/山東省濰坊市2025?2026學年度高二上學期12月學科素養(yǎng)能力抽樣測評數(shù)學試卷一、單選題1．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．已知向量，，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．43．三元一次方程的正整數(shù)解的組數(shù)為（

）A．21 B．28 C．35 D．424．（

）A．1 B．i C． D．5．某社團書法組有3人，，，繪畫組有3人，，，樂器組有2人，.現(xiàn)從三個組中各隨機選1人參加文藝匯演，則和不全被選中的概率為（

）A． B． C． D．6．已知球的半徑與圓錐的底面半徑相等，且它們的表面積相等，則圓錐與球的體積之比是（

）A． B． C． D．7．“不以規(guī)矩，不能成方圓”.“矩”是指相互垂直的長短兩條直尺構成的曲尺，是古人用來測量畫圖的工具.現(xiàn)用“矩”測量某雙曲線得，，其中為雙曲線左焦點，，是上關于原點對稱的兩點，則的離心率為（

）A． B． C． D．28．在空間中，我們把點集表示的曲面稱為圓柱面，借助比利時數(shù)學家Dandelin的思想我們不難發(fā)現(xiàn)：任意不與軸平行或垂直的平面截所得封閉曲線為橢圓.設圓柱面，正四棱錐的五個頂點均在上，且軸與面的夾角為，則正四棱錐的體積為（

）A． B． C． D．二、多選題9．若，則，的大小關系不可能為（

）A． B． C． D．10．已知圓上到直線的距離為1的點有且僅有2個，是上的動點，為坐標原點，則（

）A．B．當，以為直徑的圓與圓相交于，兩點時，的最小值為4C．當點滿足時，到的距離恒為D．設，點是圓上的動點，則的最小值為11．已知正方體的棱長為2，是正方體表面上的一個動點，為的中點，則（

）A．當在側面上運動時，三棱錐的體積為定值B．當在底面上運動且滿足時，的最小值為C．當時，的最小值為D．當直線與平面所成角為時，的軌跡長度為三、填空題12．已知是平面的一個法向量，點在內，則點到平面的距離為.13．若，則.14．定義和兩點間的曼哈頓距離為.已知點，P為拋物線上任意一點，為直線上任意一點.（1）當時，則點的坐標為；（2）的最小值為.四、解答題15．記的內角，，的對邊分別為，，.已知，，.（1）求；（2）若是的中點，，求的面積.16．在四面體中，，，底面，，，分別是，，的中點，點在上，.（1）證明：平面；（2）若三棱錐的體積為，求直線與平面所成角的正弦值.17．已知雙曲線，右焦點為，左、右頂點分別為，，過垂直于軸的弦長為6.（1）求的方程；（2）過的直線與的右支交于，兩點，直線，交于點，證明：在定直線上.18．在直角三角形中，，，為的中點，將沿翻折至，其中為動點.（1）若平面，證明：平面平面；（2）當二面角的大小為時，三棱錐的各個頂點都在球的球面上，求直線與所成角的余弦值；（3）當平面時，若，求平面與平面所成角的余弦值的最小值.19．如圖，在平面直角坐標系中，為坐標原點，，，，，R，分別為線段，上的動點（不含端點），滿足.已知直線與直線的交點在橢圓上.（1）求的方程；（2）若，為上兩點，直線不平行于軸，為的左頂點，直線與的斜率之積為，且.（i）證明：點到原點的距離為定值；（ii）求面積的最大值，并求出此時，的值.

答案1．【正確答案】C【詳解】，故直線的斜率為，傾斜角為.故選C2．【正確答案】B【詳解】由向量，得，由，得，所以.故選B3．【正確答案】A【詳解】三元一次方程的正整數(shù)解的組數(shù)，等價于將8個相同的小球分成3組，每組至少1個小球的不同分法.只需要在8個小球中間的7個空位中選取2個空位用隔板隔開即可，則共有種分法，即三元一次方程的正整數(shù)解的組數(shù)為21.故選A.4．【正確答案】B【詳解】.故選B5．【正確答案】D【詳解】從三個組中各隨機選1人參加文藝匯演,則共有種可能，設事件:和不全被選中,則事件的對立事件共有三種可能,所以，所以，故選D6．【正確答案】A【詳解】設圓錐的底面圓的半徑為，高為，則圓錐的母線長為，球的半徑為，因為圓錐與球的表面積相等，所以，解得，所以圓錐和球的體積比為.故選A.7．【正確答案】B【詳解】設雙曲線右焦點為，因為，兩點關于原點對稱，所以，且則，解得，又由，解得，所以的離心率，故選B.8．【正確答案】B【詳解】由題意可知圓柱面的半徑為1，如圖，平面截圓柱面所得的截面為橢圓，記橢圓與過點的母線的交點為，該橢圓的半短軸長即為圓柱面的半徑1．因為四棱錐為正四棱錐，所以四邊形為正方形，設正方形的中心為，則平面，故為平面的法向量，因為軸與面的夾角為，軸，，因為平面，平面，所以，所以為等腰直角三角形，又點到直線的距離為，所以橢圓的長軸長為，，如圖建立平面直角坐標系，則橢圓方程為，四邊形為橢圓的內接正方形，由對稱性可得直線的方程為，聯(lián)立，消得到，故圖中點的坐標為，所以四邊形的面積，所以四棱錐的體積．故選B.9．【正確答案】BD【詳解】作函數(shù)，的草圖，如下：設，則當時，，故C可能成立；當時，；當時，，故A可能成立.綜上，BD不可能成立.故選BD10．【正確答案】ABD【詳解】圓的圓心為，半徑；直線.選項A：圓心到直線的距離.圓上到距離為1的點有且僅有2個，需，因，得，故A正確.選項B：當時，到直線的距離為.以為直徑的圓中，，.的最小值為，故的最小值為，B正確.選項C：設，由得，則，到的距離為，故C錯誤.選項D：設，，對圓上的點，有，平方得，整理為.圓的方程展開為，代入上式得，整理為，因該式對圓上所有成立，故、，得、，即.，三點共線時等號成立，故D正確.故選ABD11．【正確答案】AC【詳解】對于A，在正方體中，可得平面平面，且平面，平面，所以兩平行平面間的距離為，又由點在側面上，所以點到平面的距離為，即三棱錐的高為，又由的面積為，所以三棱錐的體積為為定值，所以A正確；對于B，以為原點，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，如圖所示，可得，設，其中，可得，因為，可得，即，即，又由當時，，所以B錯誤；對于C，設點的坐標為，過點作，垂足為，在直角和直角中，可得，由，可得，即，解得，所以，又，所以，當且，即時，最小，最小值為，所以C正確；對于D，當直線與平面所成角為時，因為，所以點不可能在四邊形內（除外），同理點不可能在四邊形內（除外），點在平面和平面的運動軌跡為線段和（除外），且，當點在平面內時，過點作平面，垂足為，連接，因為直線與平面所成角為，可得，所以點的軌跡是以為圓心，半徑為的圓與正方形的交線，其長度為，因為點為點在平面上的投影，所以點的軌跡長度為，綜上，點的軌跡長度為，所以D錯誤.故選AC.12．【正確答案】/【詳解】因為，所以點到平面的距離為.13．【正確答案】49【詳解】中，令得，中，令得，即，解得.14．【正確答案】；.【詳解】（1）設，則若，則，解得（舍）；若，則，解得，代入直線，得；若，則，解得（舍）綜上，點的坐標為.（2）設，，則，如圖，因為直線與拋物線無交點，所以，當且僅當三者縱坐標相等時取等號，所以，所以，所以所以的最小值為.15．【正確答案】（1）（2）【詳解】（1）對等式移項，得，即①.由，且，故，則，代入①得，即.因，且是三角形的內角，故，，約去后得，即.又，故.（2）設，則.在中，，，，由余弦定理：，即，化簡得，整理為，解得（舍去負根）.的面積為.16．【正確答案】（1）見詳解；（2）【詳解】（1）取的中點，連接，因為為的中點，所以為靠近點的四等分點，又，即為靠近點的四等分點，所以，又平面，平面，所以平面，又為中點，所以，又平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，又平面，所以平面；（2）設，因為底面，所以三棱錐的體積，即，過作的平行線，則底面，又平面，所以，由，如圖建系.則，則，易知平面的一個法向量為，設直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為.17．【正確答案】（1）（2）見詳解【詳解】（1）由雙曲線的右焦點為，得，即，過垂直于軸的弦長為6，可得點在雙曲線上，即，聯(lián)立，解方程組得：，故雙曲線的方程為（2）由（1）知雙曲線，右焦點，左頂點，右頂點，設過的直線方程為（），代入雙曲線方程得整理得設，，則是上述方程的兩個實根，且直線的方程為，直線的方程為，兩式相除得，代入，計算：由韋達定理，，代入得，利用，解得，代入得：，因此，解得，即，.故交點的橫坐標恒為，即在定直線上.18．【正確答案】（1）見詳解（2）（3）【詳解】（1）在直角三角形中，，，且，平面時，，且，平面，平面，∴平面，又∵平面，∴平面平面（2）過點作直線平面，∴，故以點為坐標原點如圖建立空間直角坐標系，則，，，由（1）可知為二面角的平面角，故，∴，取中點，過點作平面，∵，故球心在上，∴設，則，故，即，∴，故則，設直線與所成角為，則.直線與所成角的余弦值為.（3）設，∴，即，點在平面內，設向量為平面的一個法向量，則，令，則，即，設向量為平面的一個法向量，則，設，則，即，則，，設平面與平面所成角的平面角為，則，令，，，∴方程在上有解，則，即，∴或（舍去），當時，方程為，整理得，∴，故當時，取最小值，則取最小值.19．【正確答案】（1）（2）（i）見詳解；（ii