2026年高等數(shù)學實變函數(shù)測度理論測試試題沖刺卷考試時長：120分鐘滿分：100分班級：__________姓名：__________學號：__________得分：__________試卷名稱：2026年高等數(shù)學實變函數(shù)測度理論測試試題沖刺卷考核對象：高等院校數(shù)學、物理、工程等相關(guān)專業(yè)本科三年級學生題型分值分布：-判斷題（總共10題，每題2分）總分20分-單選題（總共10題，每題2分）總分20分-多選題（總共10題，每題2分）總分20分-案例分析（總共3題，每題6分）總分18分-論述題（總共2題，每題11分）總分22分總分：100分---一、判斷題（每題2分，共20分）請判斷下列命題的正誤。1.若集合A在R中可測，則其補集A^c在R中也可測。2.單調(diào)遞增的可測函數(shù)的積分次序可交換。3.若f(x)在[a,b]上黎曼可積，則f(x)在[a,b]上勒貝格可積。4.勒貝格測度具有可數(shù)可加性。5.空集的勒貝格測度為0。6.若E是可測集，則E的勒貝格測度等于其勒貝格外測度。7.任何有界函數(shù)在有限區(qū)間上都是勒貝格可積的。8.若E是可測集，則其任意子集都是可測的。9.勒貝格積分的線性性質(zhì)僅適用于有限個函數(shù)的線性組合。10.若f(x)是E上的非負可測函數(shù)，且∫_Ef(x)dμ=0，則f(x)在E上幾乎處處為0。二、單選題（每題2分，共20分）請選擇唯一正確的選項。1.下列哪個集合在R上不可測？A.所有有理數(shù)構(gòu)成的集合B.所有無理數(shù)構(gòu)成的集合C.開區(qū)間(0,1)D.單位圓盤{x^2+y^2≤1}2.若E是可測集，且μ(E)=5，則E的勒貝格外測度μ(E)的最小值為？A.0B.5C.∞D(zhuǎn).無法確定3.下列哪個函數(shù)在[0,1]上勒貝格不可積？A.f(x)=1/xB.f(x)=sin(1/x)C.f(x)=0D.f(x)=x4.若f(x)在[a,b]上勒貝格可積，則∫_a^bf(x)dμ的值？A.必定存在且有限B.必定不存在C.可能不存在D.取決于f(x)的具體形式5.下列哪個性質(zhì)不屬于勒貝格測度？A.非負性B.單調(diào)性C.可數(shù)可加性D.有限可加性6.若E是可測集，且μ(E)=3，μ(E^c)=2，則μ(E)的最小值為？A.1B.2C.3D.無法確定7.下列哪個函數(shù)在[0,1]上黎曼可積但勒貝格不可積？A.f(x)=1B.f(x)=sin(1/x)C.f(x)=0D.f(x)=x8.若E是可測集，且μ(E)=0，則E的任意子集是否可測？A.一定可測B.一定不可測C.可能可測也可能不可測D.取決于μ的具體定義9.下列哪個集合的勒貝格測度為0？A.所有有理數(shù)構(gòu)成的集合B.所有無理數(shù)構(gòu)成的集合C.開區(qū)間(0,1)D.單位圓盤{x^2+y^2≤1}10.若f(x)在E上幾乎處處等于g(x)，且f(x),g(x)均勒貝格可積，則∫_Ef(x)dμ與∫_Eg(x)dμ的關(guān)系？A.必定相等B.必定不相等C.可能相等也可能不相等D.取決于E的具體形式三、多選題（每題2分，共20分）請選擇所有正確的選項。1.下列哪些性質(zhì)屬于勒貝格測度？A.非負性B.單調(diào)性C.可數(shù)可加性D.有限可加性E.平移不變性2.若E是可測集，且μ(E)=5，則下列哪些命題成立？A.E的勒貝格外測度μ(E)≤5B.E的勒貝格外測度μ(E)≥5C.E的勒貝格內(nèi)測度μ(E)≥5D.E的勒貝格內(nèi)測度μ(E)≤5E.E的補集E^c的勒貝格測度μ(E^c)=∞3.下列哪些函數(shù)在[0,1]上勒貝格可積？A.f(x)=1/xB.f(x)=sin(1/x)C.f(x)=0D.f(x)=xE.f(x)=1/(1-x^2)4.若f(x)在[a,b]上勒貝格可積，則下列哪些命題成立？A.|f(x)|在[a,b]上勒貝格可積B.f^2(x)在[a,b]上勒貝格可積C.f(x)在[a,b]上黎曼可積D.f(x)在[a,b]上幾乎處處連續(xù)E.f(x)在[a,b]上幾乎處處有界5.下列哪些集合的勒貝格測度為0？A.所有有理數(shù)構(gòu)成的集合B.所有無理數(shù)構(gòu)成的集合C.開區(qū)間(0,1)D.單位圓盤{x^2+y^2≤1}E.空集6.若E是可測集，且μ(E)=0，則下列哪些命題成立？A.E的任意子集都是可測的B.E的任意子集的勒貝格測度都為0C.E的任意子集的勒貝格外測度都為0D.E的任意子集的勒貝格內(nèi)測度都為0E.E的補集E^c的勒貝格測度為∞7.下列哪些函數(shù)在[0,1]上黎曼可積？A.f(x)=1B.f(x)=sin(1/x)C.f(x)=0D.f(x)=xE.f(x)=1/(1-x^2)8.若f(x)在E上幾乎處處等于g(x)，且f(x),g(x)均勒貝格可積，則下列哪些命題成立？A.∫_Ef(x)dμ=∫_Eg(x)dμB.∫_E|f(x)-g(x)|dμ=0C.f(x)與g(x)在E上幾乎處處相等D.f(x)與g(x)在E上處處相等E.f(x)與g(x)在E上可能不相等9.下列哪些性質(zhì)屬于勒貝格積分？A.線性性質(zhì)B.積分次序可交換性C.單調(diào)收斂定理適用性D.控制收斂定理適用性E.絕對連續(xù)性10.若E是可測集，且μ(E)=0，則下列哪些命題成立？A.E的任意子集都是可測的B.E的任意子集的勒貝格測度都為0C.E的任意子集的勒貝格外測度都為0D.E的任意子集的勒貝格內(nèi)測度都為0E.E的補集E^c的勒貝格測度為∞四、案例分析（每題6分，共18分）1.設(shè)E為R上所有滿足x^2+y^2≤1的有理數(shù)點構(gòu)成的集合，求μ(E)。解題思路：需判斷E是否可測，并計算其勒貝格測度。2.設(shè)f(x)在[0,1]上定義如下：f(x)=-1,x為有理數(shù)-0,x為無理數(shù)判斷f(x)在[0,1]上是否勒貝格可積，若可積，求∫_0^1f(x)dμ。解題思路：需判斷f(x)是否幾乎處處連續(xù)，并計算其勒貝格積分。3.設(shè)E為R上所有滿足x^2+y^2≤1的實數(shù)點構(gòu)成的集合，求μ(E)。解題思路：需判斷E是否可測，并計算其勒貝格測度。五、論述題（每題11分，共22分）1.論述勒貝格測度的可數(shù)可加性與有限可加性的區(qū)別與聯(lián)系。解題思路：需從定義、適用范圍、性質(zhì)等方面比較兩種可加性，并說明其聯(lián)系。2.證明：若f(x)在[a,b]上勒貝格可積，則f(x)在[a,b]上幾乎處處有界。解題思路：需利用勒貝格可積的定義和測度的性質(zhì)進行證明。---標準答案及解析一、判斷題1.√解析：可測集的補集仍可測是測度理論的基本性質(zhì)。2.×解析：單調(diào)遞增的可測函數(shù)的積分次序不一定可交換，需滿足更多條件。3.×解析：黎曼可積的函數(shù)不一定勒貝格可積，如狄利克雷函數(shù)。4.√解析：勒貝格測度具有可數(shù)可加性，這是其核心性質(zhì)之一。5.√解析：空集的勒貝格測度定義為0。6.√解析：可測集的勒貝格測度等于其勒貝格外測度。7.×解析：有界函數(shù)不一定勒貝格可積，如狄利克雷函數(shù)。8.×解析：可測集的子集不一定可測，如非測度集的子集。9.√解析：所有有理數(shù)構(gòu)成的集合的勒貝格測度為0。10.√解析：若∫_Ef(x)dμ=0，則f(x)在E上幾乎處處為0。二、單選題1.A解析：所有有理數(shù)構(gòu)成的集合不可測，因其在R上具有不可數(shù)補集。2.B解析：可測集的勒貝格外測度等于其測度。3.A解析：f(x)=1/x在[0,1]上發(fā)散，不可積。4.A解析：勒貝格可積函數(shù)的積分必定存在且有限。5.D解析：勒貝格測度不具有有限可加性，僅具有可數(shù)可加性。6.B解析：μ(E)=μ(E)-μ(E^c)=3-2=1，但需取最小值2。7.B解析：f(x)=sin(1/x)在[0,1]上勒貝格不可積，因其不絕對可積。8.A解析：測度為0的集的任意子集仍可測。9.A解析：所有有理數(shù)構(gòu)成的集合的勒貝格測度為0。10.A解析：幾乎處處相等的可積函數(shù)的積分相等。三、多選題1.A,B,C,D解析：勒貝格測度具有非負性、單調(diào)性、有限可加性。2.A,B,C解析：可測集的勒貝格外測度≤測度≤外測度，且內(nèi)測度≥測度。3.C,D,E解析：f(x)=0,f(x)=x,f(x)=1/(1-x^2)在[0,1]上勒貝格可積。4.A,B解析：|f(x)|和f^2(x)在[a,b]上勒貝格可積，但f(x)不一定黎曼可積。5.A,E解析：所有有理數(shù)構(gòu)成的集合和空集的勒貝格測度為0。6.A,B,C解析：測度為0的集的任意子集仍可測，且其測度、外測度、內(nèi)測度均為0。7.A,C,D,E解析：f(x)=0,f(x)=x,f(x)=1/(1-x^2)在[0,1]上黎曼可積。8.A,B,C解析：幾乎處處相等的可積函數(shù)的積分相等，且其差函數(shù)幾乎處處為0。9.A,B,C,D解析：勒貝格積分具有線性、積分次序可交換、單調(diào)收斂、控制收斂等性質(zhì)。10.A,B,C解析：測度為0的集的任意子集仍可測，且其測度、外測度、內(nèi)測度均為0。四、案例分析1.解：E為R上所有滿足x^2+y^2≤1的有理數(shù)點構(gòu)成的集合，因有理數(shù)集的勒貝格測度為0，故E的勒貝格測度也為0。2.解：f(x)在[0,1]上幾乎處處等于0，故∫_0^1f(x)dμ=0。3.解：E為R上所有滿足x^2+y^2≤1的實數(shù)點構(gòu)成的集合，因單位圓盤的勒貝格測度為π，故E的勒貝格測度為π。五、論述題1.解：勒貝格測度的可數(shù)可加性指對可數(shù)個可測集的并集，其測度等于各