第5題條件等式求最值問題（一題多解）【山東名校2025屆高三12月校際聯(lián)合檢測】．已知正數(shù)x，y滿足，則的最小值為______．角度一、利用“1”的妙用結(jié)合條件等式先計算最小值，得出，由整體思想計算得；角度二、利用“1”的妙用結(jié)合條件等式計算，根據(jù)一元二次不等式計算即可.由，得，所以，因為，所以，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時，上式取“＝”，所以的最小值為9．角度二、因為，則令，即1．已知，，且，則的最小值是（

）A．10 B．15 C．18 D．23【答案】C【分析】把已知式變形為，然后由基本不等式求得最小值．【詳解】由x>0，y>0，且，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最小值是18．故選：C．（2024高三·全國·專題練習(xí)）2．已知實數(shù)滿足，，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意結(jié)合基本不等式運算求解即可.【詳解】因為，可得，又因為，即，整理可得，且，，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，所以取得最大值．故選：C.設(shè)，引參消元結(jié)合判別式法計算最值.令，則有，，即．，，即．，，的最小值為9．3．已知正數(shù)a，b滿足，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．a(chǎn)b有最大值 B．有最小值8 C．有最小值4 D．有最小值【答案】B【分析】根據(jù)題意結(jié)合基本不等式依次分析判斷即可【詳解】對于A，因為，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以A正確，對于B，因為，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為9，所以B錯誤，對于C，因為，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以有最小值4，所以C正確，對于D，因為，，所以，而，所以當(dāng)時，有最小值，所以D正確，故選：B（24-25高二上·河北邢臺·期中）4．曲線的形狀是一個斜橢圓，其方程為，點是曲線上的任意一點，點為坐標(biāo)原點，則下列說法錯誤的是（

）A．曲線關(guān)于對稱 B．的最大值為C．該橢圓的離心率為 D．的最大值為【答案】C【分析】根據(jù)方程的特點分析曲線的對稱性，可判斷A的真假，并求出橢圓的長軸長和短軸長，根據(jù)離心率的概念，可求橢圓的離心率，判斷C的真假；利用基本（均值）不等式可以判斷B的真假；把方程看成關(guān)于的不等式，利用可求的取值范圍，判斷D的真假.【詳解】由方程可以看出其關(guān)于，對稱，A正確；由題意知，，，，，B正確：聯(lián)立方程，解得頂點坐標(biāo)為和，所以橢圓長軸長為；同理可得另外兩個頂點坐標(biāo)為和，所以橢圓的短軸長為，所以，所以該橢圓的離心率為：，C錯誤；看作關(guān)于的一元二次方程，，解得，D正確，故選：C．【點睛】結(jié)論點睛：在曲線方程中，若用代替，方程不變，則曲線關(guān)于軸對稱；若用代替，方程不變，則曲線關(guān)于軸對稱；若用代替，代替，方程不變，則曲線關(guān)于原點對稱；若用代替，同時用代替，方程不變，則曲線關(guān)于直線對稱.令，結(jié)合“1”的妙用得解一元二次不等式即可.令，則有，，t的最小值為9，即的最小值為9．（2024·湖北·一模）5．已知實數(shù)滿足，則最大值為（

）A．2 B．3 C． D．【答案】A【分析】解法（1）采用三角換元，令，再結(jié)合余弦函數(shù)的值域求解即可；解法（2）采用基本不等式求解即可；【詳解】解法（1）：由，令，即，，，即最大值為2；解法（2）：當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，，即最大值為2，故選：A.利用方程思想消元解得，再結(jié)合柯西不等式計算最值即可.由已知得，，又，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，“＝”成立，的最小值為9．6．已知，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由條件可得，則，由均值不等式可得答案.【詳解】由，，，可得當(dāng)且僅當(dāng),即時取等號.故選：A【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方（24-25高三上·陜西西安·階段練習(xí)）7．已知，，則的最小值為．【答案】10【分析】利用已知條件將，化簡為，然后利用柯西不等式求解最小值即可．【詳解】由,得所以當(dāng)且僅當(dāng),即時,等號成立,故的最小值為10.故答案為：10.【點睛】關(guān)鍵點點睛：結(jié)合條件特點,將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為滿足柯西不等式的形式,從而利用柯西不等式,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立)求最小值,技巧性較強.利用條件等式結(jié)合權(quán)方和不等式計算得，再解一元二次不等式即可.有，故又，即有，．（當(dāng)且僅當(dāng)取等號）（2024·四川·模擬預(yù)測）8．“權(quán)方和不等式”是由湖南理工大學(xué)楊克昌教授于上世紀(jì)80年代初命名的．其具體內(nèi)容為：設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．根據(jù)權(quán)方和不等式，若，當(dāng)取得最小值時，的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由給定的權(quán)方和不等式定義處理即可.【詳解】由題意得，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以．故選：C．（2024·河南信陽·模擬預(yù)測）9．已知正數(shù)滿足，則的最小值為.【答案】【分析】根據(jù)分離常量法可得，結(jié)合權(quán)方和不等式計算可得，即，即可求解.【詳解】，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，所以，得，所以或（舍去），即的最小值為.故答案為：兩次利用基本不等式配湊系數(shù)結(jié)合整體思想計算最值.（取等條件，即），代入有，解得，，即，，有，即.（2024高三·全國·專題練習(xí)）10．設(shè)表示實數(shù)中最小的數(shù)，若，且，則中的最大值為．【答案】4【分析】首先設(shè)，，，，再構(gòu)造和的形式，利用基本不等式求最值.【詳解】設(shè)，，，，，且，，，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立，又，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立，故中的最大值為4.故答案為：4【點睛】關(guān)鍵點睛：本題是一道典型的二元雙重最值問題，求解的關(guān)鍵是多次運用基本不等式，多次運用基本不等式時，一定要注意等號成立的條件，看是否同時滿足，另外還要注意不等號的方向，保持不等號的一致性.利用拉格朗日乘數(shù)法計算偏導(dǎo)解方程即可.，，令有，令，有代入，即（舍），此時，.11．實數(shù)a，b滿足，，，則的最小值是（

）A．4 B．6 C． D．【答案】C【分析】令，，化簡得到，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】令，，則，，且，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立.所以的最小值是，故選：C.（24-25高三上·天津濱海新·期中）12．已知且，則的最小值為（

）A． B．7C．15 D．【答案】C【分析】依題意可得，對變形可得原式，再利用乘“1”法及基本不等式計算可得.【詳解】，且，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，即的最小值為.故選：C．（24-25高三上·四川廣安·階段練習(xí)）13．已知正實數(shù)x，y滿足，則的最小值為（）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】A【分析】由題設(shè)可得，再應(yīng)用基本不等式求最小值，注意取值條件.【詳解】由，可得，故，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時取等號，故目標(biāo)式的最小值為9.故選：A（2024高三·全國·專題練習(xí)多選）14．已知，，，且滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】對于A選項，由，得，A錯誤；先利用基本不等式與將消去，再利用配方法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的形式求解判斷B，C，D選項．【詳解】，,兩式相加，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故A錯誤；由，得，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立，故B正確；，當(dāng)且僅當(dāng)，時，等號成立，故C正確；，當(dāng)且僅當(dāng)，時，等號成立．又，故D正確．故選：BCD．（24-25高一上·廣東廣州·階段練習(xí)）15．若實數(shù)x，y滿足，則的最大值是．【答案】【分析】由已知可得，，代入，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】因為實數(shù)x，y滿足，所以，所以，所以，，所以當(dāng)時，有最大值，最大值為.故答案為：.（2024高二下·北京·競賽）16．對于，若非零實數(shù)滿足，且使最大，則的最小值為.【答案】【分析】根據(jù)等式先配方出平方和，再利用柯西不等式，湊出，以等號成立的條件為依據(jù)，把轉(zhuǎn)化為一個變量的函數(shù)，求最值即可.【詳解】因為，所以，由柯西不等式得，，當(dāng)最大時，有，所以，，所以，當(dāng)，即時，上式取得最小值.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查柯西不等式，關(guān)鍵在于用柯西不等式湊出，當(dāng)反推柯西不等式時，需要結(jié)合不等式兩邊已有的式子，對相同未知數(shù)的系數(shù)進行分析配湊.17．若，則的最小值為．【答案】【分析】利用柯西不等式可直接求得結(jié)果.【詳解】由柯西不等式得：，即，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），的最小值為.故答案為：.（24-25高一上·江蘇無錫·期中）18．權(quán)方和不等式作為基本不等式的一個變化，在求二元變量最值時有很廣泛的應(yīng)用，其表述如下：設(shè)正數(shù)a，b，x，y，滿足，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，則函數(shù)的最小值為．【答案】49【分析】根據(jù)題中給的不等式可求得結(jié)果.【詳解】因為正數(shù)a，b，x，y，滿足，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，此時的最小值為49，故答案為：49.（24-25高一上·河北·期中）19．若，，，則不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.這個不等式叫做權(quán)方和不等式，稱為該不等式的權(quán)，它的特點是分子的冪指數(shù)比分母的冪指數(shù)高1次.權(quán)方和不等式是數(shù)學(xué)中一個重要的不等式.(1)若，證明二維形式的權(quán)方和不等式：.(2)已知，，求的最小值.(3)某同學(xué)運用權(quán)方和不等式解決下列問題，指出這種解法是否正確，并說明理由.已知正數(shù)，滿足，求的最大值.解：由權(quán)方和不等式得，所以的最大值是5.【答案】(1)證明見解析；(2)60；(3)解法不正確