第1頁(yè)（共1頁(yè)）2025年北京市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共16分，每題2分）第1-8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè)。1．（2分）（2025?北京）下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（2分）（2025?北京）實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列結(jié)論中正確的是（）A．a(chǎn)＞﹣1 B．a(chǎn)+b＝0 C．a(chǎn)﹣b＞0 D．|a|＞|b|3．（2分）（2025?北京）若一個(gè)六邊形的每個(gè)內(nèi)角都是x°，則x的值為（）A．60 B．90 C．120 D．1504．（2分）（2025?北京）一個(gè)不透明的袋子中僅有3個(gè)紅球、2個(gè)黃球和1個(gè)白球，這些球除顏色外無(wú)其他差別．從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，摸出的球是白球的概率是（）A．16 B．13 C．125．（2分）（2025?北京）若關(guān)于x的一元二次方程ax2+2x+1＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的值為（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．46．（2分）（2025?北京）2025年5月29日，行星探測(cè)工程天問(wèn)二號(hào)探測(cè)器在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射，開(kāi)啟對(duì)近地小行星2016H03的探測(cè)與采樣返回之旅．已知該小行星與地球的最近距離約為月球遠(yuǎn)地點(diǎn)距離的45倍，月球遠(yuǎn)地點(diǎn)距離約為4×105km，則該小行星與地球的最近距離約為（）A．1.8×105km B．1.8×106km C．1.8×107km D．1.8×1010km7．（2分）（2025?北京）如圖，∠MON＝100°，點(diǎn)A在射線OM上，以點(diǎn)O為圓心，OA長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交射線ON于點(diǎn)B．若分別以點(diǎn)A，B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在∠MON內(nèi)部交于點(diǎn)C，連接AC，則∠OAC的大小為（）A．80° B．100° C．110° D．120°8．（2分）（2025?北京）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A，B分別是橫、縱軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，四邊形OACB是矩形，函數(shù)y=1x（x＞0）的圖象與邊AC交于點(diǎn)M，與邊BC交于點(diǎn)N（M，①△COM與△CON的面積一定相等；②△MON與△MCN的面積可能相等；③△MON一定是銳角三角形；④△MON可能是等邊三角形．上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④二、填空題（共16分，每題2分）9．（2分）（2025?北京）若3x?3在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是．10．（2分）（2025?北京）分解因式：7m2﹣28＝．11．（2分）（2025?北京）方程2x?6+112．（2分）（2025?北京）某地區(qū)七年級(jí)共有2000名男生．為了解這些男生的體重指數(shù)（BMI）分布情況，從中隨機(jī)抽取了100名男生，測(cè)得他們的BMI數(shù)據(jù)（單位：kg/m2），并根據(jù)七年級(jí)男生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)整理如下：等級(jí)低體重正常超重肥胖BMI≤15.415.5～22.122.2～24.9≥25.0人數(shù)675154根據(jù)以上信息，估計(jì)該地區(qū)七年級(jí)2000名男生中BMI等級(jí)為正常的人數(shù)是．13．（2分）（2025?北京）能說(shuō)明命題“若a2＞4b2，則a＞2b”是假命題的一組實(shí)數(shù)a，b的值為a＝，b＝．14．（2分）（2025?北京）如圖，⊙O是地球的示意圖，其中AB表示赤道，CD，EF分別表示北回歸線和南回歸線，∠DOB＝∠FOB＝23.5°．夏至日正午時(shí)，太陽(yáng)光線GD所在直線經(jīng)過(guò)地心O，此時(shí)點(diǎn)F處的太陽(yáng)高度角∠IFH（即平行于GD的光線HF與⊙O的切線FI所成的銳角）的大小為°．15．（2分）（2025?北京）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊CD上，CF⊥BE，垂足為F．若AB＝1，∠EBC＝30°，則△ABF的面積為．16．（2分）（2025?北京）某企業(yè)研發(fā)并生產(chǎn)了一種新設(shè)備，計(jì)劃分配給A，B，C，D四家經(jīng)銷商銷售．當(dāng)一家經(jīng)銷商將分配到的n臺(tái)設(shè)備全部售出后，企業(yè)從該經(jīng)銷商處獲得的利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）與n的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下：n＝1n＝2n＝3n＝4n＝5n＝6…A4060/////B30557590100105/C204060708090…D14386286110134…（1）如果企業(yè)將5臺(tái)設(shè)備分配給這四家經(jīng)銷商銷售，且每家經(jīng)銷商至少分配到1臺(tái)設(shè)備，為使5臺(tái)設(shè)備都售出后企業(yè)獲得的總利潤(rùn)最大，應(yīng)向經(jīng)銷商分配2臺(tái)設(shè)備（填“A”“B”“C”或“D”）；（2）如果企業(yè)將6臺(tái)設(shè)備分配給這四家經(jīng)銷商中的一家或多家銷售，那么6臺(tái)設(shè)備都售出后，企業(yè)可獲得的總利潤(rùn)的最大值為萬(wàn)元．三、解答題（共68分，第17-19題每題5分，第20題6分，第21題5分，第22題6分，第23題5分，第24題6分，第25題5分，第26題6分，第27-28題每題7分）解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程。17．（5分）（2025?北京）計(jì)算：|﹣3|+2718．（5分）（2025?北京）解不等式組：2(x+1)＞x?1x+519．（5分）（2025?北京）已知a+b﹣3＝0，求代數(shù)式4(a?b)+8ba20．（6分）（2025?北京）如圖，在△ABC中，D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，DF⊥BC，垂足為F，點(diǎn)G在DE的延長(zhǎng)線上，DG＝FC．（1）求證：四邊形DFCG是矩形；（2）若∠B＝45°，DF＝3，DG＝5，求BC和AC的長(zhǎng)．21．（5分）（2025?北京）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，3）和（2，5）．（1）求k，b的值；（2）當(dāng)x＜1時(shí)，對(duì)于x的每一個(gè)值，函數(shù)y＝mx（m≠0）的值既小于函數(shù)y＝kx+b的值，也小于函數(shù)y＝x+k的值，直接寫(xiě)出m的取值范圍．22．（6分）（2025?北京）北京風(fēng)箏制作技藝是國(guó)家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)．為制作一只京燕風(fēng)箏，小明準(zhǔn)備了五根直竹條（如圖1）；一根門條、兩根等長(zhǎng)的膀條和兩根等長(zhǎng)的尾條．他將門條和膀條分別烤彎后與尾條一起扎成風(fēng)箏的骨架（如圖2），其頭部高、胸腹高與尾部高的比是1：1：2．已知單根膀條長(zhǎng)是胸腹高的5倍，門條比單根膀條短10cm，圖1中BC的長(zhǎng)是門條長(zhǎng)的59，AB．CD23．（5分）（2025?北京）校田徑隊(duì)教練選出甲、乙、丙、丁四名運(yùn)動(dòng)員參加100米比賽．對(duì)這四名運(yùn)動(dòng)員最近10次100米跑測(cè)試成績(jī)（單位：s）的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、描述和分析．下面給出了部分信息．a(chǎn)．甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員10次測(cè)試成績(jī)的折線圖：b．丙運(yùn)動(dòng)員10次測(cè)試成績(jī)：12.412.412.512.712.812.812.812.812.912.9c．四名運(yùn)動(dòng)員10次測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)、中位數(shù)、方差甲乙丙丁平均數(shù)12.512.5p12.5中位數(shù)m12.512.812.45方差0.056n0.0340.056（1）表中m的值為；（2）表中n0.056（填“＞”“＝”或“＜”）；（3）根據(jù)這10次測(cè)試成績(jī)，教練按如下方式評(píng)估這四名運(yùn)動(dòng)員的實(shí)力強(qiáng)弱：首先比較平均數(shù)，平均數(shù)較小者實(shí)力更強(qiáng)；若平均數(shù)相等，則比較方差，方差較小者實(shí)力更強(qiáng)；若平均數(shù)、方差分別相等，則測(cè)試成績(jī)小于平均數(shù)的次數(shù)較多者實(shí)力更強(qiáng)．評(píng)估結(jié)果：這四名運(yùn)動(dòng)員按實(shí)力由強(qiáng)到弱依次為．24．（6分）（2025?北京）如圖，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，連接OA，OB，OP，取OP的中點(diǎn)C，連接AC并延長(zhǎng)，交⊙O于點(diǎn)D，連接BD．（1）求證：∠ADB＝∠AOP；（2）延長(zhǎng)OP交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．若AP＝10，tan∠AOP=12，求25．（5分）（2025?北京）工廠對(duì)新員工進(jìn)行某種工藝品制作的培訓(xùn)．在完成理論學(xué)習(xí)后，新員工接下來(lái)先使用智能輔助訓(xùn)練系統(tǒng)進(jìn)行一次為期T日（T可取0，1，2或3）的模擬練習(xí)，然后開(kāi)始試制．記一名新員工在試制階段的第x日單日制成的合格品的個(gè)數(shù)為y，根據(jù)以往的培訓(xùn)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)于給定的T，可以認(rèn)為y是x的函數(shù)．當(dāng)T＝0和T＝3時(shí)，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下：x0123456789T＝0時(shí)y的值07810121620232526T＝3時(shí)y的值0263743m4850515253T＝3時(shí)，從試制階段的第2日起，一名新員工每一日比前一日多制成的合格品的個(gè)數(shù)逐漸減少或保持不變．對(duì)于給定的T，在平面直角坐標(biāo)系xOy中描出該T值下各數(shù)對(duì)（x，y）所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，并根據(jù)變化趨勢(shì)用平滑曲線連接，得到曲線?T．當(dāng)T＝1和T＝2時(shí)，曲線C1，C2如圖所示．（1）觀察曲線C1，當(dāng)整數(shù)x的值為時(shí)，y的值首次超過(guò)35；（2）寫(xiě)出表中m的值，并在給出的平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出T＝3時(shí)的曲線C3；（3）新員工小云和小騰剛剛完成理論學(xué)習(xí)，接下來(lái)進(jìn)行模擬練習(xí)和試制．①若新員工單日制成不少于45個(gè)合格品即可獲得“優(yōu)秀學(xué)員”證書(shū)，根據(jù)上述函數(shù)關(guān)系，小云最早在完成理論學(xué)習(xí)后的第日可獲得“優(yōu)秀學(xué)員”證書(shū)；②若工廠希望小騰在完成理論學(xué)習(xí)后的4日內(nèi)制成的合格品的總數(shù)最多，根據(jù)上述函數(shù)關(guān)系，在這4日中應(yīng)安排小騰先進(jìn)行日的模擬練習(xí)．26．（6分）（2025?北京）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)O和點(diǎn)A（3，3a）．（1）求c的值，并用含a的式子表示b；（2）過(guò)點(diǎn)P（t，0）作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)M，交直線y＝ax于點(diǎn)N．①若a＝1，t＝4，求MN的長(zhǎng)；②已知在點(diǎn)P從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B（2a，0）的過(guò)程中，MN的長(zhǎng)隨OP的長(zhǎng)的增大而增大，求a的取值范圍．27．（7分）（2025?北京）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝α，點(diǎn)D在射線BC上，連接AD，將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°﹣2α得到線段AE（點(diǎn)E不在直線AB上），過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，交直線BC于點(diǎn)F．（1）如圖1，α＝45°，點(diǎn)D與點(diǎn)C重合，求證：BF＝AC；（2）如圖2，點(diǎn)D，F(xiàn)都在BC的延長(zhǎng)線上，用等式表示DF與BC的數(shù)量關(guān)系，并證明．28．（7分）（2025?北京）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于點(diǎn)A和⊙C給出如下定義：若⊙C上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)M，N，對(duì)于⊙C上任意滿足AP＝AQ的兩個(gè)不同的點(diǎn)P，Q，都有∠PAQ≤∠MAN，則稱點(diǎn)A是⊙C的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，稱∠MAN的大小為點(diǎn)A與⊙C的關(guān)聯(lián)角度．（本定義中的角均指銳角、直角、鈍角或平角）（1）如圖，⊙O的半徑為1．①在點(diǎn)A1（12，0），A2（43，0），A3（2，0）中，點(diǎn)是⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)且其與⊙O的關(guān)聯(lián)角度小于90°，該點(diǎn)與⊙O的關(guān)聯(lián)角度為②點(diǎn)B（1，m）在第一象限，若對(duì)于任意長(zhǎng)度小于1的線段BD，BD上所有的點(diǎn)都是⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，則m的最小值為；（2）已知點(diǎn)E（1，3），F(xiàn)（4，3），T（t，0），⊙T經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，線段EF上所有的點(diǎn)都是⊙T的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，記這些點(diǎn)與⊙T的關(guān)聯(lián)角度的最大值為α．若90°≤α≤180°，直接寫(xiě)出t的取值范圍．

2025年北京市中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號(hào)12345678答案DDCACCBB一、選擇題（共16分，每題2分）第1-8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè)。1．（2分）（2025?北京）下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】中心對(duì)稱圖形；軸對(duì)稱圖形．【分析】把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形；如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，由此即可判斷．【解答】解：A、B中的圖形是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故A、B不符合題意；C、圖形是中心對(duì)稱圖形，不軸對(duì)稱圖形，故C不符合題意；D、圖形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形，故D符合題意．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查中心對(duì)稱圖形，軸對(duì)稱圖形，關(guān)鍵是掌握中心對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱圖形的定義．2．（2分）（2025?北京）實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列結(jié)論中正確的是（）A．a(chǎn)＞﹣1 B．a(chǎn)+b＝0 C．a(chǎn)﹣b＞0 D．|a|＞|b|【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)與數(shù)軸；絕對(duì)值．【分析】觀察數(shù)軸可知：﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，|a|＞|b|，然后根據(jù)有理數(shù)的加減法則判斷B，C選項(xiàng)的掌握，從而解答即可．【解答】解：觀察數(shù)軸可知：﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，|a|＞|b|，∴a+b＜0，a﹣b＜0，∴A、B、C選項(xiàng)的結(jié)論錯(cuò)誤，D選項(xiàng)的結(jié)論正確，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，解題關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)軸上左邊的數(shù)總比右邊的數(shù)小和有理數(shù)的加減法則．3．（2分）（2025?北京）若一個(gè)六邊形的每個(gè)內(nèi)角都是x°，則x的值為（）A．60 B．90 C．120 D．150【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角．【分析】利用多邊形內(nèi)角和公式及正多邊形的性質(zhì)求解即可．【解答】解：∵一個(gè)六邊形的每個(gè)內(nèi)角都是x°，∴這個(gè)六邊形為正六邊形，∴每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為：（6﹣2）×180°÷6＝120°，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多邊形內(nèi)角和公式，即（n﹣2）×180°，其中n為邊數(shù)，掌握此性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2分）（2025?北京）一個(gè)不透明的袋子中僅有3個(gè)紅球、2個(gè)黃球和1個(gè)白球，這些球除顏色外無(wú)其他差別．從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，摸出的球是白球的概率是（）A．16 B．13 C．12【考點(diǎn)】概率公式．【分析】由題意知，共有6種等可能的結(jié)果，其中摸出的球是白球的結(jié)果有1種，利用概率公式可得答案．【解答】解：由題意知，共有6種等可能的結(jié)果，其中摸出的球是白球的結(jié)果有1種，∴摸出的球是白球的概率為16故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率公式，熟練掌握概率公式是解答本題的關(guān)鍵．5．（2分）（2025?北京）若關(guān)于x的一元二次方程ax2+2x+1＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的值為（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4【考點(diǎn)】根的判別式．【分析】先計(jì)算根的判別式，再根據(jù)方程解的情況得關(guān)于a的方程，求解即可．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程ax2+2x+1＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝0且a≠0．∴22﹣4a＝0且a≠0．∴a＝1．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程根的判別式，掌握一元二次方程根的判別式和方程解的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．6．（2分）（2025?北京）2025年5月29日，行星探測(cè)工程天問(wèn)二號(hào)探測(cè)器在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射，開(kāi)啟對(duì)近地小行星2016H03的探測(cè)與采樣返回之旅．已知該小行星與地球的最近距離約為月球遠(yuǎn)地點(diǎn)距離的45倍，月球遠(yuǎn)地點(diǎn)距離約為4×105km，則該小行星與地球的最近距離約為（）A．1.8×105km B．1.8×106km C．1.8×107km D．1.8×1010km【考點(diǎn)】科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)．【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值≥10時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．【解答】解：45×4×105km＝18000000km＝1.8×107km，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．7．（2分）（2025?北京）如圖，∠MON＝100°，點(diǎn)A在射線OM上，以點(diǎn)O為圓心，OA長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交射線ON于點(diǎn)B．若分別以點(diǎn)A，B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在∠MON內(nèi)部交于點(diǎn)C，連接AC，則∠OAC的大小為（）A．80° B．100° C．110° D．120°【考點(diǎn)】作圖—基本作圖；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)．【分析】連接AB，AC，BC，由作圖可得OA＝OB，AC＝BC＝AB，則△ABC為等邊三角形，可得∠ACB＝60°．證明△OAC≌△OBC，可得∠ACO＝∠BCO=12∠ACB=30°，∠AOC=∠BOC=12∠AOB=50°，則可得∠【解答】解：連接AB，AC，BC，由作圖可得，OA＝OB，AC＝BC＝AB，∴△ABC為等邊三角形，∴∠ACB＝60°．∵OC＝OC，∴△OAC≌△OBC（SSS），∴∠ACO＝∠BCO=12∠ACB=30°∴∠OAC＝180°﹣∠AOC﹣∠ACO＝180°﹣30°﹣50°＝100°．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖—基本作圖、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．8．（2分）（2025?北京）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A，B分別是橫、縱軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，四邊形OACB是矩形，函數(shù)y=1x（x＞0）的圖象與邊AC交于點(diǎn)M，與邊BC交于點(diǎn)N（M，①△COM與△CON的面積一定相等；②△MON與△MCN的面積可能相等；③△MON一定是銳角三角形；④△MON可能是等邊三角形．上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【考點(diǎn)】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義；反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；等邊三角形的性質(zhì)；等邊三角形的判定；矩形的性質(zhì)．【分析】設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為(a，1a)，點(diǎn)N坐標(biāo)為(b，1b)，則OB=AB=1b，OA＝BC＝a，BN＝b，AM=1a，CN＝a﹣b，CM=1b?1a，可用a，b表示出S△COM=a2b?12，S△CON=a2b?12，即可判斷①；用a【解答】解：設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為(a，1a)，點(diǎn)N則A（a，0），B(0，1b)∴OB=AB=1b，OA＝BC＝a，BN＝b，AM=1a，CN＝a﹣∴S△COMS△CON∴S△COM＝S△CON，故結(jié)論①正確；S△MCNS△MON當(dāng)△MON與△MCN的面積相等時(shí)，(a?b)22ab=a當(dāng)a＝b時(shí)，M，N重合，與題意不符，故結(jié)論②錯(cuò)誤；∵等邊三角形和反比例函數(shù)都是軸對(duì)稱圖形，當(dāng)∠NOM＝60°且對(duì)稱軸都為直線y＝x，△MON可能是等邊三角形，故④正確，如圖：當(dāng)M，N在y＝x的同側(cè)時(shí)，△MON可能是鈍角三角形，故③錯(cuò)誤；綜上，①④正確、②③錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)與幾何綜合，反比例函數(shù)的圖形和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，圖形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．二、填空題（共16分，每題2分）9．（2分）（2025?北京）若3x?3在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是x≥1．【考點(diǎn)】二次根式有意義的條件．【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可得3x﹣3≥0，解不等式即可．【解答】解：若3x?3在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則3x﹣3≥0，解得：x≥1，故答案為：x≥1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式有意義的條件，熟練掌握其有意義的條件是解題的關(guān)鍵．10．（2分）（2025?北京）分解因式：7m2﹣28＝7（m+2）（m﹣2）．【考點(diǎn)】提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用．【分析】提公因式后利用平方差公式因式分解即可．【解答】解：原式＝7（m2﹣4）＝7（m+2）（m﹣2），故答案為：7（m+2）（m﹣2）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查因式分解，熟練掌握分解因式的方法是解題的關(guān)鍵．11．（2分）（2025?北京）方程2x?6+1x=【考點(diǎn)】解分式方程．【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．【解答】解：方程兩邊乘最簡(jiǎn)公分母x（x﹣6）得，2x+x﹣6＝0，解得x＝2，經(jīng)檢驗(yàn)x＝2是原方程的解，故答案為：x＝2．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗(yàn)根．12．（2分）（2025?北京）某地區(qū)七年級(jí)共有2000名男生．為了解這些男生的體重指數(shù)（BMI）分布情況，從中隨機(jī)抽取了100名男生，測(cè)得他們的BMI數(shù)據(jù)（單位：kg/m2），并根據(jù)七年級(jí)男生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)整理如下：等級(jí)低體重正常超重肥胖BMI≤15.415.5～22.122.2～24.9≥25.0人數(shù)675154根據(jù)以上信息，估計(jì)該地區(qū)七年級(jí)2000名男生中BMI等級(jí)為正常的人數(shù)是1500．【考點(diǎn)】用樣本估計(jì)總體．【分析】用2000乘以樣本中BMI等級(jí)為正常的人數(shù)所占的比例即可得解．【解答】解：由題意可得：該地區(qū)七年級(jí)2000名男生中BMI等級(jí)為正常的人數(shù)是2000×75故答案為：1500．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由樣本估計(jì)總體，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用解此題的關(guān)鍵．13．（2分）（2025?北京）能說(shuō)明命題“若a2＞4b2，則a＞2b”是假命題的一組實(shí)數(shù)a，b的值為a＝﹣3，b＝1（答案不唯一）．【考點(diǎn)】命題與定理．【分析】根據(jù)舉反例的方法找到a，b滿足a2＞4b2，但是不滿足a＞2b即可．【解答】解：當(dāng)a＝﹣3，b＝1時(shí)，a2＞4b2，但是a＜2b，故答案為：﹣3，1（答案不唯一）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了命題與定理的知識(shí)，掌握判斷一個(gè)命題是假命題的時(shí)候可以舉出反例是解題的關(guān)鍵．14．（2分）（2025?北京）如圖，⊙O是地球的示意圖，其中AB表示赤道，CD，EF分別表示北回歸線和南回歸線，∠DOB＝∠FOB＝23.5°．夏至日正午時(shí)，太陽(yáng)光線GD所在直線經(jīng)過(guò)地心O，此時(shí)點(diǎn)F處的太陽(yáng)高度角∠IFH（即平行于GD的光線HF與⊙O的切線FI所成的銳角）的大小為43°．【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；圓周角定理．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠OFH，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OFI＝90°，進(jìn)而求出∠IFH．【解答】解：∵∠DOB＝∠FOB＝23.5°，∴∠DOF＝∠DOB+∠FOB＝47°，∵GD∥HF，∴∠OFH＝180°﹣∠DOF＝180°﹣47°＝133°，∵FI是⊙O的切線，∴OF⊥FI，∴∠OFI＝90°，∴∠IFH＝133°﹣90°＝43°，故答案為：43．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是切線的性質(zhì)，熟記圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．15．（2分）（2025?北京）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊CD上，CF⊥BE，垂足為F．若AB＝1，∠EBC＝30°，則△ABF的面積為38【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．【分析】過(guò)點(diǎn)F分別作FM⊥BC，F(xiàn)N⊥AB，垂足為M，N，連接AM，則∠FMC＝90°，先根據(jù)平行線間的距離處處相等得出FN＝BM，繼而得出S△ABF＝S△ABM，通過(guò)解直角三角形得出BM=BC?CM=3【解答】解：過(guò)點(diǎn)F分別作FM⊥BC，F(xiàn)N⊥AB，垂足為M，N，連接AM，則∠FMC＝90°，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠ABC＝90°，∴∠ABC＝∠FMC，∴AB∥FM，∴FN＝BM，∵S△ABF=1∴S△ABF＝S△ABM，∵CF⊥BE，垂足為F，AB＝1＝BC，∠EBC＝30°，∴∠BFC＝90°，CF=1∴∠CFM＝90°﹣∠BCF＝30°，∴CM=1∴BM=BC?CM=3∴S△ABF故答案為：38【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解直角三角形，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．16．（2分）（2025?北京）某企業(yè)研發(fā)并生產(chǎn)了一種新設(shè)備，計(jì)劃分配給A，B，C，D四家經(jīng)銷商銷售．當(dāng)一家經(jīng)銷商將分配到的n臺(tái)設(shè)備全部售出后，企業(yè)從該經(jīng)銷商處獲得的利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）與n的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下：n＝1n＝2n＝3n＝4n＝5n＝6…A4060/////B30557590100105/C204060708090…D14386286110134…（1）如果企業(yè)將5臺(tái)設(shè)備分配給這四家經(jīng)銷商銷售，且每家經(jīng)銷商至少分配到1臺(tái)設(shè)備，為使5臺(tái)設(shè)備都售出后企業(yè)獲得的總利潤(rùn)最大，應(yīng)向經(jīng)銷商B分配2臺(tái)設(shè)備（填“A”“B”“C”或“D”）；（2）如果企業(yè)將6臺(tái)設(shè)備分配給這四家經(jīng)銷商中的一家或多家銷售，那么6臺(tái)設(shè)備都售出后，企業(yè)可獲得的總利潤(rùn)的最大值為157萬(wàn)元．【考點(diǎn)】函數(shù)的表示方法．【分析】（1）分別計(jì)算各經(jīng)銷商銷售完第2臺(tái)比第1臺(tái)的利潤(rùn)的增長(zhǎng)量，比較即可得答案；（2）分別求出一家分配時(shí)、四家分配時(shí)、三家分配時(shí)、兩家分配時(shí)的最大利潤(rùn)，比較即可得答案．【解答】解：（1）當(dāng)n＝2時(shí)，A經(jīng)銷商的利潤(rùn)為60，比n＝1時(shí)增加60﹣40＝20（萬(wàn)元），B經(jīng)銷商的利潤(rùn)為55，比n＝1時(shí)增加55﹣30＝25（萬(wàn)元），C經(jīng)銷商的利潤(rùn)為40，比n＝1時(shí)增加40﹣20＝20（萬(wàn)元），D經(jīng)銷商的利潤(rùn)為38，比n＝1時(shí)增加38﹣14＝24（萬(wàn)元），∵25＞24＞20，∴應(yīng)向經(jīng)銷商B分配2臺(tái)設(shè)備，故答案為：B；（2）當(dāng)給這四家經(jīng)銷商中的一家分配時(shí)，最大利潤(rùn)為D經(jīng)銷商的134萬(wàn)元，當(dāng)分配給多家銷售時(shí)：當(dāng)分配四家時(shí)，最大利潤(rùn)為40+55+20+38＝153（萬(wàn)元），當(dāng)分配給三家時(shí)，最大利潤(rùn)為40+55+62＝157（萬(wàn)元），當(dāng)分配給兩家時(shí)，最大利潤(rùn)為60+90＝150（萬(wàn)元）或40+110＝150（萬(wàn)元），綜上所述：企業(yè)可獲得的總利潤(rùn)的最大值為157萬(wàn)元．故答案為：157．【點(diǎn)評(píng)】本題考查列舉等可能的結(jié)果，根據(jù)表格列舉出增長(zhǎng)量的變化是解題關(guān)鍵．三、解答題（共68分，第17-19題每題5分，第20題6分，第21題5分，第22題6分，第23題5分，第24題6分，第25題5分，第26題6分，第27-28題每題7分）解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程。17．（5分）（2025?北京）計(jì)算：|﹣3|+27【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算．【分析】利用絕對(duì)值及算術(shù)平方根的性質(zhì)，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，特殊銳角三角函數(shù)值計(jì)算后再算加減即可．【解答】解：原式＝3+33+2﹣2＝3+33+＝4+33．【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．18．（5分）（2025?北京）解不等式組：2(x+1)＞x?1x+5【考點(diǎn)】解一元一次不等式組．【分析】先解出每個(gè)不等式的解集，即可得到不等式組的解集．【解答】解：2(x+1)＞x?1①解不等式①，得：x＞﹣3，解不等式②，得：x＜1，∴原不等式組的解集為﹣3＜x＜1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解一元一次不等式組，解答本題的關(guān)鍵是明確解一元一次不等式（組）的方法．19．（5分）（2025?北京）已知a+b﹣3＝0，求代數(shù)式4(a?b)+8ba【考點(diǎn)】分式的值．【分析】由已知條件易得a+b＝3，將原式變形后代入數(shù)值計(jì)算即可．【解答】解：∵a+b﹣3＝0，∴a+b＝3，∴原式==4(a+b)=4=4【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式的值，將原式進(jìn)行正確地變形是解題的關(guān)鍵．20．（6分）（2025?北京）如圖，在△ABC中，D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，DF⊥BC，垂足為F，點(diǎn)G在DE的延長(zhǎng)線上，DG＝FC．（1）求證：四邊形DFCG是矩形；（2）若∠B＝45°，DF＝3，DG＝5，求BC和AC的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】矩形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；三角形中位線定理；平行四邊形的判定與性質(zhì)．【分析】（1）證明DE是△ABC的中位線，得DE∥BC，再證明四邊形DFCG是平行四邊形，然后由矩形的判定即可得出結(jié)論；（2）證明△BDF是等腰直角三角形，得BF＝DF＝3，則BC＝BF+FC＝8，再由三角形中位線定理求出DE＝4，然后由矩形的性質(zhì)得CG＝DF＝3，∠G＝90°，則EG＝DG﹣DE＝1，進(jìn)而由勾股定理求出CE的長(zhǎng)，即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC，∵DG＝FC，∴四邊形DFCG是平行四邊形，又∵DF⊥BC，∴∠DFC＝90°，∴平行四邊形DFCG是矩形；（2）解：∵DF⊥BC，∴∠DFB＝90°，∵∠B＝45°，∴△BDF是等腰直角三角形，∴BF＝DF＝3，∵DG＝FC＝5，∴BC＝BF+FC＝3+5＝8，由（1）可知，DE是△ABC的中位線，四邊形DFCG是矩形，∴DE=12BC＝4，CG＝DF＝3，∠∴EG＝DG﹣DE＝5﹣4＝1，∴CE=C∵E為AC的中點(diǎn)，∴AC＝2CE＝210．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．（5分）（2025?北京）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，3）和（2，5）．（1）求k，b的值；（2）當(dāng)x＜1時(shí)，對(duì)于x的每一個(gè)值，函數(shù)y＝mx（m≠0）的值既小于函數(shù)y＝kx+b的值，也小于函數(shù)y＝x+k的值，直接寫(xiě)出m的取值范圍．【考點(diǎn)】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．【分析】（1）直接利用待定系數(shù)法求解即可；（2）由（1）可得函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的解析式為y＝2x+1，函數(shù)y＝x+k的解析式為y＝x+2，當(dāng)mx＜2x+1時(shí)，則（m﹣2）x＜1，當(dāng)mx＜x+2時(shí)，則（m﹣1）x＜2，根據(jù)當(dāng)x＜1時(shí)，兩個(gè)不等式都成立可得m≥2；當(dāng)m＝2，x＜1時(shí)，2x＜2x+1和x＜2恒成立；當(dāng)m＞2時(shí)，則x＜1m?2且x＜2m?1，再分當(dāng)1m?2≥2【解答】解：（1）∵在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，3）和（2，5），∴k+b=32k+b=5解得k=2b=1（2）由（1）可得函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的解析式為y＝2x+1，函數(shù)y＝x+k的解析式為y＝x+2，當(dāng)mx＜2x+1時(shí)，則（m﹣2）x＜1，當(dāng)mx＜x+2時(shí)，則（m﹣1）x＜2，∵當(dāng)x＜1時(shí)，對(duì)于x的每一個(gè)值，函數(shù)y＝mx（m≠0）的值既小于函數(shù)y＝kx+b的值，也小于函數(shù)y＝x+k的值，∴m﹣2≥0，且m﹣1≥0，∴m≥2，當(dāng)m＝2，x＜1時(shí)，2x＜2x+1和x＜2恒成立，故m＝2符合題意；當(dāng)m＞2時(shí)，則x＜1當(dāng)1m?2≥2解不等式1m?2≥2m?1得∴2＜m≤3；當(dāng)1m?2＜2解不等式1m?2＜2m?1得m＞3，解不等式綜上所述，2≤m≤3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與不等式之間的關(guān)系，熟知一次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．22．（6分）（2025?北京）北京風(fēng)箏制作技藝是國(guó)家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)．為制作一只京燕風(fēng)箏，小明準(zhǔn)備了五根直竹條（如圖1）；一根門條、兩根等長(zhǎng)的膀條和兩根等長(zhǎng)的尾條．他將門條和膀條分別烤彎后與尾條一起扎成風(fēng)箏的骨架（如圖2），其頭部高、胸腹高與尾部高的比是1：1：2．已知單根膀條長(zhǎng)是胸腹高的5倍，門條比單根膀條短10cm，圖1中BC的長(zhǎng)是門條長(zhǎng)的59，AB．CD【考點(diǎn)】一元一次方程的應(yīng)用；分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算的應(yīng)用；比的應(yīng)用．【分析】設(shè)胸腹高為xcm，則單根膀條長(zhǎng)為5xcm，門條AD的長(zhǎng)度為（5x﹣10）cm，BC=59(5x?10)cm，AB＝CD＝xcm，頭部高為xcm，尾部高為2xcm，這只風(fēng)箏的骨架的總高為4xcm；由AD＝AB+BC+CD【解答】解：設(shè)胸腹高為xcm，則單根膀條長(zhǎng)為5xcm，門條AD的長(zhǎng)度為（5x﹣10）cm，BC=59(5x?10)cm，AB＝CD＝x，頭部高為x，尾部高為2xcm，這只風(fēng)箏的骨架的總高為4x由AD＝AB+BC+CD，可得5x?10=x+5解得：x＝20；所以這只風(fēng)箏的骨架的總高4x＝80cm，答：這只風(fēng)箏的骨架的總高80cm．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，弄清量之間的關(guān)系、列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．23．（5分）（2025?北京）校田徑隊(duì)教練選出甲、乙、丙、丁四名運(yùn)動(dòng)員參加100米比賽．對(duì)這四名運(yùn)動(dòng)員最近10次100米跑測(cè)試成績(jī)（單位：s）的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、描述和分析．下面給出了部分信息．a(chǎn)．甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員10次測(cè)試成績(jī)的折線圖：b．丙運(yùn)動(dòng)員10次測(cè)試成績(jī)：12.412.412.512.712.812.812.812.812.912.9c．四名運(yùn)動(dòng)員10次測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)、中位數(shù)、方差甲乙丙丁平均數(shù)12.512.5p12.5中位數(shù)m12.512.812.45方差0.056n0.0340.056（1）表中m的值為12.5；（2）表中n＜0.056（填“＞”“＝”或“＜”）；（3）根據(jù)這10次測(cè)試成績(jī)，教練按如下方式評(píng)估這四名運(yùn)動(dòng)員的實(shí)力強(qiáng)弱：首先比較平均數(shù)，平均數(shù)較小者實(shí)力更強(qiáng)；若平均數(shù)相等，則比較方差，方差較小者實(shí)力更強(qiáng)；若平均數(shù)、方差分別相等，則測(cè)試成績(jī)小于平均數(shù)的次數(shù)較多者實(shí)力更強(qiáng)．評(píng)估結(jié)果：這四名運(yùn)動(dòng)員按實(shí)力由強(qiáng)到弱依次為乙、丁、甲、丙．【考點(diǎn)】折線統(tǒng)計(jì)圖；算術(shù)平均數(shù)；中位數(shù)；方差；用樣本估計(jì)總體．【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)定義即可求解m；（2）根據(jù)方差計(jì)算公式求解，再比較即可；（3）根據(jù)中位數(shù)、方差、平均數(shù)，結(jié)合題意分析即可．【解答】解：（1）甲的10次測(cè)試成績(jī)排列為：12.1，12.1，12.5，12.5，12.5，12.5，12.5，12.7，12.7，12.9，∴中位數(shù)m=12.5+12.5故答案為：12.5；（2）乙的方差為：110[（12.6﹣12.5）2×2+（12.3﹣12.5）2+（12.5﹣12.5）2×3+（12.7﹣12.5）2×2+（12.4﹣12.5）2+（12.2﹣12.5）2∴n＜0.056，故答案為：＜；（3）丙的平均數(shù)p=12.4+12.4+12.5+12.7+12.8+12.8+12.8+12.8+12.9+12.9∴丙的平均數(shù)最大，則實(shí)力最弱，∵方差0.024＜0.034＜0.056，∴乙實(shí)力最強(qiáng)，∵丁的測(cè)試成績(jī)中位數(shù)為12.45，∴第5，6次成績(jī)和為24.9，∴前5次測(cè)試成績(jī)小于平均數(shù)，甲測(cè)試成績(jī)小于平均數(shù)12.5的次數(shù)有2次，∴丁比甲強(qiáng)，∴這四名運(yùn)動(dòng)員按實(shí)力由強(qiáng)到弱依次為：乙、丁、甲、丙，故答案為：乙、丁、甲、丙．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了折線統(tǒng)計(jì)圖，計(jì)算方差，中位數(shù)，平均數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．24．（6分）（2025?北京）如圖，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，連接OA，OB，OP，取OP的中點(diǎn)C，連接AC并延長(zhǎng)，交⊙O于點(diǎn)D，連接BD．（1）求證：∠ADB＝∠AOP；（2）延長(zhǎng)OP交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．若AP＝10，tan∠AOP=12，求【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；解直角三角形；圓周角定理．【分析】（1）利用切線長(zhǎng)定理得OP平分∠AOB，利用圓周角定理得∠ADB=1（2）延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)F，連接DF，利用條件求出線段長(zhǎng)，再利用角度轉(zhuǎn)換證明三角形相似，最后根據(jù)相似求得DE長(zhǎng)．【解答】（1）證明：∵AP，BP分別切⊙O于A點(diǎn)，B點(diǎn)，∴OP平分∠AOB，∴∠AOP=1又∵AB=∴∠ADB=1∴∠ADB＝∠AOP；（2）解：延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)F，連接DF，則∠ADF＝90°，∵AP，BP分別切⊙O于A點(diǎn)，B點(diǎn)，∴PA⊥OA，∵C為OP的中點(diǎn)，∴PC＝OC，∴AC=OC=1又∵AP＝10，tan∠AOP=1∴AO=APtan∠AOP=20，OP=AO2+A∵AC＝OC，∴∠CAO＝∠AOC，又∵∠PAO＝∠ADF＝90°，∴POAO∴DA=20105∵∠AOP＝∠ADB，∠ACO＝∠ECD，∴△ACO∽△ECD，∴AOED∴DE=11【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查切線長(zhǎng)定理，圓周角定理及推論，勾股定理，三角函數(shù)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟記切線長(zhǎng)定理，圓周角定理，并且能根據(jù)題意作出合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．25．（5分）（2025?北京）工廠對(duì)新員工進(jìn)行某種工藝品制作的培訓(xùn)．在完成理論學(xué)習(xí)后，新員工接下來(lái)先使用智能輔助訓(xùn)練系統(tǒng)進(jìn)行一次為期T日（T可取0，1，2或3）的模擬練習(xí)，然后開(kāi)始試制．記一名新員工在試制階段的第x日單日制成的合格品的個(gè)數(shù)為y，根據(jù)以往的培訓(xùn)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)于給定的T，可以認(rèn)為y是x的函數(shù)．當(dāng)T＝0和T＝3時(shí)，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下：x0123456789T＝0時(shí)y的值07810121620232526T＝3時(shí)y的值0263743m4850515253T＝3時(shí)，從試制階段的第2日起，一名新員工每一日比前一日多制成的合格品的個(gè)數(shù)逐漸減少或保持不變．對(duì)于給定的T，在平面直角坐標(biāo)系xOy中描出該T值下各數(shù)對(duì)（x，y）所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，并根據(jù)變化趨勢(shì)用平滑曲線連接，得到曲線?T．當(dāng)T＝1和T＝2時(shí)，曲線C1，C2如圖所示．（1）觀察曲線C1，當(dāng)整數(shù)x的值為6時(shí)，y的值首次超過(guò)35；（2）寫(xiě)出表中m的值，并在給出的平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出T＝3時(shí)的曲線C3；（3）新員工小云和小騰剛剛完成理論學(xué)習(xí)，接下來(lái)進(jìn)行模擬練習(xí)和試制．①若新員工單日制成不少于45個(gè)合格品即可獲得“優(yōu)秀學(xué)員”證書(shū)，根據(jù)上述函數(shù)關(guān)系，小云最早在完成理論學(xué)習(xí)后的第7日可獲得“優(yōu)秀學(xué)員”證書(shū)；②若工廠希望小騰在完成理論學(xué)習(xí)后的4日內(nèi)制成的合格品的總數(shù)最多，根據(jù)上述函數(shù)關(guān)系，在這4日中應(yīng)安排小騰先進(jìn)行1日的模擬練習(xí)．【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象；函數(shù)的概念；函數(shù)值．【分析】（1）找C1圖象上y的值首次超過(guò)35時(shí)的x值；（2）根據(jù)第2日起，一名新員工每一日比前一日多制成的合格品的個(gè)數(shù)逐漸減少或保持不變，第5日比第3日多試制5個(gè)合格產(chǎn)品，可知第4日比第3日多3個(gè)合格產(chǎn)品，即得；運(yùn)用表格數(shù)據(jù)在平面直角坐標(biāo)系描點(diǎn)畫(huà)出函數(shù)圖象；（3）①根據(jù)單日制成不少于45個(gè)合格品的只有C2與C3，C3：T＝3x＝4時(shí)，y＝46，得T+x＝7；C2：T＝2，當(dāng)x＝6時(shí)，y＝45，得T+x＝8，比較即得小云最早在完成理論學(xué)習(xí)后的第7日可獲得“優(yōu)秀學(xué)員”證書(shū)；②分模擬練習(xí)T＝0日，T＝1日，T＝2日，T＝3日，求出對(duì)應(yīng)的4日內(nèi)的試制日數(shù)，試制的合格產(chǎn)品數(shù)，比較即得應(yīng)安排小騰先進(jìn)行的模擬練習(xí)日數(shù)．【解答】解：（1）由曲線C1看出，當(dāng)整數(shù)x的值為6時(shí)，y的值首次超過(guò)35，故答案為：6；（2）∵T＝3日的模擬練習(xí)時(shí)，從試制階段的第2日起，一名新員工每一日比前一日多制成的合格品的個(gè)數(shù)逐漸減少或保持不變，在試制階段的第3日單日制成的合格品43個(gè)，第5日單日制成的合格品48個(gè)，∴相差48﹣43＝5（個(gè)），把5分成兩個(gè)接近的數(shù)，5＝3+2，∴第4日增加3個(gè)，第5日增加2個(gè)，∴m＝43+3＝46，畫(huà)出T＝3時(shí)的曲線C3：（3）①單日制成不少于45個(gè)合格品的只有C2與C3，C3：T＝3日的模擬練習(xí)，然后試制階段第x＝4日制成的合格品達(dá)到y(tǒng)＝46個(gè)，∴T+x＝7；C2：T＝2日的模擬練習(xí)，然后試制階段第x＝6日制成的合格品達(dá)到y(tǒng)＝45個(gè)，∴T+x＝8，∵7＜8，故小云最早在完成理論學(xué)習(xí)后的第7日可獲得“優(yōu)秀學(xué)員”證書(shū)；故答案為：7；②如圖，當(dāng)模擬練習(xí)T＝0日時(shí)，4日內(nèi)的試制時(shí)間x＝4﹣0＝4日，4日的合格產(chǎn)品分別是7，8，10，12，∴合格產(chǎn)品共有7+8+10+12＝37；當(dāng)模擬練習(xí)T＝1日時(shí)，4日內(nèi)的試制時(shí)間x＝4﹣1＝3日，3日的合格產(chǎn)品分別是12，19，26，∴合格產(chǎn)品共有12+19+26＝57；當(dāng)模擬練習(xí)T＝2日時(shí)，4日內(nèi)的試制時(shí)間x＝4﹣2＝2日，2日的合格產(chǎn)品分別是20，30，∴合格產(chǎn)品共有20+30＝50；當(dāng)模擬練習(xí)T＝3日時(shí)，4日內(nèi)的試制時(shí)間x＝4﹣3＝1日，1日的合格產(chǎn)品是26；∵26＜37＜50＜57，∴希望小騰在完成理論學(xué)習(xí)后的4日內(nèi)制成的合格品的總數(shù)最多，根據(jù)上述函數(shù)關(guān)系，在這4日中應(yīng)安排小騰先進(jìn)行1日的模擬練習(xí)．故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了表格法與圖象法表示函數(shù)．熟練掌握函數(shù)表示的表格法與圖象法，根據(jù)表格信息畫(huà)函數(shù)圖象，函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的增減性質(zhì)，求函數(shù)值或自變量的值，是解題的關(guān)鍵．26．（6分）（2025?北京）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)O和點(diǎn)A（3，3a）．（1）求c的值，并用含a的式子表示b；（2）過(guò)點(diǎn)P（t，0）作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)M，交直線y＝ax于點(diǎn)N．①若a＝1，t＝4，求MN的長(zhǎng)；②已知在點(diǎn)P從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B（2a，0）的過(guò)程中，MN的長(zhǎng)隨OP的長(zhǎng)的增大而增大，求a的取值范圍．【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【分析】（1）分別將O（0，0），O（0，0）代入拋物線解析式，即可獲得答案；（2）①結(jié)合題意，分別確定點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，即可獲得答案；②首先確定MN＝|at2﹣3at|，再分a＞0和a＜0兩種情況分析求解即可．【解答】解：（1）將點(diǎn)O（0，0）代入，拋物線y＝ax2+bx+c，可得c＝0，∴該拋物線解析式為y＝ax2+bx，將點(diǎn)A（3，3a）代入，拋物線y＝ax2+bx，可得3a＝9a+3b，解得b＝﹣2a；（2）①若a＝1，則該拋物線及直線解析分別為y＝x2﹣2x，y＝x，當(dāng)t＝4時(shí)，可有點(diǎn)P（4，0），如下圖，∵PM⊥x軸，∴xM＝xN＝4，將x＝4代入y＝x2﹣2x，可得y＝42﹣2×4＝8，即M（4，8），將x＝4代入y＝x，可得y＝4，即N（4，4），∴MN＝8﹣4＝4；②當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B（2a，0）的過(guò)程中，∵PM⊥x軸，P（t，0），∴xM＝xN＝t，將x＝t代入y＝ax2﹣2ax，可得y＝at2﹣2at，即M（t，at2﹣2at），將x＝t代入y＝ax，可得y＝at，即N（t，at），∴MN＝|at2﹣2at﹣at|＝|at2﹣3at|，令MN＝0，即at2﹣3at＝0，解得t＝0或t＝3，若a＞0，可有2a＞0，即點(diǎn)P在y軸右側(cè)，如下圖，當(dāng)0＜t≤3時(shí)，可有MN＝﹣at2+3at，其圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為直線x=3若MN的長(zhǎng)隨OP的長(zhǎng)的增大而增大，即MN的長(zhǎng)隨t的增大而增大，則2a≤3解得a≤3當(dāng)t＞3時(shí)，可有MN＝at2﹣3at其圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為直線x=3若a＜0，可有2a＜0，即點(diǎn)P在y軸左側(cè)，如下圖，當(dāng)t＜0時(shí)，可有MN＝﹣at2+3at，其圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為直線x=3若MN的長(zhǎng)隨OP的長(zhǎng)的增大而增大，即MN的長(zhǎng)隨t的減小而增大，則2a≤32，解得∴a＜0，綜上所述，a的取值范圍為0＜a≤34或【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合應(yīng)用等知識(shí)，解題關(guān)鍵是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想分析問(wèn)題．27．（7分）（2025?北京）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝α，點(diǎn)D在射線BC上，連接AD，將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°﹣2α得到線段AE（點(diǎn)E不在直線AB上），過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，交直線BC于點(diǎn)F．（1）如圖1，α＝45°，點(diǎn)D與點(diǎn)C重合，求證：BF＝AC；（2）如圖2，點(diǎn)D，F(xiàn)都在BC的延長(zhǎng)線上，用等式表示DF與BC的數(shù)量關(guān)系，并證明．【考點(diǎn)】幾何變換綜合題．【分析】（1）根據(jù)α＝45°，得出∠BAC＝∠ABC＝45°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得AE＝AD＝AC，∠EAB＝90°﹣∠BAC＝45°，進(jìn)而證明四邊形ABFE是平行四邊形，得出BF＝AE，BF＝AC；即可得證；（2）在DB上取一點(diǎn)G，使得AG＝AB，證明△DAG≌△EAB（SAS），得出DG＝BE，∠AGD＝∠ABE＝180°﹣∠AGC＝180°﹣α，進(jìn)而根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠FBE＝180°﹣2α，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠BFE＝∠ABF＝α，進(jìn)而得出∠BEF＝α，根據(jù)等角對(duì)等邊可得BE＝BF，則DG＝BF，根據(jù)三線合一可得GC＝BC，進(jìn)而根據(jù)DF＝BD﹣BF＝BD﹣DG＝BG＝2BC，即可得證．【解答】證明：（1）∵∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，∵線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°﹣2×45°＝90°得到線段AE，點(diǎn)D與點(diǎn)C重合，∴AE＝AD