第1頁（共1頁）2024年河南省中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每小題3分，共30分．下列各小題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是正確的）1．（3分）（2024?河南）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)P表示的數(shù)是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．22．（3分）（2024?河南）據(jù)統(tǒng)計(jì)，2023年我國人工智能核心產(chǎn)業(yè)規(guī)模達(dá)5784億元．?dāng)?shù)據(jù)“5784億”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．5784×108 B．5.784×1010 C．5.784×1011 D．0.5784×10123．（3分）（2024?河南）如圖，乙地在甲地的北偏東50°方向上，則∠1的度數(shù)為（）A．60° B．50° C．40° D．30°4．（3分）（2024?河南）信陽毛尖是中國十大名茶之一．如圖是信陽毛尖茶葉的包裝盒，它的主視圖為（）A． B． C． D．5．（3分）（2024?河南）下列不等式中，與﹣x＞1組成的不等式組無解的是（）A．x＞2 B．x＜0 C．x＜﹣2 D．x＞﹣36．（3分）（2024?河南）如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為OC的中點(diǎn)，EF∥AB交BC于點(diǎn)F．若AB＝4，則EF的長為（）A． B．1 C． D．27．（3分）（2024?河南）計(jì)算（）3的結(jié)果是（）A．a(chǎn)5 B．a(chǎn)6 C．a(chǎn)a+3 D．a(chǎn)3a8．（3分）（2024?河南）豫劇是國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)，因其雅俗共賞，深受大眾喜愛．正面印有豫劇經(jīng)典劇目人物的三張卡片如圖所示，它們除正面外完全相同．把這三張卡片背面朝上洗勻，從中隨機(jī)抽取一張，放回洗勻后，再從中隨機(jī)抽取一張，兩次抽取的卡片正面相同的概率為（）A． B． C． D．9．（3分）（2024?河南）如圖，⊙O是邊長為的等邊三角形ABC的外接圓，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，連接BD，CD．以點(diǎn)D為圓心，BD的長為半徑在⊙O內(nèi)畫弧，則陰影部分的面積為（）A． B．4π C． D．16π10．（3分）（2024?河南）把多個(gè)用電器連接在同一個(gè)插線板上，同時(shí)使用一段時(shí)間后，插線板的電源線會明顯發(fā)熱，存在安全隱患．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組對這種現(xiàn)象進(jìn)行研究，得到時(shí)長一定時(shí)，插線板電源線中的電流I與使用電器的總功率P的函數(shù)圖象（如圖1），插線板電源線產(chǎn)生的熱量Q與I的函數(shù)圖象（如圖2）．下列結(jié)論中錯誤的是（）A．當(dāng)P＝440W時(shí)，I＝2A B．Q隨I的增大而增大 C．I每增加1A，Q的增加量相同 D．P越大，插線板電源線產(chǎn)生的熱量Q越多二、填空題（每小題3分，共15分）11．（3分）（2024?河南）請寫出2m的一個(gè)同類項(xiàng)：．12．（3分）（2024?河南）2024年3月是第8個(gè)全國近視防控宣傳教育月，其主題是“有效減少近視發(fā)生，共同守護(hù)光明未來”．某校組織各班圍繞這個(gè)主題開展板報(bào)宣傳活動，并對各班的宣傳板報(bào)進(jìn)行評分，得分情況如圖，則得分的眾數(shù)為分．13．（3分）（2024?河南）若關(guān)于x的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則c的值為．14．（3分）（2024?河南）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的邊AB在x軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0），點(diǎn)E在邊CD上．將△BCE沿BE折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)F處．若點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，6），則點(diǎn)E的坐標(biāo)為．15．（3分）（2024?河南）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝3，線段CD繞點(diǎn)C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，過點(diǎn)B作AD的垂線，交射線AD于點(diǎn)E．若CD＝1，則AE的最大值為，最小值為．三、解答題（本大題共8個(gè)小題，共75分）16．（10分）（2024?河南）（1）計(jì)算：；（2）化簡：．17．（9分）（2024?河南）為提升學(xué)生體質(zhì)健康水平，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展，學(xué)校開展了豐富多彩的課外體育活動．在八年級組織的籃球聯(lián)賽中，甲、乙兩名隊(duì)員表現(xiàn)優(yōu)異，他們在近六場比賽中關(guān)于得分、籃板和失誤三個(gè)方面的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下．技術(shù)統(tǒng)計(jì)表隊(duì)員平均每場得分平均每場籃板平均每場失誤甲26.582乙26103根據(jù)以上信息，回答下列問題．（1）這六場比賽中，得分更穩(wěn)定的隊(duì)員是（填“甲”或“乙”）；甲隊(duì)員得分的中位數(shù)為27.5分，乙隊(duì)員得分的中位數(shù)為分．（2）請從得分方面分析：這六場比賽中，甲、乙兩名隊(duì)員誰的表現(xiàn)更好．（3）規(guī)定“綜合得分”為：平均每場得分×1+平均每場籃板×1.5+平均每場失誤×（﹣1），且綜合得分越高表現(xiàn)越好．請利用這種評價(jià)方法，比較這六場比賽中甲、乙兩名隊(duì)員誰的表現(xiàn)更好．18．（9分）（2024?河南）如圖，矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）上，對角線AC，BD相交于點(diǎn)E，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A．（1）求這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式．（2）請先描出這個(gè)反比例函數(shù)圖象上不同于點(diǎn)A的三個(gè)格點(diǎn)，再畫出反比例函數(shù)的圖象．（3）將矩形ABCD向左平移，當(dāng)點(diǎn)E落在這個(gè)反比例函數(shù)的圖象上時(shí)，平移的距離為．19．（9分）（2024?河南）如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，BE∥DC交AC的延長線于點(diǎn)E．（1）請用無刻度的直尺和圓規(guī)作∠ECM，使∠ECM＝∠A，且射線CM交BE于點(diǎn)F（保留作圖痕跡，不寫作法）．（2）證明（1）中得到的四邊形CDBF是菱形．20．（9分）（2024?河南）如圖1，塑像AB在底座BC上，點(diǎn)D是人眼所在的位置．當(dāng)點(diǎn)B高于人的水平視線DE時(shí)，由遠(yuǎn)及近看塑像，會在某處感覺看到的塑像最大，此時(shí)視角最大．?dāng)?shù)學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)經(jīng)過A，B兩點(diǎn)的圓與水平視線DE相切時(shí)（如圖2），在切點(diǎn)P處感覺看到的塑像最大，此時(shí)∠APB為最大視角．（1）請僅就圖2的情形證明∠APB＞∠ADB．（2）經(jīng)測量，最大視角∠APB為30°，在點(diǎn)P處看塑像頂部點(diǎn)A的仰角∠APE為60°，點(diǎn)P到塑像的水平距離PH為6m．求塑像AB的高（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：≈1.73）．21．（9分）（2024?河南）為響應(yīng)“全民植樹增綠，共建美麗中國”的號召，學(xué)校組織學(xué)生到郊外參加義務(wù)植樹活動，并準(zhǔn)備了A，B兩種食品作為午餐．這兩種食品每包質(zhì)量均為50g，營養(yǎng)成分表如下．（1）若要從這兩種食品中攝入4600kJ熱量和70g蛋白質(zhì)，應(yīng)選用A，B兩種食品各多少包？（2）運(yùn)動量大的人或青少年對蛋白質(zhì)的攝入量應(yīng)更多．若每份午餐選用這兩種食品共7包，要使每份午餐中的蛋白質(zhì)含量不低于90g，且熱量最低，應(yīng)如何選用這兩種食品？22．（10分）（2024?河南）從地面豎直向上發(fā)射的物體離地面的高度h（m）滿足關(guān)系式h＝﹣5t2+v0t，其中t（s）是物體運(yùn)動的時(shí)間，v0（m/s）是物體被發(fā)射時(shí)的速度．社團(tuán)活動時(shí)，科學(xué)小組在實(shí)驗(yàn)樓前從地面豎直向上發(fā)射小球．（1）小球被發(fā)射后s時(shí)離地面的高度最大（用含v0的式子表示）．（2）若小球離地面的最大高度為20m，求小球被發(fā)射時(shí)的速度．（3）按（2）中的速度發(fā)射小球，小球離地面的高度有兩次與實(shí)驗(yàn)樓的高度相同．小明說：“這兩次間隔的時(shí)間為3s．”已知實(shí)驗(yàn)樓高15m，請判斷他的說法是否正確，并說明理由．23．（10分）（2024?河南）綜合與實(shí)踐在學(xué)習(xí)特殊四邊形的過程中，我們積累了一定的研究經(jīng)驗(yàn)．請運(yùn)用已有經(jīng)驗(yàn)，對“鄰等對補(bǔ)四邊形”進(jìn)行研究．定義：至少有一組鄰邊相等且對角互補(bǔ)的四邊形叫做鄰等對補(bǔ)四邊形．（1）操作判斷用分別含有30°和45°角的直角三角形紙板拼出如圖1所示的4個(gè)四邊形，其中是鄰等對補(bǔ)四邊形的有（填序號）．（2）性質(zhì)探究根據(jù)定義可得出鄰等對補(bǔ)四邊形的邊、角的性質(zhì)．下面研究與對角線相關(guān)的性質(zhì)．如圖2，四邊形ABCD是鄰等對補(bǔ)四邊形，AB＝AD，AC是它的一條對角線．①寫出圖中相等的角，并說明理由；②若BC＝m，DC＝n，∠BCD＝2θ，求AC的長（用含m，n，θ的式子表示）．（3）拓展應(yīng)用如圖3，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，分別在邊BC，AC上取點(diǎn)M，N，使四邊形ABMN是鄰等對補(bǔ)四邊形．當(dāng)該鄰等對補(bǔ)四邊形僅有一組鄰邊相等時(shí)，請直接寫出BN的長．

2024年河南省中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（每小題3分，共30分．下列各小題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是正確的）1．（3分）（2024?河南）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)P表示的數(shù)是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【答案】A【解答】解：根據(jù)數(shù)軸可知，點(diǎn)P表示的數(shù)為：﹣1，故選：A．2．（3分）（2024?河南）據(jù)統(tǒng)計(jì)，2023年我國人工智能核心產(chǎn)業(yè)規(guī)模達(dá)5784億元．?dāng)?shù)據(jù)“5784億”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．5784×108 B．5.784×1010 C．5.784×1011 D．0.5784×1012【答案】C【解答】解：5784億＝578400000000＝5.784×1011．故選：C．3．（3分）（2024?河南）如圖，乙地在甲地的北偏東50°方向上，則∠1的度數(shù)為（）A．60° B．50° C．40° D．30°【答案】B【解答】解：根據(jù)“兩直線平行線，內(nèi)錯角相等”可得，∠1＝50°，故選：B．4．（3分）（2024?河南）信陽毛尖是中國十大名茶之一．如圖是信陽毛尖茶葉的包裝盒，它的主視圖為（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：這個(gè)茶葉盒的主視圖為：故選：A．5．（3分）（2024?河南）下列不等式中，與﹣x＞1組成的不等式組無解的是（）A．x＞2 B．x＜0 C．x＜﹣2 D．x＞﹣3【答案】A【解答】解：∵﹣x＞1，∴x＜﹣1；A、，無解，故此選項(xiàng)符合題意；B、的解集是x＜﹣1，故此選項(xiàng)不符合題意；C、的解集是x＜﹣2，故此選項(xiàng)不符合題意；D、的解集是﹣3＜x＜﹣1，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：A．6．（3分）（2024?河南）如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為OC的中點(diǎn)，EF∥AB交BC于點(diǎn)F．若AB＝4，則EF的長為（）A． B．1 C． D．2【答案】B【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OC＝AC，∵點(diǎn)E為OC的中點(diǎn)，∴CE＝OC＝AC，∵EF∥AB，∴△CEF∽△CAB，∴＝，即＝，∴EF＝1，故選：B．7．（3分）（2024?河南）計(jì)算（）3的結(jié)果是（）A．a(chǎn)5 B．a(chǎn)6 C．a(chǎn)a+3 D．a(chǎn)3a【答案】D【解答】解：原式＝（aa）3＝a3a，故選：D．8．（3分）（2024?河南）豫劇是國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)，因其雅俗共賞，深受大眾喜愛．正面印有豫劇經(jīng)典劇目人物的三張卡片如圖所示，它們除正面外完全相同．把這三張卡片背面朝上洗勻，從中隨機(jī)抽取一張，放回洗勻后，再從中隨機(jī)抽取一張，兩次抽取的卡片正面相同的概率為（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：將三張卡片分別記為A，B，C，列表如下：ABCA（A，A）（A，B）（A，C）B（B，A）（B，B）（B，C）C（C，A）（C，B）（C，C）共有9種等可能的結(jié)果，其中兩次抽取的卡片正面相同的結(jié)果有3種，∴兩次抽取的卡片正面相同的概率為．故選：D．9．（3分）（2024?河南）如圖，⊙O是邊長為的等邊三角形ABC的外接圓，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，連接BD，CD．以點(diǎn)D為圓心，BD的長為半徑在⊙O內(nèi)畫弧，則陰影部分的面積為（）A． B．4π C． D．16π【答案】C【解答】解：如圖，連接OD、OB、OC，OD交BC于點(diǎn)H．∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，∠BDC＝120°，∵D是弧BC中點(diǎn)，∴OD⊥BC，BH＝CH＝BC＝2，∠BOD＝60°，∴OB＝＝4，∵OB＝OD，∠BOD＝60°，∴△BOD為等邊三角形，∴BD＝OB＝4，∴S＝＝，故選：C．10．（3分）（2024?河南）把多個(gè)用電器連接在同一個(gè)插線板上，同時(shí)使用一段時(shí)間后，插線板的電源線會明顯發(fā)熱，存在安全隱患．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組對這種現(xiàn)象進(jìn)行研究，得到時(shí)長一定時(shí)，插線板電源線中的電流I與使用電器的總功率P的函數(shù)圖象（如圖1），插線板電源線產(chǎn)生的熱量Q與I的函數(shù)圖象（如圖2）．下列結(jié)論中錯誤的是（）A．當(dāng)P＝440W時(shí)，I＝2A B．Q隨I的增大而增大 C．I每增加1A，Q的增加量相同 D．P越大，插線板電源線產(chǎn)生的熱量Q越多【答案】C【解答】解：由圖1可知，當(dāng)P＝440W時(shí)，I＝2A，故選項(xiàng)A說法正確，不符合題意；由圖2可知，Q隨I的增大而增大，故選項(xiàng)B說法正確，不符合題意；由圖2可知，I每增加1A，Q的增加量不相同，故選項(xiàng)C說法錯誤，符合題意；由圖1可知I隨P的增大而增大，由圖2可知Q隨I的增大而增大，所以P越大，插線板電源線產(chǎn)生的熱量Q越多，故選項(xiàng)D說法正確，不符合題意．故選：C．二、填空題（每小題3分，共15分）11．（3分）（2024?河南）請寫出2m的一個(gè)同類項(xiàng)：m（答案不唯一）．【答案】m（答案不唯一）．【解答】解：與2m是同類項(xiàng)的是：m（答案不唯一），故答案為：m（答案不唯一）．12．（3分）（2024?河南）2024年3月是第8個(gè)全國近視防控宣傳教育月，其主題是“有效減少近視發(fā)生，共同守護(hù)光明未來”．某校組織各班圍繞這個(gè)主題開展板報(bào)宣傳活動，并對各班的宣傳板報(bào)進(jìn)行評分，得分情況如圖，則得分的眾數(shù)為9分．【答案】9．【解答】解：根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖可知9分的人數(shù)最多為13人，即眾數(shù)為9，故答案為：9．13．（3分）（2024?河南）若關(guān)于x的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則c的值為．【答案】．【解答】解：因?yàn)殛P(guān)于x的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以Δ＝（﹣1）2﹣4×＝0，解得c＝．故答案為：．14．（3分）（2024?河南）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的邊AB在x軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0），點(diǎn)E在邊CD上．將△BCE沿BE折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)F處．若點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，6），則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，10）．【答案】（3，10）．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，邊AB在x軸上，∴AD＝AB＝CD＝CB，AD⊥x軸，CD⊥y軸，由折疊得FB＝CB，F(xiàn)E＝CE，設(shè)CD交y軸于點(diǎn)G，AD＝AB＝CB＝CD＝m，則BF＝OG＝m，∵A（﹣2，0），F(xiàn)（0，6），∴OA＝GD＝2，OF＝6，∴OB＝m﹣2，∵∠BOF＝∠EGF＝90°，∴OB2+OF2＝BF2，∴（m﹣2）2+62＝m2，解得m＝10，∴AD＝OG＝CD＝10，∴FG＝10﹣6＝4，F(xiàn)E＝CE＝10﹣2﹣GE＝8﹣GE，∵GE2+FG2＝FE2，∴GE2+42＝（8﹣GE）2，解得GE＝3，∴E（3，10），故答案為：（3，10）．15．（3分）（2024?河南）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝3，線段CD繞點(diǎn)C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，過點(diǎn)B作AD的垂線，交射線AD于點(diǎn)E．若CD＝1，則AE的最大值為2，最小值為2．【答案】2+1；2﹣1．【解答】解：∵BE⊥AE，∴∠BEA＝90°，∴點(diǎn)E是在以AB為直徑的圓上運(yùn)動，∵CD＝1，且CD是繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，∴點(diǎn)D是在以C為圓心，以1為半徑的圓上運(yùn)動，∵AB＝AC＝3，∴當(dāng)cos∠BAE最大時(shí)，AE最大，當(dāng)cos∠BAE最小時(shí)，AE最?。偃鐖D，當(dāng)AE與圓C相切于點(diǎn)D，且D在△ABC內(nèi)部時(shí)，∠BAE最小，AE最大，∵∠ADE＝∠CDE＝90°，∴AD＝＝2，∵，∴∠CEA＝∠CBA＝45°，∴DE＝CD＝1，此時(shí)AE＝2+1，即AE的最大值為2+1，②如圖，當(dāng)AE與圓C相切于點(diǎn)D，且D在△ABC外部時(shí)，∠BAE最大，AE最小，同理可得AD＝2，DE＝1，此時(shí)AE＝2﹣1，即AE的最小值為2﹣1，故答案為：2+1；2﹣1．三、解答題（本大題共8個(gè)小題，共75分）16．（10分）（2024?河南）（1）計(jì)算：；（2）化簡：．【答案】（1）9；（2）a+2．【解答】解：（1）原式＝﹣1＝10﹣1＝9；（2）原式＝÷＝＝a+2．17．（9分）（2024?河南）為提升學(xué)生體質(zhì)健康水平，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展，學(xué)校開展了豐富多彩的課外體育活動．在八年級組織的籃球聯(lián)賽中，甲、乙兩名隊(duì)員表現(xiàn)優(yōu)異，他們在近六場比賽中關(guān)于得分、籃板和失誤三個(gè)方面的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下．技術(shù)統(tǒng)計(jì)表隊(duì)員平均每場得分平均每場籃板平均每場失誤甲26.582乙26103根據(jù)以上信息，回答下列問題．（1）這六場比賽中，得分更穩(wěn)定的隊(duì)員是甲（填“甲”或“乙”）；甲隊(duì)員得分的中位數(shù)為27.5分，乙隊(duì)員得分的中位數(shù)為29分．（2）請從得分方面分析：這六場比賽中，甲、乙兩名隊(duì)員誰的表現(xiàn)更好．（3）規(guī)定“綜合得分”為：平均每場得分×1+平均每場籃板×1.5+平均每場失誤×（﹣1），且綜合得分越高表現(xiàn)越好．請利用這種評價(jià)方法，比較這六場比賽中甲、乙兩名隊(duì)員誰的表現(xiàn)更好．【答案】（1）甲，29；（2）因?yàn)榧椎钠骄繄龅梅执笥谝业钠骄繄龅梅?，且甲的得分更穩(wěn)定，所以甲隊(duì)員表現(xiàn)更好．（注：答案不唯一，合理即可）；（3）乙隊(duì)員表現(xiàn)更好．【解答】解：（1）由折線圖可得甲得分更穩(wěn)定，把乙的六次成績按從小到大的順序排序，第三次、第四次的成績分別為28和30，故中位數(shù)為＝＝29，故答案為：甲，29；（2）因?yàn)榧椎钠骄繄龅梅执笥谝业钠骄繄龅梅郑壹椎牡梅指€(wěn)定，所以甲隊(duì)員表現(xiàn)更好．（注：答案不唯一，合理即可）；（3）甲的綜合得分為：26.5×1+8×1.5+2×（﹣1）＝36.5．乙的綜合得分為：26×1+10×1.5+3×（﹣1）＝38．因?yàn)?8＞36.5，所以乙隊(duì)員表現(xiàn)更好．18．（9分）（2024?河南）如圖，矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）上，對角線AC，BD相交于點(diǎn)E，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A．（1）求這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式．（2）請先描出這個(gè)反比例函數(shù)圖象上不同于點(diǎn)A的三個(gè)格點(diǎn)，再畫出反比例函數(shù)的圖象．（3）將矩形ABCD向左平移，當(dāng)點(diǎn)E落在這個(gè)反比例函數(shù)的圖象上時(shí)，平移的距離為．【答案】（1）；（2）如圖所示；（3）．【解答】（1）∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（3，2），代入得∴k＝6，∴這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式為．（2）如圖，（3）由圖知E（6，4），令得，x＝，∵6﹣＝，∴矩形ABCD向左平移個(gè)單位時(shí)，點(diǎn)E落在反比例函數(shù)圖象上．19．（9分）（2024?河南）如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，BE∥DC交AC的延長線于點(diǎn)E．（1）請用無刻度的直尺和圓規(guī)作∠ECM，使∠ECM＝∠A，且射線CM交BE于點(diǎn)F（保留作圖痕跡，不寫作法）．（2）證明（1）中得到的四邊形CDBF是菱形．【答案】（1）見解析；（2）見解析．【解答】（1）解：如圖，∠ECM即為所求；（2）證明：由（1），得∠ECF＝∠A，∴CF∥AB．∵BE∥DC，∴四邊形CDBF是平行四邊形，∵CD是Rt△ABC斜邊AB上的中線，∴CD＝BD，∴?CDBF是菱形．20．（9分）（2024?河南）如圖1，塑像AB在底座BC上，點(diǎn)D是人眼所在的位置．當(dāng)點(diǎn)B高于人的水平視線DE時(shí)，由遠(yuǎn)及近看塑像，會在某處感覺看到的塑像最大，此時(shí)視角最大．?dāng)?shù)學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)經(jīng)過A，B兩點(diǎn)的圓與水平視線DE相切時(shí)（如圖2），在切點(diǎn)P處感覺看到的塑像最大，此時(shí)∠APB為最大視角．（1）請僅就圖2的情形證明∠APB＞∠ADB．（2）經(jīng)測量，最大視角∠APB為30°，在點(diǎn)P處看塑像頂部點(diǎn)A的仰角∠APE為60°，點(diǎn)P到塑像的水平距離PH為6m．求塑像AB的高（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：≈1.73）．【答案】（1）見解析；（2）塑像AB的高約為6.9m．【解答】（1）證明：如圖，設(shè)AD與圓交于M，連接BM．則∠AMB＝∠APB．∵∠AMB＞∠ADB，∴∠APB＞∠ADB；（2）解：∵∠APH＝60°，PH＝6m，∵，∴（m），∵∠APB＝30°，∴∠BPH＝∠APH﹣∠APB＝60°﹣30°＝30°，∵，∴（m），∴，答：塑像AB的高約為6.9m．21．（9分）（2024?河南）為響應(yīng)“全民植樹增綠，共建美麗中國”的號召，學(xué)校組織學(xué)生到郊外參加義務(wù)植樹活動，并準(zhǔn)備了A，B兩種食品作為午餐．這兩種食品每包質(zhì)量均為50g，營養(yǎng)成分表如下．（1）若要從這兩種食品中攝入4600kJ熱量和70g蛋白質(zhì)，應(yīng)選用A，B兩種食品各多少包？（2）運(yùn)動量大的人或青少年對蛋白質(zhì)的攝入量應(yīng)更多．若每份午餐選用這兩種食品共7包，要使每份午餐中的蛋白質(zhì)含量不低于90g，且熱量最低，應(yīng)如何選用這兩種食品？【答案】（1）應(yīng)選用A種食品4包，B種食品2包；（2）應(yīng)選用A種食品3包，B種食品4包．【解答】解：（1）設(shè)選用A種食品x包，B種食品y包，根據(jù)題意得：，解得：．答：應(yīng)選用A種食品4包，B種食品2包；（2）設(shè)選用A種食品m包，則選用B種食品（7﹣m）包，根據(jù)題意得：10m+15（7﹣m）≥90，解得：m≤3．設(shè)每份午餐的總熱量為wkJ，則w＝700m+900（7﹣m），即w＝﹣200m+6300，∵﹣200＜0，∴w隨m的增大而減小，∴當(dāng)m＝3時(shí)，w取得最小值，此時(shí)7﹣m＝7﹣3＝4．答：應(yīng)選用A種食品3包，B種食品4包．22．（10分）（2024?河南）從地面豎直向上發(fā)射的物體離地面的高度h（m）滿足關(guān)系式h＝﹣5t2+v0t，其中t（s）是物體運(yùn)動的時(shí)間，v0（m/s）是物體被發(fā)射時(shí)的速度．社團(tuán)活動時(shí)，科學(xué)小組在實(shí)驗(yàn)樓前從地面豎直向上發(fā)射小球．（1）小球被發(fā)射后s時(shí)離地面的高度最大（用含v0的式子表示）．（2）若小球離地面的最大高度為20m，求小球被發(fā)射時(shí)的速度．（3）按（2）中的速度發(fā)射小球，小球離地面的高度有兩次與實(shí)驗(yàn)樓的高度相同．小明說：“這兩次間隔的時(shí)間為3s．”已知實(shí)驗(yàn)樓高15m，請判斷他的說法是否正確，并說明理由．【答案】（1）t＝；（2）小球被發(fā)射時(shí)的速度為20m/s；（3）小明的說法不正確，理由見解答部分．【解答】解：（1）∵﹣5＜0，∴當(dāng)t＝﹣＝時(shí)，離地面的高度最大．故答案為：；（2）當(dāng)t＝時(shí)，h＝20．．解得：v0＝20．答：小球被發(fā)射時(shí)的速度是20m/s；（3）小明的說法不正確．理由如下：由（2）得：h＝﹣5t2+20t．當(dāng)h＝15時(shí)，15＝﹣5t2+20t．解方程，得：t1＝1，t2＝3．∵3﹣1＝2（s），∴小明的說法不正確．23．（10分）（2024?河南）綜合與實(shí)踐在學(xué)習(xí)特殊四邊形的過程中，我們積累了一定的研究經(jīng)驗(yàn)．請運(yùn)用已有經(jīng)驗(yàn)，對“鄰等對補(bǔ)四邊形”進(jìn)行研究．定義：至少有一組鄰邊相等且對角互補(bǔ)的四邊形叫做鄰等對補(bǔ)四邊形．（1）操作判斷用分別含有30°和45°角的直角三角形紙板拼出如圖1所示的4個(gè)四邊形，其中是鄰等對補(bǔ)四邊形的有②④（填序號）．（2）性質(zhì)探究根據(jù)定義可得出鄰等對補(bǔ)四邊形的邊、角的性質(zhì)．下面研究與對角線相關(guān)的性質(zhì)．如圖2，四邊形ABCD是鄰等對補(bǔ)四邊形，