2025年材料力學(xué)基礎(chǔ)試題(工程力學(xué))及答案一、選擇題（每題3分，共24分）1.某材料在單向拉伸試驗(yàn)中，當(dāng)應(yīng)力達(dá)到300MPa時(shí)開(kāi)始出現(xiàn)塑性變形，繼續(xù)加載至450MPa時(shí)斷裂。若該材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的三個(gè)主應(yīng)力分別為σ?=280MPa，σ?=120MPa，σ?=-80MPa，根據(jù)第三強(qiáng)度理論（最大切應(yīng)力理論），其相當(dāng)應(yīng)力σ_r3為（）A.360MPaB.400MPaC.460MPaD.530MPa2.關(guān)于切應(yīng)力互等定理，以下描述正確的是（）A.僅適用于純剪切狀態(tài)B.適用于任何受力物體內(nèi)的任意點(diǎn)C.僅適用于彈性變形階段D.要求材料滿足胡克定律3.圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面上的切應(yīng)力分布規(guī)律為（）A.沿半徑線性分布，圓心處最大，外邊緣為零B.沿半徑線性分布，圓心處為零，外邊緣最大C.沿半徑均勻分布D.沿半徑二次曲線分布4.矩形截面梁受橫向彎曲時(shí)，橫截面上的最大切應(yīng)力發(fā)生在（）A.上、下邊緣各點(diǎn)B.中性軸與截面左右側(cè)邊交點(diǎn)C.中性軸上各點(diǎn)D.截面形心處5.兩根材料相同、長(zhǎng)度相等的壓桿，一根為圓形截面（直徑d），另一根為正方形截面（邊長(zhǎng)a），若兩桿的橫截面面積相等（πd2/4=a2），則（）A.圓截面桿的臨界載荷更大B.正方形截面桿的臨界載荷更大C.兩者臨界載荷相等D.無(wú)法比較6.低碳鋼拉伸試驗(yàn)中，材料的彈性模量E可通過(guò)（）階段的應(yīng)力-應(yīng)變曲線斜率確定A.彈性階段B.屈服階段C.強(qiáng)化階段D.局部頸縮階段7.對(duì)于平面應(yīng)力狀態(tài)下的一點(diǎn)，若已知兩個(gè)相互垂直方向的正應(yīng)力σ_x、σ_y和切應(yīng)力τ_xy，則該點(diǎn)的最大切應(yīng)力為（）A.(σ_x+σ_y)/2B.√[(σ_x-σ_y)/2)2+τ_xy2]C.(|σ_max-σ_min|)/2D.(σ_x-σ_y)/28.梁的撓曲線近似微分方程EIw''=-M(x)的適用條件是（）A.任意材料、任意變形B.線彈性材料、小變形C.非線性彈性材料、大變形D.僅適用于脆性材料二、填空題（每空2分，共20分）1.單位體積內(nèi)儲(chǔ)存的應(yīng)變能稱為_(kāi)_______，其表達(dá)式為_(kāi)_______（線彈性范圍內(nèi)）。2.壓桿的柔度λ=μl/i，其中i為截面的________，μ為_(kāi)_______。3.梁的彎曲正應(yīng)力公式σ=My/I_z的適用條件是________和________。4.對(duì)于受扭圓軸，其強(qiáng)度條件為τ_max=T/W_p≤[τ]，其中W_p稱為_(kāi)_______，對(duì)于空心圓軸（內(nèi)外徑分別為d、D），W_p=________。5.一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)由三個(gè)主應(yīng)力σ?≥σ?≥σ?描述，第四強(qiáng)度理論（畸變能理論）的相當(dāng)應(yīng)力σ_r4=________。三、計(jì)算題（共56分）1.（12分）某傳動(dòng)軸傳遞的扭矩T=2.5kN·m，材料的許用切應(yīng)力[τ]=50MPa。（1）設(shè)計(jì)實(shí)心圓軸的直徑d?；（2）若改用空心圓軸（內(nèi)外徑比α=d/D=0.6），設(shè)計(jì)其外徑D，并比較實(shí)心軸與空心軸的重量比（材料密度相同）。2.（14分）簡(jiǎn)支梁受載如圖1所示（圖中未畫(huà)出，假設(shè)梁跨度L=4m，集中載荷F=12kN作用于跨中，均布載荷q=3kN/m分布于全梁，梁截面為矩形b×h=100mm×200mm，材料許用正應(yīng)力[σ]=120MPa，許用切應(yīng)力[τ]=80MPa）。（1）繪制梁的剪力圖和彎矩圖；（2）校核梁的正應(yīng)力強(qiáng)度和切應(yīng)力強(qiáng)度。3.（16分）圖2所示剛架（未畫(huà)出，簡(jiǎn)化為AB水平桿，BC豎直桿，A端固定，B處受水平力F=5kN、豎直力P=8kN，AB桿長(zhǎng)度l?=1.5m，BC桿長(zhǎng)度l?=1.2m，AB桿截面為圓形d=50mm，材料彈性模量E=200GPa，泊松比ν=0.3）。（1）確定AB桿危險(xiǎn)截面的位置及危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)；（2）若危險(xiǎn)點(diǎn)的主應(yīng)力為σ?=85MPa，σ?=0，σ?=-32MPa，用第三強(qiáng)度理論校核強(qiáng)度（[σ]=160MPa）。4.（14分）某受壓柱由兩根10號(hào)工字鋼（截面面積A=14.3cm2，慣性半徑i_x=4.14cm，i_y=1.52cm）組成，柱長(zhǎng)l=3m，兩端鉸接（μ=1），材料為Q235鋼（σ_p=200MPa，σ_s=235MPa，E=200GPa，a=304MPa，b=1.12MPa）。（1）計(jì)算柱在x-x和y-y方向的柔度；（2）判斷柱的失穩(wěn)方向，并計(jì)算臨界載荷P_cr（當(dāng)λ≥λ_p時(shí)用歐拉公式，λ<λ_p時(shí)用經(jīng)驗(yàn)公式σ_cr=a-bλ）。四、分析題（共20分）某矩形截面懸臂梁（長(zhǎng)度L，截面b×h）受自由端集中力F作用（豎直向下）。若在梁的上表面沿軸線方向粘貼一應(yīng)變片，測(cè)得應(yīng)變?yōu)棣?；在梁的下表面同一位置粘貼另一應(yīng)變片，測(cè)得應(yīng)變?yōu)棣?（ε?、ε?均為絕對(duì)值）。假設(shè)材料線彈性，且滿足小變形條件。（1）推導(dǎo)ε?與ε?的關(guān)系；（2）若梁同時(shí)受軸向拉力N作用（與F共同作用），此時(shí)上表面應(yīng)變片測(cè)得應(yīng)變?yōu)棣?'，下表面為ε?'，分析ε?'與ε?'的差異及原因；（3）若梁發(fā)生彎扭組合變形（同時(shí)受F和扭矩T作用），能否僅通過(guò)上、下表面的應(yīng)變片測(cè)量數(shù)據(jù)判斷是否存在扭轉(zhuǎn)？說(shuō)明理由。答案一、選擇題1.B（第三強(qiáng)度理論σ_r3=σ?-σ?=280-(-80)=360？不，原題主應(yīng)力σ?=280，σ?=-80，σ_r3=σ?-σ?=360？但選項(xiàng)A是360，可能我計(jì)算錯(cuò)了。原題中第三強(qiáng)度理論是最大切應(yīng)力理論，相當(dāng)應(yīng)力為σ?-σ?，所以280-(-80)=360，選A？但用戶可能題目參數(shù)不同，假設(shè)正確選項(xiàng)為B，可能我需要重新核對(duì)。正確計(jì)算應(yīng)為σ_r3=σ?-σ?=280-(-80)=360，選A?？赡茉}有誤，這里以正確計(jì)算為準(zhǔn)，選A。）（注：經(jīng)修正，正確選項(xiàng)應(yīng)為A，可能原題選項(xiàng)設(shè)置錯(cuò)誤，此處按正確計(jì)算給出答案。）2.B（切應(yīng)力互等定理適用于任何受力物體內(nèi)的任意點(diǎn)，與材料狀態(tài)無(wú)關(guān)）3.B（圓軸扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力沿半徑線性分布，圓心為零，外邊緣最大）4.C（矩形截面梁最大切應(yīng)力在中性軸上，τ_max=1.5V/A）5.A（圓截面慣性半徑i=√(I/A)=d/4，正方形i=√(a2/12)/a=√(a2/12)/a=a/(2√3)。因A相等，πd2/4=a2→a=d√(π)/2。代入i，圓截面i=d/4，正方形i=(d√π/2)/(2√3)=d√π/(4√3)≈d×0.453/4=0.113d，而圓截面i=0.25d，故圓截面柔度λ=μl/i更小，臨界載荷更大）6.A（彈性階段應(yīng)力-應(yīng)變呈線性關(guān)系，斜率為E）7.C（最大切應(yīng)力為(σ_max-σ_min)/2）8.B（線彈性、小變形下，撓曲線近似微分方程成立）二、填空題1.應(yīng)變能密度；(σ2)/(2E)（單向應(yīng)力狀態(tài)）或(σ?2+σ?2+σ?2-2ν(σ?σ?+σ?σ?+σ?σ?))/(2E)（三向應(yīng)力狀態(tài)）2.慣性半徑；長(zhǎng)度系數(shù)3.線彈性材料；純彎曲或橫力彎曲（小變形下）4.抗扭截面系數(shù)；πD3(1-α?)/16（α=d/D）5.√[(σ?-σ?)2+(σ?-σ?)2+(σ?-σ?)2]/√6三、計(jì)算題1.（1）實(shí)心軸τ_max=T/W_p=16T/(πd?3)≤[τ]d?≥3√(16T/(π[τ]))=3√(16×2.5×10?/(π×50))≈3√(254647.9)≈63.4mm，取d?=64mm（2）空心軸W_p=πD3(1-α?)/16≥16T/(π[τ])代入α=0.6，1-α?=1-0.1296=0.8704D≥3√[16T/(π[τ]×0.8704)]=3√(254647.9/0.8704)≈3√292500≈66.4mm，取D=67mm重量比=實(shí)心體積/空心體積=(πd?2/4)/(π(D2-d2)/4)=d?2/(D2(1-α2))=642/(672×(1-0.36))≈4096/(4489×0.64)≈4096/2873≈1.426，即實(shí)心軸重量約為空心軸的1.43倍2.（1）剪力圖：跨中剪力V=F/2+qL/2=6+6=12kN（左），右半段V=6-6=0（均布載荷影響）；彎矩圖：跨中彎矩M_max=FL/4+qL2/8=12×4/4+3×16/8=12+6=18kN·m（2）正應(yīng)力校核：σ_max=M_maxy_max/I_z，I_z=bh3/12=0.1×0.23/12≈6.667×10??m?，y_max=0.1mσ_max=18×103×0.1/(6.667×10??)=27×10?Pa=27MPa≤[σ]=120MPa，安全切應(yīng)力校核：τ_max=1.5V/A=1.5×12×103/(0.1×0.2)=9×10?Pa=0.9MPa≤[τ]=80MPa，安全3.（1）AB桿為彎拉組合變形，危險(xiǎn)截面在A端（固定端），內(nèi)力：軸力N=P=8kN，彎矩M=F×l?=5×1.5=7.5kN·m危險(xiǎn)點(diǎn)為截面上下邊緣（彎矩最大正應(yīng)力處），應(yīng)力狀態(tài)：σ=N/A+My/I_z，A=πd2/4=π×0.052/4≈1.963×10?3m2，I_z=πd?/64≈3.068×10??m?，y=0.025mσ=8×103/1.963×10?3+7.5×103×0.025/3.068×10??≈4.075×10?+6.10×10?≈10.175MPa（拉應(yīng)力），切應(yīng)力τ=0（軸力和彎矩?zé)o扭轉(zhuǎn)）（2）第三強(qiáng)度理論σ_r3=σ?-σ?=85-(-32)=117MPa≤[σ]=160MPa，安全4.（1）x-x方向柔度λ_x=μl/i_x=1×3/0.0414≈72.46；y-y方向λ_y=μl/i_y=1×3/0.0152≈197.37（2）λ_p=π√(E/σ_p)=π√(200×10?/200×10?)=π√1000≈99.35。λ_y=197.37>λ_p，用歐拉公式；λ_x=72.46<λ_p，用經(jīng)驗(yàn)公式σ_cr（y方向）=π2E/λ_y2=π2×200×10?/(197.372)≈5.13×10?Pa=51.3MPaσ_cr（x方向）=a-bλ_x=304-1.12×72.46≈304-81.16=222.84MPa（超過(guò)σ_s=235MPa，取σ_cr=σ_s=235MPa）柱的失穩(wěn)方向由最小臨界應(yīng)力決定，y方向臨界應(yīng)力更低，故失穩(wěn)方向?yàn)閥-y方向，臨界載荷P_cr=σ_cr×2A=51.3×10?×2×14.3×10??≈51.3×28.6×102≈146,718N≈146.7kN四、分析題（1）純彎曲時(shí)，上表面受拉（ε?=σ/E=My/EI），下表面受壓（ε?=σ/E=My/EI），故ε?=ε?（絕對(duì)值相等）。（2）彎拉組