專題10.8二項(xiàng)分布、超幾何分布與正態(tài)分布（舉一反三講義）【全國通用】TOC\o"13"\h\u【題型1二項(xiàng)分布】 3【題型2獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率問題】 4【題型3超幾何分布】 6【題型4二項(xiàng)分布與超幾何分布綜合】 10【題型5正態(tài)密度曲線】 14【題型6根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性求參數(shù)】 17【題型73σ原則】 18【題型8正態(tài)分布與其他知識綜合】 201、二項(xiàng)分布、超幾何分布與正態(tài)分布考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計考情分析(1)理解二項(xiàng)分布、超幾何分布的概念，能解決一些簡單的實(shí)際問題(2)借助正態(tài)曲線了解正態(tài)分布的概念，并進(jìn)行簡單應(yīng)用2023年全國甲卷（理數(shù)）：第19題，12分2024年新高考I卷：第9題，6分2025年天津卷：第5題，5分2025年天津卷：第13題，5分從近幾年的高考情況來看，本節(jié)是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，主要考查二項(xiàng)分布、超幾何分布及其期望與方差、正態(tài)分布等內(nèi)容，正態(tài)分布主要以選擇題、填空題的形式考查，難度不大；在填空題、解答題中主要考查二項(xiàng)分布、超幾何分布的期望與方差問題，有時會與統(tǒng)計、獨(dú)立性檢驗(yàn)等結(jié)合考查，難度中等偏難，關(guān)鍵在于求出概率列出分布列，復(fù)習(xí)時需要加強(qiáng)這方面的練習(xí).知識點(diǎn)1二項(xiàng)分布1．伯努利試驗(yàn)(1)伯努利試驗(yàn)的概念把只包含兩個可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn).(2)n重伯努利試驗(yàn)的兩個特征①同一個伯努利試驗(yàn)重復(fù)做n次；②各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立.2．二項(xiàng)分布3．二項(xiàng)分布的期望與方差一般地，如果X~B(n，p)，那么E(X)=np，D(X)=np(1p).4．判斷某隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布的關(guān)鍵點(diǎn)(1)在每一次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率相同.(2)各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的.(3)在每一次試驗(yàn)中，試驗(yàn)的結(jié)果只有兩個，即發(fā)生與不發(fā)生.知識點(diǎn)2超幾何分布1．超幾何分布(1)定義若隨機(jī)變量X服從超幾何分布，則其均值E(X)==np.(2)求超幾何分布的分布列①判斷隨機(jī)變量是不是服從超幾何分布；②套用超幾何分布中的概率公式，注意理解公式中各量的意義.2．“二項(xiàng)分布”與“超幾何分布”的區(qū)別有放回抽取問題對應(yīng)二項(xiàng)分布，不放回抽取問題對應(yīng)超幾何分布，當(dāng)總體容量很大時，超幾何分布可近似為二項(xiàng)分布來處理.3．超幾何分布的應(yīng)用(1)超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機(jī)變量為抽到的某類個體的個數(shù).超幾何分布的特征是：①考察對象分兩類；②已知各類對象的個數(shù)；③從中抽取若干個個體，考查某類個體數(shù)X的分布列.(2)超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其本質(zhì)是古典概型.知識點(diǎn)3正態(tài)分布及其解題策略1．正態(tài)分布(1)正態(tài)曲線(2)正態(tài)分布若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x)，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記為X~N(μ,σ2).特別地，當(dāng)μ=0，σ=1時，稱隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.(3)正態(tài)分布的均值和方差若X~N(μ,σ2)，則E(X)=μ，D(X)=σ2.2．3σ原則(1)正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率P(μσ≤X≤μ+σ)≈0.6827；P(μ2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545；P(μ3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.(2)3σ原則在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從正態(tài)分布N(μ,σ2)的隨機(jī)變量X只取[μ3σ，μ+3σ]中的值，這在統(tǒng)計學(xué)中稱為3σ原則.3．正態(tài)分布問題的解題策略解決正態(tài)分布問題有三個關(guān)鍵點(diǎn)：(1)對稱軸x=μ；(2)標(biāo)準(zhǔn)差σ；(3)分布區(qū)間.利用對稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值；由μ，σ，分布區(qū)間的特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為3σ特殊區(qū)間，從而求出所求概率.注意只有在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下對稱軸才為x=0.【方法技巧與總結(jié)】1．二項(xiàng)分布當(dāng)n=1時就是兩點(diǎn)分布.3．若X服從正態(tài)分布，即X~N(μ,σ2)，要充分利用正態(tài)曲線關(guān)于直線x=μ對稱和曲線與x軸之間的面積為1解題.【題型1二項(xiàng)分布】【例1】（2025·山東青島·三模）若隨機(jī)變量X~B(4,p)，D(X)=1，則P(X=3)=（

）A．16 B．14 C．12【答案】B【解題思路】由二項(xiàng)分布的方差公式列方程求得p=1【解答過程】由題設(shè)D(X)=4p(1?p)=1，可得p=1所以P(X=3)=C故選：B.【變式11】（2025·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測）已知隨機(jī)變量X~Bn,12，若EX=4A．12 B．1 C．2 D．【答案】C【解題思路】利用二項(xiàng)分布的期望公式求出n的值，然后利用二項(xiàng)分布的方差公式可求得DX【解答過程】因?yàn)殡S機(jī)變量X~Bn,12，則E故DX故選：C.【變式12】（2025·福建廈門·三模）已知隨機(jī)變量X～Bn,12，若EX=2A．14 B．38 C．12【答案】B【解題思路】由二項(xiàng)分布的期望和概率性質(zhì)計算即可.【解答過程】EX=n×1所以PX=2故選：B.【變式13】（2025·甘肅·模擬預(yù)測）某地組織一場知識競賽，要求每位參賽選手作答6道試題，已知甲選手答對每道試題的概率均為23，且每道試題答對與否相互獨(dú)立，記甲選手答對的試題數(shù)為X，則E2X+1=A．16 B．12 C．9 D．8【答案】C【解題思路】先根據(jù)二項(xiàng)分布期望公式求出E(X)，再利用期望的性質(zhì)求出E(2X+1).【解答過程】由題可知X～B6,則EX故選：C.【題型2獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率問題】【例2】（2025·河南南陽·一模）袋中有5個白球，3個紅球，現(xiàn)從袋中往外取球，每次任取一個記下顏色后放回，直到紅球出現(xiàn)10次時停止，設(shè)停止時共取了ξ次球，則Pξ=12等于（

A．C12103810?582 B．【答案】B【解題思路】根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率的計算可得答案.【解答過程】當(dāng)ξ=12時，表示前11次中取到9次紅球，第12次取到紅球，所以Pξ=12故選：B.【變式21】（2025·江西新余·一模）2024年巴黎奧運(yùn)會乒乓球比賽，中國隊(duì)表現(xiàn)出色，包攬全部乒乓金牌，其中混雙是中國歷史上第一塊奧運(yùn)乒乓球混雙金牌，由王楚欽和孫穎莎組成的“莎頭”組合對戰(zhàn)朝鮮隊(duì)，最終以4:2的比分贏得勝利.假設(shè)2025年的一次乒乓球比賽中，“莎頭”組合再次遇到朝鮮隊(duì)，采用7局4勝制（先勝4局者勝，比賽結(jié)束），已知每局比賽“莎頭”組合獲勝的概率為23，則“莎頭”組合再次以4:2獲勝的概率為（

A．80729 B．160729 C．80243【答案】B【解題思路】分析“莎頭”組合以4:2獲勝，即前5局“莎頭”組合勝3局、負(fù)2局，第6局“莎頭”組合獲勝，利用二項(xiàng)分布的概率公式計算可得.【解答過程】“莎頭”組合再次以4:2獲勝，即前5局“莎頭”組合勝3局、負(fù)2局，第6局“莎頭”組合獲勝，所以“莎頭”組合再次以4:2獲勝的概率P=C故選：B.【變式22】（2025·黑龍江·三模）袋中裝有標(biāo)號為1，2，3，4，5且質(zhì)地、大小相同的5個小球，從袋子中一次性摸出兩個球，記下號碼并放回，如果兩個號碼的和是偶數(shù)，則獲獎.若有4人參與摸球，則恰好2人獲獎的概率是（

）A．216625 B．324625 C．89【答案】A【解題思路】先確定摸一次中獎的概率，4個人摸獎，相當(dāng)于發(fā)生4次試驗(yàn)，根據(jù)每一次發(fā)生的概率，利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的公式得到結(jié)果．【解答過程】從袋子中一次性摸出兩個球，共有C5其中兩個號碼的和為偶數(shù)的有{1,3}，{1,5}，{2,4}，{3,5}共4種情況，所以一個人摸球，能夠獲獎的概率為410所以4人參與摸球，恰好2人獲獎的概率p=C故選：A.【變式23】（2526高二上·全國·單元測試）英國生物統(tǒng)計學(xué)家高爾頓設(shè)計了高爾頓釘板來研究隨機(jī)現(xiàn)象．如圖是一個高爾頓釘板的設(shè)計圖，每個黑點(diǎn)表示釘在板上的一顆釘子，它們彼此的距離均相等，上一層的每一顆釘子恰好位于下一層兩顆釘子的正中間，小球每次下落，將隨機(jī)地向兩邊等概率下落．?dāng)?shù)學(xué)課堂上，老師向?qū)W生們介紹了高爾頓釘板，放學(xué)后，愛動腦的小明設(shè)計了一個不一樣的“高爾頓釘板”，它使小球從釘板上一層的兩顆釘子之間落下后砸到下一層的釘子上時，向左下落的概率為向右下落的概率的2倍．當(dāng)有大量的小球依次滾下時，最終都落入釘板下面的5個不同位置．若一個小球從正上方落下，則經(jīng)過5層釘板最終落到4號位置的概率是（

）A．881 B．1681 C．827【答案】A【解題思路】根據(jù)n重伯努利試驗(yàn)的特征和知識進(jìn)行求解即可.【解答過程】向左下落的概率為向右下落的概率的2倍，所以向左下落的概率為23，向右下落的概率為1又下落過程中向左一次，向右三次才能最終落到4號位置，故此時概率為C4故選：A.【題型3超幾何分布】【例3】（2425高二下·湖北省直轄縣級單位·期末）從裝有4個白球，2個紅球的盒子中逐個不放回地摸取小球.若每取出1個紅球得2分，每取出1個白球得1分，按照規(guī)則從盒子中任意抽取2個球，所得分?jǐn)?shù)的期望為（

）A．43 B．2 C．83 【答案】C【解題思路】根據(jù)取出小球的所有情況寫出得分X的所有可能值，根據(jù)超幾何公式求得各個取值對應(yīng)X的概率，進(jìn)而得到其分布列，求出期望.【解答過程】設(shè)得分為X，根據(jù)題意可以取4,3,2，.則PX=4=C22則分布列為：X432P186所以得分期望為EX故選：C.【變式31】（2425高二下·江蘇南京·期中）已知甲袋中裝有3個紅球、2個白球；乙袋中裝有1個紅球、3個白球．從甲、乙袋中各隨機(jī)摸出2個球，設(shè)X為摸出的紅球總數(shù)，則X的期望值EX是（

A．1.2 B．1.4 C．1.7 D．1.8【答案】C【解題思路】設(shè)Y為從甲袋中摸出的紅球數(shù)，Z為從乙袋中摸出的紅球數(shù)，則Y與Z都服從超幾何分布，根據(jù)超幾何分布期望的求法即可求解.【解答過程】設(shè)Y為從甲袋中摸出的紅球數(shù)，Z為從乙袋中摸出的紅球數(shù)，則Y服從超幾何分布，故EY=2×3故EX故選：C．【變式32】（2025·河北張家口·三模）為大力弘揚(yáng)中華民族尊老、敬老、愛老的傳統(tǒng)美德，某醫(yī)院從A，B兩個科室的志愿者中隨機(jī)抽調(diào)4人為某社區(qū)養(yǎng)老院的老人進(jìn)行“免費(fèi)健康體檢”活動，已知A，B兩個科室中的志愿者分布如下：

類別科室志愿者醫(yī)生護(hù)士A科室23B科室33(1)求抽到的4人中，恰好有2名醫(yī)生，且這2名醫(yī)生恰好來自同一科室的概率；(2)設(shè)X為選出的4人中醫(yī)生的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)2(2)分布列見解析，E【解題思路】（1）利用組合計數(shù)原理結(jié)合古典概型的概率公式即可求解；（2）分析可知，隨機(jī)變量X的所有可能取值為0、1、2、3、4，計算出隨機(jī)變量X在不同取值下的概率，可得出隨機(jī)變量X的分布列，進(jìn)而可求得EX【解答過程】（1）由已知，恰好有2名醫(yī)生的情況包含這2名醫(yī)生都來自A科室和都來自B科室，有C22C所以所求的概率為C2（2）隨機(jī)變量X的所有可能取值為0、1、2、3、4，PX=0=CPX=2=C52所以隨機(jī)變量X的分布列為X01234P110521所以EX【變式33】（2025·河北·三模）某短視頻平臺在2025年上半年推出了新一代的“AI推薦算法”，為了檢測受眾情況，該公司從點(diǎn)贊的用戶中隨機(jī)選取100名志愿者統(tǒng)計他們的年齡，并按年齡差異繪制如下頻率分布直方圖.(1)估計這100名志愿者年齡的中位數(shù)（結(jié)果精確到0.01）和平均數(shù)；(2)依據(jù)上述調(diào)研結(jié)果，按照各年齡段人數(shù)的比例，用分層隨機(jī)抽樣的方法從這100名志愿者中隨機(jī)選取20名志愿者參加座談會，為了更好地了解年輕人群體，需要從參加座談會的年齡在25,45的人中隨機(jī)選出3人作為代表發(fā)言，設(shè)隨機(jī)變量X表示代表年齡在25,35的志愿者人數(shù)，求X的分布列及期望.【答案】(1)估計這100名志愿者年齡的中位數(shù)和平均數(shù)分別為42.14和41.5(2)分布列見解析，E【解題思路】（1）根據(jù)中位數(shù)和平均數(shù)的計算公式即可求解；（2）根據(jù)分層抽樣計算出年齡在25,45的人數(shù)和年齡在25,35的人數(shù).由題知年齡在25,35的志愿者人數(shù)X服從超幾何分布，X的所有可能取值為0，1，2，3，根據(jù)超幾何分布的概率分布列公式求出X取每個值對應(yīng)的概率，即可求解X的分布列，根據(jù)離散型隨機(jī)變量的期望公式即可求出X的期望.【解答過程】（1）由頻率分布直方圖可知：因?yàn)榍皟山M的頻率之和為0.01+0.015×10=0.25前三組的頻率之和為0.01+0.015+0.035×10=0.6所以中位數(shù)位于區(qū)間35,45中，中位數(shù)的估計值為35+10×0.5?0.25由頻率分布直方圖可知：樣本平均數(shù)的估計值為20×0.01×10+30×0.015×10+40×0.035×10+50×0.03×10+60×0.01×10=41.5.故估計這100名志愿者年齡的中位數(shù)和平均數(shù)分別為42.14和41.5.（2）由題可知從中選取的20名志愿者中，年齡在25,45的有20×0.015+0.035其中年齡在25,35的有20×0.015×10=3人.由題知年齡在25,35的志愿者人數(shù)X服從超幾何分布，X的所有可能取值為0，1，2，3，PX=0=CPX=2=C所以X的分布列為：X0123P72171X的期望EX【題型4二項(xiàng)分布與超幾何分布綜合】【例4】（2425高三下·陜西西安·階段練習(xí)）盲盒中有大小相同的3個紅球，2個黑球，隨機(jī)有放回的摸兩次球，記X為摸到黑球的個數(shù)，隨機(jī)無放回的摸兩次球，記Y為摸到黑球的個數(shù)，則（

）A．EX<EY，DX>DC．EX<EY，DX<D【答案】B【解題思路】根據(jù)二項(xiàng)分布求EX,DX【解答過程】由題意可知：X～B2,25且Y的可能取值為0，1，2，則PY=0可得EYDY所以EX=EY故選：B.【變式41】（2425高二下·浙江·期中）一個不透明的袋子有10個除顏色不同外，大小、質(zhì)地完全相同的球，其中有6個黑球，4個白球．現(xiàn)進(jìn)行如下兩個試驗(yàn)，試驗(yàn)一：逐個不放回地隨機(jī)摸出3個球，記取到白球的個數(shù)為X1，期望方差分別為EX1,DX1；試驗(yàn)二：逐個有放回地隨機(jī)摸出3個球，記取到白球的個數(shù)為A．EX1=EC．EX1>E【答案】A【解題思路】利用超幾何分布和二項(xiàng)分布知識分別計算從中隨機(jī)地?zé)o放回摸出3個球、從中隨機(jī)地有放回摸出3個球的期望、方差，再做比較可得答案．【解答過程】試驗(yàn)一：從中隨機(jī)地?zé)o放回摸出3個球，記白球的個數(shù)為X1則X1則P(X1P(X1=2)=故隨機(jī)變量X1X0123P1131則數(shù)學(xué)期望為：E(X方差為：D(X試驗(yàn)二：從中隨機(jī)地有放回摸出3個球，則每次摸到白球的概率為410則X2故E(X2)=3×故E(X1)=E(故選：A．【變式42】（2025·北京通州·一模）某藝術(shù)研究中心對春節(jié)檔6部影片觀眾滿意度進(jìn)行調(diào)查，評分如下第一部第二部第三部第四部第五部第六部普通觀眾評分87.285.484.984.984.783.6專業(yè)觀眾評分88.780.081.677.476.172.2(1)從這6部影片中隨機(jī)選取1部，恰好選到普通觀眾評分與專業(yè)觀眾評分都低于85分的影片的概率；(2)現(xiàn)有4名觀眾，每位觀眾從這6部影片中各隨機(jī)選取1部觀看.（ⅰ）若不同觀眾可選相同影片（假設(shè)每位觀眾的選擇相互獨(dú)立），記X為選到普通觀眾評分與專業(yè)觀眾評分都低于85分的影片的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望EX（ⅱ）若任意2名觀眾不能選看相同影片，記Y為選到普通觀眾評分與專業(yè)觀眾評分都低于85分的影片的人數(shù)，試比較這種情況下數(shù)學(xué)期望EY與（ⅰ）中E【答案】(1)P(A)=(2)（?。┓植剂幸娊馕?；E(X)=83【解題思路】（1）運(yùn)用古典概型概率公式計算；（2）（?。┲星骕的分布列就是確定X的所有可能取值，結(jié)合二項(xiàng)分布求每個取值的概率.進(jìn)而得到分布列和均值；（ⅱ）運(yùn)用超幾何分布求出E(Y)，與E(X)比較即可.【解答過程】（1）已知事件A為“抽到的影片普通觀眾評分與專業(yè)觀眾評分都低于85分”，題中給出有4部影片滿足該條件，而影片總數(shù)為6部.根據(jù)古典概型概率公式，所以P(A)=4（2）（?。┮李}意，X的可能取值為0，1，2，3，4.因?yàn)槊看纬槿∈录嗷オ?dú)立，且抽到普通觀眾評分與專業(yè)觀眾評分都低于85分的影片的概率為p=23，共抽取4次，所以X服從參數(shù)n=4，p=2根據(jù)二項(xiàng)分布概率公式P(X=k)=CP(X=0)=CP(X=1)=C41P(X=3)=CP(X=4)=C列出X的分布列：X01234P1883216E(X)=0×==8+48+96+6481（ⅱ）確定Y服從的分布及參數(shù)：6部影片中有4部普通觀眾評分與專業(yè)觀眾評分都低于85分的影片，4名觀眾任意2名觀眾不能選看相同影片，所以Y服從超幾何分布，其中N=6，M=4，n=4.求E(Y)：根據(jù)超幾何分布的數(shù)學(xué)期望公式E(Y)=nMN，可得比較大小：因?yàn)镋(Y)=83，E(X)=8【變式43】（2025·上海長寧·二模）為響應(yīng)國家促進(jìn)消費(fèi)的政策，某大型商場舉辦了“消費(fèi)滿減樂翻天”的優(yōu)惠活動，顧客消費(fèi)滿800元（含800元）可抽獎一次，抽獎方案有兩種（顧客只能選擇其中的一種）方案1：從裝有5個紅球，3個藍(lán)球（形狀、大小完全相同）的抽獎盒中，有放回地依次摸出3個球．每摸出1次紅球，立減150元，若3次都摸到紅球，則額外再減200元（即總共減650元）；方案2：從裝有5個紅球，3個藍(lán)球（形狀、大小完全相同）的抽獎盒中，不放回地依次摸出3個球．中獎規(guī)則為：若摸出3個紅球，享受免單優(yōu)惠；若摸出2個紅球，則打5折；其余情況無優(yōu)惠．(1)顧客A選擇抽獎方案2，已知他第一次摸出紅球，求他能夠享受優(yōu)惠的概率；(2)顧客B恰好消費(fèi)了800元，①若他選擇抽獎方案1，求他實(shí)付金額的分布列和期望（結(jié)果精確到0.01）；②試從實(shí)付金額的期望值分析顧客B選擇何種抽獎方案更合理．【答案】(1)6(2)①分布列見解析，EX≈469.92【解題思路】（1）設(shè)事件M表示“第一次摸到紅球”，事件N表示“能夠享受優(yōu)惠”，求解在第一次摸到紅球后，從7個球中不放回摸2個球的情況和摸出兩球?yàn)榧t球和一紅一藍(lán)兩種情況的種數(shù)，即可求解；（2）①設(shè)顧客B選擇抽獎方案1時實(shí)付金額為X元，由二項(xiàng)分布即可求解；②設(shè)顧客B選擇抽獎方案2時實(shí)付金額為Y元，根據(jù)超幾何分布求得均值，比較隨機(jī)變量X和Y的均值即可判斷.【解答過程】（1）設(shè)事件M表示“第一次摸到紅球”，事件N表示“能夠享受優(yōu)惠”，在第一次摸到紅球后，抽獎盒中還剩4個紅球和3個藍(lán)球，共7個球，享受優(yōu)惠包含摸出2個紅球和摸出3個紅球這兩種情況，從7個球中不放回摸2個球，總情況有A7摸出兩個紅球的情況有A4摸出1紅1藍(lán)的情況有C4所以PN（2）①設(shè)顧客B選擇抽獎方案1時實(shí)付金額為X元，從裝有5個紅球，3個藍(lán)球的抽獎盒中摸一個球，摸到紅球的概率為58，摸到藍(lán)球的概率為3當(dāng)摸出0個紅球時，PX=800當(dāng)摸出1個紅球時，PX=650當(dāng)摸出2個紅球時，PX=500當(dāng)摸出3個紅球時，PX=150所以實(shí)付金額的分布列為X800650500150P27135225125實(shí)付金額的期望為EX②設(shè)顧客B選擇抽獎方案2時實(shí)付金額為Y元，當(dāng)摸出0個紅球或1個紅球時，PY=800當(dāng)摸出2個紅球時，PY=400當(dāng)摸出3個紅球時，PY=0所以EY所以EY<EX【題型5正態(tài)密度曲線】【例5】（2025·天津·二模）如圖是兩個正態(tài)分布的密度函數(shù)圖象，則下列表述正確的是（

）A．μ1>μ2，σ1C．μ1<μ2，σ1【答案】C【解題思路】根據(jù)給定的函數(shù)圖象，結(jié)合正態(tài)分布的密度函數(shù)圖象性質(zhì)判斷即得.【解答過程】令ξ1～N(μ則函數(shù)f(x),g(x)圖象的對稱軸分別為x=μ1,x=觀察圖象，得μ1<μ2，1σ故選：C.【變式51】（2025·安徽·模擬預(yù)測）已知連續(xù)型隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(1,4)，其密度函數(shù)為f(x)=122π?e?(x?1)28，記函數(shù)A．關(guān)于直線x=1對稱 B．關(guān)于直線x=1C．關(guān)于點(diǎn)1,12對稱 D．關(guān)于點(diǎn)【答案】C【解題思路】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性可求得正確的選項(xiàng).【解答過程】因?yàn)棣畏恼龖B(tài)分布N(1,4)，故P(ξ≤x)+P(ξ≤2?x)=1，故φ(x)+φ(2?x)=1，故φ(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)1,1故選：C.【變式52】（2425高二下·陜西寶雞·期末）已知三個正態(tài)分布密度函數(shù)fix=A．μ1=B．μ1<C．μ1<D．μ1=【答案】B【解題思路】結(jié)合正態(tài)分布密度函數(shù)中參數(shù)μ表示其均值大小，σ表示離散程度，利用圖象形狀即可判斷出結(jié)論.【解答過程】根據(jù)正態(tài)分布密度函數(shù)中參數(shù)μ，結(jié)合圖象可知f2x，f3且都在f1x的右側(cè)，即比較f1x和f2又f3x的離散程度比f1x和故選：B.【變式53】（2425高二下·湖南岳陽·期末）設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N30,62，Y服從正態(tài)分布N34,2A．P24≤X≤36=P32≤Y≤36C．PX≤24>PY≤24【答案】D【解題思路】根據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.【解答過程】根據(jù)題意，隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N30,62Y服從正態(tài)分布N34,22A選項(xiàng)：P24≤X≤36P32≤Y≤36故P24≤X≤36B選項(xiàng)：PPY≤34=1C選項(xiàng)：PX≤24PY≤24所以PX≤24D選項(xiàng)：PX≤38PY≤38所以PX≤38故選：D.【題型6根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性求參數(shù)】【例6】（2025·河南許昌·三模）已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N2.3,σ2，且P2.3<X≤4.2=0.23A．m=0.73 B．m=0.77 C．0.5<m<0.73 D．m>0.73【答案】D【解題思路】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性，可得答案.【解答過程】易得0.4+4.22由正態(tài)分布的對稱性可得P0.4<X≤2.3故PX>0.4=P0.4<X≤2.3故選：D.【變式61】（2025·河北邯鄲·模擬預(yù)測）已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N4,σ2，若P2<ξ<6=3p，PA．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1【答案】C【解題思路】利用正態(tài)分布曲線的性質(zhì)，再根據(jù)條件，即可求出結(jié)果.【解答過程】解析：由已知得正態(tài)曲線關(guān)于直線x=4對稱，∴Pξ≥6∴p+3p+p=1，解得p=0.2，故選：C．【變式62】（2025·福建廈門·一模）已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N1,σ2，若PX≤a=0.3，且PA．1 B．?12 C．0 【答案】C【解題思路】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性，即可求得答案.【解答過程】由題意知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N1,σ2如圖所示，結(jié)合Pa≤X≤a+2=0.4，得可知a,a+2關(guān)于x=1對稱，所以a+a+2=2×1，解得a=0，故選：C．【變式63】（2025·湖南益陽·三模）某生產(chǎn)線正常生產(chǎn)下生產(chǎn)的產(chǎn)品A的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)X近似服從正態(tài)分布N5,σ2，若PX≤a=PA．1 B．3 C．4 D．9【答案】B【解題思路】根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性計算可得.【解答過程】因?yàn)閄～N5,σ2所以a+1+2a=2×5，解得故選：B.【題型73σ原則】【例7】（2025·安徽·模擬預(yù)測）某校高三學(xué)生的?？紨?shù)學(xué)成績X服從正態(tài)分布N105,102，按照16%、34%、34%、附：Pμ?σ≤X≤μ+σ≈0.6827，Pμ?2σ≤X≤μ+2σA．優(yōu)秀 B．良好 C．合格 D．基本合格【答案】B【解題思路】利用正態(tài)分布的3σ原則即可求解.【解答過程】由題意可知μ=105，σ=10，所以μ+σ=115，μ?σ=95，因?yàn)镻μ?σ≤X≤μ+σ所以PX>115≈1?0.6827因?yàn)镻105<X≤115≈0.68272=0.34135≈34P95≤x<105≈0.68272=0.34135≈34PX<95≈1?0.6827因?yàn)樾埖臄?shù)學(xué)成績?yōu)?12分，則他的等級是良好.故選：B.【變式71】（2025·河北秦皇島·模擬預(yù)測）某地區(qū)組織了一次高三模擬考試，對該地區(qū)3000名考生的考試成績進(jìn)行統(tǒng)計分析發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)成績X近似服從正態(tài)分布X～Nμ,152（參考數(shù)據(jù)：若X~Nμ,σ2，有P(μ?σ<X≤μ+σ)≈0.683，P(μ?2σ<X≤μ+2σ)≈0.954A．580 B．480 C．380 D．280【答案】B【解題思路】利用正態(tài)分布的對稱性得μ=85，進(jìn)而有P(X>100)=P(X>μ+σ)，根據(jù)已知及對稱性求概率，即可估計人數(shù).【解答過程】由題設(shè)P(X>105)=P(X<65)，結(jié)合正態(tài)分布的對稱性知μ=105+652=85所以P(X>100)=P(X>85+15)=P(X>μ+σ)=1?P(μ?σ<X≤μ+σ)所以本次考試的數(shù)學(xué)成績高于100分的人數(shù)大約為3000×0.1585≈475.5，故大約480人.故選：B.【變式72】（2025·廣東·二模）某林業(yè)科學(xué)院培育新品種草莓，新培育的草莓單果質(zhì)量X（單位：g）近似服從正態(tài)分布N(50,4)，現(xiàn)有該新品種草莓10000個，估計其中單果質(zhì)量超過52g的草莓有（

）附：若X~Nμ,σ2A．228個 B．456個 C．1587個 D．3174個【答案】C【解題思路】根據(jù)正態(tài)分布特殊區(qū)間的概率可求出結(jié)果.【解答過程】由N(50,4)可知μ=50,σ=2，則P(X>52)=1故其中單果質(zhì)量超過52g的草莓約有10000×0.1587=1587個．故選：C.【變式73】（2025·四川南充·三模）某市20000名學(xué)生參加一次數(shù)學(xué)測試（滿分150分），學(xué)生的測試成績X近似服從正態(tài)分布N100,102，則測試成績在90,100附：（若X～Nμ,σ2，則PA．2717 B．2718 C．6827 D．9545【答案】C【解題思路】先根據(jù)正態(tài)分布的對稱性，求P90≤X≤100，再估計測試成績在90,100【解答過程】因?yàn)镻90≤X≤100=Pμ?σ≤X≤μ=12P所以測試成績在90,100內(nèi)的學(xué)生人數(shù)約為：20000×0.34135=6827.故選：C.【題型8正態(tài)分布與其他知識綜合】【例8】（2025·河南·三模）為豐富學(xué)生的課余生活，某地舉辦了2025年數(shù)學(xué)文化知識挑戰(zhàn)賽，舉辦方從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的成績，并進(jìn)行統(tǒng)計整理，現(xiàn)將成績（滿分100分）劃分為四個分?jǐn)?shù)段：20,40，40,60，60,80，80,100．已知m=2n，各分?jǐn)?shù)段人數(shù)的頻數(shù)統(tǒng)計如下表：分?jǐn)?shù)段20,4040,6060,8080,100頻數(shù)1030mn(1)求m，n的值；(2)按成績進(jìn)行分層，采用分層隨機(jī)抽樣的方法從這100人中抽取10人，再從這10人中隨機(jī)抽取4人，設(shè)抽到的4人中成績在60,100內(nèi)的人數(shù)為X，求X的分布列與期望；(3)由以往比賽成績的數(shù)據(jù)分析可知，學(xué)生成績T～N64,121．已知今年該地共有20000名學(xué)生參加比賽，估計成績在86,97參考數(shù)據(jù)：若T～Nμ,σ2，則Pμ?σ≤T≤μ+σ≈0.6827【答案】(1)n=20,m=40(2)分布列見解析，E(X)=2.4(3)428【解題思路】（1）根據(jù)頻數(shù)總和為樣本總數(shù)的性質(zhì)來求解m和n的值.（2）先根據(jù)分層隨機(jī)抽樣的特征，確定抽取的10人中，成績在[60,100]內(nèi)的人數(shù)，再確定X的取值，通過組合數(shù)公式計算每個取值的概率，進(jìn)而得到分布列和期望.（3）先求出μ和σ，再利用正態(tài)分布的性質(zhì)和參考數(shù)據(jù)計算成績在[86,97]內(nèi)的概率，最后根據(jù)總?cè)藬?shù)估計該區(qū)間內(nèi)的學(xué)生人數(shù).【解答過程】（1）已知抽取的學(xué)生總數(shù)為100名，即各分?jǐn)?shù)段頻數(shù)之和為100，可得到方程10+30+m+n=100，化簡得m+n=60.又因?yàn)閙=2n，解得n=20，m=2×20=40.（2）計算分層抽樣后成績在[60,100]內(nèi)的人數(shù)：成績在[60,100]內(nèi)的頻數(shù)為m+n=40+20=60人.從100人中抽取10人，根據(jù)分層抽樣的特征，抽取的10人中成績在[60,100]內(nèi)的人數(shù)為60100×10=6人，那么成績不在[60,100]內(nèi)的人數(shù)為X表示抽到的4人中成績在[60,100]內(nèi)的人數(shù)，所以X的可能取值為0，1，2，3，4.計算X取各個值的概率：P(X=0)=CP(X=1)=CP(X=2)=CP(X=3)=CP(X=4)=C6列出X的分布列：X01234P14381可得E(X)=0×1（3）已知T~N(64,121)，則μ=64，σ=121μ+2σ=64+2×11=86，μ+3σ=64+3×11=97.P(86≤T≤97)=P(μ?3σ≤T≤μ+3σ)?P(μ?2σ≤T≤μ+2σ)今年該地共20000名學(xué)生參加比賽，所以成績在[86,97]內(nèi)的學(xué)生人數(shù)約為20000×0.0214=428人.【變式81】（2025·陜西寶雞·二模）某企業(yè)對某品牌芯片開發(fā)了一條生產(chǎn)線進(jìn)行試產(chǎn)．其芯片質(zhì)量按等級劃分為五個層級，分別對應(yīng)如下五組質(zhì)量指標(biāo)值：45,55、55,65、65,75、75,85、85,95．根據(jù)長期檢測結(jié)果，發(fā)現(xiàn)芯片的質(zhì)量指標(biāo)值X服從正態(tài)分布Nμ,σ(1)根據(jù)檢測結(jié)果，樣本中芯片質(zhì)量指標(biāo)值的標(biāo)準(zhǔn)差s的近似值為11，用樣本平均數(shù)x作為μ的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計值，可得到X服從的正態(tài)分布Nμ,σ2．求(2)從樣本中質(zhì)量指標(biāo)值在45,55和85,95的芯片中隨機(jī)抽取3件，記其中質(zhì)量指標(biāo)值在85,95的芯片件數(shù)為η，求η的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)將指標(biāo)值不低于K的芯片稱為A等品．通過對芯片長期檢測發(fā)現(xiàn)，在生產(chǎn)線任意抽取一件芯片，它為A等品的概率為0.16，用第（1）問結(jié)果試估計K的值．（附：①同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表；②參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布Nμ,σ2，則Pμ?σ<ξ<μ+σ【答案】(1)a=0.025，μ=69(2)分布列見解析，E(3)K≈80【解題思路】（1）由在頻率分布直方圖可知，所有矩形的面積之和為1，可求出a的值，將每個矩形底邊的中點(diǎn)值乘以對應(yīng)的矩形面積，再將所求結(jié)果全加可得μ的值；（2）分析可知，隨機(jī)變量η可能取的值為0、1、2、3，計算出隨機(jī)變量η在不同取值下的概率，可得出隨機(jī)變量η的分布列，進(jìn)而可求得Eη（3）利用3σ原則求得PX≥80，結(jié)合百分位數(shù)的定義可求得K【解答過程】（1）由于在頻率分布直方圖可知，所有矩形的面積之和為1，由題可知：0.010+a+0.040+0.015+0.010×10=1，解得a=0.025所以，估計從該品牌芯片的生產(chǎn)線中隨機(jī)抽取100件的平均數(shù)為：x=10×所以，μ=69.（2）樣本中質(zhì)量指標(biāo)值在45,55和85,95的芯片數(shù)量為0.01+0.01×10×100=20所取樣本的個數(shù)為20件，質(zhì)量指標(biāo)值在85,95的芯片件數(shù)為10件，故η可能取的值為0、1、2、3，所以，Pη=0=CPη=2=C隨機(jī)變量η的分布列為：η0123P215152所以η的數(shù)學(xué)期望Eη（3）由（1）可知：σ≈s≈11，則μ?σ=69?11=58，μ+σ=69+11=80，由題可知：P69?11<X<69+11所以：PX≥80=1?P【變式82】（2025·江西·二模）DeepSeek，全稱杭州深度求索人工智能基礎(chǔ)技術(shù)研究，2024年末DeepSeekR1一經(jīng)發(fā)布，引發(fā)全球轟動，其科技水準(zhǔn)直接對標(biāo)美國的OpenAIGPT4.為提升工作效率，M公司引入DeepSeek，并對員工進(jìn)行了DeepSeek培訓(xùn).公司規(guī)定：只有培訓(xùn)合格才能上崗，否則將補(bǔ)訓(xùn).(1)若員工甲、乙、丙培訓(xùn)合格的概率分別為23(2)為了激發(fā)員工的培訓(xùn)積極性，提升員工使用DeepSeek的能力，M公司在培訓(xùn)過后舉辦了一次DeepSeek知識競賽.已知參加這次知識競賽員工的競賽成績Z近似服從正態(tài)分布N(90，9)，若該集團(tuán)共有2000名員工，試估計這些員工中成績超過93分的人數(shù)；(結(jié)果精確到個位)(3)參加了知識競賽的員工還可繼續(xù)參與第二輪答題贏重獎活動，活動規(guī)則如下：共有3道題，每答對1道題獎勵現(xiàn)金800元.已知參與知識競賽的員工甲答對每道題的概率均為34，且每題答對與否都相互獨(dú)立，記甲獲得總獎金為X元，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E(參考數(shù)據(jù)：若Z~N(μ，σ2)，則P(μσ≤Z≤μ+σ)≈0.6827，P(μ2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ3σ≤Z≤μ+3σ)≈0.9973.【答案】(1)11(2)317(3)分布列見解析，【解題思路】（1）應(yīng)用對立事件概率及獨(dú)立事件概率乘積公式計算求解；（2）應(yīng)用正態(tài)分布性質(zhì)計算概率；（3）先根據(jù)獨(dú)立事件概率乘積公式計算概率，再寫出分布列計算數(shù)學(xué)期望即可.【解答過程】（1）分別記甲、乙、丙培訓(xùn)合格為事件A，B，C，則甲、乙、丙三人中至少有一人不需要補(bǔ)訓(xùn)的概率P=1?P（2）由已知得μ的近似值為90，σ的近似值為3，所以P而2000×0.15865=317.3≈317，所以估計這些員工中成績超過93分的人數(shù)為317.（3）X的所有可能取值為0，800，1600，2400，PPPP所以X的分布列為x080016002400P192727EX=0×【變式83】（2425高三下·重慶·階段練習(xí)）智利的車?yán)遄釉谥袊袌錾戏浅Ｊ軞g迎，尤其是在春節(jié)前后，成為果品市場的“銷售冠軍”.進(jìn)口水果辦會對智利車?yán)遄舆M(jìn)行了分級，標(biāo)準(zhǔn)主要依據(jù)果實(shí)直徑進(jìn)行劃分，通常分為以下幾個等級：0級；直徑在24mm到26mm之間；J級：直徑在26mm到28mm之間；JJ級：直徑在28mm到30mm之間；JJJ級：直徑在30mm到32mm之間；JJJJ級：直徑在32mm以上.某商貿(mào)公司根據(jù)長期檢測結(jié)果，發(fā)現(xiàn)每批次進(jìn)口車?yán)遄拥闹睆絏服從正態(tài)分布Nμ,σ2(1)根據(jù)長期檢測結(jié)果，車?yán)遄又睆降臉?biāo)準(zhǔn)差s≈1，用標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計值，用樣本平均數(shù)x（x按四舍五入取整數(shù)）作為μ的近似值.若從該批次中任取一顆，試估計該顆車?yán)遄訛橐坏绕返母怕剩ūＡ粜?shù)點(diǎn)后兩位數(shù)字）；（①同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表；②參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布Nμ,σ2，則Pμ?σ<ξ<μ+σ≈0.6827(2)若從樣本中直徑在[24,26）和32,34的車?yán)遄又须S機(jī)抽取3顆，記其中直徑在32,34的個數(shù)為η，求η【答案】(1)0.16(2)分布列見解析，3【解題思路】（1）先利用頻率分布直方圖求出樣本平均數(shù)，再根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)求解即可；（2）根據(jù)頻率分布直方圖可知所取樣本20個，直徑在[32，??34)的車?yán)遄佑?0【解答過程】（1）由題意，估計從該批次的車?yán)遄又须S機(jī)抽取100顆的平均數(shù)為：x=2×(0.05×25+0.125×27+0.2×29+0.075×31+0.05×33)=28.8≈29即μ≈x≈29，σ=s≈1，所以則P(X≥30)=1?P(29?1<X<29+1)所以從車?yán)遄又腥稳∫活w，該車?yán)遄訛橐坏绕返母怕始s為0.16.（2）由頻率分布直方圖可知(0.05+0.05)×2×100=20，所以所取樣本20個，直徑在[32,34)的車?yán)遄佑?0個，故η可能取的值為0,1,2,3，相應(yīng)的概率為：P(η=0)=C103P(η=2)=C101隨機(jī)變量η的分布列為：η0123P215152所以η的數(shù)學(xué)期望E(η)=0×2一、單選題1．（2025·吉林長春·模擬預(yù)測）已知隨機(jī)變量X~B3,13，則PA．727 B．827 C．1227【答案】D【解題思路】利用二項(xiàng)分布的概率公式即可.【解答過程】由題意得P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=C故選：D.2．（2025·浙江金華·一模）已知隨機(jī)變量X～N2,σ2，且PX<0=0.3A．0.2 B．0.4 C．0.7 D．0.35【答案】B【解題思路】利用正態(tài)分布曲線的對稱性求概率即可.【解答過程】由題設(shè)P(X<2)=0.5，且PX<0=0.3，則由正態(tài)分布曲線關(guān)于X=2對稱，則P0<X<4故選：B.3．（2025·四川成都·一模）已知甲、乙兩批袋裝食鹽的質(zhì)量（單位：g）分別服從正態(tài)分布Nμ甲,σ甲A．μ甲>μ乙，σ甲C．μ甲<μ乙，σ甲【答案】C【解題思路】觀察圖表，根據(jù)對稱軸得到平均數(shù)的大小，根據(jù)形狀特征得到方差的大小，得到答案.【解答過程】從圖總可以看出乙的對稱軸大于甲的對稱軸，故甲的平均數(shù)小于乙的平均數(shù)，即μ甲且乙“高瘦”，甲“矮胖”，即乙數(shù)據(jù)更加集中，方差比甲小，即σ甲故選：C.4．（2025·天津·高考真題）下列說法中錯誤的是（

）A．若X～Nμ,σB．若X～N1,22，C．r越接近1，相關(guān)性越強(qiáng)D．r越接近0，相關(guān)性越弱【答案】B【解題思路】根據(jù)正態(tài)分布以及相關(guān)系數(shù)的概念直接判斷即可.【解答過程】對于A，根據(jù)正態(tài)分布對稱性可知，PX≤μ?σ對于B，根據(jù)正態(tài)分布對稱性可知，PX<1對于C和D，相關(guān)系數(shù)r越接近0，相關(guān)性越弱，越接近1，相關(guān)性越強(qiáng)，故C和D說法正確.故選：B.5．（2025·廣東廣州·模擬預(yù)測）某校舞蹈隊(duì)隊(duì)員的身高X（單位：cm）近似服從正態(tài)分布N(172,4)，則P(X≥168)≈（

）（附：若X~N(μ,σ2)，則P(μ?σ≤X≤μ+σ)≈0.6827A．0.6827 B．0.8414 C．0.9544 D．0.9772【答案】D【解題思路】根據(jù)給定條件，利用正態(tài)分布的對稱性求出概率.【解答過程】由X～N(172,4)，得P(X≥168)=P(172?2×2≤X≤172)+P(X>172)=1故選：D.6．（2025·廣東江門·二模）一箱蘋果共有12個蘋果，其中有n(2<n<7)個是爛果，從這箱蘋果中隨機(jī)抽取3個．恰有2個爛果的概率為3n55，則n=（

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解題思路】由超幾何分布的概率公式列方程即可求解.【解答過程】依題意可得Cn2C12?n1解得n=4或9，因?yàn)?<n<7，所以n=4．故選：B.7．（2025·四川巴中·二模）下圖是一塊高爾頓板示意圖：在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯開的圓柱形小木塊，小木塊之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，小球從上方的通道口落下后，將與層層小木塊碰撞，最后掉入下方的某一個球槽內(nèi).若小球下落過程中向左?向右落下的機(jī)會均等，且小球需要經(jīng)過5次碰撞后落入球槽，求小球最終落入從左往右數(shù)第5號球槽的概率為（

）A．164 B．564 C．532【答案】C【解題思路】小球落下要經(jīng)過5次碰撞，每次向左、向右落下的概率均為12【解答過程】小球從起始點(diǎn)到最終落入球槽，需要經(jīng)過5次與小木塊的碰撞，每次碰撞時向左或向右的概率均為12我們可以把小球向左下落看作一次“左操作”，向右下落看作一次“右操作”.要落入從左往右數(shù)第5號球槽，從組合的角度看，經(jīng)過5次碰撞，相當(dāng)于在5次操作中，向右的次數(shù)比向左的次數(shù)多3次.設(shè)向右為正方向，向左為負(fù)方向，那么向右的次數(shù)x與向左的次數(shù)y滿足方程組x+y=5x?y=3，解得x=4,y=1也就是在5次碰撞過程中，需要有4次向右，1次向左.由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式P=Cnk所以P=C故選：C.8．（2025·山東·模擬預(yù)測）小王到某公司面試，一共要回答3道題，每道題答對得2分，答錯倒扣1分，設(shè)他每道題答對的概率均為p0<p<1，且每道題答對與否相互獨(dú)立，記小王答完3道題的總得分為X，則當(dāng)EX+DX取得最大值時，A．14 B．13 C．23【答案】C【解題思路】設(shè)答對題的個數(shù)為Y，由條件可得Y～B3,p，結(jié)合二項(xiàng)分布期望公式和方差公式求EY，DY，根據(jù)關(guān)系X=3Y?3，結(jié)合期望性質(zhì)和方差性質(zhì)求EX，【解答過程】設(shè)答對題的個數(shù)為Y，由已知可得Y～B3,p所以EY=3p，因?yàn)槊康李}答對得2分，答錯倒扣1分，X為小王答完3道題的總得分，所以X=2Y?3?Y所以EXDX所以EX+DX所以當(dāng)p=23時，EX故選：C.二、多選題9．（2025·江蘇徐州·模擬預(yù)測）已知隨機(jī)變量X~B6,13，隨機(jī)變量Y=3X+1A．P(X=2)=8081 B．E(X)=2 C．D(X)=4【答案】BCD【解題思路】根據(jù)二項(xiàng)分布分布列即可判斷A，再利用二項(xiàng)分布的均值和方差公式求出EX,DX即可判斷BC；最后再利用方差的性質(zhì)再求Y【解答過程】對A，P(X=2)=C對B，因?yàn)閄~B6,13對C，DX對D，DY故選：BCD.10．（2025·河北秦皇島·模擬預(yù)測）為了解某種疫苗注射后血樣指標(biāo)的變化情況，將該疫苗給實(shí)驗(yàn)小猴注射，已知實(shí)驗(yàn)小猴的血樣指標(biāo)X服從正態(tài)分布N17,9，則（若X～Nμ,σ2，則A．PX?17>6>0.05C．P11≤X≤20>0.8 【答案】BC【解題思路】利用正態(tài)分布的3σ【解答過程】由題意有μ=17,σ=3，PX?17PX>20P11≤X≤20PX?17故選：BC.11．（2025·重慶·三模）若隨機(jī)變量X～B10,p，且EX=2，隨機(jī)變量Y～Nμ，A．p=B．μ=3C．DD．5D【答案】ABD【解題思路】利用二項(xiàng)分布的期望、方差公式計算判斷A，C；利用正態(tài)分布期望、方差的性質(zhì)計算判斷B，D作答.【解答過程】對于A，隨機(jī)變量X～B10,p，由EX=np=10p=2對于C，DX=np1?p對于B，隨機(jī)變量Y~Nμ,2，則Eμ=3，B正確；對于D，5DX故選：ABD.三、填空題12．（2025·陜西·模擬預(yù)測）某工廠生產(chǎn)的燈泡使用壽命X～N20,σ2（單位：千小時），且PX>23=0.1，則【答案】0.4【解題思路】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性求概率即可．【解答過程】因?yàn)閄～N20,σ2，且P所以P17<X<20故答案為：0.4．13．（2025·天津·高考真題）小桐操場跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均為0．5，若第一次跑5圈，則第二次跑5圈的概率為0．4，6圈的概率為0．6；若第一次跑6圈，則第二次跑5圈的概率為0．6，6圈的概率為0．4．小桐一周跑11圈的概率為；若一周至少跑11圈為運(yùn)動量達(dá)標(biāo)，則連續(xù)跑4周，記合格周數(shù)為X，則期望E(X)=.【答案】0.6；3.2【解題思路】先根據(jù)全概率公式計算求解空一，再求出概率根據(jù)二項(xiàng)分布數(shù)學(xué)期望公式計算求解.【解答過程】設(shè)小桐一周跑11圈為事件A，設(shè)第一次跑5圈為事件B，設(shè)第二次跑5圈為事件C，則PA設(shè)運(yùn)動量達(dá)標(biāo)為事件D，PD所以X～B4,0.8，E故答案為：0.6；3.2.14．（2025·云南曲靖·二模）如圖，一個質(zhì)點(diǎn)在外力的作用下，從原點(diǎn)0出發(fā)，每隔1s向左或向右移動一個單位，且向右移動的概率為23．若該質(zhì)點(diǎn)共移動100次，則它位于數(shù)字【答案】34【解題思路】根據(jù)題意，設(shè)質(zhì)點(diǎn)向右移動的次數(shù)為X，可知X服從二項(xiàng)分布，然后求得PX=k取最大值時的k【解答過程】設(shè)質(zhì)點(diǎn)向右移動的次數(shù)為X，則X服從二項(xiàng)分布，即X～B100,則質(zhì)點(diǎn)最終的位置等于向右移動的次數(shù)減去向左移動的次數(shù)，即X?100?X由二項(xiàng)分布的概率公式可得PX=k設(shè)PX=k最大，則P由PX=k≥PX=k?1即100!k!?化簡可得2101?k≥k，解得由PX=k≥PX=k+1即100!k!?化簡可得k+1≥2100?k，解得k≥即1993≤k≤2023，且k∈Z則質(zhì)點(diǎn)最終的位置為2×67?100=34.故答案為：34.四、解答題15．（2025·廣東廣州·模擬預(yù)測）某城市實(shí)施了機(jī)動車尾號限行，該市報社調(diào)查組為了解市民對“車輛限行”的態(tài)度，隨機(jī)抽查了50人，將調(diào)查情況進(jìn)行整理后制成如下表：年齡（歲）15,2525,3535,4545,5555,6565,75頻數(shù)551015105贊成的人數(shù)3491073(1)用樣本估計總體，將樣本頻率視為概率，且每位市民是否贊成相互獨(dú)立.現(xiàn)從全市年齡在45,55的市民中隨機(jī)選取4人進(jìn)行追蹤調(diào)查，記被選4人中不贊成“車輛限行”的人數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)若在這50名被調(diào)查者中隨機(jī)發(fā)出20份的調(diào)查問卷，記η為所發(fā)到的20人中贊成“車輛限行”的人數(shù)，求使概率Pη=k取得最大值的整數(shù)k【答案】(1)分布列見解析，43(2)14.【解題思路】（1）根據(jù)題意，隨機(jī)變量ξ～B4,（2）由Pη=k≥Pη=k?1Pη=k≥Pη=k+1【解答過程】（1）由題意，ξ的可能取值為0，1，2，3，4，因?yàn)槟挲g在45,55的市民不贊成“車輛限行”的頻率為13，則ξ～B所以Pξ=k所以ξ的分布列為：ξ01234P1632881Eξ（2）這50被調(diào)查者中，有36人贊成，14人不贊成，所以Pη=k由Pη=k≥Pη=k?1Pη=k因?yàn)閗∈Z，所以k=1416．（2025·廣東·模擬預(yù)測）已知某企業(yè)加工某零件，根據(jù)長期檢測結(jié)果，得知該企業(yè)生產(chǎn)的零件的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布Nμ,(1)求這100件零件的質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)x和樣本方差s2(2)用這100件零件的質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)x作為μ的估計值，樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計值．若質(zhì)量指標(biāo)值在43,87內(nèi)的產(chǎn)品為優(yōu)等品，根據(jù)正態(tài)分布Nμ,附：取30=5.5Pμ?σ≤X≤μ+σ=0.6827，Pμ?2σ≤X≤μ+2σ【答案】(1)x=65，(2)0.9545【解題思路】（1）根據(jù)頻率分布直方圖計算樣本平均數(shù)及方差的方法，求出樣本均值和方差即可；（2）根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，由方差和均值，判斷結(jié)果即可.【解答過程】（1）x=0.01×10×45+0.02×10×55+0.04×10×65+0.02×10×75+0.01×10×85=65s+(65?75)（2）由題意知μ=65，樣本方差s2=120，故所以該企業(yè)生產(chǎn)的零件的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布N65,P43≤X≤87所以該企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品為優(yōu)等品的概率為0.9545．17．（2025·福建泉州·模擬預(yù)測）為增強(qiáng)學(xué)生的法制意識，打造平安校園，某市組織該市的全體高中學(xué)生開展“智慧法治，平安校園”的知識競賽，競賽成績經(jīng)統(tǒng)計，得到如下的頻率分布直方圖：用樣本估計總體，以頻率代替概率.現(xiàn)從該市的高中學(xué)生中隨機(jī)抽取n人，用X表示成績在80,90的人數(shù).(1)若n=3，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)若n=20，求使得PX=k取得最大值時k【答案】(1)分布列答案見解析，E(2)6【解題思路】（1）由題意可知X~B3,310，由二項(xiàng)分布可得出隨機(jī)變量X（2）由題意可得PX=k≥PX=k?1PX=k≥PX=k+1【解答過程】（1）由頻率分布直方圖中所有直方圖的面積之和為1，可得0.005+0.01+0.015+x+0.04×10=1，所以x=0.03樣本中，成績在80,90的高中生所占的頻率為0.03×10=3當(dāng)n=3時，由題意可知X~B3,所以PX=0=7PX=2=C故隨機(jī)變量X的分布列如下表所示：X0123P34344118927所以，EX（2）由題意可知X~B20,310，因?yàn)镻所以C20k?因?yàn)閗∈N，可得k=6，故