一、追根溯源：為何要深度探究分?jǐn)?shù)乘法算理？演講人追根溯源：為何要深度探究分?jǐn)?shù)乘法算理？01循序漸進(jìn)：如何開(kāi)展分?jǐn)?shù)乘法算理探究？02追本溯源：分?jǐn)?shù)乘法算理探究的教育價(jià)值03目錄2025小學(xué)六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)分?jǐn)?shù)乘法算理探究課件作為一名深耕小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)十余年的一線教師，我始終認(rèn)為：數(shù)學(xué)教學(xué)的核心不僅是讓學(xué)生掌握計(jì)算方法，更要幫助他們理解“為什么這樣算”。分?jǐn)?shù)乘法作為六年級(jí)上冊(cè)的核心內(nèi)容，既是分?jǐn)?shù)加減法的延伸，也是后續(xù)分?jǐn)?shù)除法、比和比例學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。其算理探究過(guò)程，正是學(xué)生從“操作理解”向“抽象推理”跨越的關(guān)鍵階段。今天，我將結(jié)合教學(xué)實(shí)踐與理論思考，從“為何探究”“如何探究”“探究?jī)r(jià)值”三個(gè)維度，系統(tǒng)展開(kāi)本次課件的分享。01追根溯源：為何要深度探究分?jǐn)?shù)乘法算理？1知識(shí)體系的邏輯需要從整數(shù)乘法到分?jǐn)?shù)乘法，看似只是數(shù)域的擴(kuò)展，實(shí)則涉及數(shù)學(xué)本質(zhì)的跨越。整數(shù)乘法的本質(zhì)是“相同加數(shù)的簡(jiǎn)便運(yùn)算”，其算理可通過(guò)實(shí)物累加（如3個(gè)5相加）直觀理解；而分?jǐn)?shù)乘法的算理則需突破“數(shù)量累加”的表層認(rèn)知，深入到“部分與整體的比例關(guān)系”（如1/2的1/3是多少）、“倍數(shù)的分?jǐn)?shù)表達(dá)”（如3的1/2是多少）等更抽象的數(shù)學(xué)關(guān)系中。若僅教授“分子乘分子，分母乘分母”的計(jì)算法則，學(xué)生雖能機(jī)械操作，卻難以理解“為何分子分母分別相乘”“分?jǐn)?shù)乘法與整數(shù)乘法的內(nèi)在聯(lián)系”等核心問(wèn)題，這將導(dǎo)致知識(shí)體系出現(xiàn)“斷層”。2學(xué)生認(rèn)知的發(fā)展需求六年級(jí)學(xué)生的思維正處于“具體運(yùn)算階段”向“形式運(yùn)算階段”過(guò)渡的關(guān)鍵期（皮亞杰認(rèn)知發(fā)展理論）。他們已能通過(guò)具體操作（如畫(huà)圖、分物）理解簡(jiǎn)單分?jǐn)?shù)問(wèn)題，但對(duì)抽象的數(shù)學(xué)關(guān)系仍需直觀支撐。分?jǐn)?shù)乘法算理的探究過(guò)程，恰好為學(xué)生提供了“從直觀到抽象”的思維腳手架：通過(guò)畫(huà)圖表示分?jǐn)?shù)乘法的意義（如用長(zhǎng)方形紙折出3/4的2/3）、用加法推導(dǎo)分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的算理（如2/5×3=2/5+2/5+2/5=6/5）、用面積模型理解分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的本質(zhì)（如1/2×1/3=1/6的幾何意義），能有效幫助學(xué)生完成“動(dòng)作表征—圖像表征—符號(hào)表征”的認(rèn)知升級(jí)。3核心素養(yǎng)的培養(yǎng)路徑1《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》明確提出，要培養(yǎng)學(xué)生的“運(yùn)算能力”“推理意識(shí)”“模型思想”等核心素養(yǎng)。分?jǐn)?shù)乘法算理的探究，正是這些素養(yǎng)的綜合體現(xiàn)：2運(yùn)算能力：不僅是“算得對(duì)”，更是“明白為何這樣算”，通過(guò)算理理解提升運(yùn)算的靈活性（如2/3×4可轉(zhuǎn)化為2×4/3或4×2/3）；3推理意識(shí)：從“分?jǐn)?shù)乘整數(shù)”到“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”的算理推導(dǎo)，需運(yùn)用歸納推理（從具體例子中總結(jié)規(guī)律）、類(lèi)比推理（對(duì)比整數(shù)乘法與分?jǐn)?shù)乘法的異同）；4模型思想：通過(guò)“面積模型”“線段模型”等直觀工具，將分?jǐn)?shù)乘法抽象為數(shù)學(xué)模型（如“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”用乘法計(jì)算），建立“實(shí)際問(wèn)題—數(shù)學(xué)模型—問(wèn)題解決”的思維路徑。02循序漸進(jìn)：如何開(kāi)展分?jǐn)?shù)乘法算理探究？1前置鋪墊：激活已有認(rèn)知，搭建探究起點(diǎn)01在正式學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘法前，學(xué)生已掌握以下基礎(chǔ)：02分?jǐn)?shù)的意義（如3/4表示將單位“1”平均分成4份，取其中3份）；03分?jǐn)?shù)加減法（同分母分?jǐn)?shù)相加，分母不變，分子相加；異分母分?jǐn)?shù)需通分）；04整數(shù)乘法的意義（如3×4表示4個(gè)3相加或3的4倍）。05為幫助學(xué)生建立新舊知識(shí)的聯(lián)系，我通常會(huì)設(shè)計(jì)“溫故知新”環(huán)節(jié)：1前置鋪墊：激活已有認(rèn)知，搭建探究起點(diǎn)活動(dòng)1：說(shuō)意義，畫(huà)圖形出示題目：“用畫(huà)圖的方式表示3×4的意義，并解釋算式表示的含義。”學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖（如3行4列的點(diǎn)子圖）明確：“3×4是4個(gè)3相加，或3的4倍?！被顒?dòng)2：改題目，引沖突將題目改為：“用畫(huà)圖的方式表示3×1/2的意義?！睂W(xué)生發(fā)現(xiàn)：“1/2不是整數(shù)，不能直接表示‘幾個(gè)3相加’?！贝藭r(shí)追問(wèn)：“3×1/2可能表示什么？”引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)思考：“可能是3的一半”“3個(gè)1/2相加”。通過(guò)這一沖突，自然引出分?jǐn)?shù)乘法的兩種意義——“求幾個(gè)相同分?jǐn)?shù)的和”（分?jǐn)?shù)乘整數(shù)）與“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”（分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)），為算理探究埋下伏筆。2.2分層探究：從“分?jǐn)?shù)乘整數(shù)”到“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”，逐步深化算理1前置鋪墊：激活已有認(rèn)知，搭建探究起點(diǎn)2.1第一層級(jí)：分?jǐn)?shù)乘整數(shù)——從加法到乘法的算理遷移教學(xué)目標(biāo)：理解分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的意義（求幾個(gè)相同分?jǐn)?shù)的和），推導(dǎo)算理（分子乘整數(shù)，分母不變）。探究活動(dòng)：?jiǎn)栴}情境：“小明每天吃2/5塊蛋糕，3天吃多少塊？”自主探究：學(xué)生用畫(huà)圖（如將蛋糕平均分成5份，每份1/5，2/5即2份，3天就是3個(gè)2份，共6份，即6/5塊）、加法計(jì)算（2/5+2/5+2/5=6/5）、乘法列式（2/5×3）三種方法解決問(wèn)題。對(duì)比觀察：引導(dǎo)學(xué)生比較加法算式與乘法算式的關(guān)系：“2/5×3的結(jié)果和加法結(jié)果相同，說(shuō)明分?jǐn)?shù)乘整數(shù)可以轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)連加?！边M(jìn)一步追問(wèn)：“2/5+2/5+2/5=（2+2+2）/5=2×3/5，這和乘法算式有什么聯(lián)系？”學(xué)生發(fā)現(xiàn)：“分?jǐn)?shù)乘整數(shù)時(shí)，分子相當(dāng)于相同加數(shù)的個(gè)數(shù)，乘整數(shù)就是求分子的倍數(shù)，分母不變?！?前置鋪墊：激活已有認(rèn)知，搭建探究起點(diǎn)2.1第一層級(jí)：分?jǐn)?shù)乘整數(shù)——從加法到乘法的算理遷移總結(jié)規(guī)律：通過(guò)多組例子（如3/7×2=6/7，4/9×5=20/9）驗(yàn)證，得出分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的計(jì)算法則：“分子與整數(shù)相乘的積作分子，分母不變；能約分的先約分再計(jì)算?！标P(guān)鍵突破：通過(guò)“加法轉(zhuǎn)化”與“圖形表征”，學(xué)生不僅掌握了計(jì)算方法，更理解了“分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的本質(zhì)是分?jǐn)?shù)單位（1/分母）的累加”——每個(gè)2/5包含2個(gè)1/5，3個(gè)2/5就是6個(gè)1/5，即6/5。這一過(guò)程將抽象的乘法運(yùn)算與具體的分?jǐn)?shù)單位累加聯(lián)系起來(lái)，為后續(xù)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)奠定基礎(chǔ)。1前置鋪墊：激活已有認(rèn)知，搭建探究起點(diǎn)2.1第一層級(jí)：分?jǐn)?shù)乘整數(shù)——從加法到乘法的算理遷移2.2.2第二層級(jí)：分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)——從“部分”到“部分的部分”的意義建構(gòu)教學(xué)目標(biāo)：理解分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的意義（求一個(gè)分?jǐn)?shù)的幾分之幾是多少），推導(dǎo)算理（分子相乘作分子，分母相乘作分母）。探究活動(dòng)：?jiǎn)栴}情境：“有一張長(zhǎng)方形紙，用它的1/2畫(huà)畫(huà)，畫(huà)畫(huà)部分的2/3用來(lái)寫(xiě)標(biāo)題，寫(xiě)標(biāo)題的部分占這張紙的幾分之幾？”直觀操作：學(xué)生用長(zhǎng)方形紙折一折、涂一涂：先將紙平均分成2份，涂其中1份表示“畫(huà)畫(huà)部分”（1/2）；再將這1/2平均分成3份，涂其中2份表示“寫(xiě)標(biāo)題部分”（2/3）。此時(shí)，整張紙被平均分成了2×3=6份，寫(xiě)標(biāo)題的部分占2份，即2/6=1/3。1前置鋪墊：激活已有認(rèn)知，搭建探究起點(diǎn)2.1第一層級(jí)：分?jǐn)?shù)乘整數(shù)——從加法到乘法的算理遷移符號(hào)表征：引導(dǎo)學(xué)生用算式表示操作過(guò)程：“1/2的2/3”即1/2×2/3=（1×2）/(2×3)=2/6=1/3。深度追問(wèn)：“如果是2/3×3/4，結(jié)果是多少？能用畫(huà)圖的方法驗(yàn)證嗎？”學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖（將長(zhǎng)方形紙先平均分成3份，涂2份表示2/3；再將這2/3平均分成4份，涂3份，此時(shí)整張紙被分成3×4=12份，涂色部分占2×3=6份，即6/12=1/2），發(fā)現(xiàn)規(guī)律：“分子相乘得到新分子（表示兩次涂色的份數(shù)），分母相乘得到新分母（表示總份數(shù)）?！币饬x提煉：結(jié)合生活實(shí)例（如“一塊地的3/4種玉米，玉米地的2/5種甜玉米，甜玉米占整塊地的幾分之幾”），總結(jié)分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的意義：“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，用乘法計(jì)算?！?前置鋪墊：激活已有認(rèn)知，搭建探究起點(diǎn)2.1第一層級(jí)：分?jǐn)?shù)乘整數(shù)——從加法到乘法的算理遷移關(guān)鍵突破：通過(guò)“面積模型”的直觀操作，學(xué)生深刻理解了“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)是部分的部分”——第一次分是將整體分成若干份取部分（如1/2），第二次分是將這個(gè)部分再分成若干份取更小的部分（如2/3），兩次分的總份數(shù)是分母相乘（2×3），兩次取的份數(shù)是分子相乘（1×2），因此結(jié)果為分子乘分子、分母乘分母。這一過(guò)程將抽象的“分?jǐn)?shù)相乘”轉(zhuǎn)化為“分了又分”的具體操作，幫助學(xué)生建立“乘法即比例縮放”的數(shù)學(xué)觀念。3綜合應(yīng)用：在解決問(wèn)題中深化算理理解教學(xué)目標(biāo)：通過(guò)實(shí)際問(wèn)題解決，鞏固分?jǐn)?shù)乘法算理，提升“用數(shù)學(xué)眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界”的能力。設(shè)計(jì)原則：?jiǎn)栴}需涵蓋分?jǐn)?shù)乘法的兩種意義（分?jǐn)?shù)乘整數(shù)、分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)），并聯(lián)系學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)（如購(gòu)物、工程、行程問(wèn)題）。典型問(wèn)題1（分?jǐn)?shù)乘整數(shù)）：“一袋面粉重25千克，3/5袋面粉重多少千克？”學(xué)生需明確：“3/5袋表示將1袋（25千克）平均分成5份，取其中3份?！绷惺綖?5×3/5=15（千克）。進(jìn)一步追問(wèn)：“25×3/5還可以表示什么？”引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的意義：“也可以表示3個(gè)25×1/5的和，即25/5×3=5×3=15?！?綜合應(yīng)用：在解決問(wèn)題中深化算理理解典型問(wèn)題2（分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)）：“小明家到學(xué)校的距離是3/4千米，他步行的速度是2/5千米/分鐘，3分鐘能走多遠(yuǎn)？”學(xué)生需分析：“速度×?xí)r間=路程，即2/5×3=6/5千米（分?jǐn)?shù)乘整數(shù)）；但如果題目改為‘他走了3/4分鐘’，則是2/5×3/4=6/20=3/10千米（分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)）?！蓖ㄟ^(guò)對(duì)比，學(xué)生更清晰地區(qū)分兩種乘法的應(yīng)用場(chǎng)景。關(guān)鍵策略：在解決問(wèn)題時(shí)，要求學(xué)生“先說(shuō)意義，再列式計(jì)算”。例如，計(jì)算“3/4×2/5”時(shí)，需說(shuō)明：“這是求3/4的2/5是多少，相當(dāng)于將3/4平均分成5份，取其中2份，所以分子3×2=6，分母4×5=20，結(jié)果是6/20=3/10?！蓖ㄟ^(guò)“說(shuō)意義”的過(guò)程，學(xué)生將算理內(nèi)化為思維習(xí)慣，避免“死記硬背法則”的機(jī)械學(xué)習(xí)。03追本溯源：分?jǐn)?shù)乘法算理探究的教育價(jià)值1數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解：從“操作”到“推理”的思維躍升通過(guò)算理探究，學(xué)生不再將分?jǐn)?shù)乘法視為“分子分母分別相乘”的機(jī)械操作，而是理解其背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)：分?jǐn)?shù)乘整數(shù)是“分?jǐn)?shù)單位的累加”（如2/5×3=6/5，即6個(gè)1/5）；分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)是“比例的縮放”（如1/2×1/3=1/6，即先將整體縮放到1/2，再將1/2縮放到1/3）。這種對(duì)本質(zhì)的理解，能幫助學(xué)生解決更復(fù)雜的問(wèn)題。例如，計(jì)算“5/6×3”時(shí)，學(xué)生不僅能直接計(jì)算5×3/6=15/6=5/2，還能解釋?zhuān)骸?/6×3是3個(gè)5/6相加，即5/6+5/6+5/6=15/6=5/2”；計(jì)算“3/4×2/5”時(shí)，能通過(guò)畫(huà)圖說(shuō)明：“3/4的2/5相當(dāng)于把整體平均分成4×5=20份，取3×2=6份，即6/20=3/10”。2學(xué)習(xí)方法的遷移：從“學(xué)會(huì)”到“會(huì)學(xué)”的能力發(fā)展算理探究的過(guò)程，本質(zhì)是“問(wèn)題驅(qū)動(dòng)—直觀操作—?dú)w納推理—驗(yàn)證應(yīng)用”的學(xué)習(xí)方法訓(xùn)練。學(xué)生在探究分?jǐn)?shù)乘法算理時(shí)，不僅掌握了這一知識(shí)點(diǎn)，更學(xué)會(huì)了如何探究新的數(shù)學(xué)概念：遇到新運(yùn)算時(shí)，先聯(lián)系已有知識(shí)（如將分?jǐn)?shù)乘法與整數(shù)乘法、分?jǐn)?shù)加法聯(lián)系）；用直觀工具（畫(huà)圖、折紙、實(shí)物操作）輔助理解；通過(guò)具體例子歸納規(guī)律，再用更多例子驗(yàn)證；最后將規(guī)律應(yīng)用到實(shí)際問(wèn)題中。這種學(xué)習(xí)方法將伴隨學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)小數(shù)乘法、百分?jǐn)?shù)乘法，甚至初中的整式乘法、分式乘法，成為他們終身學(xué)習(xí)的“金鑰匙”。3數(shù)學(xué)情感的培養(yǎng)：從“怕數(shù)學(xué)”到“愛(ài)數(shù)學(xué)”的態(tài)度轉(zhuǎn)變?cè)谒憷硖骄恐?，學(xué)生不再是“被動(dòng)接受法則”的學(xué)習(xí)者，而是“主動(dòng)發(fā)現(xiàn)規(guī)律”的研究者。當(dāng)他們通過(guò)自己的操作（如折出1/2的2/3）得出分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的計(jì)算法則時(shí)，會(huì)產(chǎn)生強(qiáng)烈的成就感；當(dāng)他們發(fā)現(xiàn)“分?jǐn)?shù)乘法與整數(shù)乘法在‘倍數(shù)’意義上的一致性”時(shí)，會(huì)感受到數(shù)學(xué)的內(nèi)在統(tǒng)一美。這種“做數(shù)學(xué)”“發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)”的體驗(yàn)，能有效激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，讓他們從“怕計(jì)算”轉(zhuǎn)變?yōu)椤皭?ài)探究”。結(jié)語(yǔ)：讓算理探究成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“根”分?jǐn)?shù)乘法的算理探究，是六年級(jí)學(xué)