二卷數(shù)學(xué)理科試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.函數(shù)\(y=2\cos^2x-1\)的最小正周期是（）A.\(\frac{\pi}{2}\)B.\(\pi\)C.\(2\pi\)D.\(4\pi\)2.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(m,-1)\)，若\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow\)，則\(m\)的值為（）A.-2B.2C.\(-\frac{1}{2}\)D.\(\frac{1}{2}\)3.若復(fù)數(shù)\(z=1+i\)，則\(\frac{z^2}{z-1}\)的值為（）A.\(2\)B.\(2i\)C.\(-2\)D.\(-2i\)4.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_3=5\)，\(a_7=13\)，則\(a_{11}\)等于（）A.19B.21C.23D.255.曲線\(y=x^3-2x+4\)在點\((1,3)\)處的切線的傾斜角為（）A.\(30^{\circ}\)B.\(45^{\circ}\)C.\(60^{\circ}\)D.\(120^{\circ}\)6.已知拋物線\(y^2=2px(p>0)\)的焦點為\(F\)，點\(M(2,y_0)\)在拋物線上，且\(|MF|=4\)，則\(p\)的值為（）A.2B.4C.6D.87.函數(shù)\(y=\sin(2x-\frac{\pi}{3})\)的圖象可由函數(shù)\(y=\sin2x\)的圖象（）A.向左平移\(\frac{\pi}{3}\)個單位得到B.向右平移\(\frac{\pi}{3}\)個單位得到C.向左平移\(\frac{\pi}{6}\)個單位得到D.向右平移\(\frac{\pi}{6}\)個單位得到8.從\(5\)名男生和\(3\)名女生中選\(3\)人參加志愿者活動，則選到的\(3\)人中既有男生又有女生的不同選法共有（）A.70種B.80種C.140種D.160種9.已知函數(shù)\(f(x)=e^x-x\)，則\(f(x)\)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A.\((-\infty,0)\)B.\((0,+\infty)\)C.\((-\infty,1)\)D.\((1,+\infty)\)10.若\(\log_2a+\log_2b=6\)，則\(a+b\)的最小值為（）A.4B.8C.16D.32二、多項選擇題（每題2分，共20分）1.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的有（）A.\(y=x^2+1\)B.\(y=x^3\)C.\(y=\frac{1}{x^2}\)D.\(y=|x|\)2.下列關(guān)于直線與平面的位置關(guān)系的說法正確的有（）A.若直線\(l\)平行于平面\(\alpha\)內(nèi)的一條直線，則\(l\parallel\alpha\)B.若直線\(l\)垂直于平面\(\alpha\)內(nèi)的兩條相交直線，則\(l\perp\alpha\)C.若平面\(\alpha\)內(nèi)有一條直線與平面\(\beta\)平行，則\(\alpha\parallel\beta\)D.若平面\(\alpha\)垂直于平面\(\beta\)，且\(\alpha\cap\beta=l\)，直線\(a\perpl\)，\(a\subset\alpha\)，則\(a\perp\beta\)3.對于雙曲線\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)\)，下列說法正確的有（）A.焦點在\(x\)軸上B.漸近線方程為\(y=\pm\frac{a}x\)C.離心率\(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)D.實軸長為\(2a\)4.已知\(a,b\)為實數(shù)，則下列不等式一定成立的有（）A.\(a^2+b^2\geqslant2ab\)B.\(\frac{a+b}{2}\geqslant\sqrt{ab}\)C.\(a+\frac{1}{a}\geqslant2\)D.\(a^2+1\geqslant2a\)5.下列關(guān)于導(dǎo)數(shù)的說法正確的有（）A.若\(y=x^n(n\inN^)\)，則\(y^\prime=nx^{n-1}\)B.若\(y=\sinx\)，則\(y^\prime=\cosx\)C.若\(y=\lnx\)，則\(y^\prime=\frac{1}{x}\)D.若\(y=e^x\)，則\(y^\prime=e^x\)6.已知\(A,B,C\)是\(\triangleABC\)的內(nèi)角，若\(\sinA,\sinB,\sinC\)成等差數(shù)列，則下列結(jié)論正確的有（）A.\(2b=a+c\)B.\(2B=A+C\)C.\(\cosB\geqslant\frac{1}{2}\)D.\(b^2\leqslantac\)7.下列關(guān)于概率的說法正確的有（）A.必然事件的概率為\(1\)B.不可能事件的概率為\(0\)C.若\(A,B\)為互斥事件，則\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)\)D.若\(A,B\)為對立事件，則\(P(A)+P(B)=1\)8.已知函數(shù)\(y=A\sin(\omegax+\varphi)(A>0,\omega>0)\)的圖象經(jīng)過點\((\frac{\pi}{6},0)\)，則（）A.\(\omega\times\frac{\pi}{6}+\varphi=k\pi(k\inZ)\)B.\(\varphi=k\pi-\frac{\omega\pi}{6}(k\inZ)\)C.函數(shù)的周期\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)D.當(dāng)\(x=\frac{\pi}{6}\)時，函數(shù)取得最值9.已知向量\(\overrightarrow{m}=(1,\cos\theta)\)，\(\overrightarrow{n}=(\sin\theta,-2)\)，且\(\overrightarrow{m}\perp\overrightarrow{n}\)，則下列說法正確的有（）A.\(\sin\theta=2\cos\theta\)B.\(\tan\theta=2\)C.\(\frac{\sin\theta+\cos\theta}{\sin\theta-\cos\theta}=3\)D.\(\sin^2\theta+\sin\theta\cos\theta=\frac{6}{5}\)10.某班級有\(zhòng)(50\)名學(xué)生，其中有\(zhòng)(30\)名男生和\(20\)名女生，隨機(jī)詢問了該班五名男生和五名女生在某次數(shù)學(xué)測驗中的成績，五名男生的成績分別為\(86,94,88,92,90\)，五名女生的成績分別為\(88,93,93,88,93\)，下列說法正確的有（）A.這種抽樣方法是一種分層抽樣B.這五名男生成績的方差大于這五名女生成績的方差C.該班男生成績的平均數(shù)大于該班女生成績的平均數(shù)D.可以估計該班全體學(xué)生在這次數(shù)學(xué)測驗的平均分為\(90.6\)三、判斷題（每題2分，共20分）1.若\(a>b\)，則\(ac^2>bc^2\)。（）2.函數(shù)\(y=\log_2(x-1)\)的定義域是\((1,+\infty)\)。（）3.空間中，垂直于同一條直線的兩條直線一定平行。（）4.若\(z_1,z_2\)為復(fù)數(shù)，且\(|z_1|=|z_2|\)，則\(z_1=z_2\)。（）5.雙曲線\(\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1(a>0,b>0)\)的漸近線方程是\(y=\pm\frac{a}x\)。（）6.隨機(jī)事件的概率\(P\)滿足\(0<P<1\)。（）7.若函數(shù)\(y=f(x)\)在\(x=x_0\)處可導(dǎo)，則函數(shù)\(y=f(x)\)在\(x=x_0\)處連續(xù)。（）8.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，若\(a_m+a_n=a_p+a_q\)，則\(m+n=p+q\)。（）9.函數(shù)\(y=\sinx\)與\(y=\cosx\)的圖象有無數(shù)個交點。（）10.若\(\overrightarrow{AB}\)與\(\overrightarrow{CD}\)平行，則\(AB\parallelCD\)。（）四、簡答題（每題5分，共20分）1.求函數(shù)\(y=x^3-3x^2+1\)的單調(diào)區(qū)間。解：先求導(dǎo)\(y^\prime=3x^2-6x\)，令\(y^\prime>0\)，即\(3x(x-2)>0\)，解得\(x<0\)或\(x>2\)，此時函數(shù)遞增；令\(y^\prime<0\)，即\(3x(x-2)<0\)，解得\(0<x<2\)，此時函數(shù)遞減。所以單調(diào)增區(qū)間為\((-\infty,0)\)和\((2,+\infty)\)，單調(diào)減區(qū)間為\((0,2)\)。2.已知\(\triangleABC\)中，\(a=3\)，\(b=\sqrt{7}\)，\(c=2\)，求角\(B\)。解：根據(jù)余弦定理\(\cosB=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}\)，將\(a=3\)，\(b=\sqrt{7}\)，\(c=2\)代入得\(\cosB=\frac{9+4-7}{2\times3\times2}=\frac{1}{2}\)，因為\(0<B<\pi\)，所以\(B=\frac{\pi}{3}\)。3.求以原點為圓心，且與直線\(x+y-2=0\)相切的圓的方程。解：圓的圓心為\((0,0)\)，根據(jù)點到直線距離公式，圓心到直線\(x+y-2=0\)的距離\(r=\frac{|0+0-2|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}=\sqrt{2}\)，則圓的方程為\(x^{2}+y^{2}=2\)。4.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n=2n^2-n\)，求\(a_5\)的值。解：\(a_5=S_5-S_4\)，\(S_5=2\times5^2-5=45\)，\(S_4=2\times4^2-4=28\)，所以\(a_5=45-28=17\)。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論函數(shù)\(y=ax^2+bx+c(a\neq0)\)的單調(diào)性。答：函數(shù)對稱軸為\(x=-\frac{2a}\)。當(dāng)\(a>0\)時，在\((-\infty,-\frac{2a})\)上函數(shù)單調(diào)遞減，在\((-\frac{2a},+\infty)\)上單調(diào)遞增；當(dāng)\(a<0\)時，在\((-\infty,-\frac{2a})\)上函數(shù)單調(diào)遞增，在\((-\frac{2a},+\infty)\)上單調(diào)遞減。2.討論直線\(y=kx+1\)與橢圓\(\frac{x^2}{4}+y^2=1\)的位置關(guān)系。答：聯(lián)立方程\(\begin{cases}y=kx+1\\\frac{x^2}{4}+y^2=1\end{cases}\)，消去\(y\)得\((1+4k^2)x^2+8kx=0\)，\(\Delta=(8k)^2-4\times(1+4k^2)\times0=64k^2\)。當(dāng)\(k=0\)時，\(\Delta=0\)，直線與橢圓相切；當(dāng)\(k\neq0\)時，\(\Delta>0\)，直線與橢圓相交。3.討論等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n\)。答：當(dāng)公比\(q=1\)時，\(S_n=na_1\)；當(dāng)公比\(q\neq1\)時，\(S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\)，根據(jù)\(q\)的取值不同，和式的數(shù)值也不同，式子應(yīng)用時要注