/河南省周口市2025?2026學(xué)年高三上學(xué)期第三次聯(lián)考（12月）數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知向量，，且，則（

）A． B． C．2 D．182．已知集合，且，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．為了了解某小區(qū)居民10月份的用電量情況，隨機(jī)抽取了該小區(qū)12戶居民10月份的用電量（單位：度），得到他們的用電量數(shù)據(jù)如下：172，150，185，161，165，170，175，178，180，184，155，190．該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是（

）A．178 B．179 C．180 D．1824．如圖，在正方體中，E，F(xiàn)，G分別是線段BD，，的中點(diǎn)，則異面直線AG與EF所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．5．已知是定義在上的奇函數(shù)，則曲線在處的切線方程是（

）A． B． C． D．6．在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且，則的最大值是（

）A． B． C．3 D．47．已知某圓柱的軸截面的周長(zhǎng)為12，設(shè)該圓柱外接球體積的最小值為，該圓柱體積的最大值為，則（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)在區(qū)間上恰有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多選題9．若復(fù)數(shù)，則（

）A．z的實(shí)部是B．C．D．z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限10．已知定義在上的函數(shù)滿足，且，則（

）A．B．的最小值是0C．的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱D．不等式的解集是11．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，P是雙曲線C右支上的點(diǎn)，G是的內(nèi)心，記，，的面積分別為，，，且，，則（

）A．B．C．的最大值是7D．當(dāng)時(shí)，三、填空題12．已知點(diǎn)在拋物線上，則A到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為．13．已知甲盒中有三個(gè)紅球和兩個(gè)白球，乙盒中有兩個(gè)紅球和兩個(gè)白球，所有小球除顏色外，其他都相同．某人先從乙盒中任取兩個(gè)球，放入甲盒中，再?gòu)募缀兄腥稳蓚€(gè)球，則此人從甲盒中取到的兩個(gè)球顏色相同的概率為．14．已知直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，若a，b，c是等差數(shù)列中的連續(xù)三項(xiàng)，則的取值范圍是．四、解答題15．在數(shù)列中，，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求的前n項(xiàng)和．16．某答題比賽分為兩個(gè)階段，每個(gè)參賽隊(duì)由兩名隊(duì)員組成，比賽規(guī)則如下：第一階段由參賽隊(duì)中一名隊(duì)員答2道題，若2道題都答錯(cuò)，則該參賽隊(duì)被淘汰；若至少答對(duì)1道題，則該參賽隊(duì)進(jìn)入第二階段．第二階段由該參賽隊(duì)的另一名隊(duì)員答2道題．已知某參賽隊(duì)由甲、乙兩名隊(duì)員組成，且該參賽隊(duì)在第一階段由甲答題，第二階段由乙答題．假設(shè)甲答對(duì)每道題的概率為，乙答對(duì)每道題的概率為，且每次答題的結(jié)果相互獨(dú)立．（1）求該參賽隊(duì)能進(jìn)入第二階段的概率．（2）現(xiàn)規(guī)定在第一階段中，該參賽隊(duì)員僅答對(duì)1道題，得1分；2道題都答對(duì)，得3分；2道題都答錯(cuò)，得0分．在第二階段中，該參賽隊(duì)員每答對(duì)1題，得1分；每答錯(cuò)1題，得分．記該參賽隊(duì)兩階段的總得分為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．17．如圖，在三棱柱中，，，，，，D是棱的中點(diǎn)．（1）證明：平面平面ABC．（2）求平面與平面夾角的余弦值．18．已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，且點(diǎn)在橢圓C上．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為D，連接OD（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）并延長(zhǎng)，交橢圓C于點(diǎn)E，交直線于點(diǎn)H．①若，求的值．②若，試問(wèn)直線l是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．19．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若關(guān)于x的不等式恒成立，求a的值；（3）證明：對(duì)一切的，都有．

答案1．【正確答案】C【詳解】因?yàn)橄蛄?，，且，所以，解得．故選C2．【正確答案】A【詳解】由不等式，可得，解得，所以，又由集合，因?yàn)?，所以，則，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選A.3．【正確答案】D【詳解】先將12戶居民的用電量數(shù)據(jù)從小到大排序：150，155，161，165，170，172，175，178，180，184，185，190.第75百分位數(shù)的位置：，因?yàn)檎麛?shù)，第75百分位數(shù)是第9項(xiàng)與第10項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均值.第9項(xiàng)數(shù)據(jù)為180，第10項(xiàng)數(shù)據(jù)為184，故第75百分位數(shù)為.故選D4．【正確答案】C【詳解】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，則，，，，所以，．設(shè)異面直線AG與EF所成的角為，則．故選C．5．【正確答案】B【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，即對(duì)恒成立所以，解得，所以，所以，所以，，所以，所求切線方程為，即．故選B6．【正確答案】A【詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，整理可得，所以，因?yàn)?，則，可得，由正弦定理可得，由余弦定理可得．因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，可得，所以，且，則，可得，所以的最大值是.故選A.7．【正確答案】B【詳解】設(shè)該圓柱底面圓的半徑為r，高為h，則，故．設(shè)該圓柱外接球的半徑為R，則，當(dāng)時(shí)，R取得最小值，則．圓柱的體積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，則，．故選B．8．【正確答案】D【詳解】令，則，所以，，即，.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；要使，恰有2個(gè)零點(diǎn)，則要求，，所以，解得.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；要使，恰有2個(gè)零點(diǎn)，所以，解得.綜上，的取值范圍是．故選D.9．【正確答案】BCD【詳解】因?yàn)椋瑒t，可知z的實(shí)部是，，，故A錯(cuò)誤，BC正確；且z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第四象限，故D正確；故選BCD.10．【正確答案】ABD【詳解】令，得．又，所以.選項(xiàng)A：，，，A正確．選項(xiàng)B：因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以B正確．選項(xiàng)C：因?yàn)?，所以，該函?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，而非y軸，C錯(cuò)誤．選項(xiàng)D：因?yàn)椋缘膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，即.當(dāng)，即時(shí)，不等式無(wú)解；當(dāng)，即時(shí)，不等式可化為，解得或，D正確．故選ABD11．【正確答案】ACD【詳解】設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，則，所以，又，所以，故，A正確．作，垂足為H，則．由雙曲線的定義及切線長(zhǎng)定理可得．又，解得，，所以，B錯(cuò)誤．因?yàn)?，所以．因?yàn)椋?，C正確．延長(zhǎng)PG交于點(diǎn)M．因?yàn)椋裕山瞧椒志€定理可得，所以，所以，解得，D正確．故選ACD12．【正確答案】4【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，所以，所以準(zhǔn)線方程為，所以A到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為.13．【正確答案】【詳解】乙盒取2球有三種情形：取2紅：概率為，此時(shí)甲盒有5紅2白，從甲盒取2同色球的概率為；取2白：概率為，此時(shí)甲盒有3紅4白，從甲盒取2同色球的概率為；取1紅1白：概率為，此時(shí)甲盒有4紅3白，從甲盒取2同色球的概率為.所求概率為：.14．【正確答案】【詳解】因?yàn)閍，b，c是等差數(shù)列中的連續(xù)三項(xiàng)，所以，所以，則直線l的方程為，即，故直線過(guò)定點(diǎn)．由題意可知圓的圓心為，半徑，設(shè)圓心到直線的距離為，因?yàn)橹本€恒過(guò)圓內(nèi)的定點(diǎn)，所以的取值范圍是，即，弦長(zhǎng)是的減函數(shù)，故的最小值為當(dāng)時(shí)取得，即，的最大值為當(dāng)時(shí)取得，即，故的取值范圍是．15．【正確答案】（1）（2）【詳解】（1）因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以，所以是以為首?xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，則，故．（2）由（1）可知，則．第（2）問(wèn)還可以這樣解答：設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為．由（1）可知是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，則，故．16．【正確答案】（1）；（2）分布列見(jiàn)詳解，.【詳解】（1）記第一階段甲答對(duì)第題為事件，，該參賽隊(duì)進(jìn)入第二階段為事件，由題知，，，則.（2）依題意可知，的所有可能取值為，當(dāng)，即甲答對(duì)1道題且乙答對(duì)0道題時(shí)，；當(dāng)，即甲答對(duì)0道題時(shí)，；當(dāng)，即甲答對(duì)1道題且乙答對(duì)1道題，或甲答對(duì)2道題且乙答對(duì)0道題時(shí)，；當(dāng)，即甲答對(duì)1道題且乙答對(duì)2道題，或甲答對(duì)2道題且乙答對(duì)1道題時(shí)，；當(dāng)，即甲答對(duì)2道題且乙答對(duì)2道題時(shí)，.所以的分布列為：0135所以.17．【正確答案】（1）見(jiàn)詳解（2）【詳解】（1）證明：因?yàn)?，所以．因?yàn)椋?，所以，則，所以．因?yàn)椋矫鍭BC，平面ABC，且，所以平面ABC．因?yàn)槠矫?，所以平面平面ABC．（2）解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC，所在直線分別為x軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．由題中數(shù)據(jù)可知，，，，，則，，，．設(shè)平面的法向量為，則,令，得．設(shè)平面的法向量為，則,令，得．設(shè)平面與平面的夾角為，則，即平面與平面夾角的余弦值為．18．【正確答案】（1）（2）①；②直線過(guò)定點(diǎn)【詳解】（1）由題意可得，解得，，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)，，①當(dāng)直線的斜率存在，且不為時(shí)，設(shè)直線的方程為，由，得，則，因?yàn)?，所以，則直線OB的方程為，同理可得，則．故；當(dāng)直線，中的一條直線斜率不存在時(shí)，另一條直線的斜率為，此時(shí)，綜上，．②聯(lián)立，得，則，即，則，所以，，即點(diǎn)D的坐標(biāo)為，所以，因?yàn)椋灾本€OD的方程為．由，得，則，則，由，得，即點(diǎn)H的坐標(biāo)為，則．因?yàn)椋?，得，滿足，所以直線l的方程為，則直線l過(guò)定點(diǎn)．19．【正確答案】（1）見(jiàn)詳解（2）1（3）見(jiàn)詳解【詳解】（1）由題意可得的定義域?yàn)?，且．?dāng)時(shí)，在上恒成立，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．綜上