2025學(xué)年第一學(xué)期浙南名校聯(lián)盟期中聯(lián)考高二年級數(shù)學(xué)學(xué)科試題命題：甌海中學(xué)黃成寶周聰寅審題：龍灣中學(xué)徐燕考生須知：1.本卷共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘；2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字；3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效；4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙．選擇題部分（共58分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.直線的傾斜角是（）A.45° B.60° C.120° D.135°【答案】D【解析】【分析】由直線的斜截式即可得到直線的斜率，再由斜率與傾斜角的關(guān)系即可得解.【詳解】直線即的斜率為，設(shè)該直線的傾斜角為，則，所以直線的傾斜角是.故選：D2.樣本：80，90，100，100，110，120的中位數(shù)是（）A.95 B.100 C.105 D.110【答案】B【解析】【分析】由中位數(shù)的定義即可得出答案.【詳解】由題意得樣本的中位數(shù)為.故選：B3.函數(shù)的零點所在區(qū)間為（）A.（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（3，4）【答案】B【解析】【分析】先結(jié)合函數(shù)圖象可得僅有一個零點，再利用零點存在定理判斷零點存在區(qū)間.【詳解】的零點等價于的解即的解.在上的圖象如圖所示，故僅有一個實數(shù)解，故僅有一個零點.∴函數(shù)y=f(x)有且只有一個零點.∴，∴函數(shù)的零點所在區(qū)間為（1，2）.故選：B.【點睛】判斷函數(shù)的零點所在區(qū)間主要方法是利用零點存在定理，判斷函數(shù)在給定區(qū)間端點出的符號是否相反.4.已知直線，異面，則對空間任意一點，都存在過且與，（）A.都平行的直線 B.都垂直的直線 C.都平行的平面 D.都垂直的平面【答案】B【解析】【分析】利用平行線的傳遞性判斷A選項，由異面直線存在公垂線判斷B選項，取特殊點判斷C選項，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可判斷D選項.【詳解】對于A，如果存在與都平行的直線，即，根據(jù)平行線的傳遞性，可得異面直線平行，矛盾，故A錯誤.對于B，兩條異面直線存在公垂線，這條公垂線與兩條異面直線都垂直，過點的直線一定可以做與該公垂線平行或重合的直線，故B正確；C選項，若點在直線上，則此時不存在過點的平面，使得其與直線平行，C錯誤；D選項，若存在一個平面與直線都垂直，則直線互相平行，與題設(shè)中是異面直線矛盾，故不存在與都垂直的平面，故D錯誤.故選：B.5.下列多面體，一定有外接球的是（）A.三棱錐 B.四棱錐 C.三棱柱 D.三棱臺【答案】A【解析】【分析】判斷每個選項中的多面體是否一定能找到一個球，使得該多面體的所有頂點都在這個球面上.【詳解】任意的三棱錐一定有外接球，正確，如果四棱錐的底面是一個非圓內(nèi)接四邊形，那么這個四棱錐就不一定存在外接球，錯誤，三棱柱的外接球需要滿足上下底面三角形的外心連線與側(cè)棱垂直等條件，只有當三棱錐是直三棱柱且上下底面都有外接圓時，才可能有外接球，錯誤，三棱臺是又三棱錐截得，同樣不是所有的三棱臺都是外接球，錯誤.故選：.6.設(shè)為橢圓的左焦點，為上一動點，則線段的中點的軌跡是（）A.一個橢圓，其離心率與的離心率相同 B.一個橢圓，其離心率與的離心率不同C.一個圓，其直徑與的長半軸長相等 D.一個圓，其直徑與的短半軸長相等【答案】A【解析】【分析】利用相關(guān)點法來求出中點軌跡，根據(jù)方程可判斷選項.【詳解】設(shè)橢圓方程為，點，，的中點，則，由于點在橢圓上，則，所以代入可得：，整理得：，所以中點的軌跡仍為橢圓，其離心率為，與原橢圓的離心率相同，故A正確，BCD錯誤；故選：A.7.在平行六面體中，，，，，則（）A. B.3 C. D.【答案】C【解析】【分析】利用作為基底表示向量，再根據(jù)數(shù)量積求模即可.【詳解】在平行六面體中，，因為，，，，所以，故選：C8.在平面直角坐標系中，點，，動點滿足，則的縱坐標的最大值為（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】【分析】設(shè)動點，根據(jù)兩點之間距離列得等式，結(jié)合方程有根解得范圍.【詳解】設(shè)動點，因為，所以，兩邊平方得，化簡得，即，將該式看作關(guān)于的一元二次方程：，因為點存在，所以該關(guān)于的方程必有非負實數(shù)解，其判別式，解得，所以，故的縱坐標的最大值為.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.設(shè)函數(shù)，，則（）A.與有相同的奇偶性 B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性定義判斷A，代入計算驗證等式判斷BCD.【詳解】對于A，函數(shù)，有，所以函數(shù)為偶函數(shù)；函數(shù)，有，函數(shù)為奇函數(shù)，A錯誤；對于B，，所以，B正確；對于C，，所以，C正確；對于D，，所以，D正確；故選：BCD.10.已知正數(shù)，滿足，則（）A.的最大值為5 B.的最大值為36C.的最小值為 D.的最小值為【答案】AB【解析】【分析】設(shè)，結(jié)合輔助角公式和三角函數(shù)的范圍解得最大值判斷A；把問題轉(zhuǎn)化為圓上點到定點的距離平方，圓上的點到定點連線的斜率計算判斷BC；根據(jù)賦值法驗證計算判斷D.【詳解】對于A，已知正數(shù)，滿足，設(shè)，則，其中，因為，所以的最大值為，A正確；對于B，表示圓上點到點距離的平方，圓的圓心到點的距離為，圓上一點到點的最大距離為（為圓的半徑），則的最大值為36，B正確；對于C，表示圓上的點與點連線的斜率，設(shè)過點的直線方程為，即，當直線與圓相切時，圓心到直線的距離，解得，所以的最小值為，C錯誤；對于D，當時，，D錯誤.故選：AB.11.切比雪夫多項式（）滿足，其中，．例如，．關(guān)于，下列說法正確的有（）A.的值域是 B.為偶函數(shù)C.有2025個零點 D.【答案】ACD【解析】【分析】令，則，則可求出值域判斷A；結(jié)合新定義與誘導(dǎo)公式可判斷BD；由，，先解得，再由且均不相等，判斷D.【詳解】因為滿足，所以，令，則，A選項，，值域為，則值域為，故A正確；B選項，，即，則為奇函數(shù)，故B錯誤；C選項，令，，則，，，共有2025個解，且滿足，由于在單調(diào)遞減，則均不相等，則有2025個零點，故C正確；D選項，，故D正確；故選：ACD.非選擇題部分（共92分）三、填空題：本大題共3小題，每題5分，共15分．12.一圓臺的上下底面半徑分別為1，2，高為，則圓臺的側(cè)面積是______．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)已知條件求出圓臺的母線長，再利用圓臺側(cè)面積公式求解．【詳解】，母線長，．故答案為：．13.在三棱柱中，經(jīng)過的平面將三棱柱分割成體積相等的兩部分，設(shè)與棱相交于點，則______．【答案】1:1【解析】【分析】設(shè)三棱柱的高為，到底面的距離為，由經(jīng)過的平面將三棱柱分割成體積相等的兩部分，得到，利用錐體體積公式和柱體體積公式計算得解.【詳解】設(shè)三棱柱高為，到底面的距離為，，，，，經(jīng)過的平面將三棱柱分割成體積相等的兩部分，，，，點為棱的中點，.故答案為：.14.已知，分別為雙曲線的左右頂點，點為上一動點，為坐標原點，則的最小值是______．【答案】【解析】【分析】不妨設(shè)點在軸上或第一象限內(nèi)，則，利用點坐標表示出，結(jié)合點在雙曲線上消去，令，利用三角恒等變換化簡，然后分離常數(shù)，利用基本不等式求解可得.【詳解】根據(jù)對稱性，不妨設(shè)點在軸上或第一象限內(nèi)，則，，則.令，則，當且僅當，即時等號成立，所以，所以，即的最小值為.故答案為：四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知隨機事件，滿足，，．（1）判斷與是否相互獨立，并說明理由；（2）求與都不發(fā)生的概率．【答案】（1）與不相互獨立；理由見解析（2）【解析】【分析】（1）由獨立事件的定義即可判斷；（2）先求或發(fā)生的概率，然后求出與都不發(fā)生的概率.【小問1詳解】∵，∴，故與不相互獨立；【小問2詳解】或發(fā)生的概率，故與都不發(fā)生的概率．16.在空間直角坐標系中，不過原點的平面分別交坐標軸于點，，，點是在上的射影．求證：（1）是的垂心；（2）．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用數(shù)量積為0來證明線線垂直，可證明垂心；（2）利用空間向量法來求點到面的距離，即可求得.【小問1詳解】由題意知所以，則，即．同理，所以是的垂心；小問2詳解】由，，，得：設(shè)為平面的一個法向量，則令，則，即．所以．17.如圖，在三棱錐中，，，，點，分別為棱，的中點．（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】【分析】（1）取的中點，利用三角形中位線得到．由得到．同理，得到．利用線面垂直的判定定理得到證明，或用空間向量法證明；（2）由平面，利用面面垂直的判定定理得到平面平面，從而得到為直線與平面所成的角，求出，，的長度，利用余弦定理求出，從而得到直線與平面所成角的正弦值．或利用空間向量法證明.【小問1詳解】法一：證明：取的中點，連結(jié)，．因點，分別為棱，的中點，故．又，故．同理，．又，為平面內(nèi)兩條相交直線，故平面．因此；法二：如圖建立空間直角坐標系，則點，，，．設(shè)點，其中，則由，，得解得即．則，于是，因，故，即；【小問2詳解】法一：因平面，故平面平面，又平面平面，過作交線的垂線，則此垂線垂直平面，因此為直線與平面所成的角．在中，，，在中，，則，在中，，，則，是中點，，，則，是的中點，，則，在中，，故，于是，所以直線與平面所成角的正弦值為．法二：，，，，設(shè)平面的法向量為，則，，取，解得，?。虼?，所以直線與平面所成角的正弦值為．18.如圖，點，都在拋物線上，且直線與拋物線在處的切線相互垂直．（1）求拋物線的焦點到準線的距離；（2）設(shè)點（），（?。┯帽硎局本€的方程；（ⅱ）求的最小值．【答案】（1）2（2）（?。唬áⅲ窘馕觥俊痉治觥浚?）由拋物線的定義即可得到結(jié)果；（2）（?。┰O(shè)切線方程，聯(lián)立切線與拋物線方程并整理化簡為一元二次方程，由方程只有一個解得到的關(guān)系，從而得到切線方程，由直線垂直可得到直線的方程；（ⅱ）聯(lián)立直線的方程與拋物線方程，由交點弦長公式求得表達式，然后通過換元整理后利用基本不等式和配方法求得最小值.【小問1詳解】拋物線的焦點到準線的距離；【小問2詳解】（?。┰O(shè)拋物線在處的切線方程為，由得，則，即，于是，故拋物線在處的切線方程為，，因此直線的方程為，即．（ⅱ）聯(lián)立直線與拋物線方程，得，故．令，則，，注意到，等號成立當且僅當．于是，所以的最小值為，此時．19.如圖，從橢圓上一點（異于橢圓的左、右頂點）射出的光線照射到橢圓的右焦點上，經(jīng)軸反射，反射光線過橢圓上的另一點．（1）寫出的坐標；（2）證明：直線過定點；（3）、、、四點能否共圓？請說明理由．【答案】（1）（2）證明見解析（3）、、、四點不能共圓，理由見解析【解析】【分析】（1）求出、、的值，即可得出點的坐標；（2）由題可知直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，將該直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，由已知條件得出，結(jié)合韋達定理得出、所滿足的關(guān)系式，化簡直線的方程，即可求出直線所過定點的坐標；（3）求出線段、的中垂線的方程，將這兩直線的方程聯(lián)立，求出外心的橫坐標，根據(jù)可得出結(jié)論.【小問1詳解】在橢圓