/上海市長(zhǎng)寧區(qū)2025?2026學(xué)年高三上學(xué)期質(zhì)量調(diào)研測(cè)試（一模）數(shù)學(xué)試題一、填空題1．集合，集合，則．2．不等式的解集為．3．在等差數(shù)列中，，公差，，則．4．在的展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)為．5．如果圓錐的底面圓半徑為1，母線長(zhǎng)為2，則該圓錐的側(cè)面積為.6．設(shè)，則向量在方向上的投影向量的坐標(biāo)為．7．已知，，則8．函數(shù)的值域?yàn)?，則集合．9．已知均為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為．10．在復(fù)平面上，復(fù)數(shù)2和所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在線段上移動(dòng)，若，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所構(gòu)成圖形的面積為．11．如圖，兩塔的塔尖分別為，塔底分別為，塔身均垂直水平面已測(cè)得與的距離，4名同學(xué)分別測(cè)得如下4組數(shù)據(jù)：①，，；②，，；③；④．其中不能唯一確定與之間距離的數(shù)據(jù)的序號(hào)有．12．已知集合，若對(duì)于空間中任意單位向量，都存在，使得，則實(shí)數(shù)的最大值為．二、單選題13．如圖，已知分別是正方體所在棱的中點(diǎn)，則下列直線中與直線EF異面的是（）A．直線 B．直線C．直線 D．直線14．甲、乙兩人投籃的命中率分別為0.7和0.6，兩人各投籃一次，事件為甲投中，事件為乙投中．“甲、乙兩人均投中的概率為0.42”是“事件互相獨(dú)立”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件15．已知，，若曲線上存在點(diǎn)滿足：，則的取值范圍是（）A． B． C． D．16．將正整數(shù)按一定次序排列得到排列，若排列中的任意一項(xiàng)都滿足：，則滿足題意的排列的個(gè)數(shù)為（）A．36 B．55 C．89 D．144三、解答題17．小明有自覺(jué)體鍛的習(xí)慣，某運(yùn)動(dòng)軟件記錄了其每天運(yùn)動(dòng)的時(shí)長(zhǎng)（單位：min），小明從最近90天的記錄中隨機(jī)選取了10天的記錄，具體數(shù)據(jù)如下：（1）求這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)：（2）運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)不超過(guò)60min為不達(dá)標(biāo)，估算從90天記錄中隨機(jī)抽取1天，該天運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)不達(dá)標(biāo)的概率：（3）從這10個(gè)數(shù)中隨機(jī)刪除2個(gè)數(shù)得到一組新的數(shù)據(jù)，求前后兩組數(shù)據(jù)的極差相同的概率．18．已知函數(shù)．（1）若函數(shù)的最小正周期為，求的值及的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）設(shè)，求函數(shù)在區(qū)間上的值域．19．如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，，，直線與平面所成的角的大小為．（1）求四棱錐的體積；（2）點(diǎn)在線段上，直線平面，求二面角的余弦值．20．已知拋物線的焦點(diǎn)為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)．（1）設(shè)，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)；（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，求的面積；（3）設(shè)線段的垂直平分線與拋物線交于點(diǎn)，若以線段為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求直線的方程．21．已知．（1）求函數(shù)的駐點(diǎn)；（2）設(shè)，若關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有解，求的取值范圍：（3）定義，設(shè)，若存在實(shí)數(shù)，使得，求實(shí)數(shù)的最小值．

答案1．【正確答案】【詳解】由題意得，.2．【正確答案】【詳解】由，得，解得，即不等式的解集為.3．【正確答案】【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列中，，公差，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式，又，所以，解得.4．【正確答案】15【詳解】二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，可得，所以，項(xiàng)的系數(shù)為.5．【正確答案】【詳解】由圓錐的側(cè)面積公式6．【正確答案】【詳解】因，則，，則向量在方向上的投影向量的坐標(biāo)為.7．【正確答案】【詳解】由題設(shè)，，根據(jù)換底公式，則.8．【正確答案】【詳解】令，解得，令，解得，則集合.9．【正確答案】4【詳解】由可得，所以原式①.令，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以.所以①式可化為原式.令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)等號(hào)成立，所以，所以的最小值為4.10．【正確答案】【詳解】復(fù)數(shù)2和所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，，設(shè)復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，設(shè)復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，，，點(diǎn)軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓，點(diǎn)在線段上移動(dòng)，點(diǎn)的軌跡為：以線段上的點(diǎn)為圓心，半徑為的圓的并集，即點(diǎn)的軌跡為：以線段為中線，寬度為的矩形，加上兩端為圓心，半徑為的兩個(gè)半圓，，，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所構(gòu)成圖形的面積為.11．【正確答案】④【詳解】①：與的長(zhǎng)度，用余弦定理確定唯一，與的值，在中可確定唯一，與的值，在中可確定唯一，由知唯一確定.②：與的長(zhǎng)度，用余弦定理確定唯一，與的值，在中可確定唯一，是點(diǎn)處觀測(cè)與的夾角，在中：邊（已知）邊（含未知量）已知由余弦定理：，同時(shí)又有：，聯(lián)立的表達(dá)式，建立關(guān)于的方程，因函數(shù)單調(diào)性及物理意義（塔高），通常有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)解故可確定唯一.③：與的值，在中可確定唯一，與的值，在中可確定唯一，由，及已知，可確定唯一.④：由可求得；再由，可求得；而，故長(zhǎng)度不確定.12．【正確答案】【詳解】若存在，使得，則，設(shè)，且，則，，因?yàn)?，可設(shè)，則，因?yàn)?，，注意到符?hào)性不妨設(shè)，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，可知，又因?yàn)閷?duì)于空間中任意單位向量，都存在，使得，則，即，且，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即，可得，所以實(shí)數(shù)的最大值為.13．【正確答案】D【詳解】如圖取中點(diǎn),和頂點(diǎn)M,N,P,Q連接在正方體中有,所以，所以點(diǎn)四點(diǎn)共面，所以直線EF與直線共面，選項(xiàng)A不對(duì)；由A選項(xiàng)可知點(diǎn)四點(diǎn)共面，同理可知點(diǎn)四點(diǎn)共面，點(diǎn)四點(diǎn)共面，點(diǎn)四點(diǎn)共面，所以六點(diǎn)共面,所以直線與直線不是異面直線，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；在正方體中有,所以，選項(xiàng)C不對(duì)；直線平面AFG,直線平面,所以直線與直線是異面直線,選項(xiàng)D正確；故選D14．【正確答案】C【詳解】由甲、乙兩人投籃的命中率分別為0.7和0.6，若“事件互相獨(dú)立”，則，若，則事件互相獨(dú)立，即“甲、乙兩人均投中的概率為0.42”是“事件互相獨(dú)立”的充要條件，故選C15．【正確答案】A【詳解】由，知，.因?yàn)辄c(diǎn)滿足：，即，且，所以點(diǎn)在以為焦點(diǎn)的雙曲線的左支上，設(shè)其方程為，則其焦距，實(shí)軸長(zhǎng)，所以，，所以，所以點(diǎn)在雙曲線的左支上，其漸近線方程為.由曲線方程得.因?yàn)榍€上存在點(diǎn)滿足：，所以直線與雙曲線的左支有交點(diǎn)，所以.故選A.16．【正確答案】C【詳解】設(shè)滿足題意的排列個(gè)數(shù)為，本題所求為.由題可得，，.當(dāng)，此時(shí)，，，則滿足題意的排列個(gè)數(shù)為；當(dāng)，，此時(shí)，，，則滿足題意的排列個(gè)數(shù)為；當(dāng)，，則，，，，，此時(shí)沒(méi)有整數(shù)使?jié)M足題意，即當(dāng)，時(shí)，滿足題意的排列不存在.綜上可得，.注意到，，則，.故選C17．【正確答案】（1）71；（2）0.3；（3）.【詳解】（1）把10天的記錄按照從小到大排列為：，因?yàn)槭钦麛?shù)，所以第60百分位數(shù)為第6個(gè)數(shù)與第7個(gè)數(shù)的平均數(shù)，因?yàn)?，這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為71；（2）因?yàn)檫x取的樣本中運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)不達(dá)標(biāo)的頻率為，所以估計(jì)該天運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)不達(dá)標(biāo)的概率為0.3；（3）因?yàn)榍昂髢山M數(shù)據(jù)的極差相同，所以隨機(jī)刪除的2個(gè)數(shù)為中的兩個(gè)，則概率18．【正確答案】（1）2；.（2）.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，所以，解得.所以.要求的單調(diào)遞減區(qū)間，令，解得，即的單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）因?yàn)椋?，所?由得，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可得，所以，所以函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)椋?9．【正確答案】（1）（2）【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，因此，因?yàn)槠矫鍭BCD，直線與平面所成的角的大小為，所以，四棱錐的體積為；（2）因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以，，又因?yàn)?，所以可以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，顯然平面的法向量為，因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，所以設(shè)，設(shè)平面的法向量為，又，，因?yàn)橹本€平面，所以當(dāng)直線平面，顯然點(diǎn)不與點(diǎn)重合，則當(dāng)時(shí)，，取因?yàn)橹本€平面，所以，即，，由圖可知二面角是銳二面角，所以二面角的余弦值為.20．【正確答案】（1）（2）（3）【詳解】（1）由拋物線方程知：，設(shè)，由得：，.（2）由題意知：直線斜率不為零，可設(shè)，，由得：，則，，，，又因?yàn)橹悬c(diǎn)的縱坐標(biāo)為，所以，所以的面積為；（3）由題意知：直線斜率不為零，可設(shè)，，由得：，則，，，所以中點(diǎn)為，因?yàn)榫€段的垂直平分線與拋物線交于點(diǎn)，設(shè)，聯(lián)立可得，由韋達(dá)定理可得，，若以線段為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，，不相等，不相等，所以，同理可得，不相等，所以即，解得.所以直線的方程為.21．【正確答案】（1）（2）（3）【詳解】（