專題10.6事件的相互獨(dú)立性與條件概率、全概率公式（舉一反三講義）【全國通用】TOC\o"13"\h\u【題型1相互獨(dú)立事件的判斷】 3【題型2相互獨(dú)立事件的概率】 6【題型3條件概率】 7【題型4全概率公式】 9【題型5貝葉斯公式】 11【題型6條件概率與其他知識綜合】 131、事件的相互獨(dú)立性與條件概率、全概率公式考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計考情分析(1)了解兩個事件相互獨(dú)立的含義(2)理解隨機(jī)事件的獨(dú)立性和條件概率的關(guān)系，會利用全概率公式計算概率2023年新高考I卷：第21題，12分2023年新高考Ⅱ卷：第12題，5分2023年全國甲卷（理數(shù)）：第6題，5分2024年新高考Ⅱ卷：第18題，17分2024年天津卷：第13題，5分2024年上海卷：第8題，5分2025年天津卷：第13題，5分2025年上海卷：第13題，5分從近幾年的高考情況來看，本節(jié)是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)內(nèi)容，主要考查相互獨(dú)立事件的概率、條件概率與全概率公式等，一般以選擇題或填空題的形式考查，難度不大；有時也會在解答題中作為一小問出現(xiàn)，與其他知識結(jié)合考查，難度中等，復(fù)習(xí)時需要加強(qiáng)這方面的練習(xí).知識點(diǎn)1事件的相互獨(dú)立性1．事件的相互獨(dú)立性(1)定義對任意兩個事件A與B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立，簡稱為獨(dú)立.(2)性質(zhì)若事件A與B相互獨(dú)立，則A與B，A與B，A與B也相互獨(dú)立.(3)推廣兩個事件的相互獨(dú)立性可以推廣到n(n>2，n∈N*)個事件的相互獨(dú)立性，即若事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立，則這n個事件同時發(fā)生的概率P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An).2．求相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率的方法(1)利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式直接求解.(2)正面計算較繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或難以入手時，可從其對立事件入手計算.知識點(diǎn)2條件概率與全概率公式1．條件概率(1)條件概率的定義(2)性質(zhì)設(shè)P(A)>0，Ω為樣本空間，則①P(B|A)∈[0,1]，P(Ω|A)=1；②如果B和C是兩個互斥事件，則P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)；③設(shè)B和B互為對立事件，則P(B|A)=1P(B|A).2．概率的乘法公式由條件概率的定義，對任意兩個事件A與B，若P(A)>0，則P(AB)=P(A)·P(B|A).3．全概率公式及應(yīng)用(1)全概率公式(2)全概率公式的意義4．貝葉斯公式貝葉斯公式是在條件概率的基礎(chǔ)上尋找事件發(fā)生的原因，在運(yùn)用貝葉斯公式時，一般已知和未知條件如下：(1)A的多種情況中到底哪種情況發(fā)生是未知的，但是每種情況發(fā)生的概率已知，即P(Ai)已知;(2)事件B是已經(jīng)發(fā)生的確定事實，且A的每種情況發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率已知，即P(B|Ai)已知；(3)P(B)未知，需要使用全概率公式計算得到；(4)求解的目標(biāo)是用A的某種情況Ai的無條件概率求其在B發(fā)生的條件下的有條件概率P(Ai|B).5．求條件概率的常用方法(3)縮樣法：去掉第一次抽到的情況，只研究剩下的情況，用古典概型求解.6．利用全概率公式的思路(1)按照確定的標(biāo)準(zhǔn)，將一個復(fù)合事件分解為若干個互斥事件Ai(i=1,2,…,n)；(2)求P(Ai)和所求事件B在各個互斥事件Ai發(fā)生條件下的概率P(B|Ai)；(3)代入全概率公式計算.【方法技巧與總結(jié)】1．如果事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立，那么這n個事件同時發(fā)生的概率等于每個事件發(fā)生的概率的積，即P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An).2．全概率公式為概率論中的重要公式，它將對一個復(fù)雜事件A的概率的求解問題，轉(zhuǎn)化為了在不同情況下發(fā)生的簡單事件的概率的求和問題.【題型1相互獨(dú)立事件的判斷】【例1】（2025·上海青浦·模擬預(yù)測）一個質(zhì)地均勻的正四面體，四個面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4.任意擲一次該四面體，觀察它與地面接觸面上的數(shù)字，得到樣本空間Ω={1,2,3,4}，記事件A={1,2}，事件B={1,3}，事件C={1,4}，則（

）A．事件A,B,C兩兩獨(dú)立，事件A,B,C相互獨(dú)立B．事件A,B,C兩兩獨(dú)立，事件A,B,C不相互獨(dú)立C．事件A,B,C不兩兩獨(dú)立，事件A,B,C相互獨(dú)立D．事件A,B,C不兩兩獨(dú)立，事件A,B,C不相互獨(dú)立【答案】B【解題思路】根據(jù)獨(dú)立事件的定義，結(jié)合題意即可判斷各選項的正誤.【解答過程】由題知：P(A)=24=12P(AB)=14，P(AC)=14，因為P(AB)=14=P(A)P(B),P(AC)=所以事件A,B,C兩兩獨(dú)立；但P(ABC)=14≠P(A)P(B)P(C)=故選：B.【變式11】（2025·湖南·模擬預(yù)測）甲，乙兩人在玩擲骰子游戲，各擲一次，設(shè)得到的點(diǎn)數(shù)分別為x,y，A表示事件“x>4”，B表示事件“y為奇數(shù)”，C表示事件“x+y>8”，D表示事件“x+y=7”，則相互獨(dú)立的事件是（

）A．A與C B．B與C C．C與D D．B與D【答案】D【解題思路】由已知得出樣本空間包含的樣本點(diǎn)的個數(shù)為36個，求出相關(guān)事件的概率，逐一利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式檢驗即得.【解答過程】由題意得：事件A:“x>4”的情況有：5,1,所以PA事件B:“y為奇數(shù)”的情況有：1,14,1,所以PB事件C:“x+y>8”的情況有：(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)共10種，所以PC事件D:“x+y=7”的情況有：1,6,所以P(D)=1對于A，因PAC=736≠P對于B，因PBC=436=對于C，因事件C與D不能同時發(fā)生，則PCD對于D，PBD=336=故選：D.【變式12】（2025·上海奉賢·三模）如果A,B分別是A,B的對立事件，下列選項中不能判斷件A與事件B相互獨(dú)立的是（A．P(A∩B)=P(A)?P(B) B．P(A∩C．P(B|A)=P(A) D．P(B|A)=P(B)【答案】C【解題思路】根據(jù)相互獨(dú)立事件的乘法公式和條件概率公式結(jié)合相互獨(dú)立事件的定義逐一判斷即可.【解答過程】對于A，因為P(A∩B)=P(A)?P(B)，所以A,B相互獨(dú)立，故A正確；對于B，因為P(A)?(1?P(B))=PA所以P(A∩B所以A,B相互獨(dú)立，所以A,B對于C，P(B|A)=P所以P(AB)=P(A)?P(A)，所以無法判斷A,B相互獨(dú)立，故C錯誤；對于D，P(B|A)=P因為P(A∩B)=P(A)?P(B)，所以A,B相互獨(dú)立，故D正確.故選：C.【變式13】（2025·廣東湛江·一模）在一次考試中有一道4個選項的雙選題，其中B和C是正確選項，A和D是錯誤選項，甲、乙兩名同學(xué)都完全不會這道題目，只能在4個選項中隨機(jī)選取兩個選項．設(shè)事件M=“甲、乙兩人所選選項恰有一個相同”，事件N=“甲、乙兩人所選選項完全不同”，事件X=“甲、乙兩人所選選項完全相同”，事件Y=“甲、乙兩人均未選擇B選項”，則（

）A．事件M與事件N相互獨(dú)立 B．事件X與事件Y相互獨(dú)立C．事件M與事件Y相互獨(dú)立 D．事件N與事件Y相互獨(dú)立【答案】C【解題思路】根據(jù)互斥、相互獨(dú)立事件的乘法公式對選項一一判斷即可得出答案.【解答過程】依題意甲、乙兩人所選選項有如下情形：①有一個選項相同，②兩個選項相同，③兩個選項不相同，所以PM=C41?C因為事件M與事件N互斥，所以PMN=0，又所以事件M與事件N不相互獨(dú)立，故A錯誤；PXY由PMY=C31因為事件N與事件Y互斥，所以PNY=0，又所以事件N與事件Y不相互獨(dú)立，故D錯誤.故選：C．【題型2相互獨(dú)立事件的概率】【例2】（2025·山西臨汾·三模）公共汽車上有3名乘客，在沿途的4個車站隨機(jī)下車，3名乘客下車互不影響，則恰有2名乘客在第4個車站下車的概率是（

）A．13 B．19 C．364【答案】D【解題思路】由題意，根據(jù)概率乘法公式，可得答案.【解答過程】由題意可得每個人在某個站下車的概率為14，則恰有兩人在第4站下車的概率為3×故選：D.【變式21】（2025·湖南·三模）已知事件A，B是相互獨(dú)立事件，且PA=23，PBA．112 B．12 C．512【答案】A【解題思路】根據(jù)相互獨(dú)立事件的性質(zhì)可知事件A，B也是相互獨(dú)立事件，再由相互獨(dú)立事件的概率公式計算可得.【解答過程】因為事件A，B是相互獨(dú)立事件，所以事件A，B也是相互獨(dú)立事件，又PA=23，PB所以PA故選：A.【變式22】（2025·廣東肇慶·二模）小王數(shù)學(xué)期末考試考了90分，受到爸爸表揚(yáng)的概率為12，受到媽媽表揚(yáng)的概率也為12，假設(shè)小王受爸爸表揚(yáng)和受媽媽表揚(yáng)獨(dú)立，則小王被表揚(yáng)的概率為（A．12 B．14 C．34【答案】C【解題思路】相互獨(dú)立事件的概率，采用乘法公式，正面分類復(fù)雜，求對立事件（小王不被表揚(yáng)）的概率可得解.【解答過程】記小王受到爸爸表揚(yáng)為事件A，小王受到媽媽表揚(yáng)為事件B，小王受到表揚(yáng)為事件D，小王同學(xué)受爸爸表揚(yáng)和受媽媽表揚(yáng)相互獨(dú)立，則PD故選：C.【變式23】（2025·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測）某AI訓(xùn)練平臺使用強(qiáng)化學(xué)習(xí)算法訓(xùn)練機(jī)器人完成迷宮任務(wù)．機(jī)器人每次訓(xùn)練有以下規(guī)則：若上一輪成功，本輪成功率為p；若上一輪失敗，本輪成功率降為p2．已知首輪成功率為23，且前兩輪都成功的概率為12A．2764 B．932 C．49【答案】B【解題思路】根據(jù)題意三輪訓(xùn)練中恰好成功兩次的情形有3種，情形1：成功、成功、失敗,情形2：成功、失敗、成功，情形3：失敗、成功、成功，再計算對應(yīng)概率求和即可.【解答過程】求p的值：前兩輪成功概率：首輪成功23，第二輪成功p，故23p=分類計算：情形1：成功、成功、失敗，概率：23情形2：成功、失敗、成功，第二輪失敗后，第三輪成功率降為38，概率：2情形3：失敗、成功、成功；1．首輪失敗后，第二輪成功率降為382．第二輪成功后，第三輪成功率保持343．概率：13總概率：18故選：B.【題型3條件概率】【例3】（2025·江西·三模）從甲、乙、丙、丁、戊5人中任選3人組成展示小組，則在甲被選中的條件下，乙被選中的概率為（

）A．23 B．12 C．25【答案】B【解題思路】根據(jù)條件概率公式計算求解.【解答過程】設(shè)事件A為“甲被選中”，事件B為“乙被選中”，那么在甲被選中的條件下，乙被選中的概率為PB|A故選：B.【變式31】（2025·甘肅白銀·三模）若P(A)=45,P(B∣A)=A．35 B．711 C．911【答案】C【解題思路】由題意，利用全概率公式以及條件概率的計算，可得答案.【解答過程】因為P(A)=4所以P(B)=P(A)P(B∣A)+P(A所以PA∣B故選：C.【變式32】（2025·河北·三模）除夕夜吃餃子是中華民族的傳統(tǒng)習(xí)俗，若一盤餃子共有三種餡，其中豬肉三鮮水餃有6個，素三鮮水餃有7個，羊肉大蔥水餃有7個，現(xiàn)從盤中夾取3個餃子，在取到的都是同種餡的條件下，取到的都是羊肉大蔥水餃的概率是（

）A．718 B．7228 C．338【答案】A【解題思路】利用條件概率計算公式PB∣A【解答過程】記A=“取到都是同種餡的水餃”，B=“取到的都是羊肉大蔥水餃”，則PA=C故所求概率為PB∣A故選：A.【變式33】（2025·遼寧·三模）某高中開發(fā)了三個不同的“美育”課程和兩個不同的“勞動教育”課程，甲同學(xué)從五門課程中任選了兩門，已知有一門是“美育”課程，則另一門也是“美育”課程的概率為（

）A．310 B．13 C．35【答案】B【解題思路】根據(jù)條件概率公式P(B|A)=P(AB)P(A)來求解，先分別求出P(A)（至少有一門是“美育”課程的概率）和【解答過程】設(shè)事件A：至少有一門是“美育”課程，事件AB：兩門都是“美育”課程，從五門課程中任選兩門的選法數(shù)為C5“至少有一門是‘美育’課程”的對立事件是“兩門都是‘勞動教育’課程”.兩門都是“勞動教育”課程的選法數(shù)為C2所以至少有一門是“美育”課程的選法數(shù)為10?1=9種.則P(A)=9從三個不同的“美育”課程中選兩門的選法數(shù)為C32=由條件概率公式P(B|A)=P(AB)P(A)，將P(A)=9P(B|A)=3故選：B.【題型4全概率公式】【例4】（2025·廣東深圳·模擬預(yù)測）近期某市推進(jìn)“光儲充一體化”充電站建設(shè)，現(xiàn)有A充電站配備2個超級快充樁和3個普通充電樁，B充電站配備1個超級快充樁和3個普通充電樁，為優(yōu)化資源配置，系統(tǒng)隨機(jī)從A站調(diào)度1個充電樁至B站，隨后技術(shù)人員從B站隨機(jī)選取2個充電樁進(jìn)行升級調(diào)試，記“選取的兩個充電樁均為普通樁”為事件B，則PB=（A．625 B．1350 C．725【答案】D【解題思路】根據(jù)全概率公式求解.【解答過程】設(shè)從A站調(diào)度的充電樁為超級快充樁為事件M，從A站調(diào)度的充電樁為普通充電樁為事件N，則PM=2則PB=PM?PB|M+PN故選：D.【變式41】（2025·湖南湘潭·一模）跑步運(yùn)動越來越受大眾喜愛．據(jù)統(tǒng)計，某校有高一、高二、高三三個年級，這三個年級中喜歡跑步運(yùn)動的教師分別占該年級教師人數(shù)的40%，30%，35%，且這三個年級的教師人數(shù)之比為3：3：4，現(xiàn)從這三個年級中隨機(jī)抽一名教師，則該教師喜歡跑步的概率為（

）A．0.35 B．0.32 C．0.45 D．0.36【答案】A【解題思路】首先明確各年級教師人數(shù)的比例以及各年級中喜歡跑步的教師比例，然后利用全概率公式計算從三個年級中隨機(jī)抽一名教師喜歡跑步的概率即可【解答過程】設(shè)事件A表示“隨機(jī)抽一名教師喜歡跑步”，事件B1∵三個年級的教師人數(shù)之比為3:3:4，∴P(B∵高一、高二、高三三個年級中喜歡跑步運(yùn)動的教師分別占該年級教師人數(shù)的40%，30%，35%，∴P(A|B根據(jù)全概率公式P(A)=P(B故選：A.【變式42】（2025·云南紅河·模擬預(yù)測）播種用的一批一等葫蘆種子中混有2%的二等種子，1.5%的三等種子，1%的四等種子，一、二、三、四等種子長出的葫蘆秧結(jié)出50顆以上果實的概率分別為0.5，0.15，0.1，0.05，則這批種子所生長出的葫蘆秧結(jié)出50顆以上果實的概率為（）A．0.0005 B．0.4815 C．0.5005 D．0.4825【答案】D【解題思路】根據(jù)全概率公式求解即可.【解答過程】從這批種子中任選一顆是一，二，三，四等種子的事件分別是A1則Ω=A1設(shè)B表示“從這批種子中任選一顆，所生長出的葫蘆秋結(jié)出50顆以上果實”，則P(AP(B|A則P=95.5%故選：D.【變式43】（2025·廣東汕頭·二模）某學(xué)校有A、B兩家餐廳，王同學(xué)第1天午餐時隨機(jī)選擇一家餐廳用餐．如果第1天去A餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.6；如果第1天去B餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.8，則王同學(xué)第2天去A餐廳用餐的概率為（

）A．0.7 B．0.6 C．0.5 D．0.4【答案】A【解題思路】應(yīng)用全概率公式計算求解.【解答過程】記A=“第1天去A餐廳”，A=“第1天去B餐廳”，B=“第2天去A則由全概率公式得：PB故選：A.【題型5貝葉斯公式】【例5】（2025·湖南邵陽·二模）有甲、乙、丙3臺車床加工同一型號的零件，加工的次品率分別為6%、5%、3%，加工出來的零件混放在一起．已知甲、乙、丙3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的30%、40%A．2147 B．2047 C．1847【答案】C【解題思路】記事件A1:取到的零件為甲車床加工的，事件A2:取到的零件為乙車床加工的，事件A3【解答過程】記事件A1:取到的零件為甲車床加工的，事件事件A3:取到的零件為丙車床加工的，事件則PBA1=6PA1=310由貝葉斯公式可得PA因此，如果取到的零件是次品，則它是甲車床加工的概率為1847故選：C.【變式51】（2024·江蘇宿遷·一模）人工智能領(lǐng)域讓貝葉斯公式：PAB=PBAPA．0.1% B．0.4% C．2.4%【答案】C【解題思路】根據(jù)題意，由貝葉斯公式代入計算，即可得到結(jié)果.【解答過程】記“視頻是AI合成”為事件A，記“鑒定結(jié)果為AI”為事件B，則PA由貝葉斯公式得：PA故選：C．【變式52】（2025·北京朝陽·模擬預(yù)測）現(xiàn)有一種檢驗方法，對患X疾病的人化驗結(jié)果99%呈陽性，對未患X疾病的人化驗結(jié)果99.9%呈陰性．我們稱檢驗為陽性的人中未患病比例為誤診率．已知一地區(qū)X疾病的患病率為0.0004，則這種檢驗方法在該地區(qū)的誤診率為（A．0.716 B．0.618 C．0.112 D．0.067【答案】A【解題思路】記事件A:檢查結(jié)果呈陽性，事件B:被檢查確實患X疾病，利用全概率公式求出PA的值，然后利用貝葉斯公式可求出P【解答過程】記事件A:檢查結(jié)果呈陽性，事件B:被檢查確實患X疾病，由題意可知，PB=0.0004，PB=0.9996，所以，PA因此，這種檢驗方法在該地區(qū)的誤診率為PB故選：A.【變式53】（2025·江西南昌·一模）假設(shè)甲袋中有3個白球和2個紅球，乙袋中有2個白球和2個紅球.現(xiàn)從甲袋中任取2個球放入乙袋，混勻后再從乙袋中任取2個球.已知從乙袋中取出的是2個白球，則從甲袋中取出的也是2個白球的概率為（）A．37150 B．975 C．1837【答案】C【解題思路】根據(jù)題意，先分析求解設(shè)從甲中取出2個球，其中白球的個數(shù)為i個的事件為Ai，事件Ai的概率為PAi，從乙中取出2個球，其中白球的個數(shù)為2個的事件為B，事件B的概率為【解答過程】設(shè)從甲中取出2個球，其中白球的個數(shù)為i個的事件為Ai，事件Ai的概率為PAi，從乙中取出2個球，其中白球的個數(shù)為2個的事件為B，事件①PA0=②PA1=③PA2=根據(jù)貝葉斯公式可得，從乙袋中取出的是2個白球，則從甲袋中取出的也是2個白球的概率為PA2故選：C.【題型6條件概率與其他知識綜合】【例6】（2025·江蘇鎮(zhèn)江·模擬預(yù)測）2025年，世界首屆人形機(jī)器人運(yùn)動會在東京舉行.頂尖機(jī)器人競技場面震撼，刷新人類對未來體育的認(rèn)知.現(xiàn)某高校一學(xué)生和智能機(jī)器人進(jìn)行一場“網(wǎng)球”比賽，規(guī)則如下：比賽采用三局兩勝制（率先獲得兩局比賽勝利者獲得最終的勝利且比賽結(jié)束），已知該同學(xué)第一局獲勝的概率為13，從第二局開始，如果上一局獲勝，則本局獲勝的概率為12；如果上一局失敗，則本局獲勝的概率為(1)該同學(xué)在以2:1獲得比賽勝利的條件下，求他連勝兩局的概率；(2)記整場比賽該同學(xué)的獲勝局?jǐn)?shù)為ξ，求ξ的分布列和期望.【答案】(1)2(2)分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：19【解題思路】（1）設(shè)出事件，利用條件概率的公式可得答案；（2）求出ξ的取值，分別求解對應(yīng)的概率，利用期望公式可得答案.【解答過程】（1）設(shè)事件A=“該同學(xué)以2:1獲得比賽勝利”，B=“該同學(xué)連勝兩局”，若該同學(xué)以2:1獲得比賽勝利，則三局比賽的結(jié)果為：贏輸贏，輸贏贏，共兩種情況，所以PAPAB則PB∣A則該同學(xué)在以2:1獲得比賽勝利的條件下，連勝兩局獲勝的概率為23（2）由題意ξ的所有取值為0,1,2.則Pξ=0Pξ=1P所以變量ξ的分布列為ξ012P157則ξ的期望為Eξ【變式61】（2025·湖南·模擬預(yù)測）近日，2025年湖南省城市足球聯(lián)賽（被球迷稱為“湘超”）如火如荼地進(jìn)行，引發(fā)廣泛關(guān)注．某地區(qū)隨機(jī)抽取了部分市民，調(diào)查他們對賽事的關(guān)注情況，得到如下表格：性別不關(guān)注賽事關(guān)注賽事男性25150女性5075(1)列出2×2列聯(lián)表并根據(jù)小概率值α=0.001的獨(dú)立性檢驗，能否認(rèn)為關(guān)注“湘超”賽事與性別有關(guān)？(2)現(xiàn)從被調(diào)查的關(guān)注賽事的市民中，按照性別比例采用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取3名市民參加“湘超”賽事知識問答．已知男性、女性市民順利完成知識問答的概率分別為34，1附：χ2α0.10.050.0250.010.0050.001x2.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)列聯(lián)表見解析，認(rèn)為關(guān)注“湘超”賽事與性別有關(guān)(2)2【解題思路】（1）由題意可得列聯(lián)表，再計算，對比臨界值表即可得解；（2）根據(jù)題意，求出有且僅有2人順利完成知識問答的概率和這2人性別不同的概率，再根據(jù)條件概率公式求解即可.【解答過程】（1）列聯(lián)表如下：性別不關(guān)注賽事關(guān)注賽事合計男性25150175女性5075125合計75225300零假設(shè)為H0χ故依據(jù)小概率值α=0.001的獨(dú)立性檢驗，推斷零假設(shè)H0即認(rèn)為關(guān)注“湘超”賽事與性別有關(guān).（2）由分層抽樣可知，抽取男性市民2人，女性市民1人，記“有且僅有2人順利完成知識問答”為事件A，“這2人的性別不同”為事件B，則P(A)=3P(AB)=C則P(B∣A)=P(AB)所以在有且僅有2人順利完成知識問答的條件下，這2人的性別不同的概率為25【變式62】（2025·全國·模擬預(yù)測）在卡塔爾世界杯的開幕式上中國元素隨處可見．從體育場建設(shè)到電力保障，從賽場內(nèi)的裁判到賽場外的吉祥物，……，中國制造為世界杯提供了強(qiáng)有力的支持．國內(nèi)也再次掀起足球熱潮．某地足球協(xié)會組建球隊參加業(yè)余比賽．該足球隊教練組對球員的使用是依據(jù)數(shù)據(jù)分析，為了調(diào)查球員乙對球隊的貢獻(xiàn)，作出如下數(shù)據(jù)統(tǒng)計（乙參加過的比賽均分出了勝負(fù)）：乙球隊總計勝負(fù)未參加比賽30b70參加比賽c10f總計70en(1)根據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗，能否認(rèn)為該球隊勝利與乙球員參賽有關(guān)聯(lián)？(2)根據(jù)以往的數(shù)據(jù)統(tǒng)計，甲球員能夠勝任邊鋒、中鋒、后腰以及后衛(wèi)四個位置，且出場率分別為：0.2,0.4,0.3,0.1，當(dāng)出任邊鋒、中鋒、后腰以及后衛(wèi)時，球隊輸球的概率依次為：0.4，0.3，0.4，0.2．則：①當(dāng)甲球員參加比賽時，求球隊某場比賽輸球的概率；②當(dāng)甲球員參加比賽時，在球隊輸了某場比賽的條件下，求甲球員擔(dān)任邊鋒的概率；③如果你是教練員，應(yīng)用概率統(tǒng)計有關(guān)知識，該如何使用甲球員？附表及公式：P0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828K2【答案】(1)認(rèn)為該球隊勝利與乙球員參賽有關(guān)聯(lián)；(2)①0.34；②417【解題思路】（1）應(yīng)用卡方公式計算卡方值，結(jié)合獨(dú)立檢驗的基本思想得結(jié)論；（2）①應(yīng)用全概率公式求概率；②由貝葉斯公式及條件概率公式求概率；③應(yīng)用貝葉斯公式及條件概率公式求概率，并比較大小，即可得結(jié)論.【解答過程】（1）依題意，b=40,c=40,e=50,f=50,n=120，零假設(shè)為H0則觀測值χ2根據(jù)小概率值α=0.001的獨(dú)立性檢驗，我們推斷H0即認(rèn)為該球隊勝利與乙球員參賽有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不超過0.001；（2）①設(shè)A1表示“甲球員擔(dān)當(dāng)邊鋒”；A2表示“甲球員擔(dān)當(dāng)中鋒”；A3表示“甲球員擔(dān)當(dāng)后腰”；A則P=0.2×0.4+0.4×0.3+0.3×0.4+0.1×0.2=0.34．②PA③因為PAPAPA所以PA4|B最小，因為當(dāng)甲球員擔(dān)任后衛(wèi)時，球隊輸球的概率【變式63】（2025·河南·模擬預(yù)測）某商場舉辦購物抽獎活動，在一個不透明的袋子中放入24個大小、材質(zhì)都相同的小球，小球有紅和藍(lán)兩種顏色，每個小球上都畫有符號“○”或“×”，不同顏色和符號的小球個數(shù)如下表所示．從袋中隨機(jī)摸出一個球，記事件A為“摸出紅球”，事件B為“摸出畫○的球”．紅球藍(lán)球畫○610畫×26(1)求PA和P(2)該商場規(guī)定在一次抽獎中，每人有放回地摸兩次球，每次只摸出一個球，根據(jù)兩次摸出球的顏色和符號是否相同設(shè)置三種獎項，等級從高到低依次為：顏色和符號均相同為一等獎；僅顏色相同或僅符號相同為二等獎；顏色和符號均不相同為三等獎．（?。┮浴敖Y(jié)果發(fā)生的可能性越小，獎項等級越高”為標(biāo)準(zhǔn)，請你判斷該獎項設(shè)置是否合理；（ⅱ）若按（?。┲械臉?biāo)準(zhǔn)對上述三種結(jié)果重新設(shè)置獎項，并且一等獎獎勵4a元，二等獎獎勵2a元，三等獎獎勵a元，要使一次抽獎的獎金期望值不超過340元，則a的最大值為多少？【答案】(1)PA=(2)180【解題思路】(1)由條件概率公式可直接求得答案；(2)(i)計算出顏色和符號均相同的概率、僅顏色相同或僅符號相同的概率、顏色和符號均不相同的概率，再比較大小關(guān)系即可判斷；(ii)結(jié)合(i)的計算結(jié)論計算數(shù)學(xué)期望EX=17【解答過程】（1）由題意得PAPA（2）（i）在一次摸球的結(jié)果中，PAB=624=14所以兩次摸球的結(jié)果中，顏色和符號均相同的概率為P1僅顏色相同或僅符號相同的概率為P2顏色和符號均不相同的概率為P3P3（ii）設(shè)一次抽獎的獎金為X元，由題意知X=4a，2a，a.按照題意，獎金越高，概率越小，結(jié)合（i），可知X的分布列為X4a2aaP7111所以EX令179a≤340，得a≤180，即一、單選題1．（2025·甘肅白銀·三模）已知隨機(jī)事件A,B發(fā)生的概率分別為PA=0.3，PB=0.6，若PBA．0.5 B．23 C．0.12 【答案】C【解題思路】根據(jù)條件概率公式直接計算即可.【解答過程】由P(AB)=P(BA)P(A)，可得故選：C.2．（2025·海南?？凇つM預(yù)測）小明、小剛兩位同學(xué)進(jìn)行射擊比賽，小明擊中靶心的概率為13，小剛擊中靶心的概率為23，比賽規(guī)則如下：每次由一人進(jìn)行射擊，若擊中靶心，下一輪由另一人射擊，若沒有擊中靶心，則繼續(xù)進(jìn)行射擊，問4輪射擊中，小明在恰好射擊3次的概率是（A．29 B．727 C．79【答案】D【解題思路】直接利用事件相互獨(dú)立性來計算即可．【解答過程】小明、小剛兩人每次擊中靶心的概率分別為13，2則小明、小剛兩人每次未擊中靶心的概率分別為23，1根據(jù)題意，前4次中小明恰好射擊3次的情況為第一次小剛擊中第二、三次小明均未擊中第四次小明射擊，其概率為23第一次小明擊中第二次小剛擊中第三次小明未擊中第四次甲射擊，其概率為13第一次小明未擊中第二次小明擊中第三次小剛擊中第四次小明射擊，其概率為23第一、二次小明未擊中第三次小明擊中第四次小剛射擊，其概率為23則前4次中小明恰好射擊3次的概率為827故選：D．3．（2025·海南·模擬預(yù)測）小明參加一場弓箭比賽，需要連續(xù)射擊三個靶子，每次射箭結(jié)果互不影響，已知他射中這三個靶子的概率分別為x，x，13，若他恰好射中兩個靶子的概率是16，那么他三個靶子都沒射中的概率是（A．13 B．25 C．38【答案】C【解題思路】利用事件相互獨(dú)立性，互斥，根據(jù)恰好射中兩個靶子的概率是16建立等式，求出x【解答過程】記小明射中三個靶子分別為事件D，E，F(xiàn)，且D，E，F(xiàn)相互獨(dú)立，且P(D)=P(E)=x，P(F)=1恰好能射中兩個靶子為事件DEF,DE所以P(DE=P(D)P(E)P(=x?x?1?整理得x=14，三個靶子都沒射中為事件故P(DEF故選：C．4．（2025·海南·模擬預(yù)測）某次社會實踐活動中，甲、乙兩個班的同學(xué)共同在一個社區(qū)進(jìn)行民意調(diào)查，參加活動的甲、乙兩班的人數(shù)之比為2:3，其中甲班的女生占35，乙班中女生占25．則該社區(qū)居民遇到一位進(jìn)行民意調(diào)查的同學(xué)恰好是女生的概率為（A．38 B．625 C．712【答案】D【解題思路】由題意設(shè)出事件，寫出事件的概率以及條件概率，利用全概率公式，可得答案.【解答過程】記事件A1事件A2B=“居民所遇到的一位進(jìn)行民意調(diào)查的同學(xué)是女生”，則Ω=A1∪A2，且由題意可知，PA1=由全概率公式可知PB即該社區(qū)居民遇到一位進(jìn)行民意調(diào)查的同學(xué)恰好是女生的概率為1225故選：D．5．（2025·河北石家莊·三模）已知隨機(jī)事件A、B，B表示事件B的對立事件，PA=0.4，PBA．事件A與B一定是對立事件B．PC．PD．若事件A、B相互獨(dú)立，則P【答案】D【解題思路】舉例判斷AB，由于不確定事件A、B的關(guān)系，故不能求解PA∪B,PAB【解答過程】對于AB，一個密封的盒子中有標(biāo)號為1,2，3,4,5的5個小球從中任取1球，記事件A：從中取出球的標(biāo)號為1,2，事件B：從中取出球的標(biāo)號為1,2,3，則PA=0.4,PB=0.6，滿足由上例可知PA∪B對于C，PAB=PAPB僅在事件A、B相互獨(dú)立時才成立，而不知道事件A對于D，若事件A、B相互獨(dú)立，則事件A、B也相互獨(dú)立，所以PA故選：D.6．（2025·江西·模擬預(yù)測）兒童牙齒是否健康與早晚是否都刷牙有關(guān).據(jù)調(diào)查，某幼兒園大約有60%的學(xué)生牙齒健康，大約有30%的學(xué)生早晚都刷牙，且其中早晚都刷牙的學(xué)生中約有70%A．3970 B．3170 C．2635【答案】A【解題思路】設(shè)出事件，利用全概率公式和條件概率公式進(jìn)行求解.【解答過程】不是早晚都刷牙且牙齒健康的學(xué)生占60%記“該學(xué)生不是早晚都刷牙”為事件A，“該學(xué)生牙齒健康”為事件B，則P(A)=1?0.3=0.7,P(AB)=0.39，所以P(B∣A)=P(AB)故選；A.7．（2025·全國·模擬預(yù)測）已知三臺車床加工同一型號的零件，第1，2，3臺車床加工的次品率分別為5%，2%，4%，加工出來的零件混放在一起，且第1，2，3臺車床加工的零件數(shù)目之比為4:5:11，現(xiàn)任取一個零件，記事件A=“零件由第1臺車床加工”，B=“零件為次品”，則P(A|B)=A．15 B．110 C．537【答案】D【解題思路】根據(jù)給定條件，利用全概率公式、條件概率公式列式求解.【解答過程】記事件Ai=“零件由第i臺車床加工”，則P(A由全概率公式得：P(B)=P(=1故P(AB故選：D.8．（2025·河北保定·二模）已知甲箱中有2個紅球和3個黑球，乙箱中有n個紅球和3個黑球（所有球除顏色外完全相同），某學(xué)生先從甲箱中隨機(jī)取出2個球放入乙箱，再從乙箱中隨機(jī)取出1個球，記“從甲箱中取出的球恰有i個紅球”為事件Aii=0,1,2，“從乙箱中取出的球是黑球”為事件B，則PAA．與n有關(guān)的常量 B．與n有關(guān)的變量C．與n無關(guān)的定值，且為114 D．與n無關(guān)的定值，且為【答案】C【解題思路】先利用條件概率公式和全概率公式計算得PB=42【解答過程】依題意可得PA0=C3若先A0發(fā)生，則乙袋中有n個紅球，5黑球，此時P若先A1發(fā)生，則乙袋中有n+1個紅球，4黑球，此時P若先A2發(fā)生，則乙袋中有n+2個紅球，3黑球，此時P所以PA0B=PB所以PB=PB所以PA2∣B=PA2故選：C.二、多選題9．（2025·云南玉溪·模擬預(yù)測）已知A，B為隨機(jī)事件，且PA=0.5，PBA．若A,B互斥，則PA∪B=0.9 B．若A,BC．若PAB=0.5，則PBA=0.3【答案】CD【解題思路】利用互斥事件的概率公式判斷A；利用概率的加法公式判斷B；利用對立事件和條件概率的概率公式判斷C；利用獨(dú)立事件的概率公式判斷D.【解答過程】若A,B互斥，則PA∪B若A,B相互獨(dú)立，則PAB則PA∪B若A,B相互獨(dú)立，則A,B則PA若PAB=0.5則PAB=則PB故選：CD.10．（2025·河北·模擬預(yù)測）已知有甲?乙兩個盒子，甲中有3個白球，2個黑球，乙中有1個白球，3個黑球．從甲中取出一個球放入乙中，再從乙中取出一個球放入甲中．記事件A=“從甲中取出的球為白球”；事件B=“從乙中取出的球為白球”；事件C=“甲中最后有3個白球”．下列說法正確的是（

）A．PB|A=2C．PA|B=3【答案】ACD【解題思路】根據(jù)題意，結(jié)合條件概率和全概率公式，逐項計算求解，即可得到答案.【解答過程】對于A中，由PB|A對于B中，由全概率公式，可得P(B)=P(A)P(B|A)+P(A對于C中，由PA|B對于D中，由P(C)=P(AB)+P(A則PA|C故選：ACD．11．（2025·貴州·模擬預(yù)測）在遵義市獨(dú)竹漂表演中，選手需要完成“獨(dú)立平衡”和“繞標(biāo)滑行”兩個項目才能完成表演（如圖）.已知某選手完成“獨(dú)立平衡”項目的概率為0.9；該選手完成“獨(dú)立平衡”，則完成“繞標(biāo)滑行”的概率為0.8；該選手未完成“獨(dú)立平衡”，則完成“繞標(biāo)滑行”的概率為0.4.設(shè)事件A為該選手完成“獨(dú)立平衡”，事件B為該選手完成“繞標(biāo)滑行”，則下列選項正確的是（

）

A．PB．A與B相互獨(dú)立C．PD．P【答案】ACD【解題思路】根據(jù)題意列出PA，PBA，P【解答過程】由題意可知，PA=0.9，PBA=0.8則PBPAB=PB則PAB≠PAPBPA∪BPA故選：ACD.三、填空題12．（2025·甘肅甘南·模擬預(yù)測）乒乓球比賽現(xiàn)采用五局三勝制，即最多打五局，誰先贏三局誰勝．甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，甲在每局比賽中獲勝的概率為35，乙在每局比賽中獲勝的概率為25，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立．已知前兩局比賽中，甲、乙各勝1局，則最終乙獲勝的概率為【答案】44【解題思路】討論{第3局乙負(fù)，第4，5局乙勝}、{第3局乙勝，第4局乙負(fù)，第5局乙勝}、{第3，4局乙勝}三種情況，應(yīng)用獨(dú)立事件乘法、互斥事件加法求概率即可.【解答過程】乙最后的勝利包含三種情況：一是第3局乙負(fù)，第4，5局乙勝，此時乙勝的概率為35×2二是第3局乙勝，第4局乙負(fù)，第5局乙勝，此時乙勝的概率為25三是第3，4局乙勝，此時乙勝的概率為2乙獲勝的概率為12125故答案為：4412513．（2025·浙江寧波·一模）已知甲袋中有大小質(zhì)地完全相同的3個紅球和3個黑球，乙袋中有大小質(zhì)地完全相同的2個紅球和3個黑球，現(xiàn)隨機(jī)地選擇一個袋子，并從中不放回地依次隨機(jī)摸出兩個球，則在第一次摸到紅球的條件下，第二次摸到的也是紅球的概率是.【答案】1【解題思路】利用全概率公式求出第一次摸到紅球的概率以及第一次和第二次都摸到紅球的概率，再根據(jù)條件概率公式進(jìn)行計算．【解答過程】設(shè)事件A表示“第一次摸到紅球”，事件B表示“第二次摸到紅球”．設(shè)事件C1表示“選擇甲袋”，事件C且P(C1)=P(C2根據(jù)全概率公式，得P(A)=P(C1)P(A在甲袋中，第一次摸出紅球后，還剩2個紅球和3個黑球，共5個球，所以從甲袋中第一次和第二次都摸到紅球的概率P(ABC在乙袋中，第一次摸出紅球后，還剩1個紅球和3個黑球，共4個球，所以從乙袋中第一次和第二次都摸到紅球的概率P(ABC根據(jù)全概率公式，得P(AB)=P(C1)P(AB|所以，在第一次摸到紅球的條件下，第二次摸到紅球的概率為P(BA故答案為：1314．（2025·天津·高考真題）小桐操場跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均為0．5，若第一次跑5圈，則第二次跑5圈的概率為0．4，6圈的概率為0．6；若第一次跑6圈，則第二次跑5圈的概率為0．6，6圈的概率為0．4．小桐一周跑11圈的概率為；若一周至少跑11圈為運(yùn)動量達(dá)標(biāo)，則連續(xù)跑4周，記合格周數(shù)為X，則期望E(X)=.【答案】0.6；3.2【解題思路】先根據(jù)全概率公式計算求解空一，再求出概率根據(jù)二項分布數(shù)學(xué)期望公式計算求解.【解答過程】設(shè)小桐一周跑11圈為事件A，設(shè)第一次跑5圈為事件B，設(shè)第二次跑5圈為事件C，則PA設(shè)運(yùn)動量達(dá)標(biāo)為事件D，PD所以X～B4,0.8，E故答案為：0.6；3.2.四、解答題15．（2025·上海金山·三模）有兩個罐子，A罐中放有3個白球和2個黑球，B罐中放有5個白球．(1)若從A罐有放回的摸2個球，求摸到相同顏色球的概率；(2)若從A罐不放回的摸2個球，求第二次摸到白球的概率；(3)現(xiàn)在從兩個罐子各摸一個球并交換，這樣交換2次后，記A罐中黑球的個數(shù)為X，求X的分布和數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)13(2)3(3)分布列見解析，期望為34【解題思路】（1）分兩次均為白和兩次均為黑討論，再根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式和概率加法公式即可得到答案；（2）利用全概率公式即可得到答案；（3）首先分析知X的取值為0，1，2，再分別計算對應(yīng)概率值，再利用均值公式即可得到答案.【解答過程】（1）摸到相同顏色球的概率為35（2）根據(jù)全概率公式知第二次摸到白球的概率為35（3）X的取值為0，1，2，則PX=0PX=1PX=2則X的分布為??0期望為0×816．（2025·全國·模擬預(yù)測）隨著鄭欽文獲得2024年巴黎奧運(yùn)會網(wǎng)球女單冠軍，中國各地再度掀起網(wǎng)球熱．某小區(qū)舉行“賀歲杯”網(wǎng)球錦標(biāo)賽，甲、乙、丙、丁四位網(wǎng)球愛好者順利挺進(jìn)四強(qiáng)，四強(qiáng)對陣形勢為：甲對丙，乙對丁，勝者進(jìn)決賽，決賽勝者獲冠軍．已知甲勝乙、丙的概率均為23，乙勝丁的概率為35，甲勝丁的概率為(1)求甲獲得冠軍的概率；(2)如果甲、乙順利挺進(jìn)決賽，并且決賽采用五盤三勝制（即先贏三盤者獲勝，并結(jié)束比賽），甲每盤獲勝的概率為23【答案】(1)7(2)1【解題思路】（1）根據(jù)給定條件，利用相互獨(dú)立事件、互斥事件的概率公式列式計算.（2）利用獨(dú)立重復(fù)試驗的概率及互斥事件的概率求出條件概率.【解答過程】（1）設(shè)A=“甲勝丙”；B=“乙勝丁”；C=“甲勝乙”；D=“甲勝丁”；E=“甲獲得冠軍”，則P(A)=2P(E)=P(ABC+AB所以甲獲得冠軍的概率是715（2）記F=“決賽中甲獲勝”，G=“比賽打滿5盤”，甲勝包括甲“連贏三盤”、“前三盤兩勝一負(fù)第四盤勝”、“前四盤兩勝兩負(fù)，第五盤勝”三種情況，因此P(F)=(23因此P(G|F)=P(FG)所以在決賽中甲獲勝的條件下，比賽進(jìn)行五盤的概率為1417．（2025·廣東·模擬預(yù)測）為了研究生活習(xí)慣M與患有疾病N的關(guān)系，某疾控