1

授課內(nèi)容

第六章：方差分析

試驗(yàn)結(jié)果的變化大體上由兩類因素引起：一、隨機(jī)因素二、人為控制因素科學(xué)試驗(yàn)的目的常常是為了判斷受人們控制的因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響是否

確實(shí)存在。方差分析正是通過(guò)對(duì)試驗(yàn)結(jié)果數(shù)據(jù)變動(dòng)的分析，對(duì)上述問(wèn)題做出

判斷的有效工具。因?yàn)樗梢詫㈦S機(jī)變動(dòng)和非隨機(jī)變動(dòng)從混雜狀態(tài)下分離開(kāi)

來(lái)

，幫助發(fā)現(xiàn)起主導(dǎo)作用的變異來(lái)源，從而抓住主要矛盾或關(guān)鍵因素并采取有效措施。方差分析就是將多個(gè)樣本的觀察值作為一個(gè)整體，把觀察值的總變動(dòng)根據(jù)變動(dòng)的來(lái)源進(jìn)行分解，做出數(shù)量估計(jì)，從而發(fā)現(xiàn)各個(gè)觀察值在總變動(dòng)中所占的重要程度。授課內(nèi)容■單因素試驗(yàn)的方差分析如果在一項(xiàng)試驗(yàn)中只有一個(gè)因素在改變稱為單因素試驗(yàn)，如果多于一個(gè)因素在改變稱為多因素試驗(yàn)。因素所處的狀態(tài)，稱為該因素的水平。在因素的每一水平下進(jìn)行了獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，其結(jié)果是一個(gè)隨機(jī)變量。假設(shè)各總體均為正態(tài)變量，且各總體的方差相等，那么這是一個(gè)檢驗(yàn)同方差的多

個(gè)正態(tài)總體均值是否相等的問(wèn)題。授課內(nèi)容1

授課內(nèi)容

第六章：方差分析試驗(yàn)次數(shù)?AiA2.….?A?1?x1?x12?...?x1s2?:n?樣本均值?

…x2s?

…((44xm1?xn2?....Xn.s?x??x??...?x??總體均值?μ?μz...?μs…x22…x21■單因素試驗(yàn)的方差分析設(shè)因素有s個(gè)水平A?,A?,

…

,A?,在水平A,(=1,2,…,s)下進(jìn)行n;(n≥2)次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，得到如表6.1-1的結(jié)果。表6.1-1單因素試驗(yàn)數(shù)據(jù)表授課內(nèi)容1

授課內(nèi)容

第六章：方差分析水平A;下的樣本之間相互獨(dú)立。單因素試驗(yàn)方差分析的任務(wù)是檢驗(yàn)s個(gè)總體N(μ?

,o2),N(u?

,o2),…,N(μs,o2)的均值是否相等，即檢驗(yàn)假設(shè)：

H?

:

從=從=

·

=μ;H?:M?

?,

·,μ

不全相等

(6.1-2)由此得檢驗(yàn)問(wèn)題(6.

1-2)的拒絕域?yàn)槭?6.

1-25)

(6.1-25)n-S授課內(nèi)容假定各個(gè)水平A;(j=1,2,…,s)下的樣本

x?

j,x2j,…xn,來(lái)自具有相同方差?2、均值分別為μ;(j=1,2,…,S)的正態(tài)總體N(u;,o2),μ;與o2

未知，且設(shè)不同1

授課內(nèi)容第六章：方差分析單因素試驗(yàn)的方差分析表6.1-2單因素試驗(yàn)方差分析表方差來(lái)源偏差平方和自由度均方差FF臨界值因素影響Fa(L.6)隨機(jī)誤差fe=n-s總和S_T=S_E+S_Af=n-1授課內(nèi)容1

授課內(nèi)容

第六章：方差分析■單因素試驗(yàn)的方差分析SA叫做因素A的效應(yīng)平方和；Sg叫做誤差平方和；總偏差ST=SA+SE外加劑I外加劑IⅡ外加劑Ⅲ922131510999031307103298713291100105313291035105313501091解：本例中，試驗(yàn)的指標(biāo)是混凝土的斷裂能，因素為外加劑，假定除外加劑這一因素外，混凝土原材料的規(guī)格、試件養(yǎng)護(hù)的條件、試驗(yàn)人員的水平等其它條件都相同。這就是單因素試驗(yàn)。試驗(yàn)的目的是為了考察三種外加劑對(duì)混凝土的抗裂性有無(wú)顯著的差異。外加劑因素有3個(gè)水平，即s=3;每個(gè)水平均試驗(yàn)5次，試驗(yàn)總次數(shù)為n=15。為了方便計(jì)算，首先將表中的數(shù)據(jù)都減去900后所得結(jié)果及初步計(jì)算結(jié)果列于表6.1-4。授課內(nèi)容1

授課內(nèi)容

第六章：方差分析單因素試驗(yàn)的方差分析【例6-1】為了研究幾種外加劑對(duì)混凝土抗裂性能有無(wú)顯著影響，進(jìn)行了斷裂韌

性試驗(yàn)，結(jié)果如表6.1-3所示。表6.1-3混凝土的斷裂能(N·m-1)表6.1-4例1的計(jì)算表外加劑外加劑I外加劑I外加劑III處理后的數(shù)據(jù)22415199340713287429200153429135153450191列平均值83.6426171.4總平均值2271)偏差平方和計(jì)算SA=5×[(83.6-227)2+(426-227)2+(171.4-227)2]=5×63255.92=316279.6SE=(22-83.6)2+(3-83.6)2+(87-83.6)2+(153-83.6)2+(153-83.6)2+(415-426)2+(407-426)2+(429-426)2+(429-426)2+(450-426)2+(199-171.4)2+(132-171.4)2+(200-171.4)2+(132-171.4)2+(191-171.4)2=25852.4ST=SA+S

=316279.6+25852.4=342132授課內(nèi)容1

授課內(nèi)容

第六章：方差分析單因素試驗(yàn)的方差分析表6.1-4例1的計(jì)算表外加劑外加劑I外加劑IⅡ外加劑IⅢ處理后的數(shù)據(jù)22415199340713287429200153429135153450191列平均值83.6426171.4總平均值227授課內(nèi)容1

授課內(nèi)容

第六章：方差分析單因素試驗(yàn)的方差分析2)自由度計(jì)算

3)方差計(jì)算f?=3-1=2fe=15-3=12f=15-1=14表6.1-4例1的計(jì)算表外加劑外加劑I外加劑IⅡ外加劑IⅢ處理后的數(shù)據(jù)22415199340713287429200153429135153450191列平均值83.6426171.4總平均值227授課內(nèi)容1

授課內(nèi)容

第六章：方差分析顯

然

：F>F0.01,(2,12)5)結(jié)論：外加劑間有差別且影響高度顯著。4)F檢驗(yàn)查附

錄F

分

布

表

可

知

，F(xiàn)o.05,(2,12)=3.89,F0.01,(2,12)=6.93

單因素試驗(yàn)的方差分析注：*表示影響顯著;**表示影響高度顯著。綜上所述，單因素方差分析的步驟可歸納如下：1)提出原假設(shè)和備擇假設(shè)。原假設(shè)為H?:μ?=L?

=

…=μ?…=μm

,備擇假設(shè)為：H?:M?,μ2,…,

全相等；2)設(shè)原假設(shè)的前提

成立；3)計(jì)算統(tǒng)計(jì)量：偏差平方和，自由度，均方差和F

值；4)根據(jù)顯著性水平a,

查出，若

原假設(shè)成立；否則原假設(shè)不成立，備擇假設(shè)成立。5)將計(jì)算結(jié)果及結(jié)論列成方差分析表。授課內(nèi)容1

授課內(nèi)容

第六章：方差分析方差來(lái)源偏差平方和自由度均方差FF

臨

界

值結(jié)論因素影響(組間)316279.62158139.873.43.89,6.93**隨機(jī)誤差(組內(nèi))25852.4122154.37總和3421321424438單因素試驗(yàn)的方差分析表6.1-5例6-1的方差分析表授課內(nèi)容1

授課內(nèi)容

第六章：方差分析雙因素試驗(yàn)的方差分析單因素方差分析只研究一種因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響，當(dāng)可能存在多個(gè)因素同時(shí)對(duì)結(jié)果產(chǎn)生影響時(shí)，雖然可以采用固定其他因素，只研究一種因素變

化的方法，對(duì)所有因素分別研究，但這種方法不僅效率低，而且容易遺漏最

好的組合。另一方面，若需要同時(shí)研究幾種因素的影響，用單因素分析是無(wú)

法進(jìn)行的，此時(shí)就需要進(jìn)行多因素試驗(yàn)。多因素方差分析的思路和方法相同，本節(jié)介紹雙因素試驗(yàn)方差分析。雙因素試驗(yàn)的方差分析6.2.1雙因素等重復(fù)試驗(yàn)的方差分析設(shè)有兩個(gè)因素A

、B作用于試驗(yàn)的指標(biāo)，因素A有r

個(gè)水平A?,A?,

…

,A,,因素B有s

個(gè)水平B?,B?,…,B

。現(xiàn)對(duì)因素A

、B的水平的每對(duì)組合(A,B),i=1,2,…,r,j=1,2,…,s

都作t(t≥2)

次試驗(yàn)(稱為等重復(fù)試驗(yàn)),得到結(jié)果如表6.2-1。表6.2-1雙因素重復(fù)試驗(yàn)因

素B1B?…BsA?X111,X112,…,X11tX121,X122,…,X12t…X1s1,X1s2,…,X1stA?X211,X212,…,X21tX221,X222,…,X22t…X2s1,X2s2,…,X2st……………ArXr11,Xr12,…,Xr1tXr21,Xr22,…,Xr2t…Xrs1,Xrs2,…,Xrst授課內(nèi)容1

授課內(nèi)容

第六章：方差分析雙因素試驗(yàn)的方差分析6.2.1雙因素等重復(fù)試驗(yàn)的方差分析xik~N(μ?,o2),i=1,2,

…

,r,j=1,2,

…

,S,k=1,2,

…

,t,

各x獨(dú)立。這里，μ,均為未知參數(shù)，授課內(nèi)容1

授

課

內(nèi)

容

第六章：方差分析

,

水

平A和水平B的

交水平B的效應(yīng)β=μ;-

μ。進(jìn)而

(6.2-5)引入記號(hào)：總平均互效應(yīng)

Y;=μ?-H-μ;+μ。令水平A的效應(yīng)α?=

H?.-μ,雙因素試驗(yàn)方差分析的數(shù)學(xué)模型可表示為式(6.2-5),μ、a;、β;、Y;及σ2都是未知參數(shù)。9授課內(nèi)容1

授課內(nèi)容

第六章：方差分析對(duì)于這一模型要檢驗(yàn)以下三個(gè)假設(shè)：(1)H??:α?=a?=…=a,=0;H??:α?,a?,…,a,

不全為零；(2)H?2:β?=β?=…=β?=0;H?2:β?

,β?,…,β不全為零；(3)H?

3:Y1=Y12=…=yrs;H?3:Y11,Y12,…,Yrs

不全為零。雙因素試驗(yàn)的方差分析6.2.1雙因素等重復(fù)試驗(yàn)的方差分析(6.2-5)方差來(lái)源偏差平方和自由度均方差FF臨界值因素ASAfi=r-1Faxc.J)因素BSBf=s-1Fa(L、J)交互作用SA×Bfs=(r-1)(s-1)Fa(55)誤差SEf。=rs(t-1)一一總和STf=rst-1授課內(nèi)容1

授課內(nèi)容

第六章：方差分析SA=u(7一雙2

S=2220%一)“表6.2-2雙因素等重復(fù)試驗(yàn)的方差分析表?yè)胶狭螦摻合料BAi平均值B1B?B?A15.825.626.535.575.264.126.08A?4.915.415.164.944.285.054.84A36.017.093.925.715.837.324.07A47.585.824.875.787.155.124.14Bi平均值5.865.694.95一授課內(nèi)容1

授課內(nèi)容

第六章：方差分析【例6-2】為了研究?jī)煞N礦物質(zhì)摻合料A

和B

對(duì)耐久性混凝土抗氯鹽滲透性能的影響，在水泥混凝土中摻加不同用量的礦物質(zhì)摻合料A

和B,

A

取4個(gè)不同的水平，B

各取3個(gè)不同的水平，測(cè)試水泥混凝土試件的DRCM氯離子擴(kuò)散系數(shù)(單位10-12m2/s),得結(jié)果如表6.2-3。表6.2-3水泥混凝土試件的DRCM氯離子擴(kuò)散系數(shù)雙因素試驗(yàn)的方差分析解：本例中試驗(yàn)的指標(biāo)是混凝土的抗氯鹽滲透性能

(DRCM

氯離子擴(kuò)散系數(shù)),

礦物質(zhì)摻合料A和B是因素，它們分別有3個(gè)和4個(gè)水平。這是一個(gè)雙因素的試驗(yàn)。試驗(yàn)

的目的在于考察在各種因素的各個(gè)水平下抗氯鹽滲透性能有無(wú)顯著的差異，即考查摻

合料A

和B

這兩個(gè)因素對(duì)混凝土的抗氯鹽滲透性能是否有顯著的差異。據(jù)數(shù)據(jù)可知，因素A有r=4個(gè)水平，因素B有s=3

個(gè)水平，重復(fù)次數(shù)t=2。試驗(yàn)數(shù)據(jù)的總平均x=5.5。1)偏差平方和計(jì)算授課內(nèi)容1

授

課

內(nèi)

容

第六章：方差分析摻合料B?摻合料B?摻合料B?摻合料A?5.825.626.535.264.126.08平均值5.544.876.305方差0.15681.1250.10125摻合料A?4.915.415.164.285.054.84平均值4.5955.235方差0.198450.06480.0512摻合料A?6.017.093.925.837.324.07平均值5.927.2053.995方差0.01620.026450.01125摻合料A?7.585.824.877.155.124.14平均值7.3655.474.505方差0.092450.2450.26645授課內(nèi)容1

授課內(nèi)容

第六章：方差分析■雙因素試驗(yàn)的方差分析中

表6.2-4SE計(jì)算表授課內(nèi)容1

授

課

內(nèi)

容

第六章：方差分析SA×B=ST-SE-SA-SB=17.666682)自由度計(jì)算f?=4-1=3,f?=3-1=2,f?=3×2=6,fe=4×3×(2-1)=12,f=4×3×2-1=23雙因素試驗(yàn)的方差分析1)偏差平方和計(jì)算查F

分布表可知，

F0.05,(3,12)=3.