《二階電路分析》二階電路：由二階微分方程描述的電路。分析二階電路的方法：仍然是建立微分方程(二階)，并利用初始條件求解得到電路的響應。它是一階電路的推廣。本章主要討論含兩個(獨立)動態(tài)元件的線性二階電路，重點是討論電路的零輸入響應。

為了得到圖示RLC串聯(lián)電路的微分方程，先列出KVL方程代元件VCR得：6－1

RLC串聯(lián)電路的零輸入響應

這是一個常系數(shù)非齊次線性二階微分方程。為了得到電路的零輸入響應，令uS(t)=0，得二階齊次微分方程其特征方程為由此解得特征根特征根稱為電路的固有頻率。當電路元件參數(shù)R,L,C的量值不同時，特征根可能出現(xiàn)以下三種情況：1時，s1,s2為不相等的負實根。3時，s1,s2

為相等的負實根。2時，s1,s2

為共軛復數(shù)根。1.當兩個特征根為不相等的實數(shù)根時，稱電路是過阻尼的；2.當兩個特征根為相等的實數(shù)根時，稱電路是臨界阻尼的；3.當兩個特征根為共軛復數(shù)根時，稱電路是欠阻尼的。以下分別討論這三種情況。

一、過阻尼情況電路的固有頻率s1,s2不相同的實數(shù)，齊次微分方程的解為：式中的常數(shù)A1，A2由初始條件確定。令上式中的t=0+得對uC(t)求導，再令t=0+得聯(lián)立求解，可得:將A1，A2代入vC(t)得到電容電壓的零輸入響應，再利用KCL方程和電容的VCR可以得到電感電流的零輸入響應。當uC(0+)=U0,iL(0+)=

0時t>0利用初始值uC(0+)=2V和iL(0+)=1A，得：解得:K1=6和K2=-4，最后得到電容電壓的零輸入響應為它們的波形曲線如下圖所示。

過阻尼情況uC20tiL10t從波形可看出，在t>0以后，電感電流減少，電感放出它儲存的磁場能量，一部分為電阻消耗，另一部分轉變?yōu)殡妶瞿?，使電容電壓增加。到電感電流變?yōu)榱銜r，電容電壓達到最大值，此時電感放出全部磁場能。以后，電容放出電場能量，一部分為電阻消耗，另一部分轉變?yōu)榇艌瞿?。到電感電流達到負的最大值后，電感和電容均放出能量供給電阻消耗，直到電阻將電容和電感的初始儲能全部消耗完為止。二、臨界情況固有頻率s1,s2相同的實數(shù)s1=s2=-

。齊次解式中常數(shù)K1,K2由初始條件iL(0+)和uC(0+)確定。令t=0+得到對uC(t)求導，再令t=0+,得到聯(lián)立求解以上兩個方程，可以得到代入vC(t)表達式，得到電容電壓的零輸入響應，再利用KCL方程和電容的VCR可以得到電感電流的零輸入響應。當uC(0+)=U0,iL(0+)=

0時波形曲線如圖所示。臨界阻尼情況uC-10tiL0t

三、欠阻尼情況固有頻率s1,s2為兩個共軛復數(shù)根，即：其中三者組成一個直角三角形。齊次微分方程的解為：(用歐拉公式)式中由初始條件iL(0+)和uC(0+)確定常數(shù)K1,K2后，得到電容電壓的零輸入響應，再利用KCL和VCR方程得到電感電流的零輸入響應?？梢钥闯?，欠阻尼情況的特點是能量在電容與電感之間交換，形成衰減振蕩。電阻越小，單位時間消耗能量越少，曲線衰減越慢。當例3中電阻由R=6Ω減小到R=1Ω，衰減系數(shù)由3變?yōu)?.5時，可以看出電容電壓和電感電流的波形曲線衰減明顯變慢。假如電阻等于零，使衰減系數(shù)為零時，電容電壓和電感電流將形成無衰減的等幅振蕩。例4已知R=0,L=1H,C=0.04F,uC(0+)=3V,iL(0+)=0.28A，求電容電壓和電感電流的零輸入響應。解：固有頻率:則：利用初始條件得：

從電容電壓和電感電流的表達式和波形可見，由于電路中沒有損耗，能量在電容和電感之間交換，總能量不會減少，形成等振幅振蕩。電容電壓和電感電流的相位差為90

，當電容電壓為零，電場儲能為零時，電感電流達到最大值，全部能量儲存于磁場中；而當電感電流為零，磁場儲能為零時，電容電壓達到最大值，全部能量儲存于電場中。

綜上所述，RLC二階電路的零輸入響應形式與其固有頻率密切相關，如下圖：1.過阻尼情況，s1和s2是不相等的負實數(shù)，響應按指數(shù)規(guī)律衰減。2.臨界阻尼情況，s1=s2是相等的負實數(shù)，響應按指數(shù)規(guī)律衰減。3.欠阻尼情況，s1和s2是共軛復數(shù)，響應是振幅隨時間衰減的正弦振蕩，其振幅隨時間按指數(shù)規(guī)律衰減，衰減系數(shù)

越大，衰減越快。衰減振蕩的角頻率

d

越大，振蕩周期越小，振蕩越快。圖中按Ke-

t畫出的虛線稱為包絡線，它限定了振幅的變化范圍。4.無阻尼情況，s1和s2是共軛虛數(shù)，

=0，振幅不再衰減，形成角頻率為

0的等幅振蕩。顯然，當固有頻率的實部為正時，響應的振幅將隨時間增加，電路是不穩(wěn)定的。由此可知，當一個電路的全部固有頻率具有負實部時，電路是穩(wěn)定的。

直流激勵的RLC串聯(lián)電路，當uS(t)=US時，可以利用初始條件uC(0+)=U0和iL(0+)=I0來求解以下非齊次微分方程,從而得到全響應6－2RLC串聯(lián)電路在恒定激勵下的零狀態(tài)響應和全響應

全響應由對應齊次微分方程的通解與微分方程的特解之和組成電路的固有頻率為當s1

s2時，對應齊次微分方程的通解為特解為全響應為利用初始條件，可以得到聯(lián)立求解，得到常數(shù)K1和K2后，就可得到電容電壓的全響應，再利用KCL和電容元件VCR可以求得電感電流的全響應。類似地，當s1=s2時，全響應為求兩個待定系數(shù)的方法也類似：類似地，根據(jù)元件的VCR或KVL計算其它響應。

類似地，當特征根為共軛復根時，全響應為求兩個待定系數(shù)的方法也類似：類似地，根據(jù)元件的VCR或KVL計算其它響應。

當電阻由R=6Ω減小到R=1Ω，衰減系數(shù)由3變?yōu)?.5時，波形如圖(c)和(d)。6－3GCL并聯(lián)電路分析

與RLC串聯(lián)電路對偶：

得二階微分方程其特征方程為解得特征根同樣對偶地，特征根可能出現(xiàn)以下三種情況：1，時，s1,s2為不等的實根。2，時，s1,s2為相等的實根。3，時，s1,s2為共軛復數(shù)根。

當兩個特征根為不相等的實數(shù)根時，稱電路是過阻尼的；當兩個特征根為相等的實數(shù)根時，稱電路是臨界阻尼的；當兩個特征根為共軛復數(shù)根時，稱電路是欠阻尼的。這三種情況響應的計算方法和公式與RLC串聯(lián)電路完全對偶。

6－4一般二階電路分析

除了RLC串聯(lián)和GCL并聯(lián)二階電路以外，還有很多由兩個儲能元件以及一