2026年高等數(shù)學(xué)拓?fù)鋵W(xué)基礎(chǔ)檢測(cè)試題沖刺卷考試時(shí)長(zhǎng)：120分鐘滿分：100分班級(jí)：__________姓名：__________學(xué)號(hào)：__________得分：__________試卷名稱：2026年高等數(shù)學(xué)拓?fù)鋵W(xué)基礎(chǔ)檢測(cè)試題沖刺卷考核對(duì)象：高等院校數(shù)學(xué)、物理、計(jì)算機(jī)等相關(guān)專業(yè)本科二年級(jí)學(xué)生題型分值分布：-判斷題（總共10題，每題2分）總分20分-單選題（總共10題，每題2分）總分20分-多選題（總共10題，每題2分）總分20分-案例分析（總共3題，每題6分）總分18分-論述題（總共2題，每題11分）總分22分總分：100分---一、判斷題（每題2分，共20分）1.拓?fù)淇臻g中的開(kāi)集運(yùn)算滿足交換律。2.連通空間不能被分解為兩個(gè)非空開(kāi)集的并集。3.拓?fù)涞葍r(jià)關(guān)系是等價(jià)類上的分離關(guān)系。4.緊致空間一定是可數(shù)緊致空間。5.拓?fù)淇臻g中，任意閉集的補(bǔ)集是開(kāi)集。6.同胚映射是保持拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的雙射。7.拓?fù)淇臻g中，單點(diǎn)集一定是閉集。8.豪斯多夫空間中，任意兩點(diǎn)存在不相交的鄰域。9.拓?fù)淇臻g的子空間一定是拓?fù)淇臻g。10.連續(xù)映射的像一定是開(kāi)集當(dāng)且僅當(dāng)映射是開(kāi)映射。二、單選題（每題2分，共20分）1.下列哪個(gè)不是拓?fù)淇臻g的公理？A.單點(diǎn)集是閉集B.空集和全集是開(kāi)集C.任意開(kāi)集的并集是開(kāi)集D.任意開(kāi)集的交集是開(kāi)集2.下列哪個(gè)空間是緊致的？A.自然數(shù)集B.實(shí)數(shù)集C.有理數(shù)集D.開(kāi)區(qū)間(0,1)3.下列哪個(gè)映射是連續(xù)的？A.f:?→?,f(x)=1/xB.f:?→?,f(x)=x2C.f:?→?,f(x)=sin(x)D.f:?→?,f(x)=log(x)4.下列哪個(gè)空間是連通的？A.{(x,y)∈?2|x2+y2=1}B.{(x,y)∈?2|x2+y2<1}C.?2\{(0,0)}D.{(x,y)∈?2|x=0}5.下列哪個(gè)映射是同胚的？A.f:?→(0,1),f(x)=1/(1+x2)B.f:?→?,f(x)=x3C.f:?→?,f(x)=2x+1D.f:?→?,f(x)=e^x6.下列哪個(gè)空間是豪斯多夫空間？A.拓?fù)湔麛?shù)空間B.indiscretetopologyC.trivialtopologyD.standardtopologyon?7.下列哪個(gè)是緊致空間的性質(zhì)？A.可數(shù)開(kāi)覆蓋必有有限子覆蓋B.任意開(kāi)覆蓋必有無(wú)限子覆蓋C.任意閉覆蓋必有無(wú)限子覆蓋D.任意點(diǎn)列必有收斂子列8.下列哪個(gè)是連通空間的性質(zhì)？A.可分解為兩個(gè)非空開(kāi)集的并集B.不可分解為兩個(gè)非空開(kāi)集的并集C.任意點(diǎn)集可連通D.任意閉集可連通9.下列哪個(gè)是同胚映射的性質(zhì)？A.保持開(kāi)集B.保持閉集C.保持緊致性D.以上都是10.下列哪個(gè)是開(kāi)映射的性質(zhì)？A.任意開(kāi)集的像是開(kāi)集B.任意閉集的像是閉集C.任意緊致集的像是緊致集D.任意連通集的像是連通集三、多選題（每題2分，共20分）1.下列哪些是拓?fù)淇臻g的性質(zhì)？A.單點(diǎn)集是閉集B.空集和全集是開(kāi)集C.任意開(kāi)集的并集是開(kāi)集D.任意開(kāi)集的交集是開(kāi)集E.任意閉集的補(bǔ)集是開(kāi)集2.下列哪些是緊致空間的性質(zhì)？A.可數(shù)開(kāi)覆蓋必有有限子覆蓋B.任意開(kāi)覆蓋必有有限子覆蓋C.任意閉覆蓋必有有限子覆蓋D.任意點(diǎn)列必有收斂子列E.同胚像仍是緊致空間3.下列哪些是連通空間的性質(zhì)？A.不可分解為兩個(gè)非空開(kāi)集的并集B.任意開(kāi)覆蓋不能分解為兩個(gè)非空開(kāi)集的并集C.單點(diǎn)集是連通的D.連通集的子集仍是連通的E.連通集的同胚像仍是連通的4.下列哪些是同胚映射的性質(zhì)？A.保持開(kāi)集B.保持閉集C.保持緊致性D.保持連通性E.雙射且連續(xù)且逆映射連續(xù)5.下列哪些是開(kāi)映射的性質(zhì)？A.任意開(kāi)集的像是開(kāi)集B.任意閉集的像是閉集C.任意緊致集的像是緊致集D.任意連通集的像是連通集E.雙射且連續(xù)且逆映射連續(xù)6.下列哪些是豪斯多夫空間（T2空間）的性質(zhì)？A.任意兩點(diǎn)存在不相交的鄰域B.任意收斂序列的極限唯一C.任意閉集可分離為不相交的緊致集D.任意開(kāi)覆蓋必有有限子覆蓋E.同胚像仍是豪斯多夫空間7.下列哪些是緊致空間的子空間的性質(zhì)？A.閉子空間仍是緊致空間B.開(kāi)子空間仍是緊致空間C.任意子覆蓋必有有限子覆蓋D.任意點(diǎn)列在子空間中必有收斂子列E.同胚像仍是緊致空間8.下列哪些是連通空間的子空間的性質(zhì)？A.閉子空間仍是連通的B.開(kāi)子空間仍是連通的C.任意子覆蓋不能分解為兩個(gè)非空開(kāi)集的并集D.任意點(diǎn)集在子空間中仍是連通的E.同胚像仍是連通的9.下列哪些是同胚映射的例子？A.f:?→(0,1),f(x)=1/(1+x2)B.f:?→?,f(x)=x3C.f:?→?,f(x)=2x+1D.f:?→?,f(x)=e^xE.f:?→?,f(x)=|x|10.下列哪些是開(kāi)映射的例子？A.f:?→(0,1),f(x)=1/(1+x2)B.f:?→?,f(x)=x3C.f:?→?,f(x)=2x+1D.f:?→?,f(x)=e^xE.f:?→?,f(x)=|x|四、案例分析（每題6分，共18分）1.設(shè)X為實(shí)數(shù)集?，拓?fù)銽由以下開(kāi)集組成：?,?,(a,b)（a,b∈?且a<b）,(a,∞),(-∞,b)。證明X(T)是連通的。2.設(shè)X為集合{a,b,c}，拓?fù)銽={?,{a},{a,b},{a,b,c}}。證明X(T)是緊致的。3.設(shè)X為集合{a,b,c}，拓?fù)銽={?,{a},{a,b,c}}。證明X(T)不是豪斯多夫空間。五、論述題（每題11分，共22分）1.證明緊致空間的閉子空間仍是緊致空間。2.證明連通空間的子空間仍是連通空間。---標(biāo)準(zhǔn)答案及解析一、判斷題1.錯(cuò)誤。開(kāi)集運(yùn)算不滿足交換律，例如在?上，(0,1)∪(1,2)≠(1,2)∪(0,1)。2.錯(cuò)誤。連通空間可以分解為兩個(gè)非空開(kāi)集的并集，但只有不可分解的才是連通的。3.錯(cuò)誤。拓?fù)涞葍r(jià)關(guān)系是等價(jià)類上的雙射，不是分離關(guān)系。4.錯(cuò)誤。緊致空間不一定是可數(shù)緊致空間，例如?（標(biāo)準(zhǔn)拓?fù)洌┦蔷o致但不可數(shù)緊致。5.正確。拓?fù)淇臻g中，閉集的補(bǔ)集定義為開(kāi)集。6.正確。同胚映射是保持拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的雙射。7.正確。單點(diǎn)集的補(bǔ)集是空集，空集是開(kāi)集。8.正確。豪斯多夫空間中，任意兩點(diǎn)存在不相交的鄰域。9.正確。拓?fù)淇臻g的子空間繼承原拓?fù)淇臻g的拓?fù)湫再|(zhì)。10.錯(cuò)誤。連續(xù)映射的像不一定是開(kāi)集，例如f(x)=x3在?上連續(xù)但像不是開(kāi)集。二、單選題1.A.單點(diǎn)集是閉集不是拓?fù)淇臻g的公理，而是拓?fù)淇臻g的性質(zhì)。2.A.自然數(shù)集是緊致的，因?yàn)槿魏伍_(kāi)覆蓋必有有限子覆蓋。3.B.f(x)=x2是連續(xù)的，因?yàn)槠椒胶瘮?shù)在?上連續(xù)。4.B.{(x,y)∈?2|x2+y2<1}是連通的，因?yàn)樗情]區(qū)間在平面上的擴(kuò)展。5.B.f(x)=x3是同胚的，因?yàn)樗请p射且連續(xù)且逆映射f?1(x)=?x也連續(xù)。6.D.standardtopologyon?是豪斯多夫空間，因?yàn)槿我鈨牲c(diǎn)存在不相交的鄰域。7.A.緊致空間的性質(zhì)是可數(shù)開(kāi)覆蓋必有有限子覆蓋。8.B.連通空間的性質(zhì)是不可分解為兩個(gè)非空開(kāi)集的并集。9.D.同胚映射保持開(kāi)集、閉集和緊致性。10.A.開(kāi)映射的性質(zhì)是任意開(kāi)集的像是開(kāi)集。三、多選題1.A,B,C,D.拓?fù)淇臻g的公理包括單點(diǎn)集是閉集、空集和全集是開(kāi)集、任意開(kāi)集的并集和交集是開(kāi)集。2.A,B,E.緊致空間的性質(zhì)包括可數(shù)開(kāi)覆蓋必有有限子覆蓋、同胚像仍是緊致空間。3.A,B,E.連通空間的性質(zhì)包括不可分解為兩個(gè)非空開(kāi)集的并集、同胚像仍是連通的。4.A,B,C,D,E.同胚映射的性質(zhì)包括保持開(kāi)集、閉集、緊致性、連通性，且是雙射且連續(xù)且逆映射連續(xù)。5.A,C,E.開(kāi)映射的性質(zhì)包括任意開(kāi)集的像是開(kāi)集、任意緊致集的像是緊致集、同胚像仍是開(kāi)映射。6.A,B,E.豪斯多夫空間（T2空間）的性質(zhì)包括任意兩點(diǎn)存在不相交的鄰域、任意收斂序列的極限唯一、同胚像仍是豪斯多夫空間。7.A,C,E.緊致空間的子空間的性質(zhì)包括閉子空間仍是緊致空間、任意子覆蓋必有有限子覆蓋、同胚像仍是緊致空間。8.A,C,E.連通空間的子空間的性質(zhì)包括閉子空間仍是連通的、任意子覆蓋不能分解為兩個(gè)非空開(kāi)集的并集、同胚像仍是連通的。9.B,E.f(x)=x3和f(x)=|x|是同胚映射，因?yàn)樗鼈兪请p射且連續(xù)且逆映射連續(xù)。10.A,E.f(x)=1/(1+x2)和f(x)=|x|是開(kāi)映射，因?yàn)樗鼈儗㈤_(kāi)集映射為開(kāi)集。四、案例分析1.證明X(T)是連通的：假設(shè)X(T)可分解為兩個(gè)非空開(kāi)集U,V的并集，且U∩V=?。由于U,V非空，存在a∈U,b∈V且a<b?？紤]開(kāi)集(a,∞)∈T，因?yàn)閍∈U且U是開(kāi)集，所以(a,∞)?U。同理(b,∞)?V。但(a,∞)∩(b,∞)=?，矛盾。因此X(T)不可分解為兩個(gè)非空開(kāi)集的并集，是連通的。2.證明X(T)是緊致的：任意開(kāi)覆蓋{U?}覆蓋X，因?yàn)閁={a}和U={a,b,c}都是開(kāi)集，所以存在U?包含{a}，U?包含{b,c}。因此有限子覆蓋為{U={a},U={a,b,c}}，X(T)是緊致的。3.證明X(T)不是豪斯多夫空間：考慮a,b∈X，取U={a},V=，U,V都是開(kāi)集且U∩V=?。但不存在不相交的鄰域，因?yàn)槿魏伟琣的鄰域都包含b，反之亦然。因此X(T)不是豪斯多夫空間。五、論述題1.證明緊致空間的閉子空間仍是緊致空間：設(shè)X是緊致空間，A是X的閉子空間，{V?}是A的開(kāi)覆蓋。因?yàn)锳是閉集，所以X\A是開(kāi)集，且{V?}∪{X\A}是X的開(kāi)覆蓋。因?yàn)閄是緊致空間，存在有限子覆蓋{V<0xE2><0x82><0x99>,...,V<0xE2><0x82><0x9F>}覆蓋X。若V<0xE2><0x82><0x9F>包含A，則{V<0xE2><0x8