河北省邢臺(tái)市內(nèi)丘中學(xué)等五校2026屆數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末經(jīng)典試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)α，β為兩個(gè)平面，則α∥β的充要條件是A．α內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與β平行B．α內(nèi)有兩條相交直線與β平行C．α，β平行于同一條直線D．α，β垂直于同一平面2．如圖，網(wǎng)格紙是由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成，若粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（）A． B． C． D．3．的展開式中的項(xiàng)的系數(shù)為（）A．120 B．80 C．60 D．404．已知函數(shù)，若，則等于（）A．-3 B．-1 C．3 D．05．如圖，平面四邊形中，，，，，現(xiàn)將沿翻折，使點(diǎn)移動(dòng)至點(diǎn)，且，則三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．6．在平面直角坐標(biāo)系中，已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在直線上，則（）A． B． C． D．7．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位，），則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．我國(guó)古代有著輝煌的數(shù)學(xué)研究成果，其中的《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》，有豐富多彩的內(nèi)容，是了解我國(guó)古代數(shù)學(xué)的重要文獻(xiàn)．這5部專著中有3部產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時(shí)期．某中學(xué)擬從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容，則所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時(shí)期專著的概率為（）A． B． C． D．9．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，若（，且），則i的取值集合是（）A． B． C． D．10．設(shè)雙曲線（，）的一條漸近線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且橢圓的焦距為2，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B． C． D．11．如圖，棱長(zhǎng)為的正方體中，為線段的中點(diǎn)，分別為線段和棱上任意一點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C． D．12．已知命題p:直線a∥b，且b?平面α，則a∥α；命題q:直線l⊥平面α，任意直線m?α，則l⊥m.下列命題為真命題的是（）A．p∧q B．p∨（非q） C．（非p）∧q D．p∧（非q）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，，，，，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，，則球O的體積為______.14．設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則__________．15．已知集合，則____________.16．已知是拋物線的焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交軸于點(diǎn)．若為的中點(diǎn)，則_________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若對(duì)任意都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．18．（12分）如圖，在四棱錐中，，，，和均為邊長(zhǎng)為的等邊三角形.（1）求證：平面平面；（2）求二面角的余弦值.19．（12分）已知（1）若，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的范圍；（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且存在滿足，令函數(shù)，試判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)并證明．20．（12分）如圖，三棱柱中，側(cè)面是菱形，其對(duì)角線的交點(diǎn)為，且．（1）求證：平面；（2）設(shè)，若直線與平面所成的角為，求二面角的正弦值．21．（12分）在四棱錐中，底面為直角梯形，，面.（1）在線段上是否存在點(diǎn)，使面，說(shuō)明理由；（2）求二面角的余弦值.22．（10分）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線在y軸上的截距為.（1）求a；（2）討論函數(shù)和的單調(diào)性；（3）設(shè)，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

本題考查了空間兩個(gè)平面的判定與性質(zhì)及充要條件，滲透直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)，利用面面平行的判定定理與性質(zhì)定理即可作出判斷．【詳解】由面面平行的判定定理知：內(nèi)兩條相交直線都與平行是的充分條件，由面面平行性質(zhì)定理知，若，則內(nèi)任意一條直線都與平行，所以內(nèi)兩條相交直線都與平行是的必要條件，故選B．【點(diǎn)睛】面面平行的判定問(wèn)題要緊扣面面平行判定定理，最容易犯的錯(cuò)誤為定理記不住，憑主觀臆斷，如：“若，則”此類的錯(cuò)誤．2、C【解析】

根據(jù)三視圖還原為幾何體，結(jié)合組合體的結(jié)構(gòu)特征求解表面積.【詳解】由三視圖可知，該幾何體可看作是半個(gè)圓柱和一個(gè)長(zhǎng)方體的組合體，其中半圓柱的底面半圓半徑為1，高為4，長(zhǎng)方體的底面四邊形相鄰邊長(zhǎng)分別為1，2，高為4，所以該幾何體的表面積，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查三視圖的識(shí)別，利用三視圖還原成幾何體是求解關(guān)鍵，側(cè)重考查直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).3、A【解析】

化簡(jiǎn)得到，再利用二項(xiàng)式定理展開得到答案.【詳解】展開式中的項(xiàng)為.故選：【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.4、D【解析】分析：因?yàn)轭}設(shè)中給出了的值，要求的值，故應(yīng)考慮兩者之間滿足的關(guān)系.詳解：由題設(shè)有，故有，所以，從而，故選D.點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的表示方法，解題時(shí)注意根據(jù)問(wèn)題的條件和求解的結(jié)論之間的關(guān)系去尋找函數(shù)的解析式要滿足的關(guān)系.5、C【解析】

由題意可得面，可知，因?yàn)?，則面，于是.由此推出三棱錐外接球球心是的中點(diǎn)，進(jìn)而算出，外接球半徑為1，得出結(jié)果.【詳解】解：由，翻折后得到，又，則面，可知．又因?yàn)?，則面，于是，因此三棱錐外接球球心是的中點(diǎn)．計(jì)算可知，則外接球半徑為1，從而外接球表面積為．故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查簡(jiǎn)單的幾何體、球的表面積等基礎(chǔ)知識(shí)；考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力及創(chuàng)新意識(shí)，屬于中檔題．6、C【解析】

利用誘導(dǎo)公式以及二倍角公式，將化簡(jiǎn)為關(guān)于的形式，結(jié)合終邊所在的直線可知的值，從而可求的值.【詳解】因?yàn)?，且，所?故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)中的誘導(dǎo)公式以及三角恒等變換中的二倍角公式，屬于給角求值類型的問(wèn)題，難度一般.求解值的兩種方法：（1）分別求解出的值，再求出結(jié)果；（2）將變形為，利用的值求出結(jié)果.7、B【解析】

分別比較復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部與0的大小關(guān)系，可判斷出在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限.【詳解】因?yàn)闀r(shí)，所以，，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】

利用列舉法，從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容，基本事件有10種情況，所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時(shí)期專著的基本事件有9種情況，由古典概型概率公式可得結(jié)果.【詳解】《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》，這5部專著中有3部產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時(shí)期．記這5部專著分別為，其中產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時(shí)期．從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容，基本事件有共10種情況，所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時(shí)期專著的基本事件有，共9種情況，所以所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時(shí)期專著的概率為．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型概率公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題，利用古典概型概率公式求概率時(shí)，找準(zhǔn)基本事件個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵，基本亊件的探求方法有(1)枚舉法：適合給定的基本事件個(gè)數(shù)較少且易一一列舉出的；(2)樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問(wèn)題中的基本亊件的探求.在找基本事件個(gè)數(shù)時(shí)，一定要按順序逐個(gè)寫出：先，….，再，…..依次….…這樣才能避免多寫、漏寫現(xiàn)象的發(fā)生.9、C【解析】

首先求出等差數(shù)列的首先和公差，然后寫出數(shù)列即可觀察到滿足的i的取值集合.【詳解】設(shè)公差為d，由題知，，解得，，所以數(shù)列為，故.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的基本量的求解，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

設(shè)雙曲線的漸近線方程為，與拋物線方程聯(lián)立，利用，求出的值，得到的值，求出關(guān)系，進(jìn)而判斷大小，結(jié)合橢圓的焦距為2，即可求出結(jié)論.【詳解】設(shè)雙曲線的漸近線方程為，代入拋物線方程得，依題意，，橢圓的焦距，，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，要注意雙曲線焦點(diǎn)位置，屬于中檔題.11、D【解析】

取中點(diǎn)，過(guò)作面，可得為等腰直角三角形，由，可得，當(dāng)時(shí)，最小，由，故，即可求解.【詳解】取中點(diǎn)，過(guò)作面，如圖：則，故，而對(duì)固定的點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，最?。藭r(shí)由面，可知為等腰直角三角形，，故.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體中的線面垂直、考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于中檔題.12、C【解析】

首先判斷出為假命題、為真命題，然后結(jié)合含有簡(jiǎn)單邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的真假性，判斷出正確選項(xiàng).【詳解】根據(jù)線面平行的判定，我們易得命題若直線，直線平面，則直線平面或直線在平面內(nèi)，命題為假命題；根據(jù)線面垂直的定義，我們易得命題若直線平面，則若直線與平面內(nèi)的任意直線都垂直，命題為真命題.故:A命題“”為假命題；B命題“”為假命題；C命題“”為真命題；D命題“”為假命題.故選：C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查線面平行與垂直有關(guān)命題真假性的判斷，考查含有簡(jiǎn)單邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假性判斷，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

可證，則為的外心，又則平面即可求出，的值，再由勾股定理求出外接球的半徑，最后根據(jù)體積公式計(jì)算可得.【詳解】解：，，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以為的外心，因?yàn)?，所以點(diǎn)在內(nèi)的投影為的外心，所以平面，平面，所以，所以，又球心在上，設(shè)，則，所以，所以球O體積，.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查多面體外接球體積的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．14、【解析】

由題意，設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)已知條件，列出方程組，求得的值，利用求和公式，即可求解．【詳解】由題意，設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)椋?，解得，，所?【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，及前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，正確求解首項(xiàng)和公比是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．15、【解析】

根據(jù)并集的定義計(jì)算即可.【詳解】由集合的并集，知.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查集合的并集運(yùn)算，屬于容易題.16、【解析】

由題意可得，又由于為的中點(diǎn)，且點(diǎn)在軸上，所以可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入拋物線方程中可求點(diǎn)的縱坐標(biāo)，從而可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式可求得結(jié)果.【詳解】解：因?yàn)槭菕佄锞€的焦點(diǎn)，所以，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，而點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0，所以，所以，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為所以，故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查拋物線的性質(zhì)，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

利用零點(diǎn)分區(qū)間法，去掉絕對(duì)值符號(hào)分組討論求并集，對(duì)恒成立，則，由三角不等式，得求解【詳解】解：當(dāng)時(shí)，不等式即為，可得或或，解得或或，則原不等式的解集為若對(duì)任意、都有，即為，由，當(dāng)取得等號(hào)，則，由，可得，則的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題考查含有兩個(gè)絕對(duì)值符號(hào)的不等式解法及利用三角不等式解恒成立問(wèn)題.（1）含有兩個(gè)絕對(duì)值符號(hào)的不等式常用解法可用零點(diǎn)分區(qū)間法去掉絕對(duì)值符號(hào)，將其轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的不含絕對(duì)值符號(hào)的不等式(組)求解（2）利用三角不等式把不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題.18、(1)見(jiàn)證明；(2)【解析】

(1)取的中點(diǎn)，連接，要證平面平面，轉(zhuǎn)證平面，即證，即可；(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的法向量，代入公式，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)榫鶠檫呴L(zhǎng)為的等邊三角形，所以，，且因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)?，平面，平面，所以平?又因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）因?yàn)?，為等邊三角形，所以，又因?yàn)?，所以，，在中，由正弦定理，得：，所?以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則平面的一個(gè)法向量為，依題意，平面的一個(gè)法向量所以故二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】空間向量解答立體幾何問(wèn)題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.19、（1）（2）函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)和【解析】試題分析：（1）求導(dǎo)后根據(jù)函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，導(dǎo)函數(shù)大于或等于0（2）先判斷為一個(gè)零點(diǎn)，然后再求導(dǎo)，根據(jù)，化簡(jiǎn)求得另一個(gè)零點(diǎn)。解析：（1）當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，恒成立．[來(lái)源:Z&X&X&K]函數(shù)的對(duì)稱軸為．①，即時(shí)，，即，解之得，解集為空集；②，即時(shí)，即，解之得，所以③，即時(shí)，即，解之得，所以綜上所述，當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．（2）∵有兩個(gè)極值點(diǎn)，∴是方程的兩個(gè)根，且函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．∵∴函數(shù)也是在區(qū)間和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減∵，∴是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)．由題意知：∵，∴，∴∴，∴又=∵是方程的兩個(gè)根，∴，,∴∵函數(shù)圖像連續(xù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，∴函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)和．20、（1）見(jiàn)解析；（2）.【解析】

（1）根據(jù)菱形的特征和題中條件得到平面，結(jié)合線面垂直的定義和判定定理即可證明；

2建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量知識(shí)求解即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形是菱形，，平面平面，又是的中點(diǎn)，，又平面（2）∴直線與平面所成的角等于直線與平面所成的角．平面，∴直線與平面所成的角為，即．因?yàn)椋瑒t在等腰直角三角形中，所以．在中，由得，以為原點(diǎn)，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系．則所以設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，可得，取平面的一個(gè)法向量為，則，所以二面角的正弦值的大小為．（注：?jiǎn)栴}（2）可以轉(zhuǎn)化為求二面角的正弦值，求出后，在中，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，連接，則就是所求二面角平面角的補(bǔ)角，先求出，再求出，最后在中求出．）【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面垂直的判定以及二面角的求解，屬于中檔題．21、（1）存在；詳見(jiàn)解析（2）【解析】

（1）利用面面平行的性質(zhì)定理可得，為上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，中點(diǎn)，證明平面平面即得；（2）過(guò)作交于，可得兩兩垂直，以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出長(zhǎng)，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，用向量法求二面角．【詳解】解：（1）當(dāng)為上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)時(shí)，滿足面.證明如下，取中點(diǎn)，連結(jié).即易得所以面面，即面．（2）過(guò)作交于