3.3.2：拋物線的簡單幾何性質(zhì)【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一：拋物線的簡單幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)圖形范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R對稱軸x軸x軸y軸y軸焦點(diǎn)坐標(biāo)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))準(zhǔn)線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)頂點(diǎn)坐標(biāo)O(0,0)離心率e＝1通徑長2p考點(diǎn)二：直線與拋物線的位置關(guān)系直線y＝kx＋b與拋物線y2＝2px(p>0)的交點(diǎn)個數(shù)決定于關(guān)于x的方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋b，,y2＝2px))解的個數(shù)，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的個數(shù)．當(dāng)k≠0時，若Δ>0，則直線與拋物線有兩個不同的公共點(diǎn)；若Δ＝0，直線與拋物線有一個公共點(diǎn)；若Δ<0，直線與拋物線沒有公共點(diǎn)．當(dāng)k＝0時，直線與拋物線的軸平行或重合，此時直線與拋物線有1個公共點(diǎn)．考點(diǎn)三：直線和拋物線1．拋物線的通徑(過焦點(diǎn)且垂直于軸的弦)長為2p.2．拋物線的焦點(diǎn)弦過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的一條直線與它交于兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則①y1y2＝－p2，x1x2＝eq\f(p2,4)；②eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))＝x1＋x2＋p；③eq\f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF)))＋eq\f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BF)))＝eq\f(2,p).重難點(diǎn)技巧：拋物線的焦半徑公式如下：（為焦準(zhǔn)距）（1）焦點(diǎn)在軸正半軸，拋物線上任意一點(diǎn)，則；（2）焦點(diǎn)在軸負(fù)半軸，拋物線上任意一點(diǎn)，則；（3）焦點(diǎn)在軸正半軸，拋物線上任意一點(diǎn)，則；（4）焦點(diǎn)在軸負(fù)半軸，拋物線上任意一點(diǎn)，則.【題型歸納】題型一：拋物線的簡單性質(zhì)（頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、范圍）1．（2023·全國·高二專題）對拋物線，下列描述正確的是（

）A．開口向上，焦點(diǎn)為 B．開口向上，焦點(diǎn)為C．開口向右，焦點(diǎn)為 D．開口向右，焦點(diǎn)為【答案】A【解析】將拋物線方程改寫為標(biāo)準(zhǔn)方程形式，則可根據(jù)該方程判斷開口方向，以及焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】由題知，該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則該拋物線開口向上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：A.2．（2022·高二課時練習(xí)）若拋物線y2＝2px（p＞0）上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離恒大于1，則p的取值范圍是（

）A．p＜1 B．p＞1 C．p＜2 D．p＞2【答案】D【解析】根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)當(dāng)P為拋物線的頂點(diǎn)時，P到準(zhǔn)線的距離取得最小值，列不等式求解.【詳解】∵設(shè)P為拋物線的任意一點(diǎn)，則P到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線：x的距離，顯然當(dāng)P為拋物線的頂點(diǎn)時，P到準(zhǔn)線的距離取得最小值．∴，即p＞2．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查拋物線的幾何性質(zhì)，根據(jù)幾何性質(zhì)解決拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的取值范圍問題.3．（2017秋·黑龍江哈爾濱·高二哈師大附中?？计谥校┮阎獟佄锞€：，點(diǎn)為拋物線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)向圓作切線，切點(diǎn)分別為，則四邊形面積的最小值為A． B． C． D．【答案】B【詳解】由圓圓心，半徑，設(shè)，故選B.【點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵步驟是：1.確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2.根據(jù)兩點(diǎn)距離公式求出；3.根據(jù)直角三角形三邊關(guān)系求出；4..根據(jù)四邊形面積公式求出.4．（2023春·安徽蕪湖·高二統(tǒng)考期末）為拋物線的焦點(diǎn)，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，則為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】在拋物線中可借助直角三角形的正切值的求解.再由對稱性求.【詳解】，拋物線中時可得，且則，?。ㄈ鐖D）

，,又對稱性可知.故選；C.題型二：拋物線的對稱性5．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，垂直拋物線的軸的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，，則，則（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】由題知為等腰直角三角形，進(jìn)而得，再代入方程求解即可.【詳解】解：∵，∴，∴，∵，且軸，∴由拋物線的對稱性為等腰直角三角形，設(shè)與軸的交點(diǎn)為，∴，即，∴將代入得，解得．故選：D．6．（2023秋·高二課前預(yù)習(xí)）是拋物線上的兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).若，且的面積為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題可設(shè)，，利用的面積算出，再結(jié)合圖形求出.【詳解】如圖，

∵，知兩點(diǎn)關(guān)于軸對稱，設(shè)，∴，解得，∴，∴，∴，∴.故選：C題型三：拋物線的弦長問題7．（2023春·云南楚雄·高二?？茧A段練習(xí)）過拋物線的焦點(diǎn)作直線，交拋物線于，兩點(diǎn)，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】如圖所示，由題得，利用拋物線焦半徑公式即得解.【詳解】如圖所示，由題得，拋物線的準(zhǔn)線方程為.過點(diǎn)A作AM垂直于準(zhǔn)線于點(diǎn)M，過點(diǎn)B作BN垂直于準(zhǔn)線于點(diǎn)N，

由拋物線定義可知，，∴.故選：C8．（2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)拋物線焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與對稱軸交于點(diǎn)，過的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，對稱軸上一點(diǎn)滿足，若的面積為，則到拋物線準(zhǔn)線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】假設(shè)焦點(diǎn)在軸上，不妨設(shè)拋物線方程為，設(shè)過點(diǎn)的直線方程為，，聯(lián)立拋物線方程，得到兩根之和，兩根之積，結(jié)合得到，解得，根據(jù)相似得到，從而列出方程，求出，再考慮焦點(diǎn)在軸上，同理可得到，求出答案.【詳解】假設(shè)焦點(diǎn)在軸上，不妨設(shè)拋物線方程為，由題意得，，若過點(diǎn)的直線斜率為0時，與拋物線只有1個交點(diǎn)，不合要求，舍去，設(shè)過點(diǎn)的直線方程為，，與拋物線聯(lián)立得，設(shè)，則，因?yàn)?，設(shè)，則，即，將代入中得，，如圖所示，可知，，因?yàn)椤祝?，故，即，解得，則到拋物線準(zhǔn)線的距離為，

假設(shè)焦點(diǎn)在軸上，不妨設(shè)拋物線方程為同理可得，故到拋物線準(zhǔn)線的距離為，綜上，到拋物線準(zhǔn)線的距離為.故選：B9．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知A，B，M，N為拋物線上四個不同的點(diǎn)，直線AB與直線MN互相垂直且相交于焦點(diǎn)F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的面積為2，則四邊形AMBN的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由的面積求出，則可求出直線的方程，聯(lián)立直線與拋物線方程可得，由拋物線的定義可求出，同理求出，即可求出四邊形AMBN的面積.【詳解】不妨設(shè)，且．因?yàn)榈拿娣e為，所以，代入拋物線的方程可得，則．又因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以直線的方程為：，化簡可得：．由，得，所以，則．直線的方程，同理可得．因?yàn)?，所以四邊形的面積為．

故選：D.題型四：拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì)問題10．（2023秋·高二課時練習(xí)）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，是拋物線在第一象限的一點(diǎn)，過作的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，的中點(diǎn)為，若直線經(jīng)過點(diǎn)，則直線的斜率為（

）A．1 B．2 C． D．3【答案】C【分析】設(shè)，進(jìn)而可得，再根據(jù)拋物線定義可得，結(jié)合列式可得，進(jìn)而求得.【詳解】由題意，設(shè)，則，又的中點(diǎn)為，故.由拋物線定義可得，故.則，因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn)，即，故，又是拋物線在第一象限的一點(diǎn)，故，解得.故，直線的斜率為.

故選：C11．（2023春·江西吉安·高二江西省萬安中學(xué)校考期中）過拋物線C：的焦點(diǎn)F且傾斜角為銳角的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，過線段AB的中點(diǎn)N且垂直于l的直線與C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)M，若，則l的斜率為（

）A．2 B． C．1 D．【答案】D【分析】設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為m，分別過點(diǎn)A，N，B作垂足分別為，計(jì)算得到，得到，得到直線MN的傾斜角是150°，從而得到直線l的傾斜角是60°，即可求得直線l的斜率.【詳解】設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為m，分別過點(diǎn)A，N，B作垂足分別為，因?yàn)橹本€l過拋物線的焦點(diǎn)，所以，又N是線段AB的中點(diǎn)，|MN|＝|AB|，所以，所以，則直線MN的傾斜角是150°.又MN⊥l，所以直線l的傾斜角是60°，斜率是.故選：D12．（2023春·全國·高二期中）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過F且斜率為的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，D為AB的中點(diǎn)，且于點(diǎn)M，AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)N，四邊形DMFN的面積為，則（

）A． B．4 C． D．【答案】A【分析】設(shè)出直線AB的方程，聯(lián)立拋物線方程，表達(dá)出點(diǎn)坐標(biāo)，作出輔助線，求出，得到四邊形DMFN為平行四邊形，利用面積列出方程，求出.【詳解】由題意知，直線AB的方程為．設(shè)，由，得，所以，所以，由，得．如圖所示，作軸于點(diǎn)E，則．因?yàn)?，故，，又，故，又，得四邊形DMFN為平行四邊形．所以其面積為，解得．故選：A題型五：拋物線中的參數(shù)范圍13．（2023秋·高二課時練習(xí)）已知拋物線上三點(diǎn)A，B，C，且當(dāng)點(diǎn)B移動時，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，根據(jù)題意分析可得，換元，結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.【詳解】由題意可設(shè)：，因?yàn)椋驗(yàn)?，則，且，則，可得，整理得，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，則；當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，則；綜上所述：點(diǎn)C的橫坐標(biāo)m的取值范圍是.故選：A.14．（2022春·北京·高二北京二中?？计谀?，是拋物線上的兩個動點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)時，的最小值為（

）A． B．4 C．8 D．64【答案】C【分析】聯(lián)立直線，的方程和拋物線方程，求出點(diǎn)，的坐標(biāo)，再求出，，根據(jù)基本不等式即可求出最小值．【詳解】解：設(shè)直線的方程為，，，直線的方程為，由，解得，即，，則，由，解得，即，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，的最小值為8．故選：C．15．（2022·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是以F為焦點(diǎn)的拋物線上任意一點(diǎn)，M是線段PF上的點(diǎn)，且，則直線OM的斜率的最大值為（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)出，P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)及拋物線方程，得到，從而表達(dá)出直線OM的斜率，利用基本不等式求出最大值.【詳解】因?yàn)椋O(shè)，顯然當(dāng)時，，當(dāng)時，，則要想求解直線OM的斜率的最大值，此時，設(shè)，因?yàn)椋?，即，解得：，由于，所以，即，由于，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故直線OM的斜率的最大值為.故選：C題型六：拋物線的定值、定點(diǎn)問題16．（2023秋·全國·高二期中）如圖，設(shè)直線與拋物線(為常數(shù))交于不同的兩點(diǎn)，且當(dāng)時，拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離為.過點(diǎn)的直線交拋物線于另一點(diǎn)，且直線過點(diǎn)，則直線過點(diǎn)（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】先求得，然后聯(lián)立方程組并寫出根與系數(shù)關(guān)系，求得直線、直線，進(jìn)而確定正確答案.【詳解】直線，即，依題意，到直線的距離為，所以拋物線方程為，直線，由消去并化簡得，，且，設(shè)，則.由，直線的方程為，所以，即，則，故，所以，所以，直線的方程為，即，則，故，所以，也即直線過定點(diǎn).故選：A.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法有：根據(jù)焦點(diǎn)或準(zhǔn)線來求、根據(jù)拋物線的定義來求、利用待定系數(shù)法來求、通過已知條件列等量關(guān)系式，化簡后得到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.求解直線和拋物線的交點(diǎn)，可通過聯(lián)立方程組來求解.17．（2023秋·高二單元測試）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線，點(diǎn)，設(shè)直線l與C交于不同的兩點(diǎn)P，Q.(1)若直線軸，求直線的斜率的取值范圍；(2)若直線l不垂直于x軸，且，證明：直線l過定點(diǎn)．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）當(dāng)點(diǎn)在第一象限時，設(shè)，，由基本不等式求得的范圍，同理可求當(dāng)點(diǎn)在第四象限時的范圍.（2）設(shè)直線的方程為，由得，可證得直線l過定點(diǎn)．【詳解】（1）

當(dāng)點(diǎn)在第一象限時，設(shè)，則，（當(dāng)時取等號），∴，同理，當(dāng)點(diǎn)在第四象限時，.綜上所述，直線的斜率的取值范圍是.（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程得，設(shè)，則，∵，即，即，即，即，∴，滿足，∴，∴直線過定點(diǎn).18．（2023秋·河南許昌·高二統(tǒng)考期末）雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過作與軸垂直的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，的面積為12，拋物線以雙曲線的右頂點(diǎn)為焦點(diǎn).

(1)求拋物線的方程；(2)如圖，點(diǎn)為拋物線的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交拋物線于點(diǎn)，連接并延長交拋物線于點(diǎn)，求證：直線過定點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)，令，代入的方程得，結(jié)合三角形的面積求出，即可得出，從而得解；（2）由（1）知，可得的坐標(biāo)，直線的方程為，代入拋物線的方程可得的坐標(biāo)，進(jìn)而得的方程，求解即可.【詳解】（1）

設(shè)，則，令，代入的方程，得.所以，所以，故，即.所以拋物線的方程為.（2）由（1）知，則.直線的方程為，代入拋物線的方程有.當(dāng)時，，所以直線的方程為，即.所以此時直線過定點(diǎn).當(dāng)時，直線的方程為，此時仍過點(diǎn)，綜上，直線過定點(diǎn).【雙基達(dá)標(biāo)】單選題19．（2023·全國·高二專題練習(xí)）直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，若，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的準(zhǔn)線方程為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，根據(jù)求出的值，即可得出拋物線的準(zhǔn)線方程.【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，則點(diǎn)在第四象限，聯(lián)立可得，則點(diǎn)、，所以，，解得，因此，的準(zhǔn)線方程為.故選：B.20．（2023秋·高二課時練習(xí)）已知圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，則（

）A． B． C．8 D．2【答案】D【分析】根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系即可求解.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線為，又圓與該拋物線的準(zhǔn)線相切,圓心到準(zhǔn)線的距離：.故選：D.21．（2023秋·高二課時練習(xí)）直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線交于，兩點(diǎn)．若，則（

）A．4 B． C．8 D．【答案】C【分析】首先根據(jù)焦半徑公式并結(jié)合條件，得到點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得弦長.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，，，，因?yàn)?，所以，得，①因?yàn)?，所以，即，②由方程①②可得，，所?故選：C22．（2023春·四川遂寧·高二射洪中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線E：，若拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線E的漸近線的距離為，過焦點(diǎn)傾斜角為的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C．8 D．【答案】A【分析】分別求出拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程和直線方程，聯(lián)立消求的值，利用弦長公式，即可求得本題答案.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，雙曲線E：其中一條漸近線方程為，所以焦點(diǎn)到漸近線的距離，解得，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)橹本€過焦點(diǎn)且傾斜角為，所以直線方程為，所以拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程與直線方程聯(lián)立消，得，由韋達(dá)定理得，，所以弦長.故選：A23．（2023秋·高二課時練習(xí)）過拋物線：上一點(diǎn)作兩條直線分別與拋物線相交于，兩點(diǎn)，若直線的斜率為2，直線，的斜率倒數(shù)之和為3，則（

）A． B．5 C． D．15【答案】C【分析】設(shè)，，表示出，，的斜率，然后利用直線，的斜率倒數(shù)之和為3，列方程可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)，，故，則因?yàn)樵趻佄锞€上，所以，所以，所以，解之，得，故選：C.

24．（2023秋·重慶長壽·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線，圓，過圓心的直線與拋物線和圓相交于四點(diǎn)，從左往右依次為，若成等差數(shù)列，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出圓的圓心，的長，設(shè)出直線的解析式，令直線和拋物線聯(lián)立即可求出直線的斜率.【詳解】由題意，在圓中,，圓心,半徑為1,在拋物線中，焦點(diǎn)為，∴圓的圓心為拋物線的焦點(diǎn)，∵圓心的直線與拋物線和圓相交于四點(diǎn)，從左往右依次為，∴為圓的直徑，即，∵成等差數(shù)列，則，解得：，∵直線過，兩點(diǎn)是過圓心點(diǎn)的直線與拋物線交點(diǎn)，設(shè)的方程為,，

聯(lián)立和，并化簡得：，∴，∴，∴，解得：，故選：D.25．（2023秋·高二課時練習(xí)）已知過拋物線的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于，兩點(diǎn).求證：(1)，；(2)以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)出過拋物線的焦點(diǎn)F的直線方程，和拋物線方程聯(lián)立，由根與系數(shù)的關(guān)系即可證明結(jié)論；（2）求出弦AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)，求得弦長，證明M到準(zhǔn)線的距離等于的一半，即可證明結(jié)論.【詳解】（1）由拋物線可知焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為,又過拋物線的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于，兩點(diǎn).，故該直線斜率不為0，可設(shè)其方程為，聯(lián)立，得，，故，所以；（2）設(shè)AB的中點(diǎn)為，結(jié)合（1）得，，所以以AB為直徑的圓的半徑為，圓心為M，點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離為，即圓心到準(zhǔn)線的距離等于圓的半徑，即以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切.26．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）如圖，是拋物線對稱軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)M作拋物線的弦AB，交拋物線于A，B.

(1)若，求弦AB中點(diǎn)的軌跡方程；(2)過點(diǎn)M作拋物線的另一條弦CD，若AD與y軸交于點(diǎn)E，連接ME，BC，求證：.【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）由,設(shè)其方程為,聯(lián)立方程后,結(jié)合韋達(dá)定理及中點(diǎn)公式,可得弦中點(diǎn)的軌跡方程;（2）用兩點(diǎn)式求得的方程為:，的方程為:,由,都經(jīng)過點(diǎn),故,進(jìn)而求得,根據(jù)直線平行的充要條件得到.【詳解】（1）設(shè)方程為,聯(lián)立得，則,設(shè)中點(diǎn),則,因此弦AB中點(diǎn)的軌跡方程為.（2）證明:設(shè)，，其中均為正數(shù)，用兩點(diǎn)式求得的方程為:,的方程為:,因?yàn)?都經(jīng)過點(diǎn),故,的方程為:,與軸交點(diǎn)為，，而，【高分突破】一、單選題27．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，A是C上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則的面積為（

）A． B．3 C． D．6【答案】A【分析】利用題目所給的條件，計(jì)算出A點(diǎn)的坐標(biāo)可得答案.【詳解】依題意作下圖：

設(shè)，，所以，可得，由，解得，所以，所以.故選：A.28．（2023春·河北石家莊·高二正定中學(xué)校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)為雙曲線的漸近線和拋物線的一個公共點(diǎn)，若到拋物線焦點(diǎn)的距離為5，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】利用拋物線的定義可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求得的值，由此求得雙曲線的離心率.【詳解】結(jié)合雙曲線與拋物線的對稱性，不妨設(shè)點(diǎn)為第一象限內(nèi)的點(diǎn)，則，因?yàn)閽佄锞€為，由拋物線的定義可得，解得，所以，可得，即點(diǎn)，因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，由題意可得，則，所以，則所求雙曲線的離心率為.故選：A.29．（2023·全國·高二專題練習(xí)）過拋物線的焦點(diǎn)作直線，交拋物線于，兩點(diǎn)，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】如圖所示，由題得，利用拋物線的定義化簡即得解.【詳解】如圖所示，由題得，拋物線的準(zhǔn)線方程為.所以.故選：C

30．（2023春·湖南長沙·高二長沙一中?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)M，N是拋物線：和動圓C：的兩個公共點(diǎn)，點(diǎn)F是的焦點(diǎn)，當(dāng)MN是圓C的直徑時，直線MN的斜率為2，則當(dāng)變化時，的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線的方程得到，結(jié)合是MN的中點(diǎn)，可得，由拋物線的定義可將轉(zhuǎn)化為，當(dāng)三點(diǎn)在一條直線時，可求得的最小值.【詳解】圓C：的圓心，當(dāng)MN是圓C的直徑時，直線MN的斜率為2，設(shè)直線的方程為，化簡為：，，消去可得：，設(shè)，，所以，因?yàn)槭荕N的中點(diǎn)，所以，解得：，故，，由拋物線的定義可知，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，所以，所以，當(dāng)三點(diǎn)在一條直線時取等.故選：B.

31．（2023春·福建泉州·高二校聯(lián)考期末）設(shè)F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)Q在準(zhǔn)線l上，滿足軸．若，則（

）A．2 B． C．3 D．【答案】A【分析】先根據(jù)題意和拋物線的性質(zhì)可得到為等邊三角形，進(jìn)而即可求得的值．【詳解】依題意有，則為等邊三角形，又軸，所以．故選：A．32．（2023秋·全國·高二期中）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)在上且位于第一象限，于點(diǎn)，過點(diǎn)作QF的平行線交軸于點(diǎn)，若，且四邊形PQKR的面積為，則直線QR的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)幾何關(guān)系可判斷出PQFR為菱形，其可判斷與均為正三角形，由此得到p與菱形邊長關(guān)系，再根據(jù)面積得到p值，最終根據(jù)點(diǎn)斜式得到方程.【詳解】如圖，因?yàn)?，，所以四邊形PQFR為平行四邊形．又因?yàn)?，所以四邊形PQFR為菱形，所以．由拋物線的定義知，則，即與均為正三角形，設(shè)，則在中，，即，即．因?yàn)樗倪呅蜳QKR的面積為，所以，解得，則，又直線QR的斜率，所以直線QR的方程為，即.故選D．二、多選題33．（2023春·全國·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，，是C上相異兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，且，則C．若，則 D．若，則的最小值為【答案】ACD【分析】根據(jù)相等向量得F為的中點(diǎn)，利用焦半徑公式求解弦長判斷A，根據(jù)焦半徑公式及點(diǎn)在拋物線上建立方程求解判斷B，根據(jù)焦半徑公式求解弦長判斷C，根據(jù)拋物線的定義，把轉(zhuǎn)化為，利用當(dāng)三點(diǎn)共線時，取得最小值，從而判斷D.【詳解】對于A，因?yàn)?，所以F為的中點(diǎn)，根據(jù)拋物線的對稱性知，直線與軸垂直，所以，正確；對于B，因?yàn)?，所以，即，又，所以，所以，解得或，錯誤；對于C，若，則，正確；對于D，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為點(diǎn)，

由拋物線的定義得，則，當(dāng)點(diǎn)N、A、M三點(diǎn)共線時，取得最小值，且最小值為.正確.故選：ACD.34．（2023秋·黑龍江牡丹江·高二牡丹江市第二高級中學(xué)校考期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過F且傾斜角為的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，以下結(jié)論中正確的有（

）A．直線l的方程為B．原點(diǎn)到直線l的距離為C．D．以AB為直徑的圓過原點(diǎn)【答案】ABC【分析】對選項(xiàng)A，利用點(diǎn)斜式求出直線方程即可判斷A正確，對選項(xiàng)B，利用點(diǎn)到直線的距離公式即可判斷B正確，對選項(xiàng)C，首先聯(lián)立直線和拋物線，再利用焦點(diǎn)弦公式即可判斷C正確，對選項(xiàng)D，根據(jù)即可判斷D錯誤.【詳解】如圖所示：

對選項(xiàng)A，拋物線的焦點(diǎn)為，所以直線l的方程為，故A正確；對選項(xiàng)B，，故B正確.對選項(xiàng)C，聯(lián)立，設(shè)，，則，，所以，故C正確.對選項(xiàng)D，，故D錯誤.故選：ABC35．（2023秋·高二單元測試）如圖，過拋物線的焦點(diǎn)F，斜率為k的直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，與拋物線準(zhǔn)線交于C點(diǎn)，若B是AC的中點(diǎn)，則（

）

A． B．C． D．【答案】BC【分析】設(shè)在準(zhǔn)線上的射影分別為,連接,設(shè),直線的傾斜角為,則,由求得及；將直線方程與拋物線方程聯(lián)立求得，由過焦點(diǎn)的弦長公式求得.【詳解】

如圖,設(shè)在準(zhǔn)線上的射影分別為,連接，設(shè),直線的傾斜角為,則，所以,解得，所以,故，故B正確.由得,不妨設(shè)直線方程為.將直線方程與拋物線方程聯(lián)立得，設(shè),進(jìn)而可解得，于是.故C正確.故選：BC36．（2023秋·高二課時練習(xí)）已知O為拋物線的頂點(diǎn)，直線l交拋物線于M，N兩點(diǎn)，過點(diǎn)M，N分別向準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為P，Q，則下列說法正確的是（

）A．若直線l過焦點(diǎn)F，則N，O，P三點(diǎn)不共線B．若直線l過焦點(diǎn)F，則C．若直線l過焦點(diǎn)F，則拋物線C在M，N處的兩條切線的交點(diǎn)在某定直線上D．若，則直線l恒過點(diǎn)【答案】BCD【分析】設(shè)直線，設(shè)，，聯(lián)立直線與拋物線的方程，由可判斷A；由拋物線的定義和平行線的性質(zhì)可判斷B；求出拋物線C在點(diǎn)M，N處的切線聯(lián)立可得可判斷C；由結(jié)合韋達(dá)定理可得可判斷D.【詳解】設(shè)直線，聯(lián)立方程，得設(shè)，，則選項(xiàng)A，若直線l過焦點(diǎn)F，則，，又，，，三點(diǎn)共線，A錯；

選項(xiàng)B，由拋物線的定義和平行線的性質(zhì)知：，又，，所以B對；選項(xiàng)C，設(shè)與拋物線相切的切線方程為，則化簡得．由，可得，即，所以與拋物線相切的切線方程為，將點(diǎn)坐標(biāo)代入方程可得，則，所以過的切線方程為．同理，過的切線方程為，聯(lián)立，得：拋物線在點(diǎn)M，N處的切線的交點(diǎn)在定直線上，所以C對；

選項(xiàng)D，因?yàn)椋?，將韋達(dá)定理代入得：.所以直線l恒過點(diǎn)，所以D對.故選：BCD.三、填空題37．（2023秋·高二課時練習(xí)）已知拋物線與直線交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），的焦點(diǎn)為，則.【答案】【分析】根據(jù)題意，聯(lián)立直線與拋物線方程即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)間距離公式即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)閽佄锞€，則其焦點(diǎn)，設(shè)，聯(lián)立直線與拋物線方程，消去可得，解得或，當(dāng)時，，當(dāng)時，，且點(diǎn)在第一象限，所以，則，即，則.故答案為：38．（2023秋·高二課時練習(xí)）已知拋物線C的方程為，若傾斜角為銳角的直線l過拋物線的焦點(diǎn)F，與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且，則直線l的傾斜角為．【答案】【分析】結(jié)合拋物線的定義，結(jié)合幾何性質(zhì)，即可求直線的傾斜角.【詳解】如圖，直線為拋物線的準(zhǔn)線，過點(diǎn)分別作垂直于，作，因?yàn)?，，且，所?則，，所以，則，即直線的傾斜角為.

故答案為：39．（2023秋·四川眉山·高二仁壽一中?？计谀┻^的直線l與拋物線E：交于，兩點(diǎn)，且與E的準(zhǔn)線交于點(diǎn)C，點(diǎn)F是E的焦點(diǎn)，若的面積是的面積的3倍，則【答案】/【分析】由題意設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程化簡利用根與系數(shù)的關(guān)系可得，再由的面積是的面積的3倍，可得到準(zhǔn)線的距離是到準(zhǔn)線有距離的3倍，則，從而可求出，進(jìn)而可求得答案.【詳解】由，得，由題意可知直線的斜率存在，所以設(shè)直線的方程為，由，得，易得，所以，因?yàn)榈拿娣e是的面積的3倍，所以，所以到準(zhǔn)線的距離是到準(zhǔn)線的距離的3倍，所以，即，因?yàn)椋?，化簡得，解得或（舍去），所以，所以，故答案為?0．（2023秋·河北唐山·高二?？计谀┮阎獟佄锞€的焦點(diǎn)為，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，連接并延長，交拋物線于點(diǎn)，若中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則當(dāng)最大時，．【答案】16【分析】由中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，可知，又由余弦定理結(jié)合不等式可得最大時，為等邊三角形，后將直線AF方程與拋物線聯(lián)立，由拋物線定義結(jié)合韋達(dá)定理可得答案.【詳解】由題可得拋物線焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為.設(shè)，則由拋物線定義可得，又由題可得中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則.則.則，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，則為等邊三角形，即直線AD斜率為或.如圖，設(shè)此時AD方程為，將其與拋物線聯(lián)立有.設(shè)D，則由韋達(dá)定理有.再由拋物線定義有.故答案為：.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵為