第1頁（共1頁）2025年青海省中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合要求）．1．（3分）（2025?青海）﹣（﹣2）的值為（）A．12 B．2 C．﹣2 D．2．（3分）（2025?青海）下列圖形是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．（3分）（2025?青海）2025年4月19日，全球首次“人機(jī)共跑”半程馬拉松在北京開跑．本次比賽全程約21公里，這意味著采用雙足步態(tài)的人形機(jī)器人要完成約25萬次精密關(guān)節(jié)運(yùn)動．將數(shù)據(jù)“250000”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．2.5×105 B．2.5×104 C．25×104 D．0.25×1064．（3分）（2025?青海）工人師傅常用角尺平分一個(gè)任意角．做法如下：如圖，∠AOB是一個(gè)任意角，在邊OA，OB上分別取OM＝ON，移動角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與點(diǎn)M，N重合，即CM＝CN，過角尺頂點(diǎn)C的射線OC便是∠AOB的平分線，這種做法的依據(jù)是（）A．AAS B．SAS C．SSS D．ASA5．（3分）（2025?青海）下列計(jì)算正確的是（）A．2x+3x＝5x2 B．x2?x3＝x6 C．（2x）3＝6x3 D．x6÷x2＝x46．（3分）（2025?青海）我國明代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：“隔墻聽得客分銀，不知人數(shù)不知銀，七兩分之多四兩，九兩分之少半斤．試問各位善算者，多少人分多少銀？”譯文：“隔著墻壁聽見客人在分銀兩，不知道有多少人，多少銀兩．若每人分7兩，則還多4兩；若每人分9兩，則還差8兩．請問：有多少客人？分多少銀兩？”設(shè)客人為x人，銀兩為y兩．根據(jù)題意可列方程組為（）A．y=7x?4y=9x+8 B．y=7x?4C．y=7x+4y=9x+8 D．7．（3分）（2025?青海）如圖，AB是⊙O的直徑，∠CAB＝40°，則∠ADC的度數(shù)是（）A．80° B．50° C．40° D．25°8．（3分）（2025?青海）如圖，甲、乙兩車從A地出發(fā)前往B地，在整個(gè)行程中，汽車離開A地的路程y（km）與時(shí)刻t之間的對應(yīng)關(guān)系如圖所示，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．乙車先到達(dá)B地 B．A、B兩地相距300km C．甲車的平均速度為100km/h D．在8：30時(shí)，乙車追上甲車二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）．9．（3分）（2025?青海）4的算術(shù)平方根是．10．（3分）（2025?青海）實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則a+b0．（填“＞”“＝”或“＜”）11．（3分）（2025?青海）七名同學(xué)一分鐘排球墊球個(gè)數(shù)分別為42，47，43，43，45，43，46．這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是．12．（3分）（2025?青海）若x＝1是一元二次方程x2﹣4x+c＝0的一個(gè)根，則c的值為．13．（3分）（2025?青海）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（a﹣2，1+a）在第三象限，則a的取值范圍是．14．（3分）（2025?青海）如圖，在菱形ABCD中，BD＝6，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，且EF＝2，則菱形ABCD的面積為．15．（3分）（2025?青海）如圖，在△ABC中，DE∥BC，且AD＝3，DB＝2，則AEAC的值是16．（3分）（2025?青海）如圖是謝爾賓斯基地毯圖案的形成過程．按此規(guī)律下去，第⑥個(gè)圖形中黑色三角形的個(gè)數(shù)是．三、解答題（本大題共9小題，共72分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟）．17．（6分）（2025?青海）計(jì)算：12+(1?18．（6分）（2025?青海）先化簡(1?a19．（7分）（2025?青海）如圖，直線y＝﹣x+b與x軸交于點(diǎn)A（1，0），與y軸交于點(diǎn)B，與反比例函數(shù)y=mx（m為常數(shù)，m≠0）的圖象在第二象限交于點(diǎn)C（﹣1，（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）求△BOC的面積．20．（7分）（2025?青海）如圖，在△ABC中，點(diǎn)O，D分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AE∥BC交DO的延長線于點(diǎn)E，連接AD，BE．（1）求證：四邊形AEBD是平行四邊形；（2）若AB＝AC，試判斷四邊形AEBD的形狀，并證明．21．（6分）（2025?青海）數(shù)學(xué)實(shí)踐【問題背景】中國傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)智慧遇上現(xiàn)代數(shù)學(xué)模型．“豇豆不上架，產(chǎn)量少一半”的農(nóng)諺流傳至今，現(xiàn)代科學(xué)揭示了其秘密：當(dāng)支架與地面形成65°夾角時(shí)，既能在早春聚熱防凍害，又能在盛夏分散強(qiáng)光，就像給豇豆裝了智能遮陽篷．【問題呈現(xiàn)】用兩根竹竿交叉，斜插入地面，交叉點(diǎn)在何處會使支架與地面形成65°夾角？【模型建立】環(huán)節(jié)一：數(shù)據(jù)收集兩根竹竿長度均為1.8米，插入地下的部分為0.3米，竹竿與地面接觸點(diǎn)間距為0.6米且與地面所形成的夾角均為65°．環(huán)節(jié)二：數(shù)學(xué)抽象如圖：已知線段AB與CD交于點(diǎn)O，AB，CD與直線l分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，AB＝CD＝1.8m，BE＝DF＝0.3m，∠AEF＝∠CFE＝65°，EF＝0.6m，求OE的長度．（結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）【模型求解】【問題總結(jié)】交叉點(diǎn)O距頂端A的長度即OA為m時(shí)，支架與地面形成65°夾角，這樣更貼合作物的生長規(guī)律．22．（8分）（2025?青海）如圖，線段AB經(jīng)過圓心O，交⊙O于點(diǎn)A，C，AD為⊙O的弦，連接BD，∠A＝∠B＝30°．（1）求證：直線BD是⊙O的切線；（2）已知BC＝2，求DC的長（結(jié)果保留π）．23．（10分）（2025?青海）為了讓學(xué)生體驗(yàn)青海民俗文化，某學(xué)校開設(shè)了特色藝術(shù)實(shí)踐課程，課程分別是：A．五谷畫，B．彩陶，C．剪紙，D．排燈．現(xiàn)學(xué)校要了解學(xué)生最感興趣的課程情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查（每位學(xué)生必選且只能選一個(gè)課程），根據(jù)調(diào)查結(jié)果，繪制了如圖兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．根據(jù)以上提供的信息，解答下列問題：（1）此次被調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)為；扇形統(tǒng)計(jì)圖中a＝；（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（3）該校有1600人，請你估計(jì)該校對課程D感興趣的學(xué)生有多少名？（4）甲、乙兩名同學(xué)從A、B、C、D四個(gè)課程中任選一個(gè)，用樹狀圖或列表法求兩人恰好選到同一個(gè)課程的概率．24．（11分）（2025?青海）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx﹣3（a≠0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)C（2，5）在拋物線上．（1）求拋物線的解析式；（2）①求點(diǎn)A的坐標(biāo)；②當(dāng)y＜0時(shí)，根據(jù)圖象直接寫出x的取值范圍；（3）連接AC交y軸于點(diǎn)D，在y軸上是否存在點(diǎn)P，使△ACP是以AC為直角邊的直角三角形，若存在，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．25．（11分）（2025?青海）活動與探究解碼蜜蜂的“家”——為什么蜂房是正六邊形的？蜜蜂的“集體宿舍”是由多個(gè)正六邊形密鋪在一起的，這些密鋪的正六邊形使得蜂房之間沒有空隙，一點(diǎn)兒也不浪費(fèi)空間．這是數(shù)學(xué)中的密鋪（或鑲嵌）問題．平面圖形的密鋪（或鑲嵌）是指用形狀、大小完全相同的一種或多種平面圖形進(jìn)行拼接，使彼此之間不留空隙、不重疊地鋪成一片．探究一：若只用一種正多邊形，哪些正多邊形可以密鋪？平面圖形每個(gè)內(nèi)角度數(shù)能否整除能否密鋪正三角形60°360°÷60°＝6能正方形①②能正五邊形108°360°÷108°=不能正六邊形120°360°÷120°＝3能正七邊形900°7360°÷不能正八邊形135°③④…………（1）請補(bǔ)全上述表格①；②；③；④．探究二：在能密鋪的正多邊形中，哪種形狀最省材料？數(shù)學(xué)視角：蜜蜂的身體可近似看成圓柱，若圓柱底面半徑為1，當(dāng)蜂房恰好容納一只蜜蜂即正多邊形的內(nèi)切圓半徑均為1時(shí)，比較正三角形，正方形和正六邊形周長的大?。^察圖1，發(fā)現(xiàn)⊙O是正三角形ABC的內(nèi)切圓，與AC切于點(diǎn)D，OD⊥AD，∠OAD＝30°，OD＝1，在Rt△ADO中，AD=3，則△ABC的周長為63（2）如圖2，正方形ABCD的周長為；（3）如圖3，求出正六邊形的周長（寫出求解過程）．探究三：在能密鋪的正多邊形中，哪種形狀可以使蜜蜂的活動空間最大？數(shù)學(xué)視角：假設(shè)蜜蜂建造蜂房的材料總量即周長一定，比較正三角形、正方形和正六邊形面積的大?。?）若正多邊形的周長都為12，則正三角形的面積為；正方形的面積為；正六邊形的面積為．【得出結(jié)論】綜上所述：在相同條件下，正六邊形結(jié)構(gòu)最省材料，能使蜜蜂的活動空間最大，是建造蜂房的最優(yōu)方案．

2025年青海省中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號12345678答案B．CA．CDDBC一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合要求）．1．（3分）（2025?青海）﹣（﹣2）的值為（）A．12 B．2 C．﹣2 D．【分析】去括號法則：括號前面是負(fù)號，括號內(nèi)的各項(xiàng)符號要改變．【解答】解：﹣（﹣2）＝2，B選項(xiàng)正確．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了相反數(shù)，解決本題的關(guān)鍵是熟記相反數(shù)的定義．2．（3分）（2025?青海）下列圖形是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對稱圖形，據(jù)此進(jìn)行判斷即可．【解答】解：選項(xiàng)A、B、D的圖形均不能找到這樣的一條直線，使圖形沿該直線對折后直線兩旁的部分能夠完全重合，所以不是軸對稱圖形，選項(xiàng)C的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿該直線對折后直線兩旁的部分能夠完全重合，所以是軸對稱圖形．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查軸對稱圖形，熟練掌握其定義是解題的關(guān)鍵．3．（3分）（2025?青海）2025年4月19日，全球首次“人機(jī)共跑”半程馬拉松在北京開跑．本次比賽全程約21公里，這意味著采用雙足步態(tài)的人形機(jī)器人要完成約25萬次精密關(guān)節(jié)運(yùn)動．將數(shù)據(jù)“250000”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．2.5×105 B．2.5×104 C．25×104 D．0.25×106【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值≥10時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．【解答】解：250000＝2.5×105．故選：A．【點(diǎn)評】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．4．（3分）（2025?青海）工人師傅常用角尺平分一個(gè)任意角．做法如下：如圖，∠AOB是一個(gè)任意角，在邊OA，OB上分別取OM＝ON，移動角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與點(diǎn)M，N重合，即CM＝CN，過角尺頂點(diǎn)C的射線OC便是∠AOB的平分線，這種做法的依據(jù)是（）A．AAS B．SAS C．SSS D．ASA【分析】利用SSS證明△OMC≌△ONC，得∠COM＝∠CON，即可解決問題．【解答】解：在△OMC和△ONC中，OM=ONOC=OC∴△OMC≌△ONC（SSS），∴∠COM＝∠CON，即射線OC是∠AOB的平分線，故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．5．（3分）（2025?青海）下列計(jì)算正確的是（）A．2x+3x＝5x2 B．x2?x3＝x6 C．（2x）3＝6x3 D．x6÷x2＝x4【分析】利用同底數(shù)冪乘法及除法，合并同類項(xiàng)，積的乘方法則逐項(xiàng)判斷即可．【解答】解：2x+3x＝5x，則A不符合題意，x2?x3＝x5，則B不符合題意，（2x）3＝8x3，則C不符合題意，x6÷x2＝x4，則D符合題意，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查同底數(shù)冪乘法及除法，合并同類項(xiàng)，積的乘方，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．6．（3分）（2025?青海）我國明代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：“隔墻聽得客分銀，不知人數(shù)不知銀，七兩分之多四兩，九兩分之少半斤．試問各位善算者，多少人分多少銀？”譯文：“隔著墻壁聽見客人在分銀兩，不知道有多少人，多少銀兩．若每人分7兩，則還多4兩；若每人分9兩，則還差8兩．請問：有多少客人？分多少銀兩？”設(shè)客人為x人，銀兩為y兩．根據(jù)題意可列方程組為（）A．y=7x?4y=9x+8 B．y=7x?4C．y=7x+4y=9x+8 D．【分析】根據(jù)若每人分7兩，則還多4兩；若每人分9兩，則還差8兩；列出二元一次方程組即可．【解答】解：由題意得：y=7x+4y=9x?8故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組以及數(shù)學(xué)常識，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．7．（3分）（2025?青海）如圖，AB是⊙O的直徑，∠CAB＝40°，則∠ADC的度數(shù)是（）A．80° B．50° C．40° D．25°【分析】根據(jù)AB是⊙O的直徑得出∠ACB＝90°，即可求解．【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∠CAB+∠B＝90°，∵∠CAB＝40°，∴∠B＝50°，∠ADC＝∠B＝50°，故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查了同弧或等弧所對的圓周角相等，直徑對的圓周角是直角，熟練掌握同弧或等弧所對的圓周角相等是解題的關(guān)鍵．8．（3分）（2025?青海）如圖，甲、乙兩車從A地出發(fā)前往B地，在整個(gè)行程中，汽車離開A地的路程y（km）與時(shí)刻t之間的對應(yīng)關(guān)系如圖所示，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．乙車先到達(dá)B地 B．A、B兩地相距300km C．甲車的平均速度為100km/h D．在8：30時(shí)，乙車追上甲車【分析】根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)，逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)中的說法是否正確即可．【解答】解：由圖象可知，乙車先到達(dá)B地，故選項(xiàng)A說法正確，不符合題意；A、B兩地相距300km，故選項(xiàng)B說法正確，不符合題意；甲車的速度為：300÷（11﹣6）＝60（km/h），故選項(xiàng)C說法錯(cuò)誤，符合題意；在8：30時(shí)，乙車追上甲車，故選項(xiàng)D說法正確，不符合題意．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)的圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）．9．（3分）（2025?青海）4的算術(shù)平方根是2．【分析】一般地，如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a，即x2＝a，那么這個(gè)正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根，據(jù)此即可求得答案．【解答】解：∵22＝4，∴4的算術(shù)平方根是2，故答案為：2．【點(diǎn)評】本題考查算術(shù)平方根，熟練掌握其定義是解題的關(guān)鍵．10．（3分）（2025?青海）實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則a+b＞0．（填“＞”“＝”或“＜”）【分析】根據(jù)圖示，可得：a＜0＜b，且|a|＜|b|，據(jù)此判斷出a+b與0的關(guān)系即可．【解答】解：根據(jù)圖示，可得：a＜0＜b，且|a|＜|b|，∴﹣a＜b，∴a+b＞0．故答案為：＞．【點(diǎn)評】此題主要考查了實(shí)數(shù)大小比較的方法，在數(shù)軸上表示數(shù)的方法，以及數(shù)軸的特征：一般來說，當(dāng)數(shù)軸正方向朝右時(shí)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大．11．（3分）（2025?青海）七名同學(xué)一分鐘排球墊球個(gè)數(shù)分別為42，47，43，43，45，43，46．這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是43．【分析】根據(jù)眾數(shù)的定義，找出這組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，即可求出答案．【解答】解：在這組數(shù)據(jù)中，43出現(xiàn)的次數(shù)最多，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是43．故答案為：43．【點(diǎn)評】此題考查了眾數(shù)，掌握眾數(shù)的定義是本題的關(guān)鍵，眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．12．（3分）（2025?青海）若x＝1是一元二次方程x2﹣4x+c＝0的一個(gè)根，則c的值為3．【分析】將已知解代入一元二次方程x2﹣4x+c＝0中解得c的值即可．【解答】解：若x＝1是一元二次方程x2﹣4x+c＝0的一個(gè)根，則12﹣4×1+c＝0，解得：c＝3，故答案為：3．【點(diǎn)評】本題考查一元二次方程的解，熟練掌握其意義是解題的關(guān)鍵．13．（3分）（2025?青海）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（a﹣2，1+a）在第三象限，則a的取值范圍是a＜﹣1．【分析】依據(jù)題意，利用第三象限點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到a?2＜01+a＜0【解答】解：∵點(diǎn)P（a﹣2，1+a）在第三象限內(nèi)，∴a?2＜01+a＜0∴a＜﹣1．故答案為：a＜﹣1．【點(diǎn)評】本題主要考查了解一元一次不等式組：解一元一次不等式組時(shí)，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，利用數(shù)軸可以直觀地表示不等式組的解集．也考查了第三象限點(diǎn)的坐標(biāo)特征．14．（3分）（2025?青海）如圖，在菱形ABCD中，BD＝6，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，且EF＝2，則菱形ABCD的面積為12．【分析】由三角形中位線定理得到AC＝2EF＝4，由菱形的面積公式即可求出菱形ABCD的面積．【解答】解：∵E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，∴EF是△ABC的中位線，∴AC＝2EF＝2×2＝4，∴菱形ABCD的面積=12BD?AC故答案為：12．【點(diǎn)評】本題考查菱形的性質(zhì)，三角形中位線定理，關(guān)鍵是掌握三角形的中位線等于第三邊的一半，菱形的面積公式．15．（3分）（2025?青海）如圖，在△ABC中，DE∥BC，且AD＝3，DB＝2，則AEAC的值是35【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，把已知數(shù)據(jù)代入計(jì)算得到答案．【解答】解：∵AD＝3，DB＝2，∴AB＝AD+DB＝3+2＝5，∵DE∥BC，∴AEAC故答案為：35【點(diǎn)評】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運(yùn)用該定理、找準(zhǔn)對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．16．（3分）（2025?青海）如圖是謝爾賓斯基地毯圖案的形成過程．按此規(guī)律下去，第⑥個(gè)圖形中黑色三角形的個(gè)數(shù)是35或243．【分析】找到圖形的變化規(guī)律，即可得出答案．【解答】解：∵第1個(gè)圖案中有30＝1個(gè)，第2個(gè)圖案中有31＝3個(gè)，第3個(gè)圖案中有32＝9個(gè)，第4個(gè)圖案中有33＝27個(gè)，…，按此規(guī)律，第⑥個(gè)圖案中有35＝243個(gè)涂有陰影的三角形．故答案為：35或243．【點(diǎn)評】本題考查了圖形的變化類問題，正確找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共9小題，共72分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟）．17．（6分）（2025?青海）計(jì)算：12+(1?【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)、零指數(shù)冪、絕對值、特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算．【解答】解：12＝23+1+3=23=33【點(diǎn)評】本題考查的是實(shí)數(shù)的運(yùn)算，掌握二次根式的性質(zhì)、零指數(shù)冪、絕對值、特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．18．（6分）（2025?青海）先化簡(1?a【分析】根據(jù)分式的減法法則、除法法則把原式化簡，根據(jù)分式有意義的條件確定a的值，代入計(jì)算得到答案．【解答】解：原式＝（a+2a+2?=2a+2?＝a﹣2，由題意得：a≠±2，當(dāng)a＝0時(shí)，原式＝0﹣2＝﹣2，當(dāng)a＝1時(shí)，原式＝1﹣2＝﹣1．【點(diǎn)評】本題考查的是分式的化簡求值，掌握分式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．19．（7分）（2025?青海）如圖，直線y＝﹣x+b與x軸交于點(diǎn)A（1，0），與y軸交于點(diǎn)B，與反比例函數(shù)y=mx（m為常數(shù)，m≠0）的圖象在第二象限交于點(diǎn)C（﹣1，（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）求△BOC的面積．【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式即可；（2）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)及三角形面積的計(jì)算公式代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可．【解答】解：（1）把點(diǎn)A（1，0）代入y＝﹣x+b中，得0＝﹣1+b，b＝1，∴一次函數(shù)解析式為y＝﹣x+1，把點(diǎn)C（﹣1，a）代入y＝﹣x+1中，得a＝1+1＝2，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣1，2），把C（﹣1，2）代入y=m得2=m?1，∴反比例函數(shù)解析式為y=?2（2）過C點(diǎn)作CH⊥y軸于點(diǎn)H，∵C（﹣1，2），∴CH＝1，把x＝0代入y＝﹣x+1得，y＝1．∴B（0，1），∴OB＝1，∴S△BOC【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，熟練掌握該知識點(diǎn)是關(guān)鍵．20．（7分）（2025?青海）如圖，在△ABC中，點(diǎn)O，D分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AE∥BC交DO的延長線于點(diǎn)E，連接AD，BE．（1）求證：四邊形AEBD是平行四邊形；（2）若AB＝AC，試判斷四邊形AEBD的形狀，并證明．【分析】（1）證明OD是△ABC的中位線，得OD∥AC，再證明四邊形AEDC是平行四邊形，得AE＝CD，進(jìn)而證明AE＝BD，然后由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論；（2）由等腰三角形的性質(zhì)得AD⊥BC，則∠ADB＝90°，再由矩形的判定即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵點(diǎn)O，D分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，∴OD是△ABC的中位線，∴OD∥AC，∵AE∥BC，∴四邊形AEDC是平行四邊形，∴AE＝CD，∵點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD，∴AE＝BD，∴四邊形AEBD是平行四邊形；（2）解：當(dāng)AB＝AC時(shí)，四邊形AEBD是矩形，證明如下：∵AB＝AC，點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，由（1）可知，四邊形AEBD是平行四邊形，∴平行四邊形AEBD是矩形．【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理以及等腰三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．（6分）（2025?青海）數(shù)學(xué)實(shí)踐【問題背景】中國傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)智慧遇上現(xiàn)代數(shù)學(xué)模型．“豇豆不上架，產(chǎn)量少一半”的農(nóng)諺流傳至今，現(xiàn)代科學(xué)揭示了其秘密：當(dāng)支架與地面形成65°夾角時(shí)，既能在早春聚熱防凍害，又能在盛夏分散強(qiáng)光，就像給豇豆裝了智能遮陽篷．【問題呈現(xiàn)】用兩根竹竿交叉，斜插入地面，交叉點(diǎn)在何處會使支架與地面形成65°夾角？【模型建立】環(huán)節(jié)一：數(shù)據(jù)收集兩根竹竿長度均為1.8米，插入地下的部分為0.3米，竹竿與地面接觸點(diǎn)間距為0.6米且與地面所形成的夾角均為65°．環(huán)節(jié)二：數(shù)學(xué)抽象如圖：已知線段AB與CD交于點(diǎn)O，AB，CD與直線l分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，AB＝CD＝1.8m，BE＝DF＝0.3m，∠AEF＝∠CFE＝65°，EF＝0.6m，求OE的長度．（結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）【模型求解】【問題總結(jié)】交叉點(diǎn)O距頂端A的長度即OA為0.8m時(shí)，支架與地面形成65°夾角，這樣更貼合作物的生長規(guī)律．【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，在Rt△OEH中利用三角函數(shù)，求出OE長，結(jié)合已知條件，求出OA即可．【解答】解：如圖，過O點(diǎn)作OH⊥EF，垂足為H，∵∠AEF＝∠CFE＝65°，∴OE＝OF，∵EF＝0.6m，∴EH=12EF＝0.3（∵在Rt△OEH中，∠OHE＝90°，∠OEF＝65°，∴OE=EHcos∠OEF=∵AB＝1.8m，BE＝0.3m，∴OA＝AB﹣OE﹣BE＝1.8﹣0.7﹣0.3＝0.8（m），問題總結(jié)：OA＝0.8m．故答案為：0.8．【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練解直角三角形是解題的關(guān)鍵．22．（8分）（2025?青海）如圖，線段AB經(jīng)過圓心O，交⊙O于點(diǎn)A，C，AD為⊙O的弦，連接BD，∠A＝∠B＝30°．（1）求證：直線BD是⊙O的切線；（2）已知BC＝2，求DC的長（結(jié)果保留π）．【分析】（1）連接OD，因?yàn)椤螦＝∠B＝30°，所以∠BOD＝2∠A＝60°，則∠ODB＝90°，即可證明直線BD是⊙O的切線；（2）由∠ODB＝90°，∠B＝30°，得OB＝2OD＝2OC，推導(dǎo)出OC＝BC＝2，而∠COD＝60°，即可根據(jù)弧長公式求得lDC【解答】（1）證明：連接OD，∵∠A＝∠B＝30°，∴∠BOD＝2∠A＝60°，∴∠ODB＝180°﹣∠B﹣∠BOD＝90°，∵OD是⊙O的半徑，且BD⊥OD，∴直線BD是⊙O的切線．（2）解：∠ODB＝90°，∠B＝30°，OD＝OC，∴OB＝2OD＝2OC，∵BC＝OB﹣OC＝2OC﹣OC＝OC，且BC＝2，∴OC＝2，∵∠COD＝60°，∴l(xiāng)DC∴DC的長是2π3【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查圓周角定理、三角形內(nèi)角和定理、切線的判定、直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半、弧長公式等知識，正確地添加輔助線是解題的關(guān)鍵．23．（10分）（2025?青海）為了讓學(xué)生體驗(yàn)青海民俗文化，某學(xué)校開設(shè)了特色藝術(shù)實(shí)踐課程，課程分別是：A．五谷畫，B．彩陶，C．剪紙，D．排燈．現(xiàn)學(xué)校要了解學(xué)生最感興趣的課程情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查（每位學(xué)生必選且只能選一個(gè)課程），根據(jù)調(diào)查結(jié)果，繪制了如圖兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．根據(jù)以上提供的信息，解答下列問題：（1）此次被調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)為160人；扇形統(tǒng)計(jì)圖中a＝20；（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（3）該校有1600人，請你估計(jì)該校對課程D感興趣的學(xué)生有多少名？（4）甲、乙兩名同學(xué)從A、B、C、D四個(gè)課程中任選一個(gè)，用樹狀圖或列表法求兩人恰好選到同一個(gè)課程的概率．【分析】（1）用條形統(tǒng)計(jì)圖中A的人數(shù)除以扇形統(tǒng)計(jì)圖中A的百分比可得此次被調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)；用條形統(tǒng)計(jì)圖中C的人數(shù)除以此次被調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)再乘以100%可得a%，即可得a的值．（2）求出選擇B的人數(shù)，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖即可．（3）根據(jù)用樣本估計(jì)總體，用1600乘以樣本中D的人數(shù)所占的百分比，即可得出答案．（4）列表可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及兩人恰好選到同一個(gè)課程的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）此次被調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)為48÷30%＝160（人）．a(chǎn)%＝32÷160×100%＝20%，∴a＝20．故答案為：160人；20．（2）選擇B的人數(shù)為160﹣48﹣32﹣40＝40．補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如圖1所示．（3）1600×40答：估計(jì)該校對課程D感興趣的學(xué)生有400名．（4）列表如下：ABCDA（A，A）（A，B）（A，C）（A，D）B（B，A）（B，B）（B，C）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，C）（C，D）D（D，A）（D，B）（D，C）（D，D）共有16種等可能的結(jié)果，其中兩人恰好選到同一個(gè)課程的結(jié)果有4種，∴兩人恰好選到同一個(gè)課程的概率為416【點(diǎn)評】本題考查列表法與樹狀圖法、條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖、用樣本估計(jì)總體，能夠讀懂統(tǒng)計(jì)圖，掌握列表法與樹狀圖法以及用樣本估計(jì)總體是解答本題的關(guān)鍵．24．（11分）（2025?青海）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx﹣3（a≠0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)C（2，5）在拋物線上．（1）求拋物線的解析式；（2）①求點(diǎn)A的坐標(biāo)；②當(dāng)y＜0時(shí)，根據(jù)圖象直接寫出x的取值范圍﹣3＜x＜1；（3）連接AC交y軸于點(diǎn)D，在y軸上是否存在點(diǎn)P，使△ACP是以AC為直角邊的直角三角形，若存在，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【分析】（1）將B（1，0）、C（2，5）代入y＝ax2+bx﹣3（a≠0）得方程組，解方程組即可；（2）①令y＝0，則x2+2x﹣3＝0，解方程即可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；②根據(jù)圖象可知，當(dāng)y＜0時(shí)，即拋物線在x軸下方的部分，根據(jù)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)即可得出結(jié)論；（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，a），先由兩點(diǎn)間的距離公式得AC2＝50，AP2＝9+a2，CP2＝a2﹣10a+29，再分兩種情況討論：當(dāng)AP為斜邊時(shí)，則AP2＝AC2+CP2，當(dāng)CP為斜邊時(shí)，則CP2＝AC2+AP2，分別解方程即可．【解答】解：（1）將B（1，0）、C（2，5）代入y＝ax2+bx﹣3（a≠0）得，a+b?3=04a+2b?3=5解得a=1b=2∴拋物線的解析式為y＝x2+2x﹣3；（2）①令y＝0，則x2+2x﹣3＝0，解得x＝﹣3或x＝1，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，0）；②根據(jù)圖象可知，當(dāng)y＜0時(shí)，x的取值范圍為﹣3＜x＜1，故答案為：﹣3＜x＜1；（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，a），∵A（﹣3，0），C（2，5），∴AC2＝（2+3）2+（5﹣0）2＝50，AP2＝（0+3）2+（a﹣0）2＝9+a2，CP2＝（0﹣2）2+（a﹣5）2＝a2﹣10a+29，∵△ACP是以AC為直角邊的直角三角形，∴分以下兩種情況討論：當(dāng)AP為斜邊時(shí)，則AP2＝AC2+CP2，∴9+a2＝50+a2﹣10a+29，解得a＝7，∴P1（0，7），當(dāng)CP為斜邊時(shí)，則CP2＝AC2+AP2，∴a2﹣10a+29＝50+9+a2，解得a＝﹣3，∴P2（0，﹣3），綜上所述，存在符合條件的P點(diǎn)，P1（0，7），P2（0，﹣3）．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)綜合題，需要綜合運(yùn)用拋物線與x軸的交點(diǎn)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，勾股定理等，掌握以上性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．25．（11分）（2025?青海）活動與探究解碼蜜蜂的“家”——為什么蜂房是正六邊形的？蜜蜂的“集體宿舍”是由多個(gè)正六邊形密鋪在一起的，這些密鋪的正六邊形使得蜂