第1頁（共1頁）2025年黑龍江省龍東地區(qū)中考數(shù)學試卷一、選擇題（每小題3分，共30分）1．（3分）（2025?黑龍江）下列運算正確的是（）A．a4?a3＝a6 B．2a+3b＝6ab C．（﹣2a2b3）3＝﹣8a6b9 D．（﹣a+b）（a+b）＝a2﹣b22．（3分）（2025?黑龍江）我國古代有很多關于數(shù)學的偉大發(fā)現(xiàn)，其中包括很多美麗的圖案，下列圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．（3分）（2025?黑龍江）2025年2月7日至2月14日第九屆亞冬會在哈爾濱市舉辦，本屆亞冬會的吉祥物是一對可愛的東北虎“濱濱”和“妮妮”．某專賣店“濱濱”和“妮妮”套盒紀念品連續(xù)六天的銷售量（單位：套）分別為：136，140，129，180，136，154，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）A．136，136 B．138，136 C．136，129 D．136，1384．（3分）（2025?黑龍江）一個由若干個大小相同的小正方體搭成的幾何體，它的主視圖和俯視圖如圖所示，那么組成該幾何體所需小正方體的個數(shù)最少是（）A．7 B．8 C．6 D．55．（3分）（2025?黑龍江）隨著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，新能源汽車已經逐漸成為人們喜愛的交通工具．某品牌新能源汽車的月銷售量由一月份的8000輛增加到三月份的12000輛，設該汽車一月至三月銷售量平均每月增長率為x，則可列方程為（）A．8000（1+2x）＝1200 B．8000（1+x）2＝12000 C．8000+8000（1+x）+8000（1+x）2＝12000 D．8000×2（1+x）＝120006．（3分）（2025?黑龍江）已知關于x的分式方程x+kx?4?2kA．k＜﹣4 B．k＞﹣4 C．k＜﹣4且k≠?43 D．k＞﹣4且7．（3分）（2025?黑龍江）為促進學生德智體美勞全面發(fā)展，某校計劃用1200元購買足球和籃球用于課外活動，其中足球80元/個，籃球120元/個，共有多少種購買方案（）A．6 B．7 C．4 D．58．（3分）（2025?黑龍江）如圖，在平面直角坐標系中，點A、點B都在雙曲線y=kx（k≠0）上，且點A在點B的右側，點A的橫坐標為﹣1，∠AOB＝∠ABO＝45°，則A．2 B．?52 C．5?19．（3分）（2025?黑龍江）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，點D、E分別在邊AB和BC上，且AD＝4，CE＝3，連接DE，點M、N分別是AC、DE的中點，連接MN，則MN的長度為（）A．52 B．125 C．2 10．（3分）（2025?黑龍江）如圖，在正方形ABCD中，點F在BC邊上（不與點B、C重合），點E在CB的延長線上，且BE＝BF，連接AC、AE、AF，過點E作EG⊥AF于點G，分別交AB、AC、DC于點M、H、N．則下列結論：①MN＝AF；②∠EAH＝∠EHA；③EN?BF＝EC?HN；④若BF：FC＝3：4，則tan∠FAC=25；A．①②③⑤ B．①②④⑤ C．①②③④ D．①③④⑤二、填空題（每小題3分，共30分）11．（3分）（2025?黑龍江）電影《哪吒之魔童鬧海》自上映以來，好評如潮，截至2025年4月22日，總票房已超157億元，再次刷新中國電影票房紀錄．將數(shù)據(jù)157億用科學記數(shù)法表示為．12．（3分）（2025?黑龍江）在函數(shù)y=1x+3中，自變量x的取值范圍是13．（3分）（2025?黑龍江）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，請?zhí)砑右粋€條件，使平行四邊形ABCD為菱形．14．（3分）（2025?黑龍江）如圖，隨機閉合開關K1、K2、K3中的兩個，能讓兩盞燈泡L1、L2同時發(fā)光的概率為．15．（3分）（2025?黑龍江）關于x的不等式組2x?3≤0x?a＞0恰有3個整數(shù)解，則a的取值范圍是16．（3分）（2025?黑龍江）如圖，PA、PB是圓O的切線，A、B為切點，AC是直徑，∠BAC＝35°，∠P＝．17．（3分）（2025?黑龍江）若圓錐的底面半徑為3，高為4，則圓錐側面展開圖的面積為．18．（3分）（2025?黑龍江）如圖，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7，BC＝9，點M是△ABC內部一點，連接AM、BM、CM，若CM＝3，則AM+13BM的最小值為19．（3分）（2025?黑龍江）如圖，在矩形ABCD中，AD＝6，∠CAD＝60°，點E是邊CD的中點，點F是對角線AC上一動點，作點C關于直線EF的對稱點P，若PE⊥AC，則CF的長為．20．（3分）（2025?黑龍江）如圖，在平面直角坐標系中，直線y=?12x+3交x軸于點A，交y軸于點B．四邊形OA1B1C1，A1A2B2C2，A2A3B3C3，A3A4B4C4，?都是正方形，頂點A1，A2，A3，A4，?都在x軸上，頂點B1，B2，B3，B4，?都在直線y=?12x+3上，連接BA1，B1A2，B2A3，B3A4，?分別交C1B1，C2B2，C3B3，C4B4，?于點D1，D2，D3，D4，?．設△BB1D1，△B1B2D2，△B2B3D3，△B3B4D4，?的面積分別為S1，S2，S3，S4，?，則S三、解答題（滿分60分）21．（5分）（2025?黑龍江）先化簡，再求值：1a2?1?a22．（6分）（2025?黑龍江）如圖，在正方形網格中，每個小正方形的邊長都是1個單位長度，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點坐標分別為A（2，﹣1），B（1，﹣3），C（3，﹣4）．（1）將△ABC向上平移5個單位長度，再向右平移1個單位長度，得到△A1B1C1，畫出兩次平移后的△A1B1C1，并寫出點C1的坐標；（2）畫出△A1B1C1繞原點O逆時針旋轉90°后得到的△A2B2C2，并寫出點C2的坐標；（3）在（2）的條件下，求點C1旋轉到點C2的過程中，所經過的路徑長（結果保留π）．23．（6分）（2025?黑龍江）如圖，拋物線y＝x2+bx+c交x軸于點A、點B，交y軸于點C，且點A在點B的左側，頂點坐標為（3，﹣4）．（1）求b與c的值．（2）在x軸上方的拋物線上是否存在點P，使△PBC的面積與△ABC的面積相等．若存在，請直接寫出點P的橫坐標；若不存在，請說明理由．24．（7分）（2025?黑龍江）2025年6月5日是中國的第11個環(huán)境日，育華中學八年級學生積極參加公益活動，為了解活動時間（單位：h），張老師隨機抽取了該校八年級m名學生進行問卷調查，用得到的數(shù)據(jù)繪制出如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖．請根據(jù)相關信息，解答下列問題：（1）m＝，扇形統(tǒng)計圖中a＝，并補全條形統(tǒng)計圖；（2）在扇形統(tǒng)計圖中，求參加公益活動時間為7h所對應扇形圓心角的度數(shù)；（3）若育華中學八年級共有學生1200人，請根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，估計育華中學八年級參加公益活動的時間是10h的學生有多少人？25．（8分）（2025?黑龍江）一條公路上依次有A、B、C三地，一輛轎車從A地出發(fā)途經B地接人，停留一段時間后原速駛往C地；一輛貨車從C地出發(fā)，送貨到達B地后立即原路原速返回C地（卸貨時間忽略不計）．兩車同時出發(fā)，轎車比貨車晚13h到達終點，兩車均按各自速度勻速行駛．如圖是轎車和貨車距各自出發(fā)地的距離y（單位：km）與轎車的行駛時間x（單位：h（1）圖中a的值是，b的值是；（2）在貨車從B地返回C地的過程中，求貨車距出發(fā)地的距離y（單位：km）與行駛時間x（單位：h）之間的函數(shù)解析式；（3）直接寫出轎車出發(fā)多長時間與貨車相距40km．26．（8分）（2025?黑龍江）已知：如圖，△ABC中，AB＝AC，設∠BAC＝α，點D是直線BC上一動點，連接AD，將線段AD繞點A順時針旋轉α至AE，連接DE、BE，過點E作EF⊥BC，交直線BC于點F．探究如下：（1）若α＝60°時，如圖①，點D在CB延長線上時，易證：BF＝DF+BC；如圖②，點D在BC延長線上時，試探究線段BF、DF、BC之間存在怎樣的數(shù)量關系，請寫出結論，并說明理由．（2）若α＝120°，點D在CB延長線上時，如圖③，猜想線段BF、DF、BC之間又有怎樣的數(shù)量關系？請直接寫出結論，不需要證明．27．（10分）（2025?黑龍江）2024年8月6日，第十二屆世界運動會口號“運動無限，氣象萬千”在京發(fā)布，吉祥物“蜀寶”和“錦仔”亮相．第一中學為鼓勵學生積極參加體育活動，準備購買“蜀寶”和“錦仔”獎勵在活動中表現(xiàn)優(yōu)秀的學生．已知購買3個“蜀寶”和1個“錦仔”共需花費332元，購買2個“蜀寶”和3個“錦仔”共需380元．（1）購買一個“蜀寶”和一個“錦仔”分別需要多少元？（2）若學校計劃購買這兩種吉祥物共30個，投入資金不少于2160元又不多于2200元，有哪幾種購買方案？（3）設學校投入資金W元，在（2）的條件下，哪種購買方案需要的資金最少？最少資金是多少元？28．（10分）（2025?黑龍江）如圖，在平面直角坐標系中，菱形OABC的邊OA在x軸上，tan∠COA=3，OA的長是一元二次方程x2﹣3x﹣18＝0的根，過點C作CQ⊥OA交OA于點Q，交對角線OB于點P．動點M從點O以每秒1個單位長度的速度沿OA向終點A運動，動點N從點B以每秒3個單位長度的速度沿BO向終點O運動，M、N兩點同時出發(fā)，設運動時間為t（1）求點P坐標；（2）連接MN、PM，求△PMN的面積S關于運動時間t的函數(shù)解析式；（3）當t＝3時，在對角線OB上是否存在一點E，使得△MNE是含30°角的等腰三角形．若存在，請直接寫出點E的坐標；若不存在，請說明理由．

2025年黑龍江省龍東地區(qū)中考數(shù)學試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案CBDABACDAC一、選擇題（每小題3分，共30分）1．（3分）（2025?黑龍江）下列運算正確的是（）A．a4?a3＝a6 B．2a+3b＝6ab C．（﹣2a2b3）3＝﹣8a6b9 D．（﹣a+b）（a+b）＝a2﹣b2【考點】平方差公式；合并同類項；同底數(shù)冪的乘法；冪的乘方與積的乘方．【分析】利用平方差公式，合并同類項，同底數(shù)冪乘法，積的乘方法則逐項判斷即可．【解答】解：a4?a3＝a7，則A不符合題意，2a與3b不是同類項，無法合并，則B不符合題意，（﹣2a2b3）3＝﹣8a6b9，則C符合題意，（﹣a+b）（a+b）＝b2﹣a2，則D不符合題意，故選：C．【點評】本題考查平方差公式，合并同類項，同底數(shù)冪乘法，積的乘方，熟練掌握相關運算法則是解題的關鍵．2．（3分）（2025?黑龍江）我國古代有很多關于數(shù)學的偉大發(fā)現(xiàn)，其中包括很多美麗的圖案，下列圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【考點】中心對稱圖形；軸對稱圖形．【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的定義解答即可．【解答】解：A．圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；B．圖形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，符合題意；C．圖形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，不符合題意；D．圖形既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，不符合題意；故選：B．【點評】本題考查了軸對稱圖形與中心對稱圖形，熟知一個圖形繞著某固定點旋轉180°后能夠與原來的圖形重合，則稱這個圖形是中心對稱圖形；如果一個圖形沿著某條直線對折后，直線兩旁的部分能夠重合，則稱這個圖形是軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸是解題的關鍵．3．（3分）（2025?黑龍江）2025年2月7日至2月14日第九屆亞冬會在哈爾濱市舉辦，本屆亞冬會的吉祥物是一對可愛的東北虎“濱濱”和“妮妮”．某專賣店“濱濱”和“妮妮”套盒紀念品連續(xù)六天的銷售量（單位：套）分別為：136，140，129，180，136，154，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）A．136，136 B．138，136 C．136，129 D．136，138【考點】眾數(shù)；中位數(shù)．【分析】將這組數(shù)據(jù)重新排列，再根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義求解即可．【解答】解：將這組數(shù)據(jù)重新排列為129，136，136，140，154，180，所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為136，中位數(shù)為136+1402故選：D．【點評】本題主要考查眾數(shù)和中位數(shù)，解題的關鍵是掌握眾數(shù)和中位數(shù)的定義．4．（3分）（2025?黑龍江）一個由若干個大小相同的小正方體搭成的幾何體，它的主視圖和俯視圖如圖所示，那么組成該幾何體所需小正方體的個數(shù)最少是（）A．7 B．8 C．6 D．5【考點】由三視圖判斷幾何體．【分析】在俯視圖中標出正方體的個數(shù)即可得出答案．【解答】解：如圖所示：組成該幾何體所需小正方體的個數(shù)最少是：1+1+1+2+2＝7．故選：A．【點評】本題主要考查由三視圖判斷幾何體，同時也體現(xiàn)了對空間想象能力方面的考查．如果掌握口訣“俯視圖打地基，正視圖瘋狂蓋，左視圖拆違章”就更容易得到答案．5．（3分）（2025?黑龍江）隨著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，新能源汽車已經逐漸成為人們喜愛的交通工具．某品牌新能源汽車的月銷售量由一月份的8000輛增加到三月份的12000輛，設該汽車一月至三月銷售量平均每月增長率為x，則可列方程為（）A．8000（1+2x）＝1200 B．8000（1+x）2＝12000 C．8000+8000（1+x）+8000（1+x）2＝12000 D．8000×2（1+x）＝12000【考點】由實際問題抽象出一元二次方程．【分析】根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以列出相應的方程．【解答】解：由題意可得，8000（1+x）2＝12000，故選：B．【點評】本題考查由實際問題抽象出一元二次方程，解答本題的關鍵是明確題意，列出相應的方程．6．（3分）（2025?黑龍江）已知關于x的分式方程x+kx?4?2kA．k＜﹣4 B．k＞﹣4 C．k＜﹣4且k≠?43 D．k＞﹣4且【考點】分式方程的解．【分析】首先將分式方程轉化為整式方程，求出解關于k的表達式，再結合解為負數(shù)及分母不為零的條件確定k的范圍．【解答】解：x+kx?4得x+3kx?4得x+3k＝3x﹣12，解得：x=3k+12根據(jù)題意，解x=3k+12即3k+12＜0，解得：k＜﹣4，∵分母x﹣4≠0，即x≠4，即3k+122解得：k≠?4∴k＜﹣4，故選：A．【點評】本題考查了分式方程的解，解題的關鍵是正確運算．7．（3分）（2025?黑龍江）為促進學生德智體美勞全面發(fā)展，某校計劃用1200元購買足球和籃球用于課外活動，其中足球80元/個，籃球120元/個，共有多少種購買方案（）A．6 B．7 C．4 D．5【考點】二元一次方程組的應用；二元一次方程的應用．【分析】設購買x個足球，y個籃球，利用總價＝單價×數(shù)量，可列出關于x，y的二元一次方程，結合x，y均為正整數(shù)，即可得出共有4種購買方案．【解答】解：設購買x個足球，y個籃球，根據(jù)題意得：80x+120y＝1200，∴y＝10?23又∵x，y均為正整數(shù)，∴x=3y=8或x=6y=6或x=9y=4∴共有4種購買方案．故選：C．【點評】本題考查了二元一次方程的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程是解題的關鍵．8．（3分）（2025?黑龍江）如圖，在平面直角坐標系中，點A、點B都在雙曲線y=kx（k≠0）上，且點A在點B的右側，點A的橫坐標為﹣1，∠AOB＝∠ABO＝45°，則A．2 B．?52 C．5?1【考點】反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征；等腰直角三角形．【分析】過點A作MN∥x軸，交y軸于點N，作BM⊥MN，垂足為M，先證明△BMA≌△ANO（AAS），利用全等三角形性質得到點B的坐標，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征解答即可．【解答】解：如圖，過點A作MN∥x軸，交y軸于點N，作BM⊥MN，垂足為M，∵∠AOB＝∠ABO＝45°，∴AB＝AO，∠BAO＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，在△BMA和△ANO中，∠MBA=∠NAO∠BMA=∠ANO∴△BMA≌△ANO（AAS），∴AN＝BM＝1，ON＝AM，∵點A的橫坐標為﹣1，∴A（﹣1，﹣k），∴ON＝AM＝﹣k，∴B（﹣1+k，﹣k﹣1），∵點A、B在反比例函數(shù)圖象上，∴k＝（﹣1+k）（﹣1﹣k）＝1﹣k2，整理得k2+k﹣1＝0，解得k=?1+52（舍去）或故選：D．【點評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定與性質，熟練掌握以上知識點是關鍵．9．（3分）（2025?黑龍江）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，點D、E分別在邊AB和BC上，且AD＝4，CE＝3，連接DE，點M、N分別是AC、DE的中點，連接MN，則MN的長度為（）A．52 B．125 C．2 【考點】三角形中位線定理．【分析】連接CD，取CD的中點K，連接MK，NK，由三角形中位線定理推出MK∥AB，NK∥BC，MK=12AD＝2，NK=12CE【解答】解：連接CD，取CD的中點K，連接MK，NK，∵點M、N分別是AC、DE的中點，∴MK、NK分別是△ACD和△DCE的中位線，∴MK∥AB，NK∥BC，MK=12AD，NK=∵AD＝4，CE＝3，∴MK＝2，NK=3∵∠B＝90°，∴AB⊥BC，∴MK⊥NK，∴∠MKN＝90°，∴MN=M故選：A．【點評】本題考查三角形中位線定理，勾股定理，關鍵是由三角形中位線定理推出MK∥AB，NK∥BC，MK=12AD，NK=10．（3分）（2025?黑龍江）如圖，在正方形ABCD中，點F在BC邊上（不與點B、C重合），點E在CB的延長線上，且BE＝BF，連接AC、AE、AF，過點E作EG⊥AF于點G，分別交AB、AC、DC于點M、H、N．則下列結論：①MN＝AF；②∠EAH＝∠EHA；③EN?BF＝EC?HN；④若BF：FC＝3：4，則tan∠FAC=25；A．①②③⑤ B．①②④⑤ C．①②③④ D．①③④⑤【考點】相似三角形的判定與性質；解直角三角形；全等三角形的判定與性質；正方形的性質．【分析】根據(jù)題意容易證明△AEB≌△AFB（SAS），從而可得∠KBC＝∠NEC＝∠BAF＝∠BAE＝α，進而可得∠EAH＝∠AHE，從而可得②正確，過點B作BK∥EN，交CD于點K，構造△ABF≌∠BCK（AAS），結合四邊形BMNK是平行四邊形可得MN＝BK＝AF，可得①正確，再利用角關系證明△NEC﹣△BAF，△AEC﹣△HNC，可得EN?BF＝CN?AF＝CN?AE＝EC?HN，從而得出結論③正確，過點F作FP⊥AC，設BF＝3x，由BF：FC＝3：4可得FC＝4x，解三角形求出PF=22x，AP=52x從而求出tan∠FAC=PFAP=25故結論④正確，再判定△CNH不一定是等腰三角形，得出等腰三角形有△ABC【解答】解：如圖1，過點B作BK∥EN，交CD于點K，在正方形ABCD中，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠BCD＝90°，∠BAC＝∠ACB＝∠ACD＝45°，AB∥CD，∴△ABC、△ADC是等腰三角形，又BE＝BF，AB＝AB，∴△AEB≌△AFB（SAS），∴AE＝AF，∠AEF＝∠AFE，∠BAE＝∠BAF，∴△AEF是等腰三角形，∵EG⊥AF，∴∠NEC+∠AFE＝90°，又∵∠BAF+∠AFE＝90°，∴∠NEC＝∠BAF，∵BK∥EN，∴∠KBC＝∠NEC，∠BKC＝∠ENC，∴∠KBC＝∠NEC＝∠BAF＝∠BAE，設∠KBC＝∠NEC＝∠BAF＝∠BAE＝α，∵∠EAH＝∠BAE+∠BAC＝α+45°，∠AHE＝∠HEC+∠ACB＝α+45°，∴∠EAH＝∠AHE，故結論②正確；∴EA＝EH，即△AEH是等腰三角形，∵在△ABF和△BCK中，AB=BC∠KBC=∠BAF∴△ABF≌∠BCK（AAS），∴BK＝AF，∠CKB＝∠AFE＝∠AEF＝90°﹣α，∵BK∥EN，AB∥CD，∴四邊形BMNK是平行四邊形，∴MN＝BK，∴MN＝AF，故結論①正確，∵∠NEC＝∠BAF，∠BCD＝∠ABC＝90°，∴△NEC﹣△BAF，∴ENAF∴EN?BF＝CN?AF，∵∠EAH＝∠AHE＝∠CHN＝45°+α，∠ACE＝∠ACN＝45°，∴△AEC∽△HNC，∴AEHN∴CN?AE＝EC?HN，∵AE＝AF，∴CN?AF＝EC?HN，∴EN?BF＝EC?HN，故結論③正確，過點F作FP⊥AC，如圖2；設BF＝3x，由BF：FC＝3：4可得FC＝4x，AB＝BC＝7x，∴AF2＝AB2+BF2＝（7x）2+（3x）2＝58x2，∵PF=FC?sin∠ACB=4x?∴AP=AF2?PF∴tan∠FAC=PF故結論④正確，∠CNE＝90°﹣α，∠CHN＝∠AHE＝α+45°，α＜45°，∴∠CNE不一定等于∠CHN，α＜45°，∴△CNH不一定是等腰三角形，故等腰三角形有△ABC、△ADC、△AEF、△AEH，共四個，故結論⑤錯誤，綜上所述：正確結論有①②③④．故選：C．【點評】本題考查了正方形性質、等腰三角形的判定和性質、相似三角形的判定和性質、解三角形，全等三角形的判定與性質等，解題關鍵是利用垂直證明角的關系，從而證明三角形全等或相似．二、填空題（每小題3分，共30分）11．（3分）（2025?黑龍江）電影《哪吒之魔童鬧?！纷陨嫌骋詠恚迷u如潮，截至2025年4月22日，總票房已超157億元，再次刷新中國電影票房紀錄．將數(shù)據(jù)157億用科學記數(shù)法表示為1.57×1010．【考點】科學記數(shù)法—表示較大的數(shù)．【分析】科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值≥10時，n是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，n是負數(shù)．【解答】解：157億1.57×1010．故答案為：1.57×1010．【點評】此題考查科學記數(shù)法的表示方法．科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．12．（3分）（2025?黑龍江）在函數(shù)y=1x+3中，自變量x的取值范圍是x【考點】函數(shù)自變量的取值范圍．【分析】讓分母不為0列式求值即可．【解答】解：由題意得：x+3≠0，解得：x≠﹣3，故答案為：x≠﹣3．【點評】本題考查求函數(shù)自變量的取值；解題的關鍵是掌握分式有意義，分母不為0．13．（3分）（2025?黑龍江）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，請?zhí)砑右粋€條件AC⊥BD（答案不唯一），使平行四邊形ABCD為菱形．【考點】菱形的判定；平行四邊形的性質．【分析】由菱形的判定方法，即可判斷．【解答】解：∵對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，∴添加一個條件AC⊥BD，使平行四邊形ABCD為菱形．故答案為：AC⊥BD（答案不唯一）．【點評】本題考查菱形的判定，平行四邊形的性質，關鍵是掌握菱形的判定方法：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，四條邊都相等的四邊形是菱形，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．14．（3分）（2025?黑龍江）如圖，隨機閉合開關K1、K2、K3中的兩個，能讓兩盞燈泡L1、L2同時發(fā)光的概率為13【考點】列表法與樹狀圖法；概率公式．【分析】列表可得出所有等可能的結果數(shù)以及能讓兩盞燈泡L1、L2同時發(fā)光的結果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：列表如下：K1K2K3K1（K1，K2）（K1，K3）K2（K2，K1）（K2，K3）K3（K3，K1）（K3，K2）共有6種等可能的結果，其中能讓兩盞燈泡L1、L2同時發(fā)光的結果有：（K1，K3），（K3，K1），共2種，∴能讓兩盞燈泡L1、L2同時發(fā)光的概率為26故答案為：13【點評】本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關鍵．15．（3分）（2025?黑龍江）關于x的不等式組2x?3≤0x?a＞0恰有3個整數(shù)解，則a的取值范圍是﹣2≤a＜﹣1【考點】一元一次不等式組的整數(shù)解．【分析】根據(jù)所給不等式組恰有3個整數(shù)解，得出關于a的不等式，據(jù)此可解決問題．【解答】解：由2x﹣3≤0得，x≤3由x﹣a＞0得，x＞a．因為此不等式組恰有3個整數(shù)解，則這3個整數(shù)解為1，0，﹣1，所以﹣2≤a＜﹣1．故答案為：﹣2≤a＜﹣1．【點評】本題主要考查了一元一次不等式組的整數(shù)解，熟知解一元一次不等式組的步驟是解題的關鍵．16．（3分）（2025?黑龍江）如圖，PA、PB是圓O的切線，A、B為切點，AC是直徑，∠BAC＝35°，∠P＝70°．【考點】切線的性質；圓周角定理．【分析】由PA、PB是圓O的切線，得PA＝PB，PA⊥AC，則∠PAC＝90°，而∠BAC＝35°，則∠PBA＝∠PAB＝90°﹣∠BAC＝55°，所以∠P＝180°﹣∠PBA﹣∠PAB＝70°，于是得到問題的答案．【解答】解：∵PA、PB是圓O的切線，∴PA＝PB，∵AC是⊙O的直徑，∠BAC＝35°，∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°，∴∠PBA＝∠PAB＝90°﹣∠BAC＝90°﹣35°＝55°，∴∠P＝180°﹣∠PBA﹣∠PAB＝180°﹣55°﹣55°＝70°，故答案為：70°．【點評】此題重點考查切線的性質、切線長定理、等腰三角形的性質、三角形內角和定理等知識，推導出PA＝PB及PA⊥AC是解題的關鍵．17．（3分）（2025?黑龍江）若圓錐的底面半徑為3，高為4，則圓錐側面展開圖的面積為15π．【考點】幾何體的展開圖；圓錐的計算．【分析】先利用勾股定理計算出圓錐的母線長，然后根據(jù)圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長和扇形的面積公式求解．【解答】解：圓錐的母線長=3所以圓錐側面展開圖的面積=12×2π故答案為：15π．【點評】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．18．（3分）（2025?黑龍江）如圖，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7，BC＝9，點M是△ABC內部一點，連接AM、BM、CM，若CM＝3，則AM+13BM的最小值為52【考點】相似三角形的應用；勾股定理．【分析】在BC上取點G，使CG＝1，構造出△MCG﹣△BCM，得MG=13BM，再根據(jù)兩點之間線段最短得出即當M在AG【解答】解：在BC上取點G，使CG＝1，又∵BC＝9，CM＝3，CGCM又∵∠MCG＝∠MCB，∴△MCG∽△BCM，∴MGBM∴MG=1∴AM+1∴AG=A∴AM+1即當M在AG上時，AM+13BM故答案為：52【點評】本題考查了相似三角形的應用，勾股定理，解題關鍵構造相似三角形轉化線段關系得出MG=119．（3分）（2025?黑龍江）如圖，在矩形ABCD中，AD＝6，∠CAD＝60°，點E是邊CD的中點，點F是對角線AC上一動點，作點C關于直線EF的對稱點P，若PE⊥AC，則CF的長為3或9．【考點】矩形的性質；軸對稱的性質；等邊三角形的判定與性質．【分析】根據(jù)題意畫出示意圖，連接PC，交直線EF于點G，延長PE交AC于點H，當點P在AC上方時，由勾股定理求出CD=63進而得到CE=12CD=33由點C關于直線EF的對稱點P，得到PE=CE=33，∠EGC＝∠EGP＝90°，求出∠CEH＝∠CAD＝60°，進而得到∠PEC＝120°，再求出∠CPE＝∠PCE=12（180°﹣∠PEC）＝30°，證明△CEF是等腰三角形，在Rt△CEH中，解直角三角形求出CH=92，進而求解；當點P在AC下方時，先求出\∠CEP＝60°，CH=92，結合對稱的性質易證△CEP是等邊三角形，易求EH＝PH=【解答】解：如圖所示，連接PC，交直線EF于點G，延長PE交AC于點H，當點P在AC上方時，∵在矩形ABCD中，AD＝6，∠CAD＝60°，∠ACD＝30°，∴AC＝2AD＝12，CD=A點E是邊CD的中點，∴CE=1∵點C關于直線EF的對稱點P，∴PE=CE=33，∠EGC＝∠EGP∵PH⊥AC，∴∠EHC＝∠EHF＝90°，∠ACD＝30°，∠ACD+∠CEH＝∠ACD+∠CAD＝90°，∴∠CEH＝∠CAD＝60°，∴∠PEC＝120°，∵PE＝CE，∴∠CPE=∠PCE=1∵∠PEG＝∠FEH，∠EGP＝∠EHF＝90°，∴∠CPE＝∠EFC＝30°，∴△CEF是等腰三角形，CH=FH=1在Rt△CEH中，CE=33∠HCE＝30°，CH＝CE?cos∠HCE＝33×∴CF＝2CH＝9；如圖，當點P在AC下方時，∵PE⊥AC，∴∠CHE＝90°，∵∠ACD＝30°，∴∠CEP＝60°，CH＝CE?cos∠ACD＝33×由對稱的性質得PE＝CE，∴△CEP是等邊三角形，∴∠P＝60°，CE＝PC＝PE＝33，∴∠HEF＝30°，EH=PH=12PE=∴CF＝CH﹣HF＝3；綜上，CF的長為3或9．故答案為：3或9．【點評】本題考查了對稱的性質，矩形的性質，等腰三角形的判定與性質，勾股定理，解直角三角形，解題的關鍵是掌握相關知識的靈活運用．20．（3分）（2025?黑龍江）如圖，在平面直角坐標系中，直線y=?12x+3交x軸于點A，交y軸于點B．四邊形OA1B1C1，A1A2B2C2，A2A3B3C3，A3A4B4C4，?都是正方形，頂點A1，A2，A3，A4，?都在x軸上，頂點B1，B2，B3，B4，?都在直線y=?12x+3上，連接BA1，B1A2，B2A3，B3A4，?分別交C1B1，C2B2，C3B3，C4B4，?于點D1，D2，D3，D4，?．設△BB1D1，△B1B2D2，△B2B3D3，△B3B4D4，?的面積分別為S1，S2，S3，S4，?，則S2025＝【考點】規(guī)律型：點的坐標；一次函數(shù)圖象上點的坐標特征．【分析】根據(jù)一次函數(shù)的解析式可得點B的坐標是（0，3），設點B1的坐標是(x1，?12x1+3)，根據(jù)正方形的四條邊都相等可得x1=?12x1+3，從而求出正方形OA1B1C1的邊長為2，根據(jù)正方形的對邊相互平行，可知△BC1D1∽△BOA1，根據(jù)相似三角形的性質求出C1D1=23，從而可得B【解答】解：當x＝0時，y=?1∴點B的坐標是（0，3），∵點B1在直線y=?1設點B1的坐標是(x則點A1的坐標是（x1，0），點C1的坐標是(0，?1∵四邊形OA1B1C1是正方形，∴OA1＝A1B1，OA1∥C1B1，∴x1解得：x1＝2，∴B1的坐標是（2，2），∴正方形OA1B1C1的邊長為2，∴OC1＝OA1＝A1B1＝B1C1＝2，∴BC1＝BC﹣OC1＝3﹣2＝1，∵OA1∥C1B1，∴△BC1D1∽△BOA1，∴BC∴13解得：C1∴B1∴S△B設點B2的坐標為(x則點A2的坐標是（x2，0），點C2的坐標是(2，?1∴A1A2＝x2﹣x1＝x2﹣2，∵四邊形A1A2B2C2是正方形，∴A1A1＝B2A2，A1A2∥C2B2，∴x2解得：x2∴A1∴B2的坐標是(10∴A1∴B1∵A1A2∥C2B2，∴△B1C2D2∽△B1A1A2，∴B1∴23解得：C2∴B2∴S△∵B1的坐標是（2，2），B2的坐標是(10∴B1∵B1的坐標是（2，2），點B的坐標是（0，3），∴BB∵B1D1∴B1又∵四邊形OA1B1C1和A1A2B2C2均為正方形，∴B1C1∥x軸，B2C2∥x軸，∴B1C1∥B2C2，∴∠BB1C1＝∠B1B2C2，∴△BB1D1∽△B1B2D2，且相似比為32∴S△∴當S△BB1同理可證△B1B2D2∽△B2B3D3，且相似比為32則S△…，∴S2025故答案為：(2【點評】本題主要考查了一次函數(shù)的圖象與性質、正方形的性質、相似三角形的判定與性質、圖形的規(guī)律與探索，解決本題的關鍵是分別計算出△BB1D1和△B1B2D2的面積，根據(jù)這兩個三角形的形狀與面積之間的關系找出規(guī)律，根據(jù)規(guī)律得出結果．三、解答題（滿分60分）21．（5分）（2025?黑龍江）先化簡，再求值：1a2?1?a【考點】分式的化簡求值；特殊角的三角函數(shù)值．【分析】先算乘法，再通分算加法，化簡后見a的值代入計算即可．【解答】解：1a2=1(a+1)(a?1)?=a?1=2a=2當a＝2sin60°﹣1＝2×32?原式=2【點評】本題考查分式化簡求值，解題的關鍵是掌握分式的基本性質，把所求式子化簡．22．（6分）（2025?黑龍江）如圖，在正方形網格中，每個小正方形的邊長都是1個單位長度，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點坐標分別為A（2，﹣1），B（1，﹣3），C（3，﹣4）．（1）將△ABC向上平移5個單位長度，再向右平移1個單位長度，得到△A1B1C1，畫出兩次平移后的△A1B1C1，并寫出點C1的坐標；（2）畫出△A1B1C1繞原點O逆時針旋轉90°后得到的△A2B2C2，并寫出點C2的坐標；（3）在（2）的條件下，求點C1旋轉到點C2的過程中，所經過的路徑長（結果保留π）．【考點】作圖﹣平移變換；作圖﹣旋轉變換；弧長的計算．【分析】（1）根據(jù)平移的性質作圖，即可得出答案．（2）根據(jù)旋轉的性質作圖，即可得出答案．（3）利用勾股定理求出OC1的長，再利用弧長公式計算即可．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求．由圖可得，點C1的坐標為（4，1）．（2）如圖，△A2B2C2即為所求．由圖可得，點C2的坐標為（﹣1，4）．（3）由勾股定理得，OC1=4∴點C1旋轉到點C2的過程中，所經過的路徑長為90π×17【點評】本題考查作圖﹣平移變換、作圖﹣旋轉變換、弧長的計算，熟練掌握平移的性質、旋轉的性質、弧長公式是解答本題的關鍵．23．（6分）（2025?黑龍江）如圖，拋物線y＝x2+bx+c交x軸于點A、點B，交y軸于點C，且點A在點B的左側，頂點坐標為（3，﹣4）．（1）求b與c的值．（2）在x軸上方的拋物線上是否存在點P，使△PBC的面積與△ABC的面積相等．若存在，請直接寫出點P的橫坐標；若不存在，請說明理由．【考點】拋物線與x軸的交點；二次函數(shù)的性質；二次函數(shù)圖象上點的坐標特征．【分析】（1）將一般式改寫為頂點式，再化為一般式即可求解b，c；（2）先確定△OBC為等腰直角三角形，過點B作x軸的垂線，在x軸上方的垂線上截取BD＝BA＝4，連接AD與BC交于點E，則D（5，4），通過三線合一得到BC⊥AD，ED＝EA，由三角形面積公式可得過點D作BC平行線與拋物線交點即為點P，然后求出直線PD解析式，再與拋物線解析式聯(lián)立求解．【解答】解：（1）∵拋物線y＝x2+bx+c的頂點坐標為（3，﹣4），∴y＝（x﹣3）2﹣4＝x2﹣6x+5，∴b＝﹣6，c＝5；（2）存在，理由如下：對于拋物線y＝x2﹣6x+5，當y＝0，x2﹣6x+5＝0，解得：x1＝1，x2＝5，當x＝0，y＝5，∴OB＝OC＝5，AB＝5﹣1＝4，∵∠COB＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，過點B作x軸的垂線，在x軸上方的垂線上截取BD＝BA＝4，連接AD與BC交于點E，則D（5，4），∴∠DBC＝90°﹣∠OBC＝45°＝∠OBC，∴BC⊥AD，ED＝EA，過點D作BC平行線與拋物線交點即為點P，S△BCA∴S△BCA＝S△BCP，設直線BC：y＝mx+n，則5m+n=0n=5∴m=?1n=5∴直線BC：y＝﹣x+5，∵BC∥PD，∴設直線PD：y＝﹣x+q，代入D（5，4）得：﹣5+q＝4，解得：q＝9，∴直線PD：y＝﹣x+9，與拋物線解析聯(lián)立得：y=?x+9y=整理得：x2﹣5x﹣4＝0，解得：x=5+412∴點P的橫坐標為5+412或【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質，與面積類的綜合問題，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，等腰三角形的性質等知識點，解題的關鍵是掌握相關知識的靈活運用．24．（7分）（2025?黑龍江）2025年6月5日是中國的第11個環(huán)境日，育華中學八年級學生積極參加公益活動，為了解活動時間（單位：h），張老師隨機抽取了該校八年級m名學生進行問卷調查，用得到的數(shù)據(jù)繪制出如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖．請根據(jù)相關信息，解答下列問題：（1）m＝200，扇形統(tǒng)計圖中a＝30，并補全條形統(tǒng)計圖；（2）在扇形統(tǒng)計圖中，求參加公益活動時間為7h所對應扇形圓心角的度數(shù)；（3）若育華中學八年級共有學生1200人，請根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，估計育華中學八年級參加公益活動的時間是10h的學生有多少人？【考點】條形統(tǒng)計圖；用樣本估計總體；扇形統(tǒng)計圖．【分析】（1）用活動6h的人數(shù)除以活動6h所占百分比求出m，再用活動8h的人數(shù)除以總人數(shù)即可求出a，用總人數(shù)乘以9h的百分比求出9h的人數(shù)，補全條形圖；（2）360°×活動7h所占百分比即可；（3）用總人數(shù)×活動10h所占百分比即可．【解答】解：（1）抽取了該校八年級學生有：m＝20÷10%＝200（名），a%=60∴a＝30；故答案為：200，30；9h的人數(shù)為：200×25%＝50（名），補全條形統(tǒng)計圖：（2）360°×30答：參加公益活動時間為7h所對應扇形圓心角的度數(shù)為54°；（3）1200×40答：估計育華中學八年級參加公益活動的時間是10h的學生有240人．【點評】本題考查的是條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運用，用樣本估計總體，讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關鍵．25．（8分）（2025?黑龍江）一條公路上依次有A、B、C三地，一輛轎車從A地出發(fā)途經B地接人，停留一段時間后原速駛往C地；一輛貨車從C地出發(fā)，送貨到達B地后立即原路原速返回C地（卸貨時間忽略不計）．兩車同時出發(fā)，轎車比貨車晚13h到達終點，兩車均按各自速度勻速行駛．如圖是轎車和貨車距各自出發(fā)地的距離y（單位：km）與轎車的行駛時間x（單位：h（1）圖中a的值是300，b的值是2；（2）在貨車從B地返回C地的過程中，求貨車距出發(fā)地的距離y（單位：km）與行駛時間x（單位：h）之間的函數(shù)解析式；（3）直接寫出轎車出發(fā)多長時間與貨車相距40km．【考點】一次函數(shù)的應用．【分析】（1）觀察圖象，可知A、B兩地之間的距離，B、C兩地之間的距離，從而求出A、C兩地之間的距離，即a的值；根據(jù)速度＝路程÷時間求出轎車的速度，由時間＝路程÷速度求出轎車行駛的時間，再根據(jù)圖象列關于b的方程并求解即可；（2）求出點N的坐標，從而求出點M的坐標，根據(jù)速度＝路程÷時間求出貨車的速度，進而求出在貨車從B地返回C地的過程中y與x之間的函數(shù)解析式即可；（3）分別求出貨車到達B地之前、轎車到達B地至接人結束準備繼續(xù)駛往C地時、轎車從B地開始駛往C地至貨車到達C地三處過程中兩車相距40km時對應x的值即可．【解答】解：（1）由圖象可知，A、B兩地之間的距離為180km，B、C兩地之間的距離為120km，180+120＝300（km），∴a＝300，轎車的速度為180÷1.5＝120（km/h），300÷120＝2.5（h），根據(jù)圖象，得1.5+（3﹣b）＝2.5，解得b＝2．故答案為：300，2．（2）3?13=∴N（8383÷2=4∴M（43貨車的速度為120÷43=90（kmy＝120﹣90（x?43）＝﹣90∴在貨車從B地返回C地的過程中，貨車距出發(fā)地的距離y（單位：km）與行駛時間x（單位：h）之間的函數(shù)解析式為y＝﹣90x+240（43≤x（3）當0≤x≤43時，得（120+90）解得x=26當43＜x≤1.5時，兩車之間的距離一直在減小，且總是小于40當1.5＜x≤2時，得90（x?4解得x=16當2＜x≤83時，得180+120（x﹣2）+40﹣90解得x=8∴轎車出發(fā)2621h或169h或83h【點評】本題考查一次函數(shù)的應用，掌握時間、速度和路程之間的關系是解題的關鍵．26．（8分）（2025?黑龍江）已知：如圖，△ABC中，AB＝AC，設∠BAC＝α，點D是直線BC上一動點，連接AD，將線段AD繞點A順時針旋轉α至AE，連接DE、BE，過點E作EF⊥BC，交直線BC于點F．探究如下：（1）若α＝60°時，如圖①，點D在CB延長線上時，易證：BF＝DF+BC；如圖②，點D在BC延長線上時，試探究線段BF、DF、BC之間存在怎樣的數(shù)量關系，請寫出結論，并說明理由．（2）若α＝120°，點D在CB延長線上時，如圖③，猜想線段BF、DF、BC之間又有怎樣的數(shù)量關系？請直接寫出結論，不需要證明．【考點】三角形綜合題．【分析】（1）①由AB＝AC，∠BAC＝α＝60°，得到△ABC是等邊三角形，從而得到∠ABC＝∠BCA＝∠ACB＝60°，進而推出∠BAE＝∠CAD，因此可證明△ABE≌△ACD（SAS），得到BE＝CD，∠ABE＝∠ACD＝60°，求得∠EBF＝60°，因此BE＝2BF，由CD＝BD+BC＝BF+DF+BC即可得到結論BF＝DF+BC；②由AB＝AC，∠BAC＝α＝60°，得到△ABC是等邊三角形，從而∠ABC＝∠BCA＝60°，進而推出∠BAE＝∠CAD，因此可證明△ABE≌△ACD（SAS），得到BE＝CD，∠ABE＝∠ACD＝120°，求得∠BEF＝∠ABE﹣∠ABC＝60°，因此BE＝2BF，由CD＝BD﹣BC＝BF+DF﹣BC，即可得到結論BF＝DF﹣BC；（2）同（1）思路即可求解．【解答】（1）①證明：∵AB＝AC，∠BAC＝α＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠BCA＝∠ACB＝60°，∵∠BAC＝∠EAD＝α＝60°，∴∠BAC+∠BAD＝∠EAD+∠BAD，即∠BAE＝∠CAD，∴在△ABE和△ACD中，AB=AC∠BAE=∠CAD∴△ABE≌△ACD（SAS），∴BE＝CD，∠ABE＝∠ACD＝60°，∴∠EBF＝180°﹣∠ABE﹣∠ABC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∵EF⊥BC，∴在Rt△BEF中，BE=BF∵CD＝BD+BC＝BF+DF+BC，CD＝BE＝2BF，∴2BF＝BF+DF+BC，∴BF＝DF+BC；②解：BF＝DF﹣BC，理由如下：∵AB＝AC，∠BAC＝α＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠BCA＝60°，∴∠ACD＝180°﹣∠BCA＝120°，∵4∠BAC＝∠EAD＝α＝60°，∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAD﹣∠EAC，即∠BAE＝∠CAD，∴在△ABE和△ACD中，AB=AC∠BAE=∠CAD∴△ABE≌△ACD（SAS），∴BE＝CD，∠ABE＝∠ACD＝120°，∴∠EBF＝∠ABE﹣∠ABC＝120°﹣60°＝60°，∵EF⊥BC，∴在Rt△BEF中，BE=BF∵CD＝BD﹣BC＝BF+DF﹣BC，CD＝BE＝2BF，∴2BF＝BF+DF﹣BC，∴BF＝DF﹣BC；（2）解：∵AB＝AC，∠BAC＝α＝120°，∴∠ABC=∠BCA=1∵∠BAC＝∠EAD＝α＝120°，∴∠BAC﹣∠BAD＝∠EAD﹣∠BAD，即∠DAC＝∠EAB，∴在△ABE和△ACD中，AB=AC∠BAE=∠CAD∴△ABE≌△ACD（SAS），∴BE＝CD，∠ABE＝∠ACD＝30°∴∠EBC＝∠EBA+∠ABC＝30°+30°＝60°，∵EF⊥BC，∴在Rt△BEF中，BE=BF∵CD＝BC+BD＝DF﹣BF+BC，CD＝BE＝2BF，∴2BF＝DF+BC﹣BF，∴3BF＝DF+BC．【點評】本題考查旋轉的性質，等腰三角形的性質，全等三角形的判定及性質，解直角三角形，綜