2026屆山東省齊魯名校數(shù)學高二上期末綜合測試試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．變量與的數(shù)據(jù)如表所示，其中缺少了一個數(shù)值，已知關于的線性回歸方程為，則缺少的數(shù)值為（）22232425262324▲2628A.24 B.25C.25.5 D.262．已知空間直角坐標系中的點，，，則點P到直線AB的距離為（）A. B.C. D.3．設函數(shù)，當自變量t由2變到2.5時，函數(shù)的平均變化率是（）A.5.25 B.10.5C.5.5 D.114．甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，則不同的排法有（）A.24種 B.6種C.4種 D.12種5．若，滿足約束條件則的最大值是A.-8 B.-3C.0 D.16．某中學的“希望工程”募捐小組暑假期間走上街頭進行了一次募捐活動，共收到捐款1200元.他們第1天只得到10元，之后采取了積極措施，從第2天起，每一天收到的捐款都比前一天多10元.這次募捐活動一共進行的天數(shù)為（）A.13 B.14C.15 D.167．在中，若，，則外接圓半徑為（）A. B.C. D.8．已知是拋物線上的一點，是拋物線的焦點，若以為始邊，為終邊的角，則等于（）A. B.C. D.9．在一個正方體中，為正方形四邊上的動點，為底面正方形的中心，分別為中點，點為平面內(nèi)一點，線段與互相平分，則滿足的實數(shù)的值有A.0個 B.1個C.2個 D.3個10．若雙曲線的漸近線方程為，則的值為（）A.2 B.3C.4 D.611．若直線的方向向量為，平面的法向量為，則（）A. B.C. D.與相交但不垂直12．拋物線的準線方程是，則a的值為（）A.4 B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數(shù)恰有兩個極值點，則k的取值范圍是______14．若方程表示焦點在y軸上的雙曲線，則實數(shù)k的取值范圍是______15．寫出一個公比為3，且第三項小于1的等比數(shù)列______16．已知點在圓上，點在圓上，則的最小值是__________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某雙曲線型自然冷卻通風塔的外形是由圖1中的雙曲線的一部分繞其虛軸所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面，如圖2所示.雙曲線的左、右頂點分別為、.已知該冷卻通風塔的最窄處是圓O，其半徑為1；上口為圓，其半徑為；下口為圓，其半徑為；高（即圓與所在平面間的距離）為.（1）求此雙曲線的方程；（2）以原平面直角坐標系的基礎上，保持原點和x軸、y軸不變，建立空間直角坐標系，如圖3所示.在上口圓上任取一點，在下口圓上任取一點.請給出、的值，并求出與的值；（3）在（2）的條件下，是否存在點P、Q，使得P、A、Q三點共線.若不存在，請說明理由；若存在，求出點P、Q的坐標，并證明此時線段PQ上任意一點都在曲面上.18．（12分）已知等差數(shù)列的前n項和為，等比數(shù)列的前n項和為，且，，（1）求，；（2）已知，，試比較，的大小19．（12分）已知，，分別是銳角內(nèi)角，，的對邊，，.（1）求的值；（2）若的面積為，求的值.20．（12分）如圖，已知四棱臺的上、下底面分別是邊長為2和4的正方形，，且底面，點分別在棱、上·（1）若P是的中點，證明：；（2）若平面，二面角的余弦值為，求四面體的體積21．（12分）已知橢圓的下焦點為、上焦點為，其離心率．過焦點且與x軸不垂直的直線l交橢圓于A、B兩點（1）求實數(shù)m的值；（2）求△ABO(O為原點)面積的最大值22．（10分）已知拋物線：的焦點為，點在上，點在的內(nèi)側(cè)，且的最小值為.（1）求的方程；（2）為坐標原點，點A在y軸正半軸上，點B，C為E上兩個不同的點，其中B點在第四象限，且AB，互相垂直平分，求四邊形AOBC的面積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】可設出缺少的數(shù)值，利用表中的數(shù)據(jù)，分別表示出、，將樣本中心點帶入回歸方程，即可求得參數(shù).【詳解】設缺少的數(shù)值為，則，，因為回歸直線方程經(jīng)過樣本點的中心，所以，解得.故選：A2、D【解析】由向量在向量上的投影及勾股定理即可求.【詳解】，0，，，1，，，，，，在上的投影為，則點到直線的距離為.故選：D3、B【解析】利用平均變化率的公式即得.【詳解】∵，∴.故選：B.4、B【解析】由已知可得只需對剩下3人全排即可【詳解】解：甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，則只需對剩下3人全排即可，則不同的排法共有，故選：B5、C【解析】作出可行域，把變形為，平移直線過點時，最大.【詳解】作出可行域如圖：由得：，作出直線，平移直線過點時，.故選C.【點睛】本題主要考查了簡單線性規(guī)劃問題，屬于中檔題.6、C【解析】由題意可得募捐構成了一個以10元為首項，以10元為公差的等差數(shù)列，設共募捐了天，然后建立關于的方程，求出即可【詳解】由題意可得，第一天募捐10元，第二天募捐20元，募捐構成了一個以10元為首項，以10元為公差的等差數(shù)列，根據(jù)題意，設共募捐了天，則，解得或（舍去），所以，故選：7、A【解析】根據(jù)三角形面積公式求出c，再由余弦定理求出a，根據(jù)正弦定理即可求外接圓半徑.【詳解】,,,解得由正弦定理可得：，所以故選：A8、D【解析】設點，取，可得，求出的值，利用拋物線的定義可求得的值.【詳解】設點，其中，則，，取，則，可得，因為，可得，解得，則，因此，.故選：D.9、C【解析】因為線段D1Q與OP互相平分，所以四點O，Q，P，D1共面，且四邊形OQPD1為平行四邊形．若P在線段C1D1上時，Q一定在線段ON上運動，只有當P為C1D1的中點時，Q與點M重合，此時λ＝1，符合題意若P在線段C1B1與線段B1A1上時，在平面ABCD找不到符合條件Q；在P在線段D1A1上時，點Q在直線OM上運動，只有當P為線段D1A1的中點時，點Q與點M重合，此時λ＝0符合題意，所以符合條件的λ值有兩個故選C.10、A【解析】根據(jù)雙曲線方程確定焦點位置，再根據(jù)漸近線方程為求解.【詳解】因為雙曲線所以焦點在x軸上，又因為漸近線方程為，所以，所以.故選：A【點睛】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎題.11、B【解析】通過判斷直線的方向向量與平面的法向量的關系，可得結論【詳解】因為，，所以，所以∥，因為直線的方向向量為，平面的法向量為，所以，故選：B12、C【解析】先求得拋物線的標準方程，可得其準線方程，根據(jù)題意，列出方程，即可得答案.【詳解】由題意得拋物線的標準方程為，準線方程為，又準線方程是，所以，所以.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】求導得有兩個極值點等價于函數(shù)有一個不等于1的零點，分離參數(shù)得，令，利用導數(shù)研究的單調(diào)性并作出的圖象，根據(jù)圖象即可得出k的取值范圍【詳解】函數(shù)的定義域為，，令，解得或，若函數(shù)有2個極值點，則函數(shù)與圖象在上恰有1個橫坐標不為1的交點，而，令，令或，故在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，如圖所示，由圖可得.故答案為：14、【解析】由題可得，即求.【詳解】因為方程表示焦點在軸上的雙曲線，則，解得.故答案為：.15、（答案不唯一）【解析】由條件確定該等比數(shù)列的首項的可能值，由此確定該數(shù)列的通項公式.【詳解】設數(shù)列的公比為，則，由已知可得，∴，所以，故可取，故滿足條件的等比數(shù)列的通項公式可能為，故答案為：（答案不唯一）16、3－5【解析】因為點在圓上，點在圓上，故兩圓的圓心分別為半徑分別為和兩圓的圓心距為，故兩圓相離，則最小值為，故答案為.考點：1、圓的方程及圓的幾何性質(zhì)；2、兩點間的距離公式及最值問題.【方法點晴】本題主要考查圓的方程及幾何性質(zhì)、兩點間的距離公式及最值問題的應用，屬于難題.解決解析幾何的最值問題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關結論來解決，非常巧妙；二是將解析幾何中最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法，本題就是利用圓的幾何性質(zhì)，將的最小值轉(zhuǎn)化兩圓心的距離減半徑解答的.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2），，，；（3）存在，或，證明見解析.【解析】（1）設雙曲線的標準方程為，易知，設，，代入求解即可；（2）分析圓，圓的方程即可求解；（3）利用圓的參數(shù)方程，設，，利用，即可求解，再利用線段PQ上任意一點的特征證明點在曲面上；【小問1詳解】設雙曲線的標準方程為，由題意知，點，的橫坐標分別為，，則設點，的坐標為，，，，，解得，，又塔高米，，解得，故所求的雙曲線的方程為【小問2詳解】點在圓上，；點在圓上，；圓，其半徑為，；圓，其半徑為，【小問3詳解】存在點P、Q，使得P、A、Q三點共線.由點在半徑為的圓上，（為參數(shù)）；點在半徑為的圓上，（為參數(shù)）；由已知得，整理得兩式平方求和得，則或當時，，當時，證明：，則，利用，，其中又曲面上的每一點可以是圓與旋轉(zhuǎn)任意坐標系上的雙曲線的交點，旋轉(zhuǎn)直角坐標系，保持原點和y軸不變，點所在的軸為軸，此時，滿足，即即點是曲面上的點.18、（1），；（2）.【解析】(1)設等差數(shù)列的公差，等比數(shù)列的公比，由已知列式計算得解.(2)由(1)的結論，用等比數(shù)列前n項和公式求出，用裂項相消法求出，再比較大小作答.【小問1詳解】設等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，依題意，，整理得：，解得，所以，.【小問2詳解】由(1)知，，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，則，，，則，用數(shù)學歸納法證明，，①當時，左邊，右邊，左邊>右邊，即原不等式成立，②假設當時，不等式成立，即，則，即時，原不等式成立，綜合①②知，，成立，因此，，即，所以.19、（1）；（2）4.【解析】（1）由正弦定理即可得答案.（2）根據(jù)題意得到，再由關于角的余弦定理和整理化簡得，再由的面積，即可求出的值.【小問1詳解】由及正弦定理可得.【小問2詳解】由銳角中得，根據(jù)余弦定理可得，代入得，整理得，即，解得，，解得.20、（1）證明見解析（2）【解析】（1）建立空間直角坐標系，利用空間向量的坐標運算知，即可證得結論；（2）利用空間向量結合已知的面面角余弦值可求得，再利用線面平行的已知條件求得，再將四面體視為以為底面的三棱錐，利用錐體的體積公式即可得解.【小問1詳解】以為坐標原點，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標系，則，，，，設，其中，，若是的中點，則，，，于是，∴，即【小問2詳解】由題設知，，，是平面內(nèi)的兩個不共線向量設是平面的一個法向量，則，取，得又平面的一個法向量是，∴，而二面角的余弦值為，因此，解得或（舍去），此時設，而，由此得點，，∵平面，且平面的一個法向量是，∴，即，解得，從而將四面體視為以為底面的三棱錐，則其高，故四面體的體積【點睛】方法點睛：求空間角的常用方法：（1）定義法：由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結合圖形，作出所求空間角，再結合題中條件，解對應的三角形，即可求出結果；（2）向量法：建立適當?shù)目臻g直角坐標系，通過計算向量的夾角（兩直線的方向向量、直線的方向向量與平面的法向量、兩平面的法向量）的余弦值，即可求得結果.21、（1）2；（2）﹒【解析】(1)根據(jù)已知條件得，，結合離心率，即可解得答案(2)設直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長公式以及三角形的面積公式，基本不等式即可得出答案【小問1詳解】由題意可得，，，∵離心率，∴，∵，∴，解得【小問2詳解】由(1)知，橢圓，上焦點，設，，，，直線的方程為：，聯(lián)立，得，∴，，∴，∴，∴，當且僅當，即時等號成立，∴為原點)面積的最大值