2025年CPA《財(cái)務(wù)成本管理》期權(quán)定價(jià)計(jì)算卷考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、假設(shè)某公司正在考慮購(gòu)買一個(gè)期權(quán)。標(biāo)的資產(chǎn)為該公司股票，當(dāng)前市價(jià)為每股80元。該公司股票的年波動(dòng)率為30%。期權(quán)為歐式看漲期權(quán)，執(zhí)行價(jià)格為每股70元，期限為6個(gè)月。市場(chǎng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率（連續(xù)復(fù)利）為8%。請(qǐng)計(jì)算該看漲期權(quán)的理論價(jià)值。二、某投資者持有A公司股票1000股，該股票當(dāng)前市價(jià)為每股25元。該投資者擔(dān)心股價(jià)下跌，因此買入一份執(zhí)行價(jià)格為每股28元的A公司看跌期權(quán)進(jìn)行保護(hù)。該看跌期權(quán)為歐式期權(quán)，期限為3個(gè)月。市場(chǎng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率為5%，A公司股票的年波動(dòng)率為20%。請(qǐng)計(jì)算該看跌期權(quán)的理論價(jià)值。假設(shè)該投資者不進(jìn)行任何其他操作。三、XYZ公司正在評(píng)估一個(gè)項(xiàng)目，該項(xiàng)目未來(lái)現(xiàn)金流具有不確定性。項(xiàng)目初始投資為1000萬(wàn)元，預(yù)計(jì)在1年末產(chǎn)生現(xiàn)金流，該現(xiàn)金流服從正態(tài)分布，期望值為500萬(wàn)元，標(biāo)準(zhǔn)差為200萬(wàn)元。公司要求的最低投資回報(bào)率為10%。假設(shè)公司可以選擇在項(xiàng)目開(kāi)始后1年末根據(jù)市場(chǎng)情況決定是否繼續(xù)經(jīng)營(yíng)該項(xiàng)目（相當(dāng)于一個(gè)美式看漲期權(quán)，執(zhí)行價(jià)格為繼續(xù)經(jīng)營(yíng)項(xiàng)目的額外投資成本，假設(shè)為300萬(wàn)元）。請(qǐng)使用二叉樹(shù)模型（簡(jiǎn)化模型，假設(shè)只有兩期，步長(zhǎng)為1年）粗略估算該實(shí)物期權(quán)項(xiàng)目的價(jià)值。四、一份歐式看漲期權(quán)和一份歐式看跌期權(quán)具有相同的標(biāo)的資產(chǎn)、執(zhí)行價(jià)格和到期日。當(dāng)前看漲期權(quán)價(jià)格為6元，看跌期權(quán)價(jià)格為4元。標(biāo)的資產(chǎn)當(dāng)前價(jià)格為50元，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率為6%。請(qǐng)計(jì)算該組合的Delta值。五、某公司股票當(dāng)前價(jià)格為60元，執(zhí)行價(jià)格為65元的歐式看漲期權(quán)價(jià)格為5元，執(zhí)行價(jià)格為55元的歐式看漲期權(quán)價(jià)格為10元。假設(shè)年無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為4%，公司不派發(fā)股利。請(qǐng)使用二叉樹(shù)期權(quán)定價(jià)模型（或其他你熟悉的方法）粗略估算該公司股票的年波動(dòng)率。六、一個(gè)歐式看漲期權(quán)，標(biāo)的資產(chǎn)當(dāng)前價(jià)格100元，執(zhí)行價(jià)格90元，期限6個(gè)月，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率10%，年波動(dòng)率25%。請(qǐng)計(jì)算該看漲期權(quán)的Vega值。假設(shè)其他條件不變，如果年波動(dòng)率變?yōu)?0%，該看漲期權(quán)的理論價(jià)值將增加多少？七、某投資者構(gòu)建了一個(gè)跨式期權(quán)組合，買入一份執(zhí)行價(jià)格為100元的歐式看漲期權(quán)和一份執(zhí)行價(jià)格為100元的歐式看跌期權(quán)，兩份期權(quán)的到期日相同，當(dāng)前標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格為100元，看漲期權(quán)價(jià)格為5元，看跌期權(quán)價(jià)格為5元。假設(shè)到期日標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變?yōu)?5元，請(qǐng)計(jì)算該投資者組合的盈虧情況。不考慮期權(quán)的時(shí)間價(jià)值損耗。八、假設(shè)你正在使用Black-Scholes模型為一份美式看漲期權(quán)定價(jià)。模型參數(shù)如下：標(biāo)的資產(chǎn)當(dāng)前價(jià)格S=120，執(zhí)行價(jià)格K=125，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率r=7%，年波動(dòng)率σ=35%，期限t=9個(gè)月（假設(shè)為連續(xù)復(fù)利）。請(qǐng)計(jì)算該美式看漲期權(quán)的理論價(jià)值。提示：美式期權(quán)價(jià)值至少等于相應(yīng)歐式期權(quán)價(jià)值，且考慮早期執(zhí)行的可能性（此處可用歐式價(jià)值近似，但需說(shuō)明理由）。試卷答案一、解析思路：運(yùn)用Black-Scholes模型公式計(jì)算歐式看漲期權(quán)價(jià)值。公式為：C=S*N(d1)-K*exp(-rt)*N(d2)。其中，d1=[ln(S/K)+(r+σ2/2)*t]/(σ*sqrt(t))，d2=d1-σ*sqrt(t)。首先計(jì)算d1和d2，然后查找標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布累積分布函數(shù)值N(d1)和N(d2)，最后代入公式計(jì)算。參數(shù)S=80,K=70,r=0.08,σ=0.3,t=0.5。二、解析思路：運(yùn)用Black-Scholes模型計(jì)算歐式看跌期權(quán)價(jià)值。公式為：P=K*exp(-rt)*N(-d2)-S*N(-d1)。其中，N(-d1)=1-N(d1)，N(-d2)=1-N(d2)。d1和d2的計(jì)算方法同第一題。參數(shù)S=25,K=28,r=0.05,σ=0.2,t=0.25。計(jì)算結(jié)果為看跌期權(quán)價(jià)值，代表投資者為購(gòu)買該保護(hù)性看跌期權(quán)所需支付的成本。三、解析思路：使用簡(jiǎn)化二叉樹(shù)模型估算實(shí)物期權(quán)價(jià)值。首先確定上行和下行概率，通常假設(shè)為相等，即50%。計(jì)算上行和下行時(shí)的項(xiàng)目?jī)r(jià)值（分別為500+1000=1500萬(wàn)和500-300=200萬(wàn)）。然后計(jì)算期望的期望現(xiàn)金流（0.5*1500+0.5*200=850萬(wàn)），并將其折現(xiàn)到當(dāng)前時(shí)點(diǎn)（850/1.1=772.73萬(wàn)）。最終項(xiàng)目?jī)r(jià)值為期權(quán)價(jià)值加上無(wú)期權(quán)項(xiàng)目的凈現(xiàn)值（NPV）。期權(quán)價(jià)值=項(xiàng)目?jī)r(jià)值-無(wú)期權(quán)項(xiàng)目NPV。無(wú)期權(quán)項(xiàng)目NPV=-1000+500/1.1=-545.45萬(wàn)。期權(quán)價(jià)值=772.73-(-545.45)=1318.18萬(wàn)。此為非常粗略的估算。四、解析思路：計(jì)算跨期組合的Delta值?？缙诮M合由一份看漲期權(quán)和一份看跌期權(quán)組成，Delta值為兩者Delta之和。看漲期權(quán)Delta=N(d1)，看跌期權(quán)Delta=-N(d1)。因此，組合Delta=N(d1)-N(d1)=0。其中，N(d1)需要根據(jù)Black-Scholes模型計(jì)算，d1=[ln(S/K)+(r+σ2/2)*t]/(σ*sqrt(t))。代入?yún)?shù)S=50,K=50,r=0.06,σ未知（需先計(jì)算或假設(shè)），t未知（通常假設(shè)為短期如1年或題目中隱含）。但題目要求計(jì)算組合Delta，而組合Delta理論上為0。若題目意圖是計(jì)算單期權(quán)的Delta，則需明確。五、解析思路：使用Put-CallParity關(guān)系或二叉樹(shù)模型估算波動(dòng)率。Put-CallParity公式為：C+K*exp(-rt)=P+S。代入數(shù)據(jù)：5+65*exp(-0.04*1)=4+60，計(jì)算得exp(-0.04)≈0.9608。解得：5+62.652=4+60，即5+62.652=64。此Put-CallParity關(guān)系不成立，表明數(shù)據(jù)可能存在錯(cuò)誤或假設(shè)不滿足。若強(qiáng)行使用Put-CallParity估算波動(dòng)率，需聯(lián)立期權(quán)定價(jià)公式和Put-CallParity進(jìn)行迭代求解，過(guò)程復(fù)雜。更穩(wěn)妥方法是使用二叉樹(shù)模型：設(shè)定一個(gè)波動(dòng)率σ，計(jì)算上行/下行概率，計(jì)算期權(quán)在下一期的期望價(jià)值和現(xiàn)值，與給定的期權(quán)價(jià)格比較，調(diào)整σ直到符合。此處過(guò)程繁瑣，無(wú)法簡(jiǎn)潔表示。六、解析思路：計(jì)算Vega值和波動(dòng)率變化對(duì)期權(quán)價(jià)值的影響。Vega值定義為期權(quán)價(jià)值對(duì)波動(dòng)率的偏導(dǎo)數(shù)，即Vega=?C/?σ。使用Black-Scholes模型計(jì)算公式，對(duì)σ求偏導(dǎo)得到Vega的表達(dá)式。代入S=100,K=90,r=0.1,t=0.5，計(jì)算得到Vega值（數(shù)值結(jié)果略）。然后，利用Black-Scholes模型，分別計(jì)算波動(dòng)率為25%和30%時(shí)的期權(quán)價(jià)值C1和C2。價(jià)值變化量ΔC=C2-C1。此變化量即為Vega乘以波動(dòng)率的變化量（Δσ=30%-25%=0.05）。七、解析思路：分析跨式組合到期盈虧?？缡浇M合總成本為買入兩份期權(quán)的價(jià)格之和，即5+5=10元。到期日標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格S=95元。計(jì)算看漲期權(quán)價(jià)值：Max(S-K,0)=Max(95-90,0)=5元。計(jì)算看跌期權(quán)價(jià)值：Max(K-S,0)=Max(90-95,0)=0元。組合價(jià)值=看漲期權(quán)價(jià)值+看跌期權(quán)價(jià)值=5+0=5元。組合盈虧=組合價(jià)值-總成本=5-10=-5元。即投資者虧損5元。八、解析思路：計(jì)算美式看漲期權(quán)價(jià)值。美式看漲期權(quán)在到期前具有提前執(zhí)行的權(quán)利。當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格S大于執(zhí)行價(jià)格K時(shí)，提前執(zhí)行有利。此處S=120>K=125，理論上應(yīng)立即執(zhí)行，價(jià)值為S-K=120-125=-5元。但期權(quán)價(jià)值不能為負(fù)，因此價(jià)值至少為0。Black-Scholes模型本身是針對(duì)歐式期權(quán)的，其計(jì)算結(jié)果通