2.3:直線的交點坐標(biāo)與距離公式【考點梳理】考點一：兩條直線的交點坐標(biāo)1．兩直線的交點已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.點A(a，b)．(1)若點A在直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0上，則有A1a＋B1b＋C1＝0.(2)若點A是直線l1與l2的交點，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1a＋B1b＋C1＝0，,A2a＋B2b＋C2＝0.))2．兩直線的位置關(guān)系方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一組無數(shù)組無解直線l1與l2的公共點的個數(shù)一個無數(shù)個零個直線l1與l2的位置關(guān)系相交重合平行考點二：兩點間的距離公式（1）點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)(2)原點O(0,0)與任一點P(x，y)的距離|OP|＝eq\r(x2＋y2).考點三：兩條平行直線間的距離點到直線的距離兩條平行直線間的距離定義點到直線的垂線段的長度夾在兩條平行直線間公垂線段的長圖示公式(或求法)點P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0之間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))【題型歸納】題型一：直線的交點坐標(biāo)1．（2023秋·高二）直線與互相垂直，則這兩條直線的交點坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．2．（2023秋·廣東·高二統(tǒng)考期末）經(jīng)過兩條直線和的交點，且垂直于直線的直線的方程是（

）A． B．C． D．3．（2023·全國·高二專題練習(xí)）過兩直線的交點，且與直線垂直的直線方程為（

）A． B． C． D．題型二：由直線交點個數(shù)求參數(shù)4．（2023秋·江蘇宿遷·高二校考階段練習(xí)）若直線與互相垂直，垂足為，則的值為（

）A．20 B． C．12 D．45．（2023·全國·高二專題練習(xí)）若直線與直線的交點在第四象限，則m的取值范圍是（

）A． B．C． D．6．（2022·高二課時練習(xí)）若直線與直線的交點在第一象限，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型三：直線交點系方程及其應(yīng)用7．（2023·全國·高二專題練習(xí)）過兩直線和的交點和原點的直線方程為（）A．3x-19y=0 B．19x-3y=0C．19x+3y=0 D．3x+19y=08．（2022·高二課時練習(xí)）若P(2,3)既是的中點,又是直線與直線的交點,則線段AB的中垂線方程是（

）A． B．C． D．9．（2023秋·高二課時練習(xí)）過直線與的交點，與直線平行的直線方程為（

）A． B．C． D．題型四：兩點間的距離公式應(yīng)用10．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知，點C在x軸上，且，則點C的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．11．（2023·全國·高二專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，點為直線上一動點，則的最小值是（

）A． B．4 C．5 D．612．（2022秋·廣東佛山·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知，，從點射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射后又回到點P，則光線所經(jīng)過的路程長為（

）A． B． C． D．題型五：兩點間的距離公式求函數(shù)最值問題13．（2023·全國·高二專題練習(xí)）著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事休．”事實上，有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如：可以轉(zhuǎn)化為點到點的距離，則的最小值為（

）．A．3 B． C． D．14．（2023·全國·高二專題練習(xí)）代數(shù)式的最小值為（

）A． B． C． D．15．（2023秋·高二課時練習(xí)）著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)無形時少直覺，形少數(shù)時難入微.”事實上，有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如：可以轉(zhuǎn)化為平面上點與點的距離.結(jié)合上述觀點，可得的最小值為（

）A． B． C． D．題型六：點到直線的距離問題16．（2023·全國·高二課堂例題）已知直線過定點M，點在直線上，則的最小值是（

）A．5 B． C． D．17．（2022秋·吉林長春·高二東北師大附中?？计谥校┮阎c在直線上，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．418．（2023秋·四川遂寧·高二校考期末）已知直線l經(jīng)過兩直線l1：3x﹣y+12＝0，l2：3x+2y﹣6＝0的交點，且與直線x﹣2y﹣3＝0垂直，則坐標(biāo)原點到直線的距離為（

）A． B． C． D．題型七：點、直線的對稱問題19．（2023秋·高二單元測試）已知直線，點關(guān)于直線的對稱點為，直線經(jīng)過點，且，則直線的方程為（

）A． B．C． D．20．（2022秋·高二校考課時練習(xí)）已知點與點關(guān)于直線對稱，則直線的方程是()A． B．C． D．21．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．題型八：兩條平行直線間的距離22．（2023春·廣東深圳·高二?？计谥校﹥蓷l平行直線和間的距離為，則分別為（

）A． B．C． D．23．（2023春·江西景德鎮(zhèn)·高二江西省樂平中學(xué)?？茧A段練習(xí)）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河，“詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路最短？試求最?。?/p>

）A． B． C． D．24．（2022·全國·高二專題練習(xí)）若兩條平行直線：與：之間的距離是，則直線關(guān)于直線對稱的直線方程為（

）A． B．C． D．題型九：直線距離和平行的綜合問題25．（2023秋·高二課時練習(xí)）如圖，在等邊三角形ABC中，點D，E分別在邊BC，AC上，且，，AD，BE相交于點P．求證：.

26．（2023秋·高二）入射光線問題．(1)已知一條光線從點射向x軸，經(jīng)過x軸上的點P反射后通過點，求點P的坐標(biāo)；(2)已知一條光線從點射到y(tǒng)軸上的點Q，經(jīng)y軸反射后過點，求點Q的坐標(biāo)及入射光線的斜率．27．（2023秋·河南許昌·高二統(tǒng)考期末）已知的頂點，邊上的高線所在的方程為，角的角平分線交邊于點，，所在的直線方程為.(1)求點的坐標(biāo)；(2)求直線的方程.【雙基達(dá)標(biāo)】一、單選題28．（2023秋·江蘇揚州·高二統(tǒng)考）兩條平行直線和間的距離為，則分別為（

）A． B． C． D．29．（2023秋·重慶·高二校聯(lián)考期末）已知三角形的三個頂點，，，則邊上中線的長為（

）A． B． C． D．30．（2023秋·高二課時練習(xí)）已知點A（3，4），B（6，m）到直線3x＋4y－7＝0的距離相等，則實數(shù)m＝（

）A． B．C．1 D．或31．（2023秋·江蘇宿遷·高二泗陽縣實驗高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若點在直線上，O是原點，則OP的最小值為（

）A． B．2 C． D．432．（2023·全國·高二課堂例題）已知不同的兩點與關(guān)于點對稱，則（

）A． B．14 C． D．533．（2023秋·高二）（1）求經(jīng)過直線，的交點，且過點的直線的方程；（2）求經(jīng)過直線和的交點，且與直線垂直的直線的方程．34．（2023秋·高二課時練習(xí)）已知的三個頂點分別為，，．(1)求邊上的中線的長；(2)證明：為等腰直角三角形．【高分突破】一、單選題35．（2023秋·全國·高二隨堂練習(xí)）若動點分別在直線和上移動，則AB的中點M到原點距離的最小值為（

）A．3 B．2 C． D．436．（2023·全國·高二專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線：，點，則點A到直線的距離的取值范圍為（

）A． B． C． D．37．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知兩條直線，，且，當(dāng)兩平行線距離最大時，（

）A．3 B．4 C．5 D．638．（2023秋·全國·高二階段練習(xí)）直線，直線，給出下列命題：①，使得；

②，使得；③，與都相交；

④，使得原點到的距離為.其中正確的是（

）A．①② B．②③ C．②④ D．①④39．（2023春·湖南衡陽·高二衡陽市八中校考階段練習(xí)）如圖，直線與函數(shù)和的圖象分別交于點A，B，若函數(shù)的圖象上存在一點C，使得△ABC為等邊三角形，則t的值為（

）A． B． C． D．二、多選題40．（2023秋·江蘇·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）已知點，，且點在直線：上，則（

）A．存在點，使得 B．存在點，使得C．的最小值為 D．最大值為341．（2023秋·江蘇南通·高二海安高級中學(xué)?？奸_學(xué)考試）下列說法中，不正確的有（

）A．已知點，，若直線的傾斜角小于，則實數(shù)a的取值范圍為B．若集合，滿足，則C．若兩條平行直線和之間的距離小于1，則實數(shù)a的取值范圍為D．若直線與連接，的線段相交，則實數(shù)a的取值范圍為42．（2023秋·山西·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”隱藏著一個有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”，即某將軍觀望完烽火臺之后從山腳的某處出發(fā)，先去河邊飲馬，再返回軍營，怎樣走能使總路程最短?在平面直角坐標(biāo)系中有兩條河流，，其方程分別為，，點，，則下列說法正確的是（

）A．將軍從出發(fā)，先去河流飲馬，再返回的最短路程是7B．將軍從出發(fā)，先去河流飲馬，再返回的最短路程是7C．將軍從出發(fā)，先去河流飲馬，再去河流飲馬，最后返回的最短路程是D．將軍從出發(fā)，先去河流飲馬，再去河流飲馬，最后返回的最短路程是43．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知直線，，，以下結(jié)論錯誤的是（

）A．無論a為何值，與都互相平行B．當(dāng)a變化時，與分別經(jīng)過定點和C．無論a為何值，與都關(guān)于直線對稱D．若與交于點M，則的最大值是三、填空題44．（2023秋·重慶沙坪壩·高二重慶南開中學(xué)校考階段練習(xí)）平行直線與之間的距離為．45．（2023春·新疆巴音郭楞·高二?？计谥校┙?jīng)過兩條直線和的交點，且垂直于直線的直線的方程是46．（2023秋·江西新余·高二新余市第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）光線從射向軸上一點，又從反射到直線上一點，最后從點反射回到點，則BC所在的直線方程為．47．（2023·全國·高二課堂例題）的最小值為．四、解答題48．（2023秋·江蘇南通·高二海安高級中學(xué)?？奸_學(xué)考試）三角形的頂點，邊上的中線所在直線為，A的平分線所在直線為．(1)求A的坐標(biāo)和直線的方程；(2)若P為直