2025年高三數(shù)學(xué)期末地靈人杰卷二考試時間：120分鐘?總分：150分?年級/班級：高三（1）班

2025年高三數(shù)學(xué)期末地靈人杰卷二

一、選擇題

1.函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(2x)的最小正周期是

A.π

B.2π

C.π/2

D.4π

2.已知集合A={x|x^2-5x+6≥0}，B={x|2x-1>0}，則集合A∩B等于

A.(-∞,2)∪(3,+∞)

B.[3,+∞)

C.(-∞,2)

D.(2,3]

3.若復(fù)數(shù)z滿足(z-1)/(2-iz)是實數(shù)，則z可能等于

A.2+i

B.1-i

C.1+i

D.-1+i

4.已知函數(shù)f(x)=ax^3-3x+1在x=1處取得極值，則a的值為

A.3

B.-3

C.2

D.-2

5.在等差數(shù)列{a_n}中，若a_1=1，a_5=7，則a_10的值為

A.13

B.14

C.15

D.16

6.已知點P(x,y)在直線x+2y-1=0上，則x^2+y^2的最小值為

A.1/5

B.1/2

C.1/3

D.1/4

7.不等式|2x-1|<3的解集為

A.(-1,2)

B.(-2,1)

C.(-1,1)

D.(-2,2)

8.已知向量a=(1,2)，b=(3,-4)，則向量a+b的模長為

A.5

B.√13

C.√17

D.√25

9.拋擲兩個骰子，則兩個骰子點數(shù)之和為7的概率為

A.1/6

B.1/12

C.5/36

D.1/18

10.已知橢圓x^2/9+y^2/4=1的焦點距為2c，則c的值為

A.√5

B.2

C.√13

D.3

二、填空題

1.已知函數(shù)f(x)=log_a(x+1)在x→-1時極限存在，則實數(shù)a的取值范圍是________

2.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，邊BC=2，則邊AC的長度為________

3.已知圓C的方程為(x-1)^2+(y+2)^2=r^2，若圓C與直線x+y-1=0相切，則r的值為________

4.在等比數(shù)列{b_n}中，若b_1=2，b_4=16，則b_3的值為________

5.已知函數(shù)f(x)=x^3-ax^2+bx-1在x=1和x=-1處都取得零點，則a+b的值為________

6.在直角坐標(biāo)系中，點P在曲線y=x^2上，則點P到直線y=-x+2的距離的最小值為________

7.已知z=1+i，則|z^2-1|的值為________

8.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的圖像經(jīng)過點(π/4,0)，且周期為π，則φ的值為________（其中0<φ<π）

9.在△ABC中，若角A=30°，角B=60°，邊BC=3，則sinC的值為________

10.已知函數(shù)f(x)=e^x-x在x=0處的切線方程為________

三、多選題

1.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,π)上單調(diào)遞增的是

A.y=sin(x)

B.y=cos(x)

C.y=tan(x)

D.y=e^x

2.已知集合A={x|x^2-4x+3≤0}，B={x|ax+1>0}，若A∩B={x|1<x≤3}，則a的值可能為

A.1

B.2

C.-1

D.-2

3.下列命題中，正確的是

A.若z為純虛數(shù)，則z^2也為純虛數(shù)

B.若f(x)為奇函數(shù)，則f(x)的圖像關(guān)于原點對稱

C.若數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，則數(shù)列{a_n^2}也為等差數(shù)列

D.若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增，則f(x)在區(qū)間I上連續(xù)

4.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2x，則下列說法中正確的是

A.f(x)在x=1處取得極大值

B.f(x)在x=-1處取得極小值

C.f(x)的圖像與x軸有三個交點

D.f(x)的圖像與y軸的交點為(0,2)

5.在△ABC中，若角A=45°，角B=60°，邊BC=√3，則下列說法中正確的是

A.△ABC為直角三角形

B.邊AC的長度為2

C.邊AB的長度為√6

D.△ABC的面積為√3/2

四、判斷題

1.函數(shù)f(x)=|x-1|在區(qū)間[0,2]上的最小值為0

2.若a>0，則不等式a^x>1對任意x∈R都成立

3.直線y=kx+b與圓x^2+y^2=r^2相切的條件是r=|k|+|b|

4.已知函數(shù)f(x)=x^2-4x+3，則f(x)在區(qū)間[1,4]上的最大值為5

5.在等比數(shù)列{a_n}中，若a_1=1，q=2，則a_5=16

6.復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)為純虛數(shù)的充要條件是a=0且b≠0

7.向量a=(1,2)，b=(3,-4)，則向量a與向量b的夾角為鈍角

8.橢圓x^2/16+y^2/9=1的焦點坐標(biāo)為(√7,0)和(-√7,0)

9.拋擲三個硬幣，則恰好出現(xiàn)兩個正面的概率為3/8

10.函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(x)的最小正周期為2π

五、問答題

1.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2x，求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值點

2.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，邊BC=√3，求邊AC和邊AB的長度，以及△ABC的面積

3.已知圓C的方程為(x-1)^2+(y+2)^2=9，直線L的方程為x+y-1=0，求圓C與直線L的位置關(guān)系，并求圓C上距離直線L最近的點的坐標(biāo)

試卷答案

一、選擇題答案及解析

1.A

解析：函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(2x)可以寫成f(x)=sin(x)+2cos^2(x)-1=sin(x)+2(1-sin^2(x))-1=-2sin^2(x)+sin(x)+1。這是一個關(guān)于sin(x)的二次函數(shù)，其最小正周期為sin(x)的最小正周期，即π。

2.B

解析：集合A={x|x^2-5x+6≥0}={x|(x-2)(x-3)≥0}=(-∞,2]∪[3,+∞)，集合B={x|2x-1>0}=(1/2,+∞)，則A∩B=[3,+∞)。

3.C

解析：設(shè)z=a+bi(a,b∈R)，則(z-1)/(2-iz)=((a-1)+bi)/(2-bi)=((a-1)+bi)(2+bi)/((2-bi)(2+bi))=((2a-1-b^2)+(2b-2a)i)/(4+b^2)。要使該表達式為實數(shù)，則虛部為0，即2b-2a=0，解得a=b。選項C中z=1+i，滿足a=b。

4.A

解析：f'(x)=3ax^2-3，令f'(1)=0，得3a-3=0，解得a=1。檢驗f''(1)=6a=6>0，故x=1處取得極小值，但題目說極值，a=1時取得極小值，選項A正確。

5.C

解析：等差數(shù)列{a_n}中，a_5=a_1+4d，a_10=a_1+9d。由a_1=1，a_5=7，得7=1+4d，解得d=1.5。則a_10=1+9×1.5=1+13.5=14.5，選項C最接近。

6.D

解析：點P到直線x+2y-1=0的距離d=|x+2y-1|/√(1^2+2^2)=|x+2y-1|/√5。要使d最小，需|x+2y-1|最小。因為x+2y-1=0，所以最小值為0，但題目求最小值，應(yīng)為正數(shù)最小，即接近0但不為0。考慮點P在直線上，x^2+y^2的最小值即為原點到直線的距離的平方，即(1/√5)^2=1/5。

7.A

解析：|2x-1|<3等價于-3<2x-1<3，解得-2<2x<4，即-1<x<2。

8.√13

解析：向量a+b=(1+3,2-4)=(4,-2)，其模長|a+b|=√(4^2+(-2)^2)=√(16+4)=√20=2√5。

9.1/6

解析：拋擲兩個骰子，基本事件總數(shù)為6×6=36。點數(shù)之和為7的基本事件有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)，共6個。故概率為6/36=1/6。

10.D

解析：橢圓x^2/9+y^2/4=1中，a^2=9，b^2=4，c^2=a^2-b^2=9-4=5，c=√5。

二、填空題答案及解析

1.(0,+∞)

解析：函數(shù)f(x)=log_a(x+1)在x→-1時極限存在，需x+1>0，即x>-1。且對數(shù)函數(shù)有定義，需a>0且a≠1。綜上，a>0且a≠1，即a∈(0,1)∪(1,+∞)。但題目要求x→-1時極限存在，需定義域包含-1，即a>1。故a∈(1,+∞)。

2.√6

解析：在△ABC中，由正弦定理，a/sinA=b/sinB=c/sinC。設(shè)邊BC=a=2，角A=60°，角B=45°，則角C=180°-60°-45°=75°。邊AC=b=a*sinB/sinA=2*sin45°/sin60°=2*(√2/2)/(√3/2)=2√2/√3=2√6/3。

3.√2

解析：圓C與直線x+y-1=0相切，則圓心(1,-2)到直線的距離等于半徑r。距離d=|1+(-2)-1|/√(1^2+1^2)=|-2|/√2=2/√2=√2。故r=√2。

4.8

解析：等比數(shù)列{b_n}中，b_4=b_1*q^3，b_3=b_1*q^2。由b_1=2，b_4=16，得16=2*q^3，解得q^3=8，q=2。則b_3=2*2^2=8。

5.-5

解析：函數(shù)f(x)=x^3-ax^2+bx-1在x=1和x=-1處都取得零點，即f(1)=0，f(-1)=0。代入得1-a+b-1=0，即-a+b=0，b=a。再代入得(-1)^3-a(-1)^2+b(-1)-1=0，即-1-a-b-1=0，-a-b=2。將b=a代入得-a-a=2，-2a=2，a=-1。則b=-1。故a+b=-1-1=-2。

6.√2-1

解析：點P在曲線y=x^2上，設(shè)P(x,x^2)。點P到直線y=-x+2的距離d=|x-x^2+2|/√(1^2+(-1)^2)=|x^2-x-2|/√2。要使d最小，需|x^2-x-2|最小。令g(x)=x^2-x-2=(x-1/2)^2-9/4，g(x)在x=1/2時取得最小值-9/4。故d_min=|-9/4|/√2=9√2/8。但題目要求最小值，應(yīng)為正數(shù)最小，即接近0但不為0?？紤]點P在直線上，x^2-x-2=0，解得x=2或x=-1。當(dāng)x=2時，P(2,4)，d=|2-4+2|/√2=0/√2=0。當(dāng)x=-1時，P(-1,1)，d=|-1-1+2|/√2=0/√2=0。故最小值為0。

7.√10

解析：z=1+i，則z^2=(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i。|z^2-1|=|2i-1|=|-1+2i|=√((-1)^2+2^2)=√(1+4)=√5。

8.π/4

解析：函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的圖像經(jīng)過點(π/4,0)，且周期為π。周期為π，則ω=2。代入得sin(2*(π/4)+φ)=sin(π/2+φ)=0。故π/2+φ=kπ，k∈Z。由0<φ<π，得π/2<kπ<π+π/2，即1/2<k<3/2。k=1，φ=π/2-π/2=0。k=2，φ=2π-π/2=3π/2。但0<φ<π，故φ=3π/2不符合。k=1，φ=π/2-π/2=0。k=2，φ=2π-π/2=3π/2。φ=π/4。

9.√3/2

解析：在△ABC中，由正弦定理，a/sinA=b/sinB=c/sinC。設(shè)邊BC=a=3，角A=30°，角B=60°，則角C=180°-60°-30°=90°。邊AC=b=a*sinB/sinA=3*sin60°/sin30°=3*(√3/2)/(1/2)=3√3。邊AB=c=a*sinC/sinA=3*sin90°/sin30°=3*1/(1/2)=6。sinC=sin90°=1。

10.y=x

解析：函數(shù)f(x)=e^x-x在x=0處的切線方程為y=f'(0)(x-0)+f(0)。f'(x)=e^x-1，f'(0)=e^0-1=1-1=0。f(0)=e^0-0=1。故切線方程為y=0(x-0)+1=1，即y=x。

三、多選題答案及解析

1.A,D

解析：y=sin(x)在(0,π/2)上單調(diào)遞增，在(π/2,π)上單調(diào)遞減。故在(0,π)上非單調(diào)遞增。y=cos(x)在(0,π)上單調(diào)遞減。y=tan(x)在(0,π)上存在不連續(xù)點(π/2)，故非單調(diào)遞增。y=e^x在(0,π)上單調(diào)遞增。

2.B,C

解析：集合A=(-∞,2]∪[3,+∞)，B={x|ax+1>0}。若A∩B={x|1<x≤3}，則B必須包含(1,3]且不包含小于等于1的部分。當(dāng)a>0時，B=(1/a,+∞)，需1/a≤1，即a≥1。當(dāng)a<0時，B=(-∞,1/a)，需1/a>3，即a<1/3。若a=1，B=(1,+∞)，A∩B=(1,2]∪[3,+∞)，不符合。若a=2，B=(1/2,+∞)，A∩B=(1,2]∪[3,+∞)，不符合。若a=-1，B=(-∞,-1)，A∩B=?，不符合。若a=-2，B=(-∞,-1/2)，A∩B=(-∞,2]∪[3,+∞)，不符合。只有a=2時，B=(1/2,+∞)，A∩B=(1,2]∪[3,+∞)，不符合。只有a=-1時，B=(-∞,-1)，A∩B=?，不符合。只有a=-2時，B=(-∞,-1/2)，A∩B=(-∞,2]∪[3,+∞)，不符合。只有a=1/2時，B=(2,+∞)，A∩B=(1,2]∪[3,+∞)，不符合。只有a=-1/2時，B=(-∞,-2)，A∩B=(-∞,2]∪[3,+∞)，不符合。

3.B,D

解析：z為純虛數(shù)，即z=bi(b≠0)，則z^2=(bi)^2=b^2*i^2=-b^2，純虛數(shù)b^2為實數(shù)，故A錯。f(x)為奇函數(shù)，即f(-x)=-f(x)，其圖像關(guān)于原點對稱，故B對。a_n=a_1+(n-1)d，a_n^2=(a_1+(n-1)d)^2=a_1^2+2a_1(n-1)d+(n-1)^2d^2，其相鄰項之差為[2a_1(n-1)d+(n-1)^2d^2]-[2a_1(n-2)d+(n-2)^2d^2]=2a_1d+(2n-3)d^2，不是常數(shù)，故C錯。函數(shù)在區(qū)間I上單調(diào)遞增，則其導(dǎo)數(shù)f'(x)≥0，若f'(x)在某點x_0存在且為0，則該點可能不是極值點，但連續(xù)性是導(dǎo)數(shù)存在的必要條件，故D對。

4.A,C,D

解析：f'(x)=3x^2-6x+2。令f'(x)=0，得3x^2-6x+2=0，解得x=1±√(1-2/3)=1±√1/3。f''(x)=6x-6。f''(1)=6-6=0，f'''(1)=6>0，故x=1處不是極值點。f''(-1)=-12<0，故x=-1處取得極大值。故A錯。f''(-1)=-12<0，故x=-1處取得極大值。故B錯。f(0)=0^3-3*0^2+2*0=0，f(1)=1-3+2=0，f(-1)=-1-3+2=-2，f(2)=8-12+4=0。故f(x)與x軸有三個交點，C對。f(0)=0，故圖像與y軸的交點為(0,2)，D對。

5.A,B,C

解析：由正弦定理，a/sinA=b/sinB=c/sinC。設(shè)邊BC=a=√3，角A=45°，角B=60°，則角C=180°-45°-60°=75°。邊AC=b=a*sinB/sinA=√3*sin60°/sin45°=√3*(√3/2)/(√2/2)=3/√2=3√2/2。邊AB=c=a*sinC/sinA=√3*sin75°/sin45°=√3*(√6+√2)/4/(√2/2)=√3*(√6+√2)/2。△ABC的面積S=1/2*a*b*sinC=1/2*√3*√3/√2*sin75°=3/(2√2)*(√6+√2)/4=(√3+1)/4。故A錯，B對，C對，D錯。

四、判斷題答案及解析

1.正確

解析：函數(shù)f(x)=|x-1|在x=1時取得最小值0。

2.錯誤

解析：若a>0，則不等式a^x>1對任意x∈R成立的條件是x>0。當(dāng)x≤0時，a^x≤1。

3.錯誤

解析：直線y=kx+b與圓x^2+y^2=r^2相切的條件是圓心(0,0)到直線的距離等于半徑r，即|k*0+b|/√(k^2+1)=r，即|b|/√(k^2+1)=r，解得r=|b|/√(k^2+1)。

4.正確

解析：f'(x)=2x-4。令f'(x)=0，得x=2。f''(x)=2>0，故x=2處取得極小值。f(2)=2^2-4*2+3=4-8+3=-1。f(1)=1-4+3=0。f(4)=4^2-4*4+3=16-16+3=3。故f(x)在區(qū)間[1,4]上的最大值為max{f(1),f(4)}=max{0,3}=3。

5.正確

解析：等比數(shù)列{a_n}中，a_1=1，q=2，則a_5=a_1*q^4=1*2^4=16。

6.錯誤

解析：復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)為純虛數(shù)的充要條件是a=0且b≠0。如果a=0且b=0，則z=0，不是純虛數(shù)。

7.正確

解析：向量a=(1,2)，b=(3,-4)，則a·b=1*3+2*(-4)=3-8=-5。因為a·b<0，所以向量a與向量b的夾角為鈍角。

8.錯誤

解析：橢圓x^2/16+y^2/9=1中，a^2=16，b^2=9，c^2=a^2-b^2=16-9=7，c=√7。焦點坐標(biāo)為(±√7,0)。

9.錯誤

解析：拋擲三個硬幣，基本事件總數(shù)為2^3=8。恰好出現(xiàn)兩個正面的基本事件有(正正反),(正反正),(反正正)，共3個。故概率為3/8。

10.正確

解析：函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)。其最小正周期T=2π/ω=2π/(1)=2π。

五、問答題答案及解析

1.解：f'(x)=3x^2-6x+2。令f'(x)=0，得3x^2-6x+2=0，解得x=1±√1/3。f''(x)=6x-6。f''(1+√1/3)=6(1+√1/3)-6=6√1/3>0，故x=1+√1/3處取得極小值。f''(1-√1/3)=6(1-√1/3)-6=-6√1/3<0，故x=1-√1/3處取得極大值。當(dāng)x<1-√1/3時，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增。當(dāng)1-√1/3<x<1+√1/3時，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減。當(dāng)x>1+