2026屆遼寧省北票市第三高級(jí)中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線(xiàn)內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖所示，直三棱柱中，，，分別是，的中點(diǎn)，，則與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.2．函數(shù)在上單調(diào)遞增，則k的取值范圍是（）A B.C. D.3．在一個(gè)正方體中，為正方形四邊上的動(dòng)點(diǎn)，為底面正方形的中心，分別為中點(diǎn)，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，線(xiàn)段與互相平分，則滿(mǎn)足的實(shí)數(shù)的值有A.0個(gè) B.1個(gè)C.2個(gè) D.3個(gè)4．設(shè)，分別是雙曲線(xiàn)：的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的一條漸近線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)的離心率為（）A. B.2C. D.5．已知向量，，，若，則實(shí)數(shù)（）A. B.C. D.6．在二面角的棱上有兩個(gè)點(diǎn)、，線(xiàn)段、分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，并且都垂直于棱，若，，，，則這個(gè)二面角的大小為（）A. B.C. D.7．若等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，首項(xiàng)，，，則滿(mǎn)足成立的最大正整數(shù)是（）A. B.C. D.8．下列說(shuō)法正確的是（）A.空間中的任意三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面B.四邊相等的四邊形一定是菱形C.兩條相交直線(xiàn)可以確定一個(gè)平面D.正四棱柱的側(cè)面都是正方形9．已知等差數(shù)列滿(mǎn)足，則等于（）A. B.C. D.10．向量，向量，若，則實(shí)數(shù)（）A. B.1C. D.11．已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)為，，上頂點(diǎn)為P，則（）A.為銳角三角形 B.為鈍角三角形C.為直角三角形 D.，，三點(diǎn)構(gòu)不成三角形12．如圖，在平行六面體中，AC與BD的交點(diǎn)為M.設(shè)，則下列向量中與相等的向量是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)的夾角為，則雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)為_(kāi)___14．若經(jīng)過(guò)點(diǎn)且斜率為1的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，則______.15．如圖，已知橢圓C1和雙曲線(xiàn)C2交于P1、P2、P3、P4四個(gè)點(diǎn)，F(xiàn)1和F2分別是C1的左右焦點(diǎn)，也是C2的左右焦點(diǎn)，并且六邊形是正六邊形.若橢圓C1的方程為，則雙曲線(xiàn)方程為_(kāi)_____.16．曲線(xiàn)的長(zhǎng)度為_(kāi)___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知A，B兩地相距200km，某船從A地逆水到B地，水速為8km/h，船在靜水中的速度為vkm/h（v＞8）．若船每小時(shí)的燃料費(fèi)與其在靜水中速度的平方成正比，比例系數(shù)為k，當(dāng)v＝12km/h，每小時(shí)的燃料費(fèi)為720元（1）求比例系數(shù)k（2）當(dāng)時(shí)，為了使全程燃料費(fèi)最省，船的實(shí)際前進(jìn)速度應(yīng)為多少？（3）當(dāng)（x為大于8的常數(shù)）時(shí)，為了使全程燃料費(fèi)最省，船的實(shí)際前進(jìn)速度應(yīng)為多少？18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊為a，b，c，其中，，且（1）求角B的值；（2）若，判斷△ABC的形狀19．（12分）某校從高一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取40名中學(xué)生，將他們的期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)(滿(mǎn)分100分，成績(jī)均為不低于40分的整數(shù))分成六段：，，…，所得到如圖所示的頻率分布直圖（1）求圖中實(shí)數(shù)的值；（2）若該校高一年級(jí)共有640人，試估計(jì)該校高一年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)不低于60分的人數(shù)；（3）若從數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱40，50)與[90，100]兩個(gè)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)選取兩名學(xué)生，求這2名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值不大于10的概率.20．（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，AB＝2，CD＝3，M為PC上一點(diǎn)，且PM＝2MC.（1）求證：BM∥平面PAD；（2）若AD＝2，PD＝3，∠BAD＝60°，求三棱錐P-ADM的體積21．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和22．（10分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，an＞0，a1＜2，6Sn＝（an+1）（an+2）.（1）求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列；（2）令，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】取的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，然后可得或其補(bǔ)角即為與所成角，然后在中求出答案即可.【詳解】取的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，，，所以或其補(bǔ)角即為與所成角，設(shè)，則，，在，，故選：A2、A【解析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，由于函數(shù)在給定區(qū)間上單調(diào)遞增，故恒成立.【詳解】由題意可得，，，，.故選：A3、C【解析】因?yàn)榫€(xiàn)段D1Q與OP互相平分，所以四點(diǎn)O，Q，P，D1共面，且四邊形OQPD1為平行四邊形．若P在線(xiàn)段C1D1上時(shí)，Q一定在線(xiàn)段ON上運(yùn)動(dòng)，只有當(dāng)P為C1D1的中點(diǎn)時(shí)，Q與點(diǎn)M重合，此時(shí)λ＝1，符合題意若P在線(xiàn)段C1B1與線(xiàn)段B1A1上時(shí)，在平面ABCD找不到符合條件Q；在P在線(xiàn)段D1A1上時(shí)，點(diǎn)Q在直線(xiàn)OM上運(yùn)動(dòng)，只有當(dāng)P為線(xiàn)段D1A1的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)M重合，此時(shí)λ＝0符合題意，所以符合條件的λ值有兩個(gè)故選C.4、D【解析】先求過(guò)右焦點(diǎn)且與漸近線(xiàn)垂直的直線(xiàn)方程，與漸近線(xiàn)方程聯(lián)立求點(diǎn)P的坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)間的距離公式，結(jié)合已知條件，得到關(guān)于a，c的關(guān)系式.【詳解】雙曲線(xiàn)的左右焦點(diǎn)分別為、，一條漸近線(xiàn)方程為，過(guò)與這條漸近線(xiàn)垂直的直線(xiàn)方程為，由，得到點(diǎn)P的坐標(biāo)為，又因?yàn)?，所以，所以，所?故選：D5、C【解析】先根據(jù)題意求出，然后再根據(jù)得出，最后通過(guò)計(jì)算得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，所以，又，，所以，即，解?故選：.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及向量垂直的相關(guān)性質(zhì)，熟記運(yùn)算法則即可，屬于常考題型.6、C【解析】設(shè)這個(gè)二面角的度數(shù)為，由題意得，從而得到，由此能求出結(jié)果.【詳解】設(shè)這個(gè)二面角的度數(shù)為，由題意得，，，解得，∴，∴這個(gè)二面角的度數(shù)為，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用向量的幾何運(yùn)算以及數(shù)量積研究面面角.7、B【解析】由等差數(shù)列的，及得數(shù)列是遞減的數(shù)列，因此可確定，然后利用等差數(shù)列的性質(zhì)求前項(xiàng)和，確定和的正負(fù)【詳解】∵，∴和異號(hào)，又?jǐn)?shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)，∴是遞減的數(shù)列，，由，所以，，∴滿(mǎn)足的最大自然數(shù)為4040故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題求滿(mǎn)足的最大正整數(shù)的值，關(guān)鍵就是求出，時(shí)成立的的值，解題時(shí)應(yīng)充分利用等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)求解,屬于中檔題.8、C【解析】根據(jù)立體幾何相關(guān)知識(shí)對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【詳解】對(duì)于A，根據(jù)公理2及推論可知，不共線(xiàn)的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，在一個(gè)平面內(nèi)，四邊相等的四邊形才一定是菱形，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，根據(jù)公理2及推論可知，兩條相交直線(xiàn)可以確定一個(gè)平面，故C正確；對(duì)于D，正四棱柱指上、下底面都是正方形且側(cè)棱垂直于底面的棱柱，側(cè)面可以是矩形，故D錯(cuò)誤.故選：C9、A【解析】利用等差中項(xiàng)求出的值，進(jìn)而可求得的值.【詳解】因?yàn)榈?，因此?故選：A.10、C【解析】由空間向量垂直的坐標(biāo)表示列方程即可求解.【詳解】因?yàn)橄蛄?，向量，若，則，解得：，故選：C.11、A【解析】根據(jù)題意求得，要判斷的形狀，只需要看是什么角即可，利用余弦定理判斷，從而可得結(jié)論.【詳解】解：由橢圓：，得，則，則，所以且為銳角，因?yàn)?，所以銳角，所以為銳角三角形.故選：A.12、B【解析】根據(jù)代入計(jì)算化簡(jiǎn)即可.【詳解】故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)已知條件求得，由此求得實(shí)軸長(zhǎng).【詳解】由于，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，所以雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)與軸夾角小于，由得，實(shí)軸長(zhǎng)故答案為：14、【解析】由題意寫(xiě)出直線(xiàn)的方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，得出韋達(dá)定理，由弦長(zhǎng)公式可得答案.【詳解】設(shè)，則直線(xiàn)的方程為由，得所以所以故答案為：15、【解析】先根據(jù)橢圓的方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)為正六邊形求得點(diǎn)的坐標(biāo)，即點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，然后解出方程即可【詳解】設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為：根據(jù)橢圓的方程可得：又為正六邊形，則點(diǎn)的坐標(biāo)為：則點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，可得：又解得：故答案為：16、【解析】曲線(xiàn)的圖形是：以原點(diǎn)為圓心，以2為半徑的圓的左半圓，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】解：由得，所以曲線(xiàn)（）的圖形是：以原點(diǎn)為圓心，以2為半徑的圓的左半圓，∴曲線(xiàn)（）的長(zhǎng)度是，故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）5（2）8km/h（3）答案見(jiàn)解析【解析】（1）列出關(guān)系式，根據(jù)當(dāng)v＝12km/h，每小時(shí)的燃料費(fèi)為720元即可求解;（2）列出燃料費(fèi)的函數(shù)解析式，利用導(dǎo)數(shù)求其最值即可；（3）討論x的范圍，結(jié)合（2）的結(jié)論可得答案.【小問(wèn)1詳解】設(shè)每小時(shí)的燃料費(fèi)為，則當(dāng)v＝12km/h，每小時(shí)的燃料費(fèi)為720元，代入得.【小問(wèn)2詳解】由（1）得.設(shè)全程燃料費(fèi)為y，則（），所以,令，解得v＝0（舍去）或v＝16，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)v＝16時(shí)，y取得最小值，故為了使全程燃料費(fèi)最省，船的實(shí)際前進(jìn)速度應(yīng)為8km/h【小問(wèn)3詳解】由（2）得，若時(shí)，則y在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)v＝x時(shí)，y取得最小值；若時(shí)，則y區(qū)間（8，16）上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)v＝16時(shí)，y取得最小值；綜上，當(dāng)時(shí)，船的實(shí)際前進(jìn)速度為8km/h，全程燃料費(fèi)最省；當(dāng)時(shí)，船的實(shí)際前進(jìn)速度應(yīng)為（x－8）km/h，全程燃料費(fèi)最省18、（1）（2）等邊三角形【解析】（1）把化為，然后由正弦定理化邊為角，利用兩角和的正弦公式、誘導(dǎo)公式可求得；（2）由余弦定理及三角形面積公式可得，從而得出三角形為等邊三角形【小問(wèn)1詳解】∵，∴由正弦定理得，∵，∴，∴，又，所以，可得；【小問(wèn)2詳解】由（１）知余弦定理，①，②由①②可得：，又，所以，所以該三角形為等邊三角形19、（1）a=0.03；（2）544人；（3）.【解析】（1）根據(jù)圖中所有小矩形的面積之和等于1求解.

（2）根據(jù)頻率分布直方圖，得到成績(jī)不低于60分的頻率，再根據(jù)該校高一年級(jí)共有學(xué)生640人求解.

（3）由頻率分布直方圖得到成績(jī)?cè)赱40，50)和[90，100]分?jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù)，先列舉出從數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱40，50)與[90，100]兩個(gè)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)選取兩名學(xué)生的基本事件總數(shù)，再得到兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值不大于10”的基本事件數(shù)，代入古典概型概率求解.【詳解】（1）∵圖中所有小矩形的面積之和等于1，∴10×(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1，解得a=0.03.

（2）根據(jù)頻率分布直方圖，成績(jī)不低于60分的頻率為1?10×(0.005+0.01)=0.85，

∵該校高一年級(jí)共有學(xué)生640人，

∴由樣本估計(jì)總體的思想，可估計(jì)該校高一年級(jí)數(shù)學(xué)成績(jī)不低于60分的人數(shù)約為640×0.85=544人.

（3）成績(jī)?cè)赱40，50)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù)為40×0.05=2人，分別記為A，B，

成績(jī)?cè)赱90，100]分?jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù)為40×0.1=4人，分別記為C，D，E，F(xiàn).

若從數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱40，50)與[90，100]兩個(gè)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)選取兩名學(xué)生，

則所有的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，(C，D)，(C，E)，

(C，F(xiàn))，(D，E)，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))共15種.

如果兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)都在[40，50)分?jǐn)?shù)段內(nèi)或都在[90，100]分?jǐn)?shù)段內(nèi)，

那么這兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值一定不大于10.

如果一個(gè)成績(jī)?cè)赱40，50)分?jǐn)?shù)段內(nèi)，另一個(gè)成績(jī)?cè)赱90，100]分?jǐn)?shù)段內(nèi)，

那么這兩名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值一定大于10.

記“這兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值不大于10”為事件M，

則事件M包含的基本事件有：(A，B)，(C，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，(D，E)，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))共7種.

∴所求概率為P(M)=.【點(diǎn)睛】本題主要考查頻率分布直方圖的應(yīng)用以及古典概型概率的求法，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.20、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）過(guò)M作MN∥CD交PD于點(diǎn)N，證明四邊形ABMN為平行四邊形，即可證明BM∥平面PAD.（2）過(guò)B作AD的垂線(xiàn)，垂足為E，證明BE⊥平面PAD，在利用VP-ADM＝VM-PAD求三棱錐P-ADM的體積.【詳解】解：（1）證明：如圖，過(guò)M作MN∥CD交PD于點(diǎn)N，連接AN.∵PM＝2MC，∴MN＝CD.又AB＝CD，且AB∥CD∴AB∥MN∴四邊形ABMN為平行四邊形∴BM∥AN.又BM?平面PAD，AN?平面PAD∴BM∥平面PAD.（2）如圖，過(guò)B作AD的垂線(xiàn)，垂足為E.∵PD⊥平面ABCD，BE?平面ABCD∴PD⊥BE.又AD?平面PAD，PD?平面PAD，AD∩PD＝D∴BE⊥平面PAD.由（1）知，BM∥平面PAD∴點(diǎn)M到平面PAD的距離等于點(diǎn)B到平面PAD的距離，即BE.連接BD，在△ABD中，AB＝AD＝2，∠BAD＝60°，∴BE＝則三棱錐P-ADM的體積VP-ADM＝VM-PAD＝×S△PAD×BE＝×3×＝.21、（1）（2）【解析】（1）利用與的關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用錯(cuò)位相減法求和即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，故?dāng)時(shí)，，兩式相減