第十九章

二次根式

章起始課

廣播電視塔越高，從塔頂發(fā)射出的電磁波就傳播得越遠，從而能收聽收看到廣播電視節(jié)目的區(qū)域就越廣.那么，廣播電視塔高h(單位：km)增加到一定的倍數(shù)，廣播電視節(jié)目信號的傳播半徑r(單位：km)是否也會增加到相應的倍數(shù)呢?

解決上面的問題需要二次根式的有關知識.本章我們將在已學的算術平方根的基礎上，類比整式、分式，學習二次根式的概念、性質和運算法則.通過本章的學習，為后面的勾股定理、一元二次方程等內容的學習打下基礎.如果兩個廣播電視塔的高分別是h1km，h2km，那么它們的傳播半徑之比是.與以往學過的整式和分式不同，這個式子中含有根號，如何化簡這個式子呢?二次根式的性質二次根式的概念二次根式的化簡乘除加減二次根式的運算人教八下人教七上有理數(shù)和整式的加減是學習二次根式加減的重要基礎，它們?yōu)槎胃降膶W習提供了運算思想、方法遷移和邏輯依據(jù).人教八下人教七下實數(shù)是學習二次根式的邏輯基礎和運算框架，其核心概念和性質為二次根式的定義、運算及應用提供了必要支撐.人教八下人教八上整式的乘法與因式分解為二次根式提供了運算規(guī)則的類比模板、化簡變形的核心技巧和化繁為簡的思維方法，是二次根式學習的重要工具和思維基礎.人教八下人教八下二次根式是勾股定理學習與應用的關鍵工具，它不僅解決了勾股定理中邊長計算的“非整數(shù)結果”問題，還拓展了勾股定理的應用場景，二者緊密關聯(lián)、相互支撐.人教八下人教九上二次根式是一元二次方程和二次函數(shù)運算與表達的基礎工具，一元二次方程的求根公式中，判別式的開方及根的最終形式需依賴二次根式的運算與化簡；二次函數(shù)表達式中涉及的根式運算均以二次根式為支撐，使其運算和結果表達得以實現(xiàn).人教八下人教九上二次根式在圓弧長和扇形面積的學習中，是主要的運算載體，處理含無理數(shù)的計算結果、簡化運算過程，并保證結果的精確性，尤其在涉及半徑、圓心角等參數(shù)含二次根式或運算結果為無理數(shù)時，其作用尤為突出.人教八下人教九下二次根式在銳角三角函數(shù)的學習中是連接幾何關系與代數(shù)表達的核心工具，尤其在處理含無理數(shù)的三角函數(shù)值、化簡運算及解決實際問題時發(fā)揮關鍵作用.1.直接考查二次根式有意義的條件或結合函數(shù)表達式考查，二次根式的非負性主要結合絕對值、完全平方等非負數(shù)考查；2.重點考查二次根式的運算及化簡，單獨考查或結合實數(shù)的混合運算、整式的化簡求值考查，此外，常在勾股定理、一元二次方程、二次函數(shù)及幾何問題的計算過程中，作為運算工具使用.3.二次根式在實際問題中的應用，二次根式可以用于求解幾何問題中的長度、面積等.在中考中，這類題目通常以解答題的形式出現(xiàn)，要求學生能夠將實際問題轉化為數(shù)學模型，并運用二次根式的知識進行求解.4.二次根式的綜合應用，二次根式常與其