大贏家．這一成績不僅創(chuàng)造了中國隊亞冬會歷史最佳，更是追平了單屆金牌數(shù)紀錄，書寫了中國冰雪運動的嶄新篇章．冰球深受廣大球迷的喜愛，每支球隊都有一個或幾個主力隊員，現(xiàn)有一支冰球隊，其中甲球員是其主力隊員，經(jīng)統(tǒng)計該球隊在某階段所有比賽中，甲球員是否上場時該球隊的勝負情況如表：甲球員是否上場球隊的勝負情況合計勝負上場3845未上場3合計40(1)完成列聯(lián)表，并判斷根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為球隊的勝負與甲球員是否上場有關(guān)聯(lián)？(2)由于隊員的不同，甲球員主打的位置會進行調(diào)整，根據(jù)以往的數(shù)據(jù)統(tǒng)計，甲球員上場時，打邊鋒，中鋒，后衛(wèi)的概率分別為0.4，0.5，0.1，相應(yīng)球隊贏球的概率分別為0.7，0.9，0.5．（?。┊?dāng)甲球員上場參加比賽時，求球隊贏球的概率；

（ⅱ）當(dāng)甲球員上場參加比賽時，在球隊贏了某場比賽的條件下，求甲球員打中鋒的概率．附：．0.150.100.050.0250.0100.0012.0722.7063.7415.0246.63510.728【答案】(1)列聯(lián)表見解析，有關(guān)(2)（?。?.78；（ⅱ）【分析】（1）先補全表格再計算卡方，最后根據(jù)臨界值判斷即可；（2）（ⅰ）先應(yīng)用條件概率及全概率公式計算；（ⅱ）再應(yīng)用貝葉斯公式計算求解.【詳解】（1）根據(jù)題意，可得的列聯(lián)表：甲球員是否上場球隊的勝負情況合計勝負上場38745未上場235合計401050零假設(shè)：球隊勝負與甲球員是否上場無關(guān)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為球隊勝負與甲球員是否上場有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.025．（2）甲球員上場時，打邊鋒，中鋒，后衛(wèi)的概率分別為0.4，0.5，0.1，相應(yīng)球隊贏的概率分別為0.7，0.9，0.5（ⅰ）設(shè)事件：“甲球員上場打邊鋒”，事件：“甲球員上場打中鋒”事件：“甲球員上場打后衛(wèi)”，事件：“球隊贏球”則所以當(dāng)甲球員上場參加比賽時，球隊贏球的概率當(dāng)甲球員上場參加比賽時，求球隊勝的概率0.78（ⅱ）當(dāng)甲球員上場參加比賽時，在球隊贏了某場比賽的條件下，甲球員打中鋒的概率．當(dāng)甲球員上場參加比賽時，在球隊贏了某場比賽的條件下，甲球員打中鋒的概率4．（2025·山東菏澤·一模）在春節(jié)聯(lián)歡晚會上進行了機器人團體舞蹈表演，某機構(gòu)隨機抽取了100名觀眾進行問卷調(diào)查，得到了如下數(shù)據(jù)：喜歡不喜歡男性4010女性2030(1)依據(jù)的獨立性檢驗，試分析對機器人表演節(jié)目的喜歡是否與性別有關(guān)聯(lián)？(2)從這100名樣本觀眾中任選1名，設(shè)事件“選到的觀眾是男性”，事件“選到的觀眾喜歡機器人團體舞蹈表演節(jié)目”，比較和的大小，并解釋其意義.，.0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】(1)與性別有關(guān)聯(lián)(2)，意義見解析【分析】（1）提出零假設(shè)，并求出，與表中數(shù)據(jù)對比即可下結(jié)論；（2）根據(jù)條件概率的計算公式求解即可.【詳解】（1）零假設(shè)對機器人表演節(jié)目的喜歡與性別無關(guān).

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)得，依據(jù)的獨立性檢驗，可以推斷不成立，即對機器人表演節(jié)目的喜歡與性別有關(guān)聯(lián).（2）依題意得，，

，

則

意義：該樣本中男性對機器人團體舞蹈表演節(jié)目喜歡的概率比女性對機器人團體舞蹈表演節(jié)目喜歡概率大；或者男性對機器人團體舞蹈表演節(jié)目喜歡的人數(shù)比女性對機器人團體舞蹈表演節(jié)目喜歡多等等5．（2025·江西·一模）一家調(diào)查機構(gòu)在某地隨機抽查1000名成年居民對新能源車與燃油車的購買傾向，得到如下表格：傾向于購買燃油車傾向于購買新能源車合計女性居民150250400男性居民350250600合計5005001000(1)能否有99%的把握認為對新能源車與燃油車的購買傾向存在性別差異？(2)從傾向于購買燃油車的居民中按性別采用分層隨機抽樣的方法抽取10人，再從中抽取4人進行座談，求在有女性居民參加座談的條件下，恰有2名男性居民也參加座談的概率．(3)從所有參加調(diào)查的男性居民中按購買這兩種車的傾向性，采用分層隨機抽樣的方法抽出12人，再從中隨機抽取3人進行座談，記這3人中傾向于購買新能源車的居民人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．參考公式：，其中．在統(tǒng)計中，用以下結(jié)果對變量的獨立性進行判斷：當(dāng)時，沒有充分的證據(jù)判斷變量，有關(guān)聯(lián)，可以認為變量，是沒有關(guān)聯(lián)的；當(dāng)時，有90%的把握判斷變量，有關(guān)聯(lián)；當(dāng)時，有95%的把握判斷變量，有關(guān)聯(lián)；當(dāng)時，有99%的把握判斷變量，有關(guān)聯(lián)．【答案】(1)有99%的把握認為對新能源車與燃油車的購買傾向存在性別差異(2)(3)分布列見解析，【分析】（1）計算進行獨立性檢驗的判斷即可；（2）應(yīng)用超幾何分布概率公式計算求解；（3）寫出超幾何分布的分布列進而求出數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）因為，所以有99%的把握認為對新能源車與燃油車的購買傾向存在性別差異．（2）由表格可得傾向于購買燃油車的居民中男、女性別比為7:3，所以抽取男性7人，女性3人，再從中抽取4人進行座談，有女性居民記為事件，則，恰有2名男性居民記為事件，則，所以在有女性居民參加座談的條件下，恰有2名男性居民也參加座談的概率為．（3）在所有參加調(diào)查的男性居民中按購買這兩種車的傾向性，采用分層隨機抽樣的方法抽出12人，可得抽取結(jié)果如下表：傾向于購買燃油車傾向于購買新能源車男性居民75再從中隨機抽取3人進行座談，記這3人中傾向于購買新能源車的居民人數(shù)為，可取0，1，2，3，9分可求出，，，，的分布列如下：0123數(shù)學(xué)期望．題型07求離散型隨機變量的分布列與期望題型071．（2025·廣西·一模）在某校舉辦的學(xué)科文化節(jié)系列活動中，數(shù)學(xué)組老師設(shè)計了一個答題挑戰(zhàn)活動供全校數(shù)學(xué)愛好者挑戰(zhàn)．挑戰(zhàn)題目由邏輯推理題和運算求解題兩部分構(gòu)成，用于考查學(xué)生的邏輯推理能力和運算求解能力．現(xiàn)有名同學(xué)報名依次發(fā)起挑戰(zhàn)，每位同學(xué)成功解答出邏輯推理題和運算求解題的概率均為，兩題能否解出相互獨立，每位同學(xué)解題過程相互獨立，挑戰(zhàn)規(guī)則如下：①每位同學(xué)均先答邏輯推理題，邏輯推理題答對才能答運算求解題；②記第位同學(xué)挑戰(zhàn)為本次挑戰(zhàn)活動的第輪，若第位同學(xué)在規(guī)定時間內(nèi)未完成邏輯推理題，則認為本次活動的第輪挑戰(zhàn)失敗，該同學(xué)退出由第位同學(xué)挑戰(zhàn)；③若第位同學(xué)在規(guī)定時間內(nèi)完成邏輯推理題，則該同學(xué)繼續(xù)答運算求解題，若該同學(xué)在規(guī)定時間內(nèi)未完成運算求解題，則也認為本次活動的第輪挑戰(zhàn)失敗，該同學(xué)退出，由第位同學(xué)挑戰(zhàn)；若該同學(xué)在規(guī)定時間內(nèi)完成了運算求解題，則挑戰(zhàn)成功，本次答題挑戰(zhàn)活動結(jié)束，后續(xù)同學(xué)不再進行答題挑戰(zhàn)．④挑戰(zhàn)進行到第輪，則不管第位同學(xué)是否完成兩題的解答，答題挑戰(zhàn)活動結(jié)束．令隨機變量表示這名同學(xué)在進行第輪挑戰(zhàn)后結(jié)束挑戰(zhàn)活動．(1)求隨機變量的分布列；(2)若把挑戰(zhàn)規(guī)則①去掉，換成規(guī)則⑤：挑戰(zhàn)的同學(xué)先挑戰(zhàn)邏輯推理題，若有同學(xué)在規(guī)定時間內(nèi)完成邏輯推理題，以后挑戰(zhàn)的同學(xué)不再挑戰(zhàn)邏輯推理題，直接挑戰(zhàn)運算求解題．令隨機變量表示這名同學(xué)在第輪挑戰(zhàn)后結(jié)束挑戰(zhàn)活動．（i）求隨機變量的分布列；（ii）證明：．【答案】(1)分布列見解析；(2)（i）分布列見解析；（ii）證明見解析.【分析】（1）分析出的所有可能取值為1，2，3，4，5，再根據(jù)獨立性事件乘法公式即可得到答案；（2）（i）首先計算出，則，再寫出的分布列即可；（ii）計算得，再累加得，最后再利用錯位相減法即可得到答案.【詳解】（1）由題意可得，每名同學(xué)兩題均完成挑戰(zhàn)的概率為，的所有可能取值為1，2，3，4，5，則，，，，.因此的分布列為：12345（2）（i）時，第人必完成運算求解題，若前面人都沒有一人完成邏輯推理題，其概率為，若前面人有一人完成邏輯推理題，其概率為，故．當(dāng)時，若前面人都沒有一人完成邏輯推理題，其概率為，若前面人有一人完成邏輯推理題，其概率為，故．的分布列為：123（ii）．又因為，，故，，①，②①②得，則.2．（2025·廣東湛江·一模）甲參加了一場智力問答游戲，每輪游戲均有兩類問題（難度系數(shù)較低的類問題以及難度系數(shù)較高的類問題）供選擇，且每輪游戲只回答兩類問題中的其中一個問題．甲遇到每類問題的概率均為，甲遇到類問題時回答正確的概率為，回答正確記1分，否則記0分；甲遇到類問題時回答正確的概率為，回答正確記2分，否則記0分，總得分記為X分，甲回答每個問題相互獨立．(1)當(dāng)進行完2輪游戲時，求甲的總分X的分布列與數(shù)學(xué)期望．(2)設(shè)甲在每輪游戲中均回答正確且累計得分為n分的概率為．（?。┳C明：為等比數(shù)列．（ⅱ）求的最大值以及對應(yīng)n的值．【答案】(1)分布列見解析，1(2)（?。┳C明見解析；（ⅱ）當(dāng)時，取到最大值為【分析】（1）由已知可得X的可能取值，分別求解概率即可得分布列和期望；（2）（?。└鶕?jù)等比數(shù)列的定義證明即可；由（?。┛勺C為等比數(shù)列，可得，結(jié)合不等式的性質(zhì)和函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】（1）X可以取0，1，2，3，4，每次回答A類問題且回答正確的概率為，回答A類問題且回答不正確的概率為，每次回答B(yǎng)類問題且回答正確的概率為，回答B(yǎng)類問題且回答不正確的概率為，，，，；，X的分布列為：X01234P；（2）（ⅰ），，由題意得甲累計得分為n分的前一輪得分只能為分或分，故當(dāng)時，，所以，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列；（ⅱ）根據(jù)（?。┛芍?，①，易得，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以②，令②－①可得，所以，經(jīng)檢驗，時均滿足上式，故，所以，而顯然隨著n的增大而減小，故，又因為，所以當(dāng)時，取到最大值為.3．（2025·遼寧·一模）隨機變量服從參數(shù)為的二項分布，即，其概率分布可用下圖直觀的表示，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】由頻率分布直觀圖可得A錯誤；由二項分布的概率公式令可得B正確；由二項分布的概率公式可得C正確；由二項分布的方差公式可得D正確.【詳解】對于A，由頻率分布直觀圖可得可以取0，1，2，3，4，所以，故A錯誤；對于B，由，所以，故B正確；對于C，，所以，故C正確；對于D，，故D正確；故選：BCD4．（2025·山東煙臺·一模）為加強中小學(xué)科學(xué)教育，某市科協(xié)，市教育局擬于2025年4月聯(lián)合舉辦第四屆全市中小學(xué)機器人挑戰(zhàn)賽.比賽共設(shè)置穿越障礙、搬運物品兩個項目.每支參賽隊先挑戰(zhàn)穿越障礙項目，挑戰(zhàn)成功后，方可挑戰(zhàn)且必須挑戰(zhàn)搬運物品項目.每支參賽隊每個項目至多挑戰(zhàn)兩次，若第一次挑戰(zhàn)成功，則獲得獎金2000元，該項目不再挑戰(zhàn)：若第一次挑戰(zhàn)失敗，則必須第二次挑戰(zhàn)該項目，若第二次挑戰(zhàn)成功，則獲得獎金1000元，否則，不獲得獎金.假設(shè)甲參賽隊在每個項目中，第一次挑戰(zhàn)成功的概率為，第一次挑戰(zhàn)失敗但第二次挑戰(zhàn)該項目成功的概率為；兩個項目是否挑戰(zhàn)成功相互獨立.(1)設(shè)事件“甲參賽隊兩個項目均挑戰(zhàn)成功”，求；(2)設(shè)比賽結(jié)束時，甲參賽隊獲得獎金數(shù)為隨機變量，求的分布列；(3)假設(shè)本屆比賽共有36支參賽隊，且根據(jù)往屆比賽成績，甲參賽隊獲得獎金數(shù)近似為各參賽隊獲得獎金數(shù)的平均水平.某贊助商計劃提供全部獎金，試估計其需提供的獎金總額.【答案】(1)(2)答案見解析；(3)元【分析】（1）先應(yīng)用互斥事件概率和公式計算項目挑戰(zhàn)成功的概率，再應(yīng)用概率乘積公式計算即可求解；（2）先求出甲參賽隊可能獲得的獎金為元的所有可能取值，再應(yīng)用獨立事件概率乘積公式求出每個值所對應(yīng)的概率，即可求解；（3）先求出甲參賽隊可獲得獎金的數(shù)學(xué)期望，再結(jié)合參加的隊數(shù)估計需提供的獎金總額即可.【詳解】（1）每個項目挑戰(zhàn)成功的概率，則.（2）甲參賽隊獲得獎金數(shù)為隨機變量的所有可能取值為4000，3000，2000，1000，0.；；；；.∴甲獲得獎金數(shù)的分布列為：40003000200010000（3）由（2）得出甲參賽隊獲得獎金數(shù)數(shù)學(xué)期望元，因為假設(shè)本屆比賽共有36支參賽隊，估計其需提供的獎金總額為元5．（2025·黑龍江哈爾濱·一模）“冰雪同夢，亞洲同心”，年第九屆亞冬會在哈爾濱舉辦，本次賽事共有個大項，個分項，個小項，有來自個國家和地區(qū)，多名運動員參賽，是一場令人回味無窮的冬季體育盛會，亞冬會圓滿結(jié)束后，我校團委組織學(xué)生參加與亞冬會有關(guān)的知識競賽.為鼓勵同學(xué)們積極參加此項活動，比賽規(guī)定：答對一題得兩分，答錯一題得一分，選手不放棄任何一次答題機會.已知小明報名參加比賽，每道題回答是否正確相互獨立，且每次答對的概率不一定相等.(1)若前