2025高一春季數(shù)學(xué)教資試卷考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若集合A={x|-1<x<2},B={x|x≥1},則A∩B=?(A){x|-1<x<1}(B){x|1≤x<2}(C){x|x>-1}(D){x|x<2}2.復(fù)數(shù)z=(2+i)/i(其中i為虛數(shù)單位)的實(shí)部是？(A)-1(B)1(C)-2(D)23.函數(shù)f(x)=log?(x-1)的定義域是？(A)(-∞,1)(B)[1,+∞)(C)(1,+∞)(D)(-1,1)4.給出四個(gè)命題：(1)若x2=1,則x=1；(2)若x=1,則x2=1；(3)若x2≠1,則x≠±1；(4)若x≠±1,則x2≠1。其中真命題的個(gè)數(shù)是？(A)1(B)2(C)3(D)45.已知點(diǎn)A(1,2),B(-3,0),則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是？(A)(-1,1)(B)(-1,-1)(C)(2,1)(D)(1,0)6.若函數(shù)f(x)=ax3-3x+1在x=2處取得極值，則實(shí)數(shù)a的值是？(A)2(B)-2(C)3(D)-37.在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c。若a2=b2+c2-bc,則角A的大小是？(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°8.已知等差數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和為S?，若a?=5,S?=30,則該數(shù)列的公差d是？(A)1(B)2(C)3(D)49.若向量u=(1,k),v=(3,-2),且u⊥v(向量垂直)，則實(shí)數(shù)k的值是？(A)-3/2(B)3/2(C)-6(D)610.已知圓C的方程為(x-1)2+(y+2)2=4,則圓心C的坐標(biāo)和半徑r分別是？(A)C(1,-2),r=2(B)C(-1,2),r=4(C)C(1,-2),r=4(D)C(-1,2),r=2二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分。11.已知直線l的傾斜角為45°,且經(jīng)過點(diǎn)(1,-2)，則直線l的斜率k=_______。12.若tanα=-√3,且α在第二象限，則sinα=_______。13.計(jì)算：lim(x→2)(x2-4)/(x-2)=_______。14.在△ABC中，若a=3,b=2,C=60°，則邊c的長(zhǎng)=_______。15.已知函數(shù)f(x)=x2-4x+3,則f(x)在區(qū)間[1,4]上的最小值是_______。三、解答題：本大題共6小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。16.（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2。(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間；(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,3]上的最大值和最小值。17.（本小題滿分12分）在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c。已知a=3,b=√7,C=60°。(1)求邊c的長(zhǎng)；(2)求△ABC的面積。18.（本小題滿分13分）已知等比數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和為S?，且a?=6,S?=9。(1)求等比數(shù)列{a?}的首項(xiàng)a?和公比q；(2)求數(shù)列{a?}的通項(xiàng)公式a?。19.（本小題滿分13分）已知復(fù)數(shù)z=2-3i(其中i為虛數(shù)單位)。(1)求復(fù)數(shù)z的模|z|和輻角主值arg(z)（用反三角函數(shù)表示）；(2)求復(fù)數(shù)z的平方z2。20.（本小題滿分13分）已知直線l?:x-y+1=0和直線l?:ax+2y-3=0。(1)若直線l?與l?平行，求實(shí)數(shù)a的值；(2)若直線l?與l?相交于點(diǎn)P，且點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離為√5，求實(shí)數(shù)a的值。21.（本小題滿分14分）設(shè)點(diǎn)A(1,0)，點(diǎn)B在直線l:y=x上運(yùn)動(dòng)。以AB為一邊，在直線l的上方作等邊△ABD。(1)求點(diǎn)D的軌跡方程；(2)若過點(diǎn)A作直線m與直線AD垂直，且直線m與點(diǎn)D的軌跡交于M,N兩點(diǎn)，求線段MN的長(zhǎng)。---試卷答案1.B2.A3.C4.B5.A6.D7.C8.B9.D10.A11.112.-1/213.414.√715.116.(1)函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)=3x2-6x=3x(x-2)。令f'(x)>0，得x>2或x<0；令f'(x)<0，得0<x<2。故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,0)和(2,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2)。(2)函數(shù)在區(qū)間[-2,3]上的駐點(diǎn)為x=0,2。計(jì)算f(-2)=(-2)3-3(-2)2+2=-8-12+2=-18,f(0)=03-3(0)2+2=2,f(2)=23-3(2)2+2=8-12+2=-2。比較f(-2),f(0),f(2)和f(3)=33-3(3)2+2=27-27+2=2。故最大值為2，最小值為-18。17.(1)由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，得c2=32+(√7)2-2×3×√7×cos60°=9+7-3√7=16-3√7。故c=√(16-3√7)。(2)三角形面積S=(1/2)absinC=(1/2)×3×√7×sin60°=(3√7)/4×(√3/2)=(3√21)/8。18.(1)由a?=6,S?=9，得a?q=6,a?(1+q+q2)=9。將a?q=6代入第二個(gè)式子，得a?(1+q+q2)=(6/a?)+6+6/a?=9，即6+12/a?=9，解得a?=3。將a?=3代入a?q=6，得3q=6，解得q=2。(2)由a?=3,q=2，得通項(xiàng)公式a?=a?q??1=3×2??1=3×2??1。19.(1)復(fù)數(shù)z=2-3i的模|z|=√(22+(-3)2)=√13。設(shè)輻角主值為α，則tanα=(-3)/2=-3/2。由于z位于第四象限，故α=arctan(-3/2)。(2)復(fù)數(shù)z的平方z2=(2-3i)2=4-12i+9i2=4-12i-9=-5-12i。20.(1)直線l?:x-y+1=0的斜率k?=1。直線l?:ax+2y-3=0的斜率k?=-a/2。若l?||l?，則k?=k?，即1=-a/2，解得a=-2。(2)設(shè)直線l?與l?的交點(diǎn)為P(x?,y?)。由x?-y?+1=0和ax?+2y?-3=0，得x?-y?=-1,ax?+2y?=3。兩式相加，得(a+1)x?=2，即x?=2/(a+1)。代入x?-y?=-1，得2/(a+1)-y?=-1，解得y?=(2+a)/(a+1)。點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離√(x?2+y?2)=√((2/(a+1))2+((2+a)/(a+1))2)=√(4/(a+1)2+(4+4a+a2)/(a+1)2)=√((8+4a+a2)/(a+1)2)=√((a+2)2/(a+1)2)=|(a+2)/(a+1)|。由題意|(a+2)/(a+1)|=√5，兩邊平方得(a+2)2/(a+1)2=5。開方得|a+2|/|a+1|=√5。解得a+2=√5(a+1)或a+2=-√5(a+1)。分別解得a=(2-√5)/(√5-1)或a=(2+√5)/(√5+1)?；?jiǎn)得a=(2-√5)(√5+1)/(4-5)或a=(2+√5)(√5-1)/(4-5)。即a=(-2√5-2+5)/(-1)或a=(2√5-2+5)/(-1)。即a=(3-2√5)或a=(-3-2√5)。故a=3-2√5或a=-3-2√5。21.(1)設(shè)點(diǎn)B(x?,x?)，點(diǎn)D(x,y)。由等邊三角形的性質(zhì)，知AB=AD,∠BAD=60°。點(diǎn)A(1,0)，向量AB=(x?-1,x?)，向量AD=(x-1,y)。由|AB|=|AD|，得√((x?-1)2+x?2)=√((x-1)2+y2)，平方得(x?-1)2+x?2=(x-1)2+y2。由∠BAD=60°，得cos60°=((AB·AD)/(|AB||AD|))=((x?-1)(x-1)+x?y)/((x?-1)2+x?2)。將(x?-1)2+x?2=(x-1)2+y2代入，得(x-1)2+y2=((x?-1)(x-1)+x?y)/2。又由向量叉積，得2sin60°|AB|2=2√3|AB|2=|AB|2=x?2+1-2x?=y2。將x?2=y2+2x?-1代入(x?-1)2+x?2=(x-1)2+y2，得(y2+2x?-1-1)+y2+2x?-1=(x-1)2+y2。整理得4x?-3=(x-1)2。故x?=((x-1)2+3)/4。代入x?2=y2+2x?-1，得((x-1)2+3)2/16=y2+2((x-1)2+3)/4-1。整理得((x-1)2+3)2=16y2+8(x-1)2+24-16。整理得(x-1)2+8=16y2。即(x-1)2=16y2-8。兩邊同時(shí)除以8，得(x-1)2/8=2y2-1。故點(diǎn)D的軌跡方程為(x-1)2/8=2y2-1。整理得(x-1)2-16y2=-8。(2)直線AD的斜率k_AD=(y-0)/(x-1)=y/(x-1)。由m⊥AD，得m的斜率k_m=-1/(y/(x-1))=-(x-1)/y。直線m的方程為y-0=-(x-1)/y(x-1)。即y(x-1)=-(x-1)/y。代入點(diǎn)D的軌跡方程(x-1)2-16y2=-8，得y2(x-1)2-16y?=-8。整理得y2(x-1)2+8=16y?。令t=y2，得t(x-1)2+8=16t2。整理得16t2-t(x-1)2-8=0。由根與系數(shù)關(guān)系，設(shè)M(x?,y?),N(x?,y?)，則y?+y?=(x-1)2/16，y?y?=-1/2。線段MN的長(zhǎng)|MN|=√((x?-x?)2+(y?-y?)2)。由(x?