2026復(fù)變函數(shù)解析延拓應(yīng)用試卷及答案考試時(shí)長(zhǎng)：120分鐘滿分：100分試卷名稱(chēng)：2026復(fù)變函數(shù)解析延拓應(yīng)用試卷考核對(duì)象：數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)本科三年級(jí)學(xué)生題型分值分布：-判斷題（20分）-單選題（20分）-多選題（20分）-案例分析（18分）-論述題（22分）總分：100分---一、判斷題（每題2分，共20分）1.解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是解析函數(shù)。2.如果函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)解析且不為常數(shù)，則其模的最大值必在邊界上取得。3.解析函數(shù)的實(shí)部和虛部滿足柯西-黎曼方程，反之亦然。4.如果函數(shù)在閉區(qū)域上解析且連續(xù)，則其沿閉曲線的積分為零。5.解析延拓只能在已解析的區(qū)域內(nèi)進(jìn)行。6.所有解析函數(shù)都可以展開(kāi)為洛朗級(jí)數(shù)。7.留數(shù)定理僅適用于閉曲線積分。8.如果函數(shù)在點(diǎn)z?處有極點(diǎn)，則其留數(shù)等于該極點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)。9.解析函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)處處收斂。10.如果函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)解析，則其虛部可以由實(shí)部唯一確定。二、單選題（每題2分，共20分）1.函數(shù)f(z)=z2+2z+3在z=1處的導(dǎo)數(shù)為（）A.4B.5C.6D.72.函數(shù)f(z)=e^z在z=πi處的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式中，z^3項(xiàng)的系數(shù)為（）A.1B.e^πC.-e^πD.03.函數(shù)f(z)=1/(z-1)在z=2處的留數(shù)為（）A.1B.-1C.1/2D.-1/24.函數(shù)f(z)=z/(z2+1)在z=i處的留數(shù)為（）A.1/2B.-1/2C.iD.-i5.函數(shù)f(z)=sin(z)在z=0處的洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)式中，z^4項(xiàng)的系數(shù)為（）A.0B.1C.-1D.1/246.函數(shù)f(z)=1/(z(z-1))在z=0處的留數(shù)為（）A.1B.-1C.1/2D.-1/27.函數(shù)f(z)=z2/(z-1)在z=1處的留數(shù)為（）A.1B.2C.3D.48.函數(shù)f(z)=e^z在z=0處的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式中，z^5項(xiàng)的系數(shù)為（）A.1B.5C.10D.159.函數(shù)f(z)=1/(z2+1)在z=i處的留數(shù)為（）A.1/2iB.-1/2iC.1D.-110.函數(shù)f(z)=z/(z-1)在z=1處的留數(shù)為（）A.1B.-1C.1/2D.-1/2三、多選題（每題2分，共20分）1.下列函數(shù)中，在z=0處解析的有（）A.f(z)=z2+2z+1B.f(z)=sin(z)/zC.f(z)=1/zD.f(z)=z/(z2+1)2.下列關(guān)于留數(shù)定理的描述正確的有（）A.留數(shù)定理適用于任何閉曲線積分。B.留數(shù)定理僅適用于解析函數(shù)。C.留數(shù)定理可以用于計(jì)算實(shí)函數(shù)的積分。D.留數(shù)定理的證明依賴(lài)于柯西積分定理。3.下列關(guān)于洛朗級(jí)數(shù)的描述正確的有（）A.洛朗級(jí)數(shù)是泰勒級(jí)數(shù)的推廣。B.洛朗級(jí)數(shù)可以包含負(fù)冪項(xiàng)。C.洛朗級(jí)數(shù)的收斂域一定是圓環(huán)。D.洛朗級(jí)數(shù)僅適用于解析函數(shù)。4.下列關(guān)于解析延拓的描述正確的有（）A.解析延拓可以擴(kuò)展函數(shù)的定義域。B.解析延拓必須保持函數(shù)的解析性。C.解析延拓僅適用于單值函數(shù)。D.解析延拓的極限唯一。5.下列關(guān)于柯西積分公式的描述正確的有（）A.柯西積分公式適用于任何閉曲線。B.柯西積分公式依賴(lài)于函數(shù)的解析性。C.柯西積分公式可以用于計(jì)算函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。D.柯西積分公式的證明依賴(lài)于柯西積分定理。6.下列關(guān)于極點(diǎn)的描述正確的有（）A.極點(diǎn)是函數(shù)解析性破壞的點(diǎn)。B.極點(diǎn)的階數(shù)可以是任意正整數(shù)。C.極點(diǎn)的留數(shù)等于該極點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)。D.極點(diǎn)的留數(shù)可以不為零。7.下列關(guān)于解析函數(shù)的實(shí)部和虛部的描述正確的有（）A.解析函數(shù)的實(shí)部和虛部滿足柯西-黎曼方程。B.解析函數(shù)的實(shí)部和虛部可以相互確定。C.解析函數(shù)的實(shí)部和虛部都是調(diào)和函數(shù)。D.解析函數(shù)的實(shí)部和虛部都是常數(shù)。8.下列關(guān)于泰勒級(jí)數(shù)的描述正確的有（）A.泰勒級(jí)數(shù)是解析函數(shù)的局部展開(kāi)。B.泰勒級(jí)數(shù)的收斂域一定是圓。C.泰勒級(jí)數(shù)的系數(shù)由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)唯一確定。D.泰勒級(jí)數(shù)的展開(kāi)式唯一。9.下列關(guān)于留數(shù)定理的應(yīng)用的描述正確的有（）A.留數(shù)定理可以用于計(jì)算實(shí)函數(shù)的積分。B.留數(shù)定理可以用于計(jì)算復(fù)函數(shù)的積分。C.留數(shù)定理僅適用于閉曲線積分。D.留數(shù)定理的證明依賴(lài)于柯西積分定理。10.下列關(guān)于解析函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性的描述正確的有（）A.解析函數(shù)的實(shí)部和虛部關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱(chēng)。B.解析函數(shù)的實(shí)部和虛部關(guān)于虛軸對(duì)稱(chēng)。C.解析函數(shù)的實(shí)部和虛部關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。D.解析函數(shù)的實(shí)部和虛部關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)。四、案例分析（每題6分，共18分）1.設(shè)函數(shù)f(z)=z/(z2+1)在區(qū)域D內(nèi)解析，求其在z=i處的留數(shù)，并計(jì)算∮_Cf(z)dz，其中C為圍繞z=i的閉曲線。2.設(shè)函數(shù)f(z)=e^z/(z-1)在區(qū)域D內(nèi)解析，求其在z=1處的留數(shù)，并計(jì)算∮_Cf(z)dz，其中C為圍繞z=1的閉曲線。3.設(shè)函數(shù)f(z)=z/(z2-1)在區(qū)域D內(nèi)解析，求其在z=1和z=-1處的留數(shù)，并計(jì)算∮_Cf(z)dz，其中C為圍繞z=1和z=-1的閉曲線。五、論述題（每題11分，共22分）1.論述解析函數(shù)的柯西-黎曼方程的幾何意義及其在復(fù)變函數(shù)研究中的作用。2.論述解析延拓的條件和意義，并舉例說(shuō)明解析延拓的應(yīng)用。---標(biāo)準(zhǔn)答案及解析一、判斷題1.√解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是解析函數(shù)，這是解析函數(shù)的基本性質(zhì)。2.√根據(jù)最大模原理，解析函數(shù)的模的最大值必在邊界上取得。3.×柯西-黎曼方程是解析函數(shù)的必要條件，但不是充分條件，反之亦然。4.√根據(jù)柯西積分定理，解析函數(shù)沿閉曲線的積分為零。5.×解析延拓可以在未解析的區(qū)域進(jìn)行，通過(guò)已知解析部分?jǐn)U展定義域。6.×只有在函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析且無(wú)奇點(diǎn)時(shí)，才能展開(kāi)為洛朗級(jí)數(shù)。7.√留數(shù)定理是復(fù)變函數(shù)積分的重要工具，僅適用于閉曲線積分。8.×留數(shù)等于極點(diǎn)處的（z-z?）倍函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。9.√泰勒級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)處處收斂且絕對(duì)收斂。10.√根據(jù)柯西-黎曼方程，解析函數(shù)的虛部可以由實(shí)部唯一確定。二、單選題1.Bf'(z)=2z+2，z=1時(shí)，f'(1)=4.2.Ae^z在z=πi處的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式中，z^3項(xiàng)的系數(shù)為1。3.B1/(z-1)在z=2處的留數(shù)為-1。4.Az/(z2+1)在z=i處的留數(shù)為1/2。5.Asin(z)在z=0處的洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)式中，z^4項(xiàng)的系數(shù)為0。6.B1/(z(z-1))在z=0處的留數(shù)為-1。7.Bz2/(z-1)在z=1處的留數(shù)為2。8.Ce^z在z=0處的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式中，z^5項(xiàng)的系數(shù)為10。9.A1/(z2+1)在z=i處的留數(shù)為1/2i。10.Az/(z-1)在z=1處的留數(shù)為1。三、多選題1.A,B,Dz2+2z+1在z=0處解析，sin(z)/z在z=0處解析，1/z在z=0處不解析，z/(z2+1)在z=0處解析。2.A,B,D留數(shù)定理適用于解析函數(shù)，可以用于計(jì)算實(shí)函數(shù)的積分，證明依賴(lài)于柯西積分定理。3.A,B,C洛朗級(jí)數(shù)是泰勒級(jí)數(shù)的推廣，可以包含負(fù)冪項(xiàng)，收斂域一定是圓環(huán)，僅適用于解析函數(shù)。4.A,B,C解析延拓可以擴(kuò)展函數(shù)的定義域，必須保持函數(shù)的解析性，僅適用于單值函數(shù)，極限唯一。5.B,C,D柯西積分公式依賴(lài)于函數(shù)的解析性，可以用于計(jì)算函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)，證明依賴(lài)于柯西積分定理。6.A,B,D極點(diǎn)是函數(shù)解析性破壞的點(diǎn)，階數(shù)可以是任意正整數(shù)，留數(shù)不為零。7.A,B,C解析函數(shù)的實(shí)部和虛部滿足柯西-黎曼方程，可以相互確定，都是調(diào)和函數(shù)。8.A,B,C泰勒級(jí)數(shù)是解析函數(shù)的局部展開(kāi)，收斂域一定是圓，系數(shù)由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)唯一確定，展開(kāi)式唯一。9.A,B,D留數(shù)定理可以用于計(jì)算實(shí)函數(shù)和復(fù)函數(shù)的積分，僅適用于閉曲線積分，證明依賴(lài)于柯西積分定理。10.A,B解析函數(shù)的實(shí)部和虛部關(guān)于實(shí)軸和虛軸對(duì)稱(chēng)。四、案例分析1.解析函數(shù)f(z)=z/(z2+1)在z=i處的留數(shù)為：f(z)=z/(z-i)(z+i)，z=i時(shí)，留數(shù)為1/(i+i)=1/2i?！觃Cf(z)dz=2πi(1/2i)=π。2.解析函數(shù)f(z)=e^z/(z-1)在z=1處的留數(shù)為：f(z)=e^z/(z-1)，z=1時(shí)，留數(shù)為e^1=e?！觃Cf(z)dz=2πie=2πie。3.解析函數(shù)f(z)=z/(z2-1)在z=1和z=-1處的留數(shù)分別為：z=1時(shí)，留數(shù)為1/(1-1)=1；z=-1時(shí)，留數(shù)為-1/(1+1)=-1/2?！觃Cf(z)dz=2πi(1-1/2)=2πi1/2=πi。五、論述題1