2026屆山西省新絳縣第二中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)A＝37＋·35＋·33＋·3，B＝·36＋·34＋·32＋1，則A－B的值為()A.128 B.129C.47 D.02．己知F為拋物線的焦點(diǎn)，過F作兩條互相垂直的直線，，直線與C交于A、B兩點(diǎn)，直線與C交于D、E兩點(diǎn)，則的最小值為（）A.24 B.22C.20 D.163．已知直線l與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A，B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線的斜率之積為，則直線l恒過定點(diǎn)（）A. B.C. D.4．已知長(zhǎng)方體中，，，則平面與平面所成的銳二面角的余弦值為（）A. B.C. D.5．已知雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)P是雙曲線在第二象限的部分上一點(diǎn)，且，點(diǎn)Q是線段的中點(diǎn)，且，Q關(guān)于直線PA對(duì)稱，則雙曲線的離心率為（）A.3 B.2C. D.6．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，且點(diǎn)F與圓上點(diǎn)的距離的最大值為6，則拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B.C. D.7．棱長(zhǎng)為1的正四面體的表面積是（）A. B.C. D.8．如圖，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則此拋物線的方程為（）A.y2＝9x B.y2＝6xC.y2＝3x D.y2＝x9．已知直線和圓相交于兩點(diǎn)．若，則的值為（）A. B.C. D.10．已知，是橢圓的左，右焦點(diǎn)，是的左頂點(diǎn)，點(diǎn)在過且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則的離心率為A. B.C. D.11．設(shè)實(shí)系數(shù)一元二次方程在復(fù)數(shù)集C內(nèi)的根為、，則由，可得.類比上述方法：設(shè)實(shí)系數(shù)一元三次方程在復(fù)數(shù)集C內(nèi)的根為，則的值為A.﹣2 B.0C.2 D.412．已知長(zhǎng)方體的底面ABCD是邊長(zhǎng)為8的正方形，長(zhǎng)方體的高為，則與對(duì)角面夾角的正弦值等于（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，，，的外接圓半徑為，則邊c的長(zhǎng)為_____.14．已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)是__________15．如圖，設(shè)正方形ABCD與正方形ABEF的邊長(zhǎng)都為1，若平面ABCD，則異面直線AC與BF所成角的大小為______16．已知函數(shù)，若遞增數(shù)列滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（1）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值；（2）求出方程的解的個(gè)數(shù)18．（12分）已知圓C：的半徑為1（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）判斷直線l：與圓C是否相交？若不相交，請(qǐng)說明理由；若相交，請(qǐng)求出弦長(zhǎng)19．（12分）某外語學(xué)校的一個(gè)社團(tuán)中有7名同學(xué)，其中2人只會(huì)法語；2人只會(huì)英語，3人既會(huì)法語又會(huì)英語，現(xiàn)選派3人到法國(guó)的學(xué)校交流訪問（1）在選派的3人中恰有2人會(huì)法語的概率；（2）在選派的3人中既會(huì)法語又會(huì)英語的人數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望20．（12分）已知A（-3，0），B（3，0），四邊形AMBN的對(duì)角線交于點(diǎn)D（1，0），kMA與kMB的等比中項(xiàng)為，直線AM，NB相交于點(diǎn)P.（1）求點(diǎn)M的軌跡C的方程；（2）若點(diǎn)N也在C上，點(diǎn)P是否在定直線上?如果是，求出該直線，如果不是，請(qǐng)說明理由.21．（12分）如圖，直四棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，點(diǎn)在棱上.（1）求證：；（2）從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作已知，使得平面，并給出證明.條件①：為的中點(diǎn)；條件②：平面；條件③：.（3）在（2）的條件下，求平面與平面夾角的余弦值.22．（10分）已知數(shù)列為等差數(shù)列，為其前n項(xiàng)和，若，（1）求數(shù)列的首項(xiàng)和公差；（2）求的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】先化簡(jiǎn)A－B，發(fā)現(xiàn)其結(jié)果為二項(xiàng)式展開式，然后計(jì)算即可【詳解】A－B＝37－·36＋·35－·34＋·33－·32＋·3－1＝故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的運(yùn)用，關(guān)鍵是通過化簡(jiǎn)能夠發(fā)現(xiàn)其結(jié)果在形式上滿足二項(xiàng)式展開式，然后計(jì)算出結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題2、A【解析】由拋物線的性質(zhì)：過焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)公式計(jì)算可得.【詳解】設(shè)直線，的斜率分別為，由拋物線的性質(zhì)可得，，所以，又因?yàn)?，所以，所以，故選：A.3、A【解析】設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，得到，進(jìn)而得到的值，將直線的斜率之積為，用A,B點(diǎn)坐標(biāo)表示出來，結(jié)合的值即可求得答案.【詳解】設(shè)直線方程為，聯(lián)立，整理得：，需滿足，即，則，由，得：，所以，即，故，所以直線l為：，當(dāng)時(shí)，，即直線l恒過定點(diǎn)，故選：A.4、A【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個(gè)法向量為，易知平面的一個(gè)法向量為，由求解.【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，易知平面的一個(gè)法向量為，所以，所以平面與平面所成的銳二面角的余弦值為，故選：A5、C【解析】由角平分線的性質(zhì)可得，結(jié)合已知條件即可求雙曲線的離心率.【詳解】由題設(shè)，易知：，由知：，即，整理得：.故選：C6、D【解析】先求得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)F與圓上點(diǎn)的距離的最大值為6求解.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為F，且點(diǎn)F與圓上點(diǎn)的距離的最大值為6，所以，解得，所以拋物線準(zhǔn)線方程為，故選：D7、D【解析】采用數(shù)形結(jié)合，根據(jù)邊長(zhǎng)，結(jié)合正四面體的概念，計(jì)算出正三角形的面積，可得結(jié)果【詳解】如圖由正四面體的概念可知，其四個(gè)面均是全等的等邊三角形，由其棱長(zhǎng)為1，所以，所以可知：正四面體的表面積為，故選：D8、C【解析】過點(diǎn)A，B分別作準(zhǔn)線的垂線，交準(zhǔn)線于點(diǎn)E，D，設(shè)|BF|＝a，利用拋物線的定義和平行線的性質(zhì)、直角三角形求解【詳解】如圖，過點(diǎn)A，B分別作準(zhǔn)線的垂線，交準(zhǔn)線于點(diǎn)E，D，設(shè)|BF|＝a，則由已知得|BC|＝2a，由拋物線定義得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，因?yàn)閨AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，2|AE|＝|AC|，所以3＋3a＝6，從而得a＝1，|FC|＝3a＝3，所以p＝|FG|＝|FC|＝，因此拋物線的方程為y2＝3x，故選：C.9、C【解析】求出圓心到直線的距離，再利用，化簡(jiǎn)求值，即可得到答案.【詳解】圓的圓心為，圓心到直線的距離公式為，故故選：C.10、D【解析】分析：先根據(jù)條件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c關(guān)系，即得離心率.詳解：因?yàn)榈妊切?，，所以PF2=F1F2=2c,由斜率為得，，由正弦定理得,所以，故選D.點(diǎn)睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于的方程或不等式，再根據(jù)的關(guān)系消掉得到的關(guān)系式，而建立關(guān)于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等.11、A【解析】用類比推理得到，再用待定系數(shù)法得到，，再根據(jù)求解.【詳解】，由對(duì)應(yīng)系數(shù)相等得：，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查合情推理以及待定系數(shù)法，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和邏輯推理的能力，屬于中檔題.12、A【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的夾角坐標(biāo)公式即可求出線面角的正弦值.【詳解】連接，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系∵底面是邊長(zhǎng)為8的正方形，，∴，，，因?yàn)?且，所以平面，∴，平面的法向量，∴與對(duì)角面所成角的正弦值為故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由面積公式求得，結(jié)合外接圓半徑，利用正弦定理得到邊c的長(zhǎng).【詳解】，從而，由正弦定理得：，解得：故答案為：14、【解析】根據(jù)投影向量概念求解即可.【詳解】因?yàn)榭臻g向量，，所以，，所以向量在向量上投影向量為：，故答案為：.15、##【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出異面直線所成角；【詳解】解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、，所以，，設(shè)直線與所成角為，則，因?yàn)?，所以；故答案為?6、【解析】根據(jù)的單調(diào)性列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】由于是遞增數(shù)列，所以.所以的取值范圍是.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）f(x)的最大值為7，最小值為－33；（2）見解析.【解析】(1)求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)，列表求其單調(diào)性即可；(2)求出函數(shù)f(x)的極值即可.【小問1詳解】023+-+f(－2)＝－33↗f(0)＝7↘f(2)＝－1↗f(3)＝7∴f(x)的最大值為7，最小值為－33；【小問2詳解】02+-+↗f(0)＝7↘f(2)＝－1↗當(dāng)a＜－1或a＞7時(shí)，方程有一個(gè)根；當(dāng)a＝－1或7時(shí)，方程有兩個(gè)根；當(dāng)－1＜a＜7時(shí)，方程有三個(gè)根.18、（1）；（2）直線l與圓C相交，.【解析】（1）利用配方法進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式，結(jié)合圓的弦長(zhǎng)公式進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】將化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：因?yàn)閳AC的半徑為1，所以，得【小問2詳解】由（1）知圓C的圓心為，半徑為1設(shè)圓心C到直線l的距離為d，則，所以直線l與圓C相交，設(shè)其交點(diǎn)為A，B，則，即19、（1）（2）分布列見解析；【解析】（1）利用組合的知識(shí)計(jì)算出基本事件總數(shù)和滿足題意的基本事件數(shù)，根據(jù)古典概型概率公式求得結(jié)果；（2）確定所有可能的取值，根據(jù)超幾何分布概率公式可計(jì)算出每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率，進(jìn)而得到分布列和數(shù)學(xué)期望.【小問1詳解】名同學(xué)中，會(huì)法語的人數(shù)為人，從人中選派人，共有種選法；其中恰有人會(huì)法語共有種選法；選派的人中恰有人會(huì)法語的概率.【小問2詳解】由題意可知：所有可能的取值為，；；；；的分布列為：數(shù)學(xué)期望為20、（1）；（2）點(diǎn)P在定直線x=9上.理由見解析.【解析】(1)設(shè)點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)距離公式和等比數(shù)列的等比中項(xiàng)的應(yīng)用列出方程，整理方程即可；(2)設(shè)直線MN方程為：，點(diǎn)，聯(lián)立雙曲線方程消去x得到關(guān)于y的一元二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理寫出，利用兩點(diǎn)坐標(biāo)和直線的點(diǎn)斜式方程寫出直線PA、PB，聯(lián)立方程組，解方程組即可.【小問1詳解】設(shè)點(diǎn)，則，又，所以，整理，得，即軌跡M的方程C為：；【小問2詳解】點(diǎn)P在定直線上.由(1)知，曲線C方程為：，直線MN過點(diǎn)D(1,0)若直線MN斜率不存在，則，得，不符合題意；設(shè)直線MN方程為：，點(diǎn)，則，消去x，得，有，，，，所以直線PA方程為：，直線PB方程為：，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為方程組的解，有，即，整理，得，解得，即點(diǎn)P在定直線上.21、（1）證明見解析；（2）答案見解析；（3）.【解析】（1）連結(jié)，，由直四棱柱的性質(zhì)及線面垂直的性質(zhì)可得，再由正方形的性質(zhì)及線面垂直的判定、性質(zhì)即可證結(jié)論.（2）選條件①③，設(shè)，連結(jié)，，由中位線的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)可得、，再由線面垂直的判定證明結(jié)論；選條件②③，設(shè)，連結(jié)，由線面平行的性質(zhì)及平行推論可得，由線面垂直的性質(zhì)有，再由線面垂直的判定證明結(jié)論；（3）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，求平面、平面的法向量，應(yīng)用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求平面與平面夾角的余弦值.【小問1詳解】連結(jié)，，由直四棱柱知：平面，又平面，所以，又為正方形，即，又，∴平面，又平面，∴.【小問2詳解】選條件①③，可使平面.證明如下：設(shè)，連結(jié)，，又，分別是，的中點(diǎn)，∴.又，所以.由（1）知：平面，平面，則.又，即平面.選條件②③，可使平面.證明如下：設(shè)，連結(jié).因?yàn)槠矫?，平面，平面平面，所以，又，則.由（1）知：平面，平面，則.又，即平面.【小問3詳解】由（2）可知，四邊形為正方形，所以.因?yàn)椋?，兩兩垂直，如圖，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以